大学物理ii—9电学3电势
大学物理中的电荷和电场电场强度和电势的计算
大学物理中的电荷和电场电场强度和电势的计算大学物理中的电荷和电场：电场强度和电势的计算电荷和电场在大学物理中扮演着至关重要的角色。
电场强度和电势是我们研究电荷和电场的关键概念之一。
本文将重点讨论如何计算电场强度和电势，并探讨它们在物理问题中的应用。
一、电场强度的计算电场强度是描述电场对电荷施加的力的大小和方向的物理量。
对于一个点电荷产生的电场，其强度可以通过以下公式计算：E = k * q / r^2其中，E表示电场强度，k是库仑常数（约为9 ×10^9 Nm^2/C^2），q是电荷量（单位为库仑，C），r是点电荷与待测点的距离（单位为米，m）。
若考虑多个电荷对待测点产生的电场，我们需要将各个电荷产生的电场矢量叠加。
对于一个具有多个电荷的系统，电场强度的计算可以通过以下步骤进行：1. 列出系统内所有电荷的电荷量和坐标。
2. 根据电场强度公式计算每个电荷产生的电场。
3. 将每个电场矢量根据矢量叠加原理求和，得到系统的总电场强度。
4. 根据需要，计算待测点的电场强度的分量或合成结果。
二、电势的计算电势是衡量电场能量分布的物理量，也可以理解为单位正电荷所具有的电场能量。
电势可以通过以下公式计算：V = k * q / r其中，V表示电势，k是库仑常数，q是电荷量，r是点电荷与待测点的距离。
若考虑多个电荷对待测点产生的电势，我们同样需要将各个电荷产生的电势求和。
对于一个具有多个电荷的系统，电势的计算可以通过以下步骤进行：1. 列出系统内所有电荷的电荷量和坐标。
2. 根据电势公式计算每个电荷产生的电势。
3. 将每个电势按矢量叠加原理求和，得到系统的总电势。
4. 根据需要，计算待测点的电势分量或合成结果。
三、电场强度和电势的应用电场强度和电势是解决物理问题中电荷和电场相关问题的有力工具。
它们的应用涵盖了很多领域，包括静电力、电路分析和电场功能等。
在静电力分析中，电场强度和电势可用于计算电荷感受到的力。
大学物理第三章电势
2 π AR + 3 λ e E3 = 6 πε 0 r
方向沿径向向外
18
（2）选距离轴线的距离为 l ( l > R ) 处为电势 零点，计算圆柱体内、 零点，计算圆柱体内、外各点的电势分 布。 注意： 求各点电势（电势分布） 注意： 求各点电势（电势分布）时，要分 区域讨论，分区方式与场强相同。 区域讨论，分区方式与场强相同。 电势零点位置选择： 电势零点位置选择： “无限长”柱状带电 无限长” 对 体产生的电场， 体产生的电场，绝对不 能选无穷远处为电势零 点，只能选其它任一点 为电势零点。 为电势零点。
qo =∫ ⋅
5
静电场的保守性（静电场环路定理） 二、 静电场的保守性（静电场环路定理）
L2
∫
L
E ⋅ dl = 0
a
.
qo
L1
b
.
