二次函数的最值
二次函数的最值与极值总结
二次函数的最值与极值总结二次函数是高中数学中常见的一类函数，具有形如y=ax^2+bx+c的一般式。
在研究二次函数的性质时，最值与极值是非常重要的概念。
本文将对二次函数的最值与极值进行总结和讨论。
一、最值的概念在数学中，最值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，最值的存在与二次项的系数a的正负有关。
1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的最小值存在。
这个最小值即为函数的最小值。
2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的最大值存在。
这个最大值即为函数的最大值。
二、最值的求解方法1. 最值的求解方法一：利用函数的对称性二次函数关于x轴对称，对称轴方程为x = -b/(2a)。
所以，函数的最值点的横坐标一定在对称轴上。
当对称轴上有x值时，带入函数表达式即可求得对应的y值，确定最值点。
2. 最值的求解方法二：利用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式为x = -b/(2a)，y = f(x)。
通过求得的顶点坐标，就可以确定最值点的坐标。
根据二次函数的性质，当a>0时，对应的顶点为最小值点；当a<0时，对应的顶点为最大值点。
三、极值的概念在数学中，极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，极值的存在与一阶导数的符号有关。
1. 当一阶导数大于0时，函数递增，没有极小值。
2. 当一阶导数小于0时，函数递减，没有极大值。
3. 当一阶导数等于0时，函数可能存在极值或拐点。
此时，需要通过二阶导数或其他方法来进一步判断。
四、极值的求解方法1. 极值的求解方法一：利用导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)。
将一阶导数f'(x)等于0解方程，求得x的值。
然后，将求得的x值代入原函数f(x)中，求得对应的y值，确定极值点。
2. 极值的求解方法二：利用二阶导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
二次函数最大值最小值公式
二次函数最大值最小值公式
二次函数应用范围很广泛，其函数曲线特性让它成为研究高等教育及资格考试
的重要分析工具。
学生可以通过分析二次函数的最大值最小值公式，实现梯度优化，进而改善成绩。
二次函数最大值最小值公式指的是求解一般格式为y=ax²+bx+c的函数中最小
和最大值的方法。
在该公式中，a,b,c都是整数，表示常数项；x是变量，表示函
数参数；y是函数值。
求解二次函数的最大值最小值的步骤如下:
1.先在表达式中观察：“若a>0，则该函数图像形式为顶点朝上的双曲线；若
a<0，则该函数图像形式为顶点朝下的双曲线”；
2.将表达式化简为二元一次方程，对其解析解，得到函数的最值；
3.将二元一次方程得出的极值代入原式，求得函数最值y。
解析上述步骤可以有效提升学生的学习效果，使其取得更优秀的成绩。
有针对
性的解析题，其优化的空间就会宽敞的多，且学习的效果也会有很大的提高，可以有效的掌握高校的学习离不开详细的解析。
二次函数的最大最小值可以帮助学生对概念有更深入的理解，让学生更加全面
的融入现代的高校学习环境，从而发挥出自我价值，从而实现学生的多元化发展。
尤其是在把握大考前的梯度优化中，利用二次函数的最大最小值，可以让学生在考试前进行有针对性地备考，使学习成绩得以提升，及时进入到理想的高校学习环境中。
二次函数求最值的三种方法
二次函数求最值的三种方法一、引言在学习高中数学时，我们会学到二次函数，并学习如何求出这个函数的最值。
这是一个非常重要的问题，因为在实际生活中，很多问题都可以用二次函数来描述，例如：投射物的运动轨迹、拱桥的设计等。
为了更好地理解和掌握这一知识点，本文将分析三种常见的方法来解决二次函数求最值的问题。
这些方法包括：1.利用二次函数的顶点公式求最值2.利用二次函数的导数公式求最值3.利用求根公式解二次方程求最值在下文中，我们将详细展开上述三种方法的整体流程并进行详细描述。
二、利用二次函数的顶点公式求最值二次函数的标准形式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
我们可以通过求出顶点来确定二次函数的最值。
我们知道，对于标准二次函数，其顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
使用这一公式，我们可以简单地找到二次函数的最值。
接下来，我们将细致地介绍如何使用顶点公式求二次函数的最值。
1. 将二次函数转换为标准形式。
我们有一个二次函数y=2x²+4x-5，我们可以将其转换为y=2(x²+2x)-5。
2. 现在，我们可以通过分离平方项来找到二次项x²的系数a和一次项x的系数b。
在本例中，二次项系数a为2，一次项系数b为4。
3. 接下来，我们可以使用顶点公式来计算出顶点的坐标。
根据公式，顶点的横坐标为-b/2a，若b为正数，顶点为函数的最小值，反之为最大值。
在本例中，由于一次项系数为正数，因此我们将使用公式-b/2a来计算横坐标。
(a) 横坐标=-b/2a=(-4)/(2*2)=-1(b) 将横坐标代入原函数中，可得纵坐标f(-1)=2*(-1)²+4*(-1)-5=-7(c) 顶点坐标为(-1,-7)。
4. 因其二次项系数为正数，所以这是一个开口向上的抛物线，并且其最小值为-7，在顶点的位置。
答案为f(x)=-7。
三、利用二次函数的导数公式求最值另一种方法是使用二次函数的导数公式来确定最值。
二次函数的最高点公式
二次函数的最高点公式
在求解二次函数最高点公式的过程中，首先我们要明确其一般形式
f(x)=ax^2+bx+c。
二次函数的最高点或最低点是在其对称轴上，对称轴的公式为x=-b/2a。
对于二次函数的最值公式，我们需要清楚的认识到，如果a>0，开口向上，在
