信息安全数学基础参考试卷
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)装订线装订线三、解同余方程（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1.求解一次同余方程1714(mod21)x 。
2.解同余方程组2(mod3)3(mod5)2(mod7) xxx≡≡≡⎧⎪⎨⎪⎩四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）2.f是群G到G'的一个同态，{}=∈=，其f a a G f a e'ker|,()中e'是G'的单位元。
证明：ker f是G的正规子群。
3. 证明：如果p 和q 是不同的素数，则111(mod )q p p q pq --+=。
五、应用题（共11分）RSA 公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择 两个大的素数p 和q ，计算n =pq 。
选择两个正整数e 和d ，满足：ed =1(mod ()n )。
Bob 的公钥是（n ，e ），对外公布。
Bob 的私钥是d ，自己私藏。
如果攻击者分解n 得到p =47，q =23，并且已知e =257，试求出Bob 的私钥d 。
答案 一、填空题（每空2分，共24分） 1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为[,](,)ab a b a b =。
2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果|m a b -，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作a ≡(mod )b m 。
3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ϕ=()()m n ϕϕ。
4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。
则使得1(mod )e a m ≡成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数，记做()m ord a 。
如果a 对模m 的指数是()m ϕ，则a 叫做模m 的 原根 。
5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件11(mod )n b n -≡，则n 叫做对于基b 的拟素数。
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)
所以3模19的指数为18；
三、解同余方程（每题10分，共20分）
1.解：因为（17，21）=1 | 14故原同余式有解。
又17x≡1（mod21，所以特解x0'≡5（mod21）。
同余式17x≡14（mod21）的一个特解为x0≡14*x0'=14*5≡7（mod21）
6.设 是两个群，f是 到 的一个映射。如果对任意的 ，都有_______________，那么f叫做 到 的一个同态。
7.加群Z的每个子群H都是________群，并且有 或 ______________。
8.我们称交换环R为一个域，如果R对于加法构成一个______群， 对于乘法构成一个_______群。
即pq-1≡1(modq) qp-1≡1(modp)
又 qp-1≡0(modq) pq-1≡0(modp)
所以pq-1+qp-1≡1(modq) qp-1+pq-1≡1(modp)
又[p,q]=pq 所以pq-1+qp-1≡1(modpq)
3. 证明：对任意 ，有 ，从而，
。
因此， ， 是群 的子群。
=(13/67)(5/67)
=(-1)12*66/4(-1)4*66/4(2/13)(2/5)
=1*1*(-1)(13*13-1)/8(-1)(5*5-1)/8
=-1*(-1)=1
所以-2是67的平方剩余
所以x2≡-2(mod67)有2个解。
3.解：因为 (19)=18,所以只需对18的因数d=1,2,3,6,9,18计算ad(mod19)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案（A卷）
信息安全数学基础参考试卷
《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。
(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。
(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。
3．模10的一个简化剩余系是( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是( )。
(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。
5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。
最新信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案（A 卷）一、 填空题（本大题共8小题，每空2分，共24分）1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为 ________________。
2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果______________，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作_____________。
3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ϕ=________________。
4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。
则使得1(mod )ea m ≡成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数，记做__________。
如果a 对模m 的指数是()m ϕ，则a 叫做模m 的____________。
