新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》精品课件
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2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
(1,0).
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
北师大版九年级数学下册 第二章 二次函数 (章末复习)课件(共85张PPT)
－12b＋c＞0，故 414a－12b＋c＞0，即 a－2b＋4c>0 √ 由抛物线的对称轴为直线 x＝－2ba＝－13，知 a＝32b，而当 x＝－1
时，y＝a－b＋c＝32b－b＋c＞0，∴12b＋c＞0，∴b＋2c＞0
章末复习
专题三 求二次函数的表达式
【要点指导】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时 常见的有三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y= a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线与x轴交点的横坐标.
章末复习
(2)求出每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关 系式, 并求出当销售单价为多少时, 每天的销售利润最大, 并求出 最大销售利润； (3)若该公司要求每天的销售利润不低于4000元, 但每天的总成 本不超过6250元, 则销售单价最低可定为多少？
章末复习
解: (1)y=250-5(x-60), 即y=-5x+550(60≤x≤100). (2)W=(x-50)(-5x+550), 即W=-5x2+800x-27 500(60≤x≤100). 配方, 得W=-5(x-80)2+4500. ∵a=-5, ∴抛物线开口向下, ∴当x=80时, W有最大值, 为4500, 即当销售单价为80元/件时, 每天的销售利润最大, 最大销售利润为 4500元. (3)令W=4000, 则-5(x-80)2+4500=4000, 解得x1=70, x2=90. ∴当W≥4000时, x的取值范围为70≤x≤90. ∵50(-5x+550)≤6250, 解得x≥85, ∴x的取值范围为85≤x≤90, 即销售单价最低可定为85元/件.
时，y＝a－b＋c＝32b－b＋c＞0，∴12b＋c＞0，∴b＋2c＞0
章末复习
专题三 求二次函数的表达式
【要点指导】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时 常见的有三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y= a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线与x轴交点的横坐标.
章末复习
(2)求出每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关 系式, 并求出当销售单价为多少时, 每天的销售利润最大, 并求出 最大销售利润； (3)若该公司要求每天的销售利润不低于4000元, 但每天的总成 本不超过6250元, 则销售单价最低可定为多少？
章末复习
解: (1)y=250-5(x-60), 即y=-5x+550(60≤x≤100). (2)W=(x-50)(-5x+550), 即W=-5x2+800x-27 500(60≤x≤100). 配方, 得W=-5(x-80)2+4500. ∵a=-5, ∴抛物线开口向下, ∴当x=80时, W有最大值, 为4500, 即当销售单价为80元/件时, 每天的销售利润最大, 最大销售利润为 4500元. (3)令W=4000, 则-5(x-80)2+4500=4000, 解得x1=70, x2=90. ∴当W≥4000时, x的取值范围为70≤x≤90. ∵50(-5x+550)≤6250, 解得x≥85, ∴x的取值范围为85≤x≤90, 即销售单价最低可定为85元/件.
九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质教学课件新版北师大版
2(x2 4x) 7
2 x2 4x 4 - 8 7
（2 x - 2）2 1
提取二次项系数 配方：加上再减去一次项系 数绝对值一半的平方 整理：前三项化为平方形 式，后两项合并同类项
当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 值的增大而增大？当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少？
二次函数 y=2（x-1）2 与 y=2x2 的增减性类似.
在对称轴（直线：x=1）的左侧，即 x<1 时，函 数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少. 顶点是最低点，函数有最小值. 当 x=1 时，最小值是 0.
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧，y 随 在对称轴的左侧，y 随
着 x 的增大而减小；在 着 x 的增大而增大；在
对称轴的右侧，y 随着 对称轴的右侧，y 随着
x 的增大而增大
x 的增大而减小
当 x=h 时，最小值为 k 当 x=h 时，最大值为 k
1. 指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标： （1）y= 2（x+3）2 - 1 ；
（- 3 ，-6）和（ 3 ，-6）.
2.填空： （1）抛物线 y=2x2 的顶点坐标是（0，0） ， 对称轴是 y 轴 ，在 对称轴的右 侧，y 随 着 x 的增大而增大；在 对称轴的左 侧，y 随着 x 的增大而减小，当 x= 0 时，函数 y 的值最小，最小值是 0 ，抛物线 y=2x2 在 x 轴的 上 方（除顶点外）.