此情况下二次函数的最小值为D/4a，如果a<0，开口向下，在此情况下二次函数的最大值为D/4a。
此处的D指的是判别式，是由二次函数的系数计算得到的，计算
公式为D=b^2-4ac。
在以上理解的基础上，我们就可以总结出二次函数最高点公式如下：
如果a>0，函数的最低点即可视作最高点（此处用最高或最低取决于具体角度）的函数值即为最小值，所以，二次函数的最高点（最小值）可用公式fmin=-D/4a表示。
对应的横坐标则可通过对称轴公式x=-b/2a得到。
如果a<0，函数的最高点的函数值即为最大值，所以，二次函数的最高点（最大值）可用公式fmax=-D/4a表示。
对应的横坐标同样可通过对称轴公式x=-b/2a得到。
通过上述的说明，我们能够写出完整的二次函数最高点公式为：
如果a>0，最高点（最小值）对应坐标为((-b/2a), -D/4a)
如果a<0，最高点（最大值）对应坐标为((-b/2a), -D/4a)。
二次函数的最值问题课件
顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶 点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点， 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景 进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定 了抛物线的上下位置。
二次函数最值
二次函数最值 内容讲解：二次函数的最值问题，包括三方面的内容：自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=a x 2+bx+c=a （x+2b a ）2+244ac b a -．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a时，y 随x 增大而减小；当x>-2b a 时，y 随x•增大而增大；当x=-2b a时，y 取最小值244ac b a -．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x=-2b a时，y 取最大值244ac b a -． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析例1（2003年武汉选拔赛试题）若x-1=1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（）． （A ）3（B ）5914（C ）92（D ）6 分析：设x-1=1223y z +-==t ，则x 2+y 2+z 2可用只含t 的代数式表示，通过配方求最小值． 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t 2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914． 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k 法是解决等比问题最常用的方法．例2（1995年全国初中数学联赛试题）设x 为正实数，则函数y=x 2-x+1x的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值。
解：y=x 2-x+1x =（x-1）2+（x+1x ）-1=（x-1）2+）2+1要求y的最小值，最好有（x-1）2=0）2=0，这时得到x=1．于是，当x=1时，y=x 2-x+1x 取最小值1． 评注：函数y=x 2-x+1x 含有1x，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、•最有效的方法仍然是配方法． 例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x 2+4│x │-1的最小值是________． 分析：对x 分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值问题．解：y=2（│x│+1）2-3=222(1)3,0,2(1)3,0.x xx x⎧+-≥⎪⎨--≤⎪⎩其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．答案：-1．评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2│的最值．分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：如图，先作抛物线y=x2，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-2x-1│的图象，对称轴是直线，方程x2x-1=02．由此可知，0与3•位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：f=|，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f），∴最小值为1．评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．例5设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤23，x1+x2=2m，x1x2=22323m m+-，x12+x22=2（m-34）2+78=2（34-m）2+78，•∵m≤23，∴34-m≥34-23>0，从而当m=23时，x+x取得最小值，且最小值为2×（34-23）2+78=89．评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．