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 在静电场中， 分等于零。 对任何静电场， 分等于零。即：对任何静电场，电场强度的 线积分都只取决于起点和终点的位置， 线积分都只取决于起点和终点的位置，而与连 接起点和终点间的路径无关。 接起点和终点间的路径无关。
15
例2（1197）一半径为R的“无限长”圆柱形带 1197）一半径为 的 无限长” 电体， 电体，其电荷体密度为 ρ = A r ( r ≤ R ) 式中A为常数 为常数。 式中 为常数。在此圆柱体外再罩一半 径为R 无限长” 径为 1 、线电荷密度为 λ e 的“无限长”圆 试求： 筒，试求： 圆柱体内、 （1）圆柱体内、外各点的电场强度分布 （2）选距离轴线的距离为 l ( l > R ) 处为电势零点，计算圆柱体内、 处为电势零点，计算圆柱体内、 外各点的电势分布。 外各点的电势分布。 （3）柱表面与柱壳之间的电势差。 柱表面与柱壳之间的电势差。
大学物理2知识点总结
dt D
t
4、全电流定律：
L
B d l 0 ( Ic Id )
( B
2 )
全电流总连续。 Id 与Ic的区别： 5、 长直平行电流间单位长度上的相互作用力：
dF dl
0 I1I2
2 d
同向相吸反向相斥
直 电 流
圆 电 流
电流分布 一段导线
q
0
高斯面内自由 电荷的代数和
4、电容器及其电容 （1）定义： C = Q/U （2）平板电容器: 串联：
1 C
n
C
S
d
（3）电容器的串、并联：
i1
1 C
i
并联：C
1 Q 2 C
2
i1
n
C
i
W （4）电容器的能量 ：
1 2
CU
2
2
1 2
UQ
5、电场能量密度： w
1 2
D d
k 加强 2 k 1 ) 减弱 （ 2
（k=0,1,2…)
5、薄膜干涉 的一般公式（⊥入射）：
2n2e
2
k , k 1,2 明
(2 k 1)
2
——（ ）
, k 0 ,1 暗
加不加，看条件
均匀 B 中，起、止点一样的任意导线平动，ε一样。
（2）一段导体转动（转轴∥
1 2
2
均匀 B
）
B L （轴位于端点且⊥导体）
若导体与轴不⊥，可将其等效为在⊥轴方向 的投影的转动。 （3）线圈转动 （转轴⊥均匀
大学物理电场与电势
大学物理电场与电势电场与电势是大学物理学习过程中的重要内容，它们在电学领域的研究中发挥着重要的作用。
本文将对电场与电势的概念、性质以及应用进行全面的介绍。
一、电场的概念与性质电场是指电荷周围所产生的一种物理场。
当电荷处于一个点上时，它会产生一个以该点为中心的电场。
电场的性质如下：1. 电场的定义：电场是指在某一点上，单位正电荷所受到的电力。
2. 电场的方向：电场的方向是正电荷所受力的方向。
3. 电场的性质：电场具有叠加性，即多个电荷所产生的电场可以叠加。
二、电势的概念与性质电势是描述电场中某一点的电场能的物理量。
电势的概念与性质如下：1. 电势的定义：电势是单位正电荷在电场中所具有的电势能。
2. 电势的关系：电势与电荷之间的距离成反比，与电荷的大小成正比。
3. 电势的性质：电势具有可加性，即总的电势等于各个点电势的代数和。
三、电场与电势的关系电场与电势有着紧密的联系，它们之间的关系可以通过如下几个方面来说明：1. 电场与电势的变化关系：电场的强度是电势在空间上的梯度。
即电场的方向是电势变化最快的方向。
2. 电势与电场能量的关系：单位正电荷在电势差为1伏特的电场中所具有的能量称为电势能，即qΔV。
电势能等于电荷所受电势力所做的功。
3. 电场与电势的衡量：电场可以通过在点电荷周围放置试验电荷的方式来测量；而电势则可以通过除以试验电荷量来衡量。
四、电场与电势的应用电场与电势在现实生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个例子：1. 静电除尘器：静电除尘器利用电场力将空气中的灰尘粒子吸附在带电板上，通过调节电场的强度和方向，可以实现对灰尘的捕捉和清除。
2. 电容器：电容器利用电势差储存电能，常用于电子设备中的能量储存和传输。
3. 电势计：电势计是测量电势的一种仪器，常被用于测量电池的电势、电路中的电压等。
4. 高压线路安全：通过在高压线路上设置带电线路塔，形成较大的电势差，可以有效地防止人员触电。