（2）抛物线 y=- 2 x2 在 x 轴的 下 方（除顶点外），
3
在对称轴的左侧，y 随着 x 的 增大而增大 ，在对 称轴的右侧，y 随着 x 的 增大而减小 ，当 x=0
2 x2 4x 4 - 8 7
（2 x - 2）2 1
提取二次项系数 配方：加上再减去一次项系 数绝对值一半的平方 整理：前三项化为平方形 式，后两项合并同类项
当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 值的增大而增大？当 x 取哪些值时，函数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少？
二次函数 y=2（x-1）2 与 y=2x2 的增减性类似.
在对称轴（直线：x=1）的左侧，即 x<1 时，函 数 y=2（x-1）2 的值随 x 的增大而减少. 顶点是最低点，函数有最小值. 当 x=1 时，最小值是 0.
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧，y 随 在对称轴的左侧，y 随
着 x 的增大而减小；在 着 x 的增大而增大；在
对称轴的右侧，y 随着 对称轴的右侧，y 随着
x 的增大而增大
x 的增大而减小
当 x=h 时，最小值为 k 当 x=h 时，最大值为 k
1. 指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标： （1）y= 2（x+3）2 - 1 ；
（- 3 ，-6）和（ 3 ，-6）.
2.填空： （1）抛物线 y=2x2 的顶点坐标是（0，0） ， 对称轴是 y 轴 ，在 对称轴的右 侧，y 随 着 x 的增大而增大；在 对称轴的左 侧，y 随着 x 的增大而减小，当 x= 0 时，函数 y 的值最小，最小值是 0 ，抛物线 y=2x2 在 x 轴的 上 方（除顶点外）.
（2）抛物线 y=- 2 x2 在 x 轴的 下 方（除顶点外），
3
在对称轴的左侧，y 随着 x 的 增大而增大 ，在对 称轴的右侧，y 随着 x 的 增大而减小 ，当 x=0
初三下数学课件(北师版)-二次函数
解：(1)y＝－x2＋36(0＜x＜6)； (2)y＝50(1＋x)2 或 y＝50x2＋100x＋50； (3)y＝4x2＋260x＋4000.
8．下列函数关系式：①y＝13x2－5x＋621；②y＝x2＋3 1；③y＝x12＋x1＋1；④y
＝－2x－13x2；⑤y＝31x＋32；⑥y＝12－21m＋m2，其中是二次函数的是( C )
A．①②③
B．①②④
C．①④⑥
D．②③④⑥
9．如图，Rt△ABO 中，AB⊥OB，设 AB＝OB＝3，用直线 x＝t 截此三角 形，所得的阴影部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系式为( B )
A．S＝t C．S＝t2
B．S＝21t2 D．S＝12t2－1
10．如图所示，设长方体底面是边长为 x cm 的正方形，高为 20 cm. (1)这个长方体的表面积 S＝ 2x2＋80x ，它是 x 的 二次 函数； (2)这个长方体的体积 V＝ 20x2 ，它是 x 的 二次 函数． 11．如图，用一段长 30 米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形 菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，则菜园的面积 y(单位：米 2)与 x(单位：米) 的函数关系式为 y＝－21x2＋15x (不要求写出自变量 x 的取值范围)．
12．已知函数 y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)(m 是常数)，当 m 为何值时： (1)函数是一次函数； (2)函数是二次函数． 解：(1)m＝1 时，函数是一次函数； (2)m≠0，且 m≠1 时，函数是二次函数．
13．某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次(最低档次)的 产品一天能生产 76 件，每件利润 10 元，每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件． (1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为整数，且 1≤x≤10)， 求出 y 关于 x 的函数关系式； (2)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1080 元，求该产品的质量档次． 解：(1)y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x2＋128x＋640； (2)由－8x2＋128x＋640＝1080，解得 x1＝5，x2＝11(舍去)，产品质量为第 5 档次．
九年级数学下册2.1二次函数课件(新版)北师大版
布置作业，强化目标
作业：习题2.1
教学目标
1. 让学生理解二次函数的定义； 2. 探索生活中的数学问题，构建数学模
型，用二次函数表示简单的变量之间 的关系；
3. 探究数学知识和现实生活的联系，培 养学习数学的兴趣，通过合作交流体 验学习的乐趣.