例6求函数y=（4-x）分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9），即3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，即u2≥27，故u≥y=4-x+2（当评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．例7（2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2<x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解．解：函数y=x2-x-2的图象如图．（1）当-2<a<12时，y min=y│x=a=a2-a-2；当a≥12时，y min=12|xy==-94．（2）当-2<a且a+2<12，即-2<a<-32时，y min=y│x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；当a<12≤a+2，即-32≤a<12时，y min=12|xy==-94．评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，•而数形结合的方法可以直观地帮助求解．例8（2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x2-2（2k-1）x+3k2-2k+6的最小值为m，则当m 达到最大时x=_______．分析：可通过配方法将原函数配成a（x+n）2+m的形式，再根据m的形式确定m的最大值．解：y=（x-2k+1）2-k2+2k+5，当x=2k-1时，y最小值是m=-k2+2k+5=-（k-1）2+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1．评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．例9（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．分析：由条件可构造以x、y为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围．解：∵x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z2-5z+3．∴x、y是关于t的一元二次方程t2-（5-z）t+z2-5z+3=0的两实根．∵△=（5-z）2-4（z2-5z+3）≥0，即3z2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0．∴z≤133，当x=y=13时，z=133．故z的最大值为13 3．评注：•利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法．例10（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=a x2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x•轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________．分析：应用二次函数y=a x2+bx+c过已知两点可确定a、b、c之间关系，并利用根的判别式求出b+c最值．解：由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），所以4,1, 421,32.a b c b aa b c c a-+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，所以△=b2-4ac>0，（-a-1）2-4a（3-2a）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a是正整数，故a>1，所以a≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c•的最大值为-4．评注：借助二次函数图象与x轴的交点是所对应二次方程的根，•通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法．例11（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b ≤0，c>0，•24b ac -，求b-4ac 的最小值．分析：由b 2-4ac 容易想到一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式，且b 2-4ac>0，故可构造抛物线y=ax 2+bx+c 来解．解：令y=ax 2+bx+c ， 由a<0，b ≤0，c>0，判别式△=b 2-4ac>0，•所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0），因为x 1x 2=c a<0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x=-2b a≤0，于是│x 1│=|242b b ac a -+-|=242b b ac a -=c ，所以244ac b a -≥c=242b b ac a --≥-242b ac a-，故b 2-4ac ≤4，当a=-1，b=0，c=1时，等号成立．所以b 2-4ac 的最小值为4。
二次函数求最大值和最小值的公式
二次函数求最大值和最小值的公式一次函数一般可以表示为y=ax+b，在图像上可以表示为一条直线，而二次函数则是数学中的一个更抽象的概念，它更常见的模式是y=ax^2+bx+c，它表示的是一条弧线，而这个弧线的最大值和最小值，就称作“二次函数求最大值和最小值的公式”，今天我们就来讲讲这个求最大值和最小值的公式。
首先，我们来看看如何求解二次函数的最大值和最小值的公式。
对于给定的二次函数 y=ax^2+bx+c，求其最大值和最小值的公式是f(x)=ax^2+bx+c，其中 a，b，c常数。
根据高等数学规律，二次函数的最大值或最小值的取值是在其函数的一阶导数为零的位置上，也就是求解一元二次方程 ax^2+bx+c=0，这就是求解二次函数最大值和最小值的公式。