通过以上几个应用的介绍，可以看出，电场与电势不仅仅只是在理论研究中起到重要的作用，更在实际生活中发挥着重要的作用。
大学物理 电势求解
电磁学篇---习题
3、一圆盘半径R ＝3.00 ×10－2 m.圆盘均匀带电，电荷面 密度σ＝2.00×10－5 C· m－2 ， 求轴线上的电势分布。 解：带电圆环中心轴线上电势
1 2πrdr dU r 4π 0 r 2 x 2
整个圆盘中心轴线上的电势分布：
U r 2 0
R
0
2 2 2 0 r x
rdr
R x x
2 2
电磁学篇---习题
4、在真空中，将半径为R 的金属球接地，与球心O 相距为 r（r ＞R）处放置一点电荷q，不计接地导线上电荷的影 响．求金属球表面上的感应电荷总量． R 解：带电金属球的特征： q q 空间场强、电势与带电球面一致； r 所带电荷只分布在表面； 静电感应。
电磁学篇---习题
1、一个内外半径分别为R1 和R2 的均匀带电球壳，总电荷 为Q1 ，球壳外同心罩一个半径为R3 的均匀带电球面，球 面带电荷为Q2 。求电场分布。 此系统将空间分割成I、II、III、IV四个区域 解：
ห้องสมุดไป่ตู้
根据高斯定理可以求得四个区 域的电场强度。
r R1 IV III II 0 Q r 3 R3 1 1 ( R1 r R2 ) 3 3 2 4π 0 R2 R1 r E Q1 ( R2 r R3 ) 40 r 2 Q Q 1 22 (r R3 ) 40 r
I
电磁学篇---习题
1、一个内外半径分别为R1 和R2 的均匀带电球壳，总电荷 为Q1 ，球壳外同心罩一个半径为R3 的均匀带电球面，球 面带电荷为Q2 。求电场分布。
注意：任何带电体边界其电场是连续的，此题在R3处不连 续，是因为假象在先，设带电体无厚度而形成的。
大学物理电磁学公式总结
大学物理电磁学公式总结➢ 第一章（静止电荷的电场）1. 电荷的基本性质：两种电荷，量子性，电荷守恒，相对论不变性。
2. 库仑定律：两个静止的点电荷之间的作用力F =kq 1q 2r 2e r =q 1q 24πε0r 2e r3. 电力叠加原理：F=ΣF i4. 电场强度：E=Fq, q 0为静止电荷5. 场强叠加原理：E=ΣE i用叠加法求电荷系的静电场：E =∑q i4πε0r i 2e ri i (离散型) E=∫dq4πε0r 2e r q(连续型)6. 电通量：Φe=∫E •dS s7. 高斯定律：∮E •dS s=1ε0Σq int 8. 典型静电场：1) 均匀带电球面：E=0 （球面内）E=q 4πε0r 2e r （球面外）2) 均匀带电球体：E=q 4πε0R3r =ρ3ε0r （球体内）E=q4πε0r 2e r （球体外） 3) 均匀带电无限长直线：E=λ2πε0r ，方向垂直于带电直线4) 均匀带电无限大平面：E=σ2ε0，方向垂直于带电平面9. 电偶极子在电场中受到的力矩：M=p×E➢ 第三章（电势）1. 静电场是保守场：∮E •dr L=0 2. 电势差：φ1 –φ2=∫E •dr (p2)(p1)电势：φp =∫E •dr (p0)(p) （P0是电势零点） 电势叠加原理：φ=Σφi 3. 点电荷的电势：φ=q 4πε0r电荷连续分布的带电体的电势：φ=∫dq4πε0r4. 电场强度E 与电势φ的关系的微分形式：E=-gradφ=-▽φ=-(∂φ∂xi +∂φ∂yj +∂φ∂zk )电场线处处与等势面垂直，并指向电势降低的方向；电场线密处等势面间距小。
5. 电荷在外电场中的电势能：W=q φ移动电荷时电场力做的功：A 12=q(φ1 –φ2)=W 1-W 2电偶极子在外电场中的电势能：W=-p •E➢ 第四章（静电场中的导体）1. 导体的静电平衡条件：E int =0，表面外紧邻处Es ⊥表面 或导体是个等势体。
大学物理第2章 电势能 电势
4
Wa b
q0 q 4 0
b
a
q0 q r dr 3 r 4 0
b
a
1 d(r r ) 2 r3
q0 q 4 0
b
a
q0 q 1 dr 2 3 2 r 4 0
b
a
q0 q 1 2rdr 3 2 r 4 0
b
b
a
dr r2
q0 q 4 0
rR 0 Er Q 4 r 2 r R 0
球面内部任意一点的电势为
V (r )
r
r R