前置诊断，复习旧知
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
?
情景导入，引入课题
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个 橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受
的阳光就会减少. 根据经验估计,每多 种一棵树,平均每棵 树就会少结5个橙子.
情景导入，引入课题
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0).
交流小结，收获感悟
• 1. 对自己说，你有什么收获？ • 2. 对同学说，你有什么温馨提示？ • 3. 对老师说，你还有什么困惑？
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变 量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少 棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结 （600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量
北师大版 九年级 数学下册 2.1二次函数概念 课件(共20张PPT)
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
总产量=果树的总数X每棵-5树x²+产10量0x+60000
y=(100+x)(600-5x)=
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
S=-a²+30a y= -5x²+100x+60000
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
2
即
m 1 n2 1 n 22
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
解：S=a(60 - a)
2 = -a²+30a .
问题2
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根
据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.
九年级数学下册 第二章 二次函数 1 二次函数教学课件 (新版)北师大版
2
是函数关系且为二次函数关系.
1.（衢州·中考） 如图，四边形ABCD中，∠BAD= ∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形 ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A. y 2 x2
25
B. y 4 x2
25
A D
C. y 2 x2
5
【答案】选C .
想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总 产量最多？ 【解析】
y=-5(x2-20x)+60 000 =-5(x2-20x+102-102)+60 000 =-5(x-10)2+60 500 ≤60 500
合作探究
y=-5x2+100x+60 000 =-5(x-10)2+60 500
2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
D. y 4 x2
5
BC
x 2.如果函数y= k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0_或__3_ .
x 3.如果函数y=(k-3) k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k
的值一定是___0___ .
【规律方法】 1.关于x的二次函数表达式y=ax²+bx+c一定是整式，a， b，c为常数,且 a≠0.
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 9 8 52 7 2 5 8 9 0 9 8 5 2 5 0 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0
是函数关系且为二次函数关系.
1.（衢州·中考） 如图，四边形ABCD中，∠BAD= ∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形 ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A. y 2 x2
25
B. y 4 x2
25
A D
C. y 2 x2
5
【答案】选C .
想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总 产量最多？ 【解析】
y=-5(x2-20x)+60 000 =-5(x2-20x+102-102)+60 000 =-5(x-10)2+60 500 ≤60 500
合作探究
y=-5x2+100x+60 000 =-5(x-10)2+60 500
2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
D. y 4 x2
5
BC
x 2.如果函数y= k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0_或__3_ .
x 3.如果函数y=(k-3) k 2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k
的值一定是___0___ .
【规律方法】 1.关于x的二次函数表达式y=ax²+bx+c一定是整式，a， b，c为常数,且 a≠0.
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 9 8 52 7 2 5 8 9 0 9 8 5 2 5 0 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0
九年级数学下册 2 二次函数课件 (新版)北师大版
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或 最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件 代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
四、二次函数图象的平移
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移 得到，具体平移方法如下：
五、二次函数表达式的求法
考点五 二次函数表达式的确定
例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
a b c 10，
a
b
c
4，
4 a 2 b c 7，
待定系数法
解得, a=2,b=－3,c=5.
第二章 二次函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)， 那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，
y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接 写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图 象与x轴交点的横坐标．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或 最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件 代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点(顶点)
与x轴有两个交点 与x轴没有交点
四、二次函数图象的平移
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移 得到，具体平移方法如下：
五、二次函数表达式的求法
考点五 二次函数表达式的确定
例5:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
a b c 10，
a
b
c
4，
4 a 2 b c 7，
待定系数法
解得, a=2,b=－3,c=5.
第二章 二次函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)， 那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，
y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接 写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图 象与x轴交点的横坐标．
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(5)y= _1_ -x 不是二次函数. x²
(6) v=8π r² 是二次函数. 二次项系数: 8π
一次项系数: 0 常数项: 0
思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c
（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0 （a≠0）有什么联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数
=3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
是二次函数.
二次项系数: 3
一次项系数: -6
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: -2
一次项系数: 0
常数项: 3
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
不是二次函数.
