奥数重叠问题
三年级奥数-重叠问题
重叠问题1、学校组织看文艺表演，冬冬的座位从左数是第7个，从右数是第10个，这一行座位有多少个？2、为庆祝六一，小朋友们排成方形的鲜花队，无论从前、从后数，还是从左、从右数，李丽都在第5个，鲜花队一共有多少个小朋友？3、同学们排成方形的队伍跳集体舞，无论从前从后数，还是从左从右数，赵英都是第4个。
跳集体舞的一共有多少个同学？4、三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。
已知参加音乐组的有32人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人。
三（5）班共有学生多少人5、三（1）班订《数学报》的有32人，订《语文报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三（1）班有学生多少人？6、、三（1）班有学生55人，每人至少参加跳绳和踢毽子比赛的一种，已知参加跳绳的有36人，参加踢毽子的有38人。
两项都参加的有几人？7、三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名同学，两种都不会的有10名同学。
两种都会下的有多少名同学？8、学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都不会的有3名。
两项都会的有多少名？9、三（6）班有学生55人，参加学校绘画比赛的有20人，既参加绘画比赛又参加书法比赛的有12人，两项比赛没参加的有14人。
参加书法比赛的有多少人？10、乐器兴趣小组有４２人其中会弹钢琴的有２７人，既会弹钢琴又会弹古筝的有１６人，两项都不会的只有１人。
会弹古筝的有多少人？11、同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个；从前数是第5个，从后数是第6个。
做操的同学一共有多少个？12、三（4）班有学生56人，做对第一道思考题的有29人，做对第二道思考题的有27人，两道题都做错的有7人。
两道思考题都做对的有几人？13、学校排球、篮球共62个，排球比篮球多12个，排球、篮球各有多少个？14、某校五、六年级共有324人，六年级的人数比五年级多46人，这个学校五、六年级各有多少人？15、六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小学奥数 容斥原理之重叠问题(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-2.容斥原理之重叠问题（二）1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一、三量重叠问题【例 1】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。
(完整版)二年级奥数重叠问题.doc
知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第 6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。
[例1 ]洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用 3 个夹子。
三块手帕有两边重叠，用 4 个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此 8 块手帕就要用 9 个夹子。
[例2 ]把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有 5 张画要多少个图钉呢？分析：每排两张画要 6 个图钉，每排三张画要 8 个图钉，每排四张画要 10 个图钉。
可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加 2 颗，那么 5 张画要 12 个图钉。
[例3 ]有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25 厘米，中间钉在一起的长 5 厘米，现在长木板有多长？分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。
现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。
算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长 45 厘米。
[ 例 4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有 13 人，做对第二题的有 22 人，两道题都做对的有 8 人，这个班一共有多少人？分析：做对第一题的 13 个人里，有 8 个人也做对第二题，那么做对第二题的 22 个人里这 8 个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8 个人。
算式： 13+22-8=27（人）所以这个班一共有 27 人。
[ 例 5 ] 四根长都是 8 厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去 1 厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。
一个结用去 1+1=2 厘米，那么三个结用去 2+2+2=6厘米，绳子总长 8+8+8+8=32厘米，减去打结的 6 厘米， 32-6=26，现在这根长绳是 26 厘米。
小学奥数 容斥原理之重叠问题(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
小学三年级奥数第19讲 重叠问题(含答案分析)
3、三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
4、三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
练习3：
1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
【思路导航】根据题意，画出下图：
图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。
练习4：
1.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？
2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？
【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
练习3：
1、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
(小学奥数)几何中的重叠问题
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)． 二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-3.幾何中的重疊問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 把長38釐米和53釐米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長4釐米，焊接後這根鐵條有多長？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接後這根鐵條長3853487+-=(釐米)．【答案】87釐米【巩固】 把長23釐米和37釐米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長3釐米，焊接後這根鐵條有多長？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接後這根鐵條長：2337357+-=(釐米)．【答案】57釐米【例 2】 兩張長4釐米，寬2釐米的長方形紙擺放成如圖所示形狀．把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方釐米？【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答例題精講圖中小圓表示A 的元素的個數，中圓表示B 的元素的個數，大圓表示C 的元素的個數．1．先包含：A B C ++ 重疊部分A B 、B C 、C A 重疊了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重疊部分A B C 重疊了3次，但是在進行A B C ++- A B B C A C --計算時都被減掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．图32厘米4厘米【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為2釐米的正方形，如果利用兩個42⨯的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，被覆蓋面積=長方形面積之和-重疊部分．