5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件________________，则n 叫做对于基b 的拟素数。
6. 设,G G '是两个群，f 是G 到G '的一个映射。
如果对任意的,a b G ∈，都有_______________，那么f 叫做G 到G '的一个同态。
7. 加群Z 的每个子群H 都是________群，并且有0H =<>或H =______________。
8. 我们称交换环R 为一个域，如果R 对于加法构成一个______群，*\{0}R R =对于乘法构成一个_______群。
二、计算题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分）1. 令1613,a = 3589b =。
用广义欧几里德算法求整数,s t ，使得(,)sa tb a b +=。
2. 求同余方程22(mod 67)x ≡-的解数。
3. 计算3模19的指数19ord (3)。
三、解同余方程（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1. 求解一次同余方程1714(mod 21)x ≡。
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案1.简答题 a) 什么是信息安全？信息安全是指保护信息的机密性、完整性和可用性，以防止未经授权的访问、使用、披露、干扰、破坏或篡改信息的行为。
b) 什么是加密？加密是指通过对信息进行转换，使其无法被未经授权的人理解或使用的过程。
加密算法通常使用密钥来对信息进行加密和解密。
c) 什么是对称加密算法？对称加密算法是一种使用相同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的对称加密算法有DES、AES等。
d) 什么是非对称加密算法？非对称加密算法是一种使用不同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。
e) 什么是哈希函数？哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的输出的函数。
哈希函数具有单向性，即很难从哈希值逆推出原始数据。
2.选择题 a) 下列哪种算法是对称加密算法？ A. RSA B. AES C. ECC D.SHA-256答案：B. AESb) 下列哪种算法是非对称加密算法？ A. DES B. AES C. RSA D. SHA-256答案：C. RSAc) 下列哪种函数是哈希函数？ A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256答案：D. SHA-2563.计算题 a) 使用AES算法对明文进行加密，密钥长度为128位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于AES算法使用的是128位的块加密，所以加密后的密文长度也为128位。
b) 使用RSA算法对明文进行加密，密钥长度为1024位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于RSA算法使用的是非对称加密，加密后的密文长度取决于密钥长度。
根据经验公式，RSA算法中加密后的密文长度为密钥长度的一半。
所以加密后的密文长度为1024/2=512位。
c) 使用SHA-256哈希函数对一个长度为128位的明文进行哈希计算，请计算哈希值的长度。
答案：SHA-256哈希函数的输出长度为256位。
2007级信息安全数学基础试卷-B-答案
2007级信息安全数学基础试卷-B-答案名1 / 72007《信息安全数学基础》 B 试卷第1页共7页诚信应考,考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试《信息安全数学基础》试卷B -答案1.考前请将密封线内填写清楚; 所有答案请直接答在试卷上;.考试形式：闭卷；本试卷共四大题，满分100分，考试时间120分钟。
题号 -一一二二三三四总分得分评卷人选择题：(每题2分，共20分) 1. (1) 。
2. (4)。
3. (3)。
4. (2)。
5.(2) 。
6. (3) 。
7. (2)。
8. (4)。
9.⑷。
10.(3)二.填空题：(每题2分，共20分)1.设m 是正整数，a 是满足a m 的整数，则一次同余式：ax b (mod m) 有解的充分必要条件是 (a , m)|b 。
当同余式ax b (mod m)有解时，其解数为 d = (a , m) 。
2 .设m 是正整数，则 m 个数0, 1, 2,…，m — 1中与m 互素的整数的个数叫做m的欧拉(Euler)函数，记做 (m)。
3.整数2t + 1和2t — 1的最大公因数(2t + 1，2t — 1)= 1 。
6. __________________________ 设m 是一个正整数，a 是满足 (a , m) =1 ________________________________ 的整数，则存在整数 a ， K a v m ，使得 aa = 1 (mod m)。
7. Wils on 定理：设 p 是一个素数，则——(p — 1)!三一1 (mod p)——。
8. (中国剩余定理)设m 1,…,m k 是k 个两两互素的正整数，则对任意的整数b 1,…,b k 同余式组广x b 1 (mod m”....... ?… ?…注意事项: 2. 3 4. )封题…答…不…内… 线… 封… 密…4 .设a, b 是正整数，且有素因数分解 aP 1S22P s s , i 0,i1,2, ,s ，min( 1, 1)min( 2,2)1min( s , s )b P 「P 22 P s s , i 0,i 1,2, ,s ，则(a,b)P 1P 2L P s-------------------------- ?[a,b] pmax(1,1)p 2max( 2, 2)L pmax( s, s)s5 .如果a 对模m 的指数是 ________ (m) ，则a 叫做模m 的原根。
信息安全数学基础习题集一