R E dl E dl E dl
r R
沿电场线积分
dr
Q 4 0 R
15
E dl Er dr
求电场的空间分布，并求在点(2,3,3)处的电 场强度。解：根据公式得
E V (2x+3y)i (3x z) j yk
代入x，y，z坐标便得到在处的电场强度为 r r r r E 2 , 3 , 3 13i 6 j 3k SI
27
沿电场线积分
(r Ra17 )
V (r )
Rb
Ra
E dl
Rb
Ra
1 1 Er dr ( ) 4 0 Ra Rb
Q
（2）两球面之间一点b的电势为
V (r )
V (r ) E dl
r Rb
Rb
r
Rb
E dl E dl
21
2.3.2 电势梯度
Va Vb E dl
《大学物理》第三章电势S
" p"
或： d
40 ri dq d 40 r
z • 你能否迅速算出“非均匀带电球面（只知道总电量）”
在球心处的电势？ • 如果用“路径积分法”，本题应如何解？
例计算均匀带电q 的园环轴线上任一点的电势。 解： 用“电势叠加法” y （以无穷远处 先考虑点电荷dq对电势的贡献 dq 的电势为0） dq d 4 0 r r q dq q R d 0 4 r 40 r 0 x o x Q 2 2 4 0 x 2 R 2 r x R
球面A 产生的电势分布
球面B 产生的电势分布
qA r R A A 4 0 RA q r RA A A 4 0 r
r RB r RB
qB B 4 0 RB qB B 4 0 r
A B
qB
qA R A
r RA
qA qB 4 0 RA 4 0 RB
E
●
●
dr
P2
2
空间变化率:
d E cos dr d E ( d dr dr ) Max
当
0
时
E
●
有最大值
沿电场方向电势随空间的变化率最大，就把这一最大值称为
1
P 1
dr
●
P2
2
该点的电势梯度 d ( ) Max 定义电势梯度--- grad
则：E dl a b
dl
a
E
E dl
0
dl
b
——场强与等势面正交。
若再取小位移 dl 与电场同向（由点 a到点b′） 则：E dl a b 0 , a b
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①求
Uo
=5cm
Uo
4
q
4 0
r
28.8102V
②求将 q0 1.0109 c 的点电荷从
移到O点电场力所作的功
q1
q2
O
r
q4
q3
Aab q(Ua Ub ) Wa Wb
A0 q0(U U0 ) q0(0 28.8102 ) 28.8107 J
电场力 作负功
③求 该过程中电势能的改变
9
2、点电荷系的电势 电势叠加原理
r r r 在由点u电p电势荷E定系p义的n1n1电EE场ii 中ud，pln1任4意p一qEn1i0点有r(i2pdep的rlEii场 d强l为)
q1 1
p
q2
2n
qn
n
uip
1
在点电荷系的电场中，某一点的电势等于各点电荷单独
存在时，在该点产生的电势的代数和。这一结论称为电
r1r2 r 2
Y
P(x, y)
•
U(r, ) q 4 0
l cos
r2
1
4 0
p cos
r2
r2 x2 y2
cos
x
q
x2 y2
r2
r r1
O q
l
X
1
px
U ( x,
y)
4 0
(x2
3
y2)2
11
例题2、已知正方形顶点有四个等量的点电荷 q 4.0 109C
四个顶点到正方形中心O 的距离r
RA 4 0r 2
• dr
RA
Q1 Q2
RB 4 0r 2
RB • dl
Q1 Q2
40RA 40RB
Q1
RA
•
RPB
Q1
4 0 RA
Q2
4 0 RB
,
r RA
U
Q1
4 0r
Q2
4 0 RB
,
RA r RB
Q1 Q2 ,
40r
r RB
法二、利用电势定义
up
E dl
p
14
例3、求均匀带电圆环（R,q ) 轴线
Y
上的电势分布
解: 法一、电势叠加法Fra bibliotekdUdq
4 0r
dl 4 0r
dl R O
r
x
Z
UP
2R dl 2R
dU
q
0 4 0r
4 0r
4 0r
40
法二、利用电势定义
up
E dl
p
轴线上的场强
四、电势 电势差
1、电势
Ua
Wa q0
b a
E • dl
Ub 0