於是，被覆蓋面積4222212=⨯⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】12釐米【巩固】 如圖3，一張長8釐米，寬6釐米，另一個正方形邊長為6釐米，它們中間重疊的部分是一個邊長為4釐米的正方形，求這個組合圖形的面積．【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答图3【解析】 兩個圖形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為4釐米的正方形，如果利用長方形和正方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在長方形和正方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積=長方形面積+正方形面積-重疊部分．於是，組合圖形的面積：86664468⨯+⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】68平方釐米【巩固】 一個長方形長12釐米，寬8釐米，另一個長方形長10釐米，寬6釐米，它們中間重疊的部分是一個邊長4釐米的正方形，求這個組合圖形的面積．【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為4釐米的正方形，如果利用兩個長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積=長方形面積之和-重疊部分．於是，組合圖形的面積12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方釐米)．【答案】140平方釐米【例 3】三個面積均為50平方釐米的圓紙片放在桌面上(如圖)，三個紙片共同重疊的面積是10平方釐米．三個紙片蓋住桌面的總面積是100釐米．問：圖中陰影部分面積之和是多少？【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答C BA10【解析】將圖中的三個圓標上A、B、C．根據包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積=(A圓面積B+圓面積C+圓面積-）（A與B重合部分面積A+與C重合部分面積B+與C重合部分面積+）三個紙片共同重疊的面積，得：100505050A=++-（）（與B重合部分面積A+與C重合部分面積B+與C重合部分面積10+），得到A、B、C三個圓兩兩重合面積之和為：16010060-=平方釐米，而這個面積對應於圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：60103=⨯+陰影部分面積，則陰影部分面積為：603030-=(平方釐米)．【答案】30平方釐米【巩固】如圖，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個圓覆蓋的總面積為73．求陰影部分的面積．【考點】幾何中的重疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】設甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C．A B C===30，A B=6，B C=8，A C=5，A B C=73，而A B C=A B C+--A B B C A C A B C--+.有73=30×3-6-8-5+A B C，即A B C=2，即甲、乙、丙三者的公共面積(⑧部分面積)為2．那麼只是甲與乙(④)，乙與丙(⑥)，甲與丙(⑤)的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影部分(①、②、③部分之和)的面積為73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等於60平方釐米．陰影部分的面積總和是40平方釐米，3張板蓋住的總面積是100平方釐米，3張紙板重疊部分的面積是多少平方釐米？【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】了三次．所以三張紙重疊部分的面積60310040220（）(平方釐米)．=⨯--÷=【答案】20平方釐米【巩固】如圖所示，A、B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為38．若A與B、B與C的公共部分的面積分別為8、7，A、B、C這三張紙片的公共部分為3．求A與C公共部分的面積是多少？【考點】幾何中的重疊問題【難度】3星【題型】解答【解析】設A與C公共部分的面積為x，由包含與排除原理可得：⑴先“包含”：把圖形A、B、C的面積相加：12281656++=，那麼每兩個圖形的公共部分的面積都重複計算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補回．⑶再“包含”：56873x---+，這就是三張紙片覆蓋的面積．根據上面的分析得：5687338x=．x---+=，解得：6【答案】6。
小学三年级奥数第19讲 重叠问题(含答案分析)
第19讲重叠问题一、知识要点三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
二、精讲精练【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？练习1：1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？练习2：1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。
跳舞的共有多少人？2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。
鲜花队共多少人？【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？练习3：1、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
小学奥数 几何中的重叠问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；A B A B +-1A B 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，C1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例 2】 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图32厘米4厘米【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答图3 【解析】 两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米例题精讲【巩固】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答CBA10 【解析】 将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73， 而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+A B C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】阴部分的面积60310040220（）(平方厘米)．=⨯--÷=【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873---+，这就是三张纸片覆盖的面积．x根据上面的分析得：5687338x=．---+=，解得：6x【答案】6。
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跳远 跳高
高乐 高乐
张山 张山
刘明 周红
秦天 赵虎
李飞
1、参加跳远的有（ 2、参加跳高的有（
4 ）人； 5）人；
2 ）人； 4、我们班这两个项目一共有（ 7 ）人参加。
3、两个项目都参加的有（
班级小调查
3年级喜欢唱歌的19人，喜欢跳舞 的29人，喜欢唱歌和跳舞的一共有多少
为什么不减呢？
人？
19+29=48（人）
3、两个项目都参加的有（ 4、我们班这两个项目一共有（
实验小学田径运动会即将举行，三（3）班报名的情况如下：
跳远 跳高
高乐 高乐
张山 张山
刘明 周红
秦天 赵虎
李飞
跳远
刘明 秦天 高乐 张山
跳高
周红 赵虎 李飞
只跳远不跳高
只跳高不跳远
既跳远又跳高
实验小学田径运动会即将举行，三（3）班报名的情况如下：
13+6－14=5（厘米）
下面两只盒中一共有几种奖品？ 奖品盒1 奖品盒2
有4种奖品
有3种奖品
奖品盒1
奖品盒2
有0件重复：4＋3=7（人） 有1件重复：4＋3－1=6（人） 有2件重复：4＋3－2=5（人） 有3件重复：4＋3－3=4（人）
2、湘南学院附小的学生参加书画组和器乐组情况如下图：
书画组100人 器乐组120人
三 年 级 奥 数
重
叠 问 题
主讲：赵老师
两位妈妈和两位女儿一同 去看电影，可是她们只买了3 张票，便顺利地进了电影院， 这是为什么?