信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12,c=27,求a、b、c的最小公倍数a,b,c= .2、求欧拉函数φ(3000)= .3、设m=9,则模m的最小非负简化剩余系={ }.4、设m=11,则模m的所有平方剩余= .5、设m=22,则模m的所有原根个数= .6. 设m,n是互素的两个正整数,则φmn=________________;7. 设m是正整数,a是满足 m?a的整数,则一次同余式：ax≡b mod m有解的充分必要条件是_________________ ;8. 设m 是一个正整数,a是满足____________的整数,则存在整数a’,1≤a’＜m ,使得aa’≡1 mod m;9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 则a叫做模m的平方剩余.10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 则使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________.二、判断题在题目后面的括号中,对的画“√”,错的画“×”1、若k是任意正整数, 则(ak,bk)=(a,b).2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数,则a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同3、设m是正整数, 若m│ab, 则m│a或m│b.4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 则ad≡b d (mod md).5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系.6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等.7、设p=17为奇素数, 模p的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.8、一次同余方程9x≡1(mod 24)有解.9、设p是素数, g是模p的原根, 若g x≡1(mod p), 则x是p−1的整数倍.10、设m>1,(a,m)=1, 则1=a0,a,a2, …, a ord m(a)−1构成模m的简化剩余系.11. b≠0, 则(0,b)＝|b|.12. 设a,b是两个互素正整数, 那么a│m,b│m, 则ab│m.13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0,若ad≡bdmodm;则a≡bmod m;14. 设m为正整数, a是满足(a,m)=1的整数,b为整数. 若r1,r2,…,rφ(m)为模m的一个简化剩余系, 则ar1+b,ar2+b,…,arφ(m)+b也为模m的一个简化剩余系.15. p为素数,n为整数且与p互素,则n2为模p的平方剩余.16. 设p为正整数, 设a∈Z,(a,p)=1, 则a是模p的平方剩余的充要条件是: a p+12≡1(mod p).17. 3是模7的原根;18. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1,d为正整数, 若a d≡1(mod m),则ord m(a)|d.19. 整数集关于整数的乘法构成群;20. 适当定义加法和乘法,集合{0,1}可以构成一个有限域;三、单项选择题把答案写在题目后面的括号中1. 设a与b是两个整数, 则存在整数s,t, 使得(a,b)=sa+tb,下面关于a与b 线性组合描述错误的是：A. 整数s,t的取值仅有一组唯一的值；B. 整数a,b的线性和所能表示的最小的正整数是a,b最大公因数,即sa+ tb=(a,b)；C. (a,b)的倍数也可以用a,b的线性和表示；D. 整数s,t,可以使用辗转相除法欧几里得算法反推得到;2、下面关于整除的描述错误的是：A. ±1是任何整数的因子；B.设a,b∈Z整数集合,c≠0c|b, c|a, 则c|a±b；C. 0是任何整数的倍数；D. 设a,b∈Z, 若 b|a, b≠0,则b|−a, −b|−a。
信息安全数学基础习题集一
信息平安数学根底----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数φ(3000)= .3、设m=9，那么模m的最小非负简化剩余系={ }.4、设m=11，那么模m的所有平方剩余= .5、设m=22，那么模m的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，那么φ(mn)=________________。
7. 设m是正整数，a是满足 m∤a的整数，那么一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。
8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，那么存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。
9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 那么a 叫做模m的平方剩余.10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 那么使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________.二、判断题〔在题目后面的括号中，对的画“√〞，错的画“×〞〕1、假设k是任意正整数, 那么(ak,bk)=(a,b). 〔〕2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，那么a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同〔〕3、设m是正整数, 假设m│ab, 那么m│a或m│b. 〔〕4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 那么ad≡b d (mod md). 〔〕5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. 〔〕6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. 〔〕7、设p=17为奇素数, 模p的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.〔〕8、一次同余方程9x≡1(mod 24)有解.〔〕9、设p是素数, g是模p的原根, 假设g x≡1(mod p), 那么x是p−1的整数倍.〔〕10、设m>1,(a,m)=1, 那么1=a0,a,a2, …, a ord m(a)−1构成模m的简化剩余系. 〔〕11. b≠0, 那么(0,b)＝|b|. 〔〕12. 设a,b是两个互素正整数, 那么a│m,b│m, 那么ab│m. 〔〕13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，假设ad≡bd(modm)。