例2:m取何值时, 函数 y= (m+1)x m2 2m 1 +(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得 m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
现在我们学习过的函数有:
一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例
函数y = kx(k≠0), k
反比例函数y = x (k≠0) ， 二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)。
C y=x2
D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4, 当x=2时,函数值为-5, 求这个二次函数的解析 式.
y=20(1+x)2
即 y=20x2+40x+20 ③
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2 ①
d
1 2
n2
3 2
n②
y=20x2+40x+20 ③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x是自 变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为 一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入
函数y x2 px q,得：
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解得，p 12, q 15.
待定系数法
所求的二次函数是y x2 12x 15
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自 变量x的 整式;
（2）a,b,c为常数，且 a≠0. （3)等式的右边最高次数为 2 ，可以
没有一次项和常数项，但不能没有二次项;
（4）x的取值范围是任意实数。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一 次项系数、常数项
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2
2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c
（1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时
是正比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时
是反比例函数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m = 3时是二次 函数
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表 面积 s 与半径 r 之间的关系式.
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
=3(x2-2x+1)+1
二次函数
基础回顾 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函 数？
变 量 之 间函 的数 关 系
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它 有 n 个顶点,从一个顶点出发,连接与这点 不相邻的各顶点,可以作 (n-3) 条对角线.
多边形的对角线总数:
d 1 nn 3
2
即
d
1 2
n2
3 2
n②
3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划 今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产 量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随 计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎 样表示？
y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是)
(2)y=3x2 （ 是 )
(3)y=3x3+2x2 (不是 ) (4)y=2x2-2x+1( 是 )
(5)y=x-2+x (不是 ) (6)y=x2-x(1+x) (不是 )
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,设正
方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具
体关系可以表示为 y=6x2 ①
问题2:
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
S=2πr2 +2πr2 即S=场
比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之
间的关系式.
m 1 nn 1 即 m 1 n2 1 n
2
22
3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的有 C 。
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
想一想
函数y ax2 bx c(其中a,b,c是常数)， 当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
例2、y=（m+3）xm2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
(6) v=8π r² 是二次函数. 二次项系数: 8π
一次项系数: 0 常数项: 0
思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c
（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0 （a≠0）有什么联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数
=3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
是二次函数.
二次项系数: 3
一次项系数: -6
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: -2
一次项系数: 0
常数项: 3
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
不是二次函数.
例2:m取何值时, 函数 y= (m+1)x m2 2m 1 +(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得 m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
现在我们学习过的函数有:
一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例
函数y = kx(k≠0), k
反比例函数y = x (k≠0) ， 二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)。
C y=x2
D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4, 当x=2时,函数值为-5, 求这个二次函数的解析 式.
y=20(1+x)2
即 y=20x2+40x+20 ③
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2 ①
d
1 2
n2
3 2
n②
y=20x2+40x+20 ③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x是自 变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为 一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入
函数y x2 px q,得：
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解得，p 12, q 15.
待定系数法
所求的二次函数是y x2 12x 15
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自 变量x的 整式;
（2）a,b,c为常数，且 a≠0. （3)等式的右边最高次数为 2 ，可以
没有一次项和常数项，但不能没有二次项;
（4）x的取值范围是任意实数。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一 次项系数、常数项
（1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2
2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c
（1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时
是正比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时
是反比例函数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m = 3时是二次 函数
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表 面积 s 与半径 r 之间的关系式.
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
=3(x2-2x+1)+1
二次函数
基础回顾 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函 数？
变 量 之 间函 的数 关 系
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它 有 n 个顶点,从一个顶点出发,连接与这点 不相邻的各顶点,可以作 (n-3) 条对角线.
多边形的对角线总数:
d 1 nn 3
2
即
d
1 2
n2
3 2
n②
3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划 今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产 量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随 计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎 样表示？
y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是)
(2)y=3x2 （ 是 )
(3)y=3x3+2x2 (不是 ) (4)y=2x2-2x+1( 是 )
(5)y=x-2+x (不是 ) (6)y=x2-x(1+x) (不是 )
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,设正
方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具
体关系可以表示为 y=6x2 ①
问题2:
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
S=2πr2 +2πr2 即S=场
比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之
间的关系式.
m 1 nn 1 即 m 1 n2 1 n
2
22
3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的有 C 。
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
想一想
函数y ax2 bx c(其中a,b,c是常数)， 当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
例2、y=（m+3）xm2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？