三(1)班参加语文、数学课外Байду номын сангаас组学生名单
语
文 数 学
杨
明 杨 明
李
芳 李 芳
8 人 红 东
刘 王 志 明
刘
陈
9 人 红 丽
王 爱 华 于
张
伟 周 晓
丁
旭 陶 伟
6人 10
6+10+5=21（人）
5人
答：四（2）班一共有21人。
某班学生56人，体育课上老师统计喜欢 跳绳和跳远这两项活动的人数，喜欢跳绳的 有41人，喜欢跳远的有37人，没有人这两项 活动都不喜欢。这个班这两项活动都喜欢的 有几人？
41+37－56=22（人）
答：这两项活动都喜欢的有22人。
三年级同学参加运动会，每人限报 两项。其中有75人参加径赛，有60人参 加田赛，即参加径赛又参加田赛的有30 人，这两项都没有参加的有33人，三年 级共有学生多少人？ 75+60－30+33=138（人）
总结
只要弄明白这幅图各部分表示 的意思，就可以灵活列式计算解决问 题；无论怎么列式，重复的人数只能 算一次
圆珠笔的笔杆长13cm，
圆珠笔的笔杆长13cm， 笔套长6cm
圆珠笔的笔杆长13cm， 笔套长6cm
估一估，套上笔套后的圆珠笔长多少 套上笔套后的圆珠笔长是 14cm。 cm？
重叠部分长多少cm？
上节课知识回顾：找规律巧算
64－46 21×9 83－38 321×9 91－19 4321×9 92－29
99×2 99×3 99×4 99规律： ×5 99乘几，几乘9的乘积拆开，9钻中间
11×21 81×31
61×71 51×91
91×21 31×71
规律：几十一乘几十一，首数相乘再相加，1在后面紧相 随。
赵
军 卢 强 朱 晓 东
这两个小组没有 17人呀？
语 杨 李 刘 陈 王 张 丁 赵 爱 文 明 芳 红 东 华 伟 旭 军
＝14（人） 17 － 3 ＋
数学小组
王于周 陶 卢 朱 志 小 明丽晓 伟 强 东
数 杨 李 刘 王 于 周 陶 卢 朱 志 晓 学 明 芳 红 明 丽 晓 伟 强 东
语文小组
答：三年级共有学生138人。
三（3）班有48名学生，其中只参加数学小组 的有22人，即参加数学小组又参加写作小组的 有9人，两个小组都没有参加的有6人。只参加 写作小组的有几人 ？ 48－22－6－9=11（人） 答：只参加写作小组的有11人。
两块一样长的木板钉在一起共长200厘米，中 间重叠部分是20厘米。问：这两块木板各长多 少厘米？
如果有1人既喜欢唱歌又喜欢跳舞， 喜欢唱歌和跳舞的一共有多少人？ 19＋29-1=47（人）
如果有2人既喜欢唱歌又喜欢跳舞， 喜欢唱歌和跳舞的一共有多少人？
19＋29-2=46（人）
如果有5人既喜欢唱歌又喜欢跳舞，喜欢 唱歌和跳舞的一共有多少人？
19＋29-5=43（人）
最多有几个人 既可以喜欢唱歌又可以喜欢跳舞？
20人
参加书画组和器乐组一共有多少人？ 100+120-20=200（人） 答：参加书画组和器乐组一共有200人。
• 李老板和王老板在某一天卖出的商品：
今天我卖出的商品有：糖果、香蕉、 苹果、西瓜、菠萝、萝卜、龙眼
王 老 板 李 老 板
今天，我卖出的商品有：龙眼、梨、 苹果、西瓜、香蕉、草莓、桃、葡萄
陈张王丁 赵 爱 东伟华旭 军
8
9
杨 李 刘
5+3+6＝14（人）
明 芳 红
两天一共进多少种货？
5+5-3= 7（种）
答：两天一共进7种货。
实验小学田径运动会即将举行，三（3）班报名的情况如下：
跳远 跳高
高乐 高乐
张山 张山
刘明 周红
秦天 赵虎
李飞
1、参加跳远的有（ 2、参加跳高的有（
）人； ）人； ）人； ）人参加。
1）请将他们卖出的商品填在下面的集合圈中
李老板卖的
糖果 菠萝 萝卜 香蕉 苹果 西瓜 龙眼
王老板卖的
梨 草莓 桃 葡萄
7+8–4=11（种） 2）两人共卖出几种商品？ 3+4+4=11（种）
动动脑
再解答。
四（2）班 只 喜欢书法的有6人，只喜欢绘画 的有5人, 既喜欢书法 又喜欢绘画的有10人，四 （2）班一共有多少人？
（200+20）÷2=110（厘米）
答：这两块木板各长110厘米。
把两根不一样长的钢筋接成一根比较长的钢筋， 接成的钢筋共长112厘米，中间重叠部分长14 厘米，其中一根钢筋长52厘米。另一根钢筋有 多长？
112+14－52=74（厘米）
答：另一根钢筋长74厘米。