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《信息安全数学基础》参考试卷
一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）
1．576的欧拉函数值 (576) ＝ ( )。
(1) 96， (2) 192， (3) 64， (4) 288。
2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=( )。
(1) 1或
2，
(2) kn ，
(3) n 或
kn ， (4) k 或2 k 。
3．模10的一个简化剩余系是 ( )。
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10， (2) 11, 17, 19 , 27
(3) 11, 13, 17, 19， (4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
4．29模23的逆元是 ( )。
(1) 2， (2) 4，
(3) 6， (4) 11。
5．设 m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。
(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2 (2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2
(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2 (4) m1和m2是素数，则m2x1＋
m1x2
6．下面的集合和运算构成群的是 ( ) 。
(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）
(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）
(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）
(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）
7．下列各组数对任意整数n均互素的是 ( ) 。
(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n， (4) 2n+1与4n+1。
8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是 ( )。
(1) 0， (2) 6，
(3) 9， (4) 18。
9．Fermat定理：设p是一个素数，则对任意整数a有 ( )。
(1) a (p)＝a (mod p)， (2) a (p)＝1 (mod a)，
(3) a p ＝a (mod p)， (4) a p＝1 (mod p)
10．集合F上定义了“＋”和“· ”两种运算。
如果( )，则<F, “＋”,“ · ”>构成一个域。
(1) F对于运算“＋”和“ · ”构成环，运算“＋”的单位元是e，且F\{e}对于“ · ”构成交换群
(2) F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群
(3) F对于运算“＋”和运算“ · ”都构成群
(4) F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群；运算“＋”和“ · ”之间满足分配律
二．填空题(按题目要求，将正确描述填在上)：（每题2分，共20分）
1．设a, b是正整数，且有素因数分解
，
，则(a, b)＝，
[a, b]＝。
2．模5的3的剩余类C3(mod 5)写成模15的剩余类的并为：
C3(mod 5)
=。
3．整数a，b满足(a，b)=1，那么对任意正整数n，都有(an， bn)
=__________。
4．120, 150, 210, 35的最小公倍数[120, 150, 210, 35]
= 。
5．模8的绝对值最小完全剩余系
是。
6．设n是一个正整数，整数e满足1＜e＜ (n)且，则存在整数d，1≤d＜ (n)，使得ed≡1 (mod (n))。
7．Wilson定理：设p是一个素数，
则。
8．P(A)是集合A的幂集，“”为集合的对称差运算。
P(A)对于运算“”的单位元是，A的逆元是。
9．设m，n是互素的两个正整数，则 ( m，n)
= 。
10．设集合A有n个元素，则集合A×A有__________个元素，集合A上的不同运算有___________种。
三．证明题（写出详细证明过程，共4小题，30分）
1．(1) 证明：形如6k＋5的正整数必含6k＋5形式的素因数。
(2) 证明：形如6k+5的素数有无穷多
个。
（10分）
2．设a, b是任意两个不全为零的整数，证明
(1) 若m是任一正整数，则(am, bm) = (a, b)m。
(2) 若非零整数d满足da，db，则。
（8分）
3．设m是正整数，a≡b (mod m)，如果整数d满足d | (a, b , m)，则有。
（6分）
4．证明：如果m和n是互素的大于1的整数，则m(n)＋n(m) ≡1 (mod mn)。
（6分）
四．计算题（写出详细计算过程，共2小题，30分）
1．设a＝8142，b＝11766，运用广义欧几里得除法
(1) 计算(a, b)； (2) 求整数s，t使得sa＋tb＝(a,
b)。
（15分）
2．计算31000000 (mod
1771)。
（15分）。