任意场点的电势等于单位正电荷在该点所具有的电势能
单位正电荷从该点到电势零点电场力所作的功
当场源电荷分布在有限区域内时通常电势零点取在无限远处！
Ua E • dl
U 0
a
电势是从电场力做功的角度来反映静电场性质的物理量
注意:(1) 电势是一个相对量，与电势零点的选择有关；
(2) 电势零点的选择是任意的，但在某些问题中又有一定的限制。 (如无限大带电体的电势零点不能选择无限远处)。
6
2、电势差
电场中u任ab 意两ua点电u势b 之 差b，EE称d为l这两点 E的 电 d势l 差
a
b
电场中任意 a、 b 两点的电势差等于把单位正电荷从
U Pout r 4 0r 2 dr
q
4 0r
R
r R UPin E • dl E • dl
r
R
q
0 R 4 0r 2 dr
q
4 0 R
16
均匀带电球面电势分布图线
V
U
4
q
0
q
R
, ,
4 0r
rR rR
O
R
r
均匀带电球面内是一个等势体，球面内各点的电势等于 球面上的电势；球面外任一点的电势等效于将球面上的 电荷全部集中在球心的点电荷在该点的电势。
up
E dl
p
E
qx
4
0
(
R
2
x
qx
2
)
3
2
x 4 0 ( R2 x 2 )3 2
dx
•X
P
q R2 x2
15
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R ，q
q
由高斯定理求出场强分布 E 4 0r 2
rR
R
O Pin
Pou P
t
0
rR
由电势
的定义 U P E • dl
P
r
rR q
2
er
q•
由电势的定义有：
ua
a
Edl
q
40
1 r r2erdr
q
4 0r
8
q
点电荷的电势
u
4 0r
(u 0)
讨论： (1) 正电荷电场中的电势为正，负电荷电场中
的电势为负；
(2) 沿着电场线的方向是电势降低的方向。
E
E
V1
q•
q•
V2
(3)在以 q 为球心的同一球面上各点的电势相等
a 点移到 b 点电b场力所做的功，即
uab
E dl
a
电势及电势差的单位都是“伏特”, 符号: V .
功、电势差、电势能之间的关系 b
Aab q E • dl q(Ua Ub ) Wa Wb
a
7
五、电势的计算
1、点电荷的电势分布
dl
drEdr
点电荷的场强为
dpr
E＝
4
q
0r
由电势定义 U P
Q1
4
Q2
0r 2
dr
Q1 Q2
4 0r
E3
•
dl
Q RB 1
r 4 0r 2
• dr
Q2
RB
E•
P
Q1 Q2
4 0r 2
dl
• dl
4 0r 4 0 RB
18
RA
RB
Q2
r RA U E1 • dl E2 • dl E3 • dl
0
r
Q RB 1
R
R
R
AO U Uo 0
13
3、电荷连续分布的带电体产生的电势
法一、利用电势叠加原理（分割法）
点电荷dq的电势为 整个带电体的电势为
du dq
4 0r
r
•p
u dq
V 4 0r
Q
dq
电荷元dq 在不同情况下可以分别写成
在线分布情况下有：dq dl
在面分布情况下有：dq ds
在体分布情况下有：dq dv
势叠加原理。
n
up uip u1 p u2 p unp
其中
uip
为qi第i1个点电荷在p点的电势
4 0ri
10
例１、求电偶极子电场中任一点Ｐ 的电势。
解: 由叠加原理
UP U1p U
r l
2 p
q
q
(
4 0r1 4 0r2
r2 r1 l cos
) q(r2 r1) 4 0r1r2
Aab W Wa Wb W WO W AO 28.8102 0 电势能
12
Aab q(Ua Ub )
练习： 如图已知 q q R
①求单位正电荷沿 odc 移至 c ，电场力所作的功
q
q
Aoc
Uo
Uc
q
0
(
4 0 3R
)
4 0R
d
6 0 R
a
bc
q 0 q
②求将单位负电荷由∞→O点 电场力所作的功
17
练习、求电量分别为Q1 和Q2的同心均匀带电球面的电势分布
解: 由高斯定理可以求得：
Q2 Q1
RA
0, ( r RA )
E
Q1
4 0
r
2
,(
RA
r
RB
)
•
RB P
Q1
4
Q2
0r 2
r RB U
RArRB U
,( RB
E
r
RB E2
r
r)
• dl
r
• dl
Q RB 1