其次，我们来讲讲求解二次函数最大值和最小值的具体步骤，它可以总结为三个步骤：（1）计算函数的一阶导数：由二次函数得到它的一阶导数f(x)=2ax+b，并将它代入原函数，求出原函数的最大值或最小值。
（2）求出一元二次方程的解：根据一元二次方程的求解公式，将 f(x)=2ax+b入一元二次方程 ax^2+bx+c=0，计算出一元二次方程的解。
（3）用解代入原函数：将解代入原函数，即 f(x)=ax^2+bx+c，计算出的就是原函数的最大值或最小值。
总结一下，求解二次函数求最大值和最小值的公式，需要计算函数的一阶导数，将求得的一元二次方程解代入原函数，即可得出原函数的最大值或最小值。
在学习求解二次函数求最大值和最小值的公式时，需要注意的是，在计算最大值和最小值的时候，要根据题目要求，判断函数是求最大值还是求最小值，这样才能得出准确的答案。
总之，二次函数求最大值和最小值的公式是一个比较重要的数学概念，理解和掌握了它，就可以帮助我们更加准确地解决数学中的问题了。
二次函数最值公式
二次函数最值公式二次函数最大值和最小值的公式可以用以下两种方法进行推导：1. 完成平方形式二次函数可以写成以下形式：f(x) = ax^2 + bx + c我们要求它的最大值（或最小值），可以将它化为完全平方形式：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，h和k是待求的顶点坐标，具体求解方法如下：首先，将x的系数a提取出来：f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c然后，将括号内的两项平方相加减去平方项的一半，再加上这个差的平方，就得到完全平方：f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + cf(x) = a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2 + cf(x) = a(x + b/2a)^2 + (4ac - b^2)/4a其中，顶点坐标为（-b/2a, (4ac - b^2)/4a），最大值为k = (4ac -b^2)/4a （当a > 0时），最小值为k = (4ac - b^2)/4a （当a < 0时）。
2. 利用导数另一种方法是利用导数求解。
因为最大值和最小值都在函数的极值点处取得，所以我们可以通过求函数的导数来找到它的极值点。
首先，求出f'(x)：f'(x) = 2ax + b然后，令f'(x) = 0，解出x的值：2ax + b = 0x = -b/2a这个x就是函数的极值点，同时也是顶点的横坐标。
将x代入原函数，就得到顶点的纵坐标：k = f(-b/2a) = a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + ck = (4ac - b^2)/4a按照前面的规律，当a > 0时，最大值为k，当a < 0时，最小值为k。
总结以上就是二次函数最大值和最小值的两种求解方法。
其中，通过平方完成形式的方法比较简单，但有时比较费时间。
而利用导数的方法更直观，但需要学习导数知识。
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二次函数的最值(一)
【知识要点】
二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)在 时，有最小值 .
二次函数y=ax 2+bx+c (a<0)在 时，有最大值 .
二次函数在给定区间上的最值问题是高中数学学习中需要解决的一个重点问题。
【典型例题】
1. 二次函数32)(2--=x x x f 在下列区间上何时取到最小值？
(1)),(+∞-∞;
(2)]2,0[;
(3)]5,2(;
(4)]0,3[-;
(5)]4,1(-;
(6)]3,(-∞.
变式1：最大值呢？
变式2：该函数在区间(2)、(5)、(6)上的值域呢？
2. 设βα、是方程)( 02442R x m mx x ∈=++-的两实根，当m 为何值时，
22βα+有最小值？求出这个最小值.
3. 已知函数32)(2+-=x x x f 在定义域),0[m 上的值域为]3,2[，求正数m 的取值范
围.
【思考】 已知函数22221)(x ax a x f +--=在定义域]1,1[-上的最小值为m(a)，求
m(a)的表达式。
二次函数的最值(二)
1. 求下列函数的值域：
(1))11(7322<≤--+=x x x y . (2))22
3( 42
<<+-=x x x y . (3))05(322≤≤-+--=x x x y . (4))43(2
12<<--=x x x y . 2. 已知0322≤-x x ，则函数1)(2++=x x x f ------------------------------------（ ）
(A) 有最小值43，但无最大值； (B)有最小值4
3，有最大值1； (C) 有最小值1，有最大值4
19； (D)无最小值，也无最大值. 3. 函数)(6242R a a ax x y ∈++-=，其值域为),0[+∞，则a= . 4. 已知函数)2(152)(22≥+-++-=x a a x x x f 有最大值－5，则a= .
5. 设)0()(2
>++=a c bx ax x f ，已知3221<-<a
b ，则f(x)在]3,2[-上有---（ ） (A)最大值)2(-f ，最小值)2(a b f -； (B)最大值)2(a
b f -，最小值)2(-f ； (C)最大值)3(f ，最小值)2(a b f -； (D)最大值)2(a b f -，最小值)3(f .
6. 已知R y x ∈、且x y x 92322=+，分别求x 与2
2y x +的取值范围.
7. 求函数)0()(2<+-=a b ax ax x f 在区间]2,1[上的最值.
8.设二次函数a ax x x f -++-=12)(2在区间]1,0[上的最大值为2，求实数a 的值。