三角形内心充要条件的证明
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是(((=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；范 例(一例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(ACAB++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心A CB1e 2e P解析：因为AB是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心AB(x 1C(x 2,yx H Q G D EF解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形的五心一次看个够
三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有OA =OB =OC ，故O 也在A 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O 是ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC 的外接圆为☉G(R)，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A ，（或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G 是平面ABC 上一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是： 点G 是ABC ∆的外心⇔GA GB GC == (或GA 2=GB 2=GC 2)(点G 到三顶点距离相等)⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边垂直平分线的交点)4：点G 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC).或PG =(cosA/2sinBsinC)PA +(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB)PC . 5：R=abc/4S ⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。
6.外心坐标：给定112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 求外接圆心坐标O （x ，y ）①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：22221122()()()()x x y y x x y y ---=--- 22223322()()()()x x y y x x y y ---=--- ②.化简得到：2222212122112()2()x x x y y y x y x y -+-=+--2222232322332()2()x x x y y y x y x y -+-=+--令1212()A x x =-；1212()B y y =-;222212211C x y x y =+-- 2232()A x x =-；2232()B y y =-;222222233C x y x y =+--A B C O7.若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA +si n ∠2B ·OB +si n ∠2C ·OC =0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A 、∠C 的平分线相交于I 、过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ，IF ⊥AB 则有IE=IF =ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三0aOA bOB cOC ++=。
第12章 三角形内心的性质及应用
第十二章 三角形内心的性质及应用【基础知识】三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列有趣的性质： 性质1：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．性质2：设I 为ABC △内一点．I 为其内心的充要条件是：I 到ABC △三边的距离相等．性质3：设I 为ABC △内一点，AI 所在直线交ABC △的外接圆于D ．I 为ABC △内心的充要条件是：ID DB DC ==．证明 如图12-1，必要性：连BI ，由1122DIB A B CBD IBC DBI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，知ID B D D C ==．B充分性：由DB DC =，即知AD 平分BAC ∠．由DI DB =，有DIB DBI ∠=∠，即DBC CBI IAB ABI ∠+∠=∠+∠，而IAB IAC DBC ∠=∠=∠，从而CBI IBA ∠=∠，即BI 平分ABC ∠，故I 为ABC △的内心．性质4 设I 为ABC △内一点，I 为ABC △的内心的充要条件是：1902BIC A ∠=︒+∠，1902AIC B ∠=︒+∠，1902AIB C ∠=︒+∠证明 必要性显然．反正充分性：作ABC △的外接圆，与射线AI 交于点D ，连DB ，DC ，如图12-1由1902AIB ACB ∠=︒+∠，知1902DIB ACB ∠=︒-∠．又IDB ADB ACB ∠=∠=∠，在D I B △中，求得1902DBI ACB ∠=︒=-∠，则D I B D B I ∠=∠，故D B D I =．同样地，DC DI =，即DI DB DC ==，由性质3即证得结论成立．性质5 设I 为ABC △内一点，I 为ABC △的内心的充要条件是：IBC △，ICA △，IAB △的外心均在ABC △的外接圆上．证明 必要性：如图122-，设ABC △的内心，AI ，BI ，CI 的延长线分别交ABC △的外接圆于1A ，1B ，1C ，于是由性质3，知111A B A I AC ==，因此，1A 是IBC △的外心． 图 12-2I 'ABCIC 1B 1A 1A 2B 2C 2同理，1B ，1C 分别是ICA △，IAB △的外心．故必要性获证．充分性：又设I '为ABC △内另一点，I BC '△，I CA '△，I AB '△的外心2A ，2B ，2C 均在ABC △的外接圆上，由22A B A C =，11A B AC =，知2A 与1A 重合．同理2B 与1B 重合，2C 与1C 重合． 由于1A ，1C 分别是IBC △，IAB △的外心，知11A C 垂直平分线段BI '，由此可知I '与I 重合，即I '为ABC △的内心．注 性质5中，三个三角形I BC '△，I CA '△，I AB '△中有两个的外心在ABC △的外接圆上即可． 性质6 一条直线截三角形，把周长l 与面积S 分为对应的两部分：1l 与2l ，1S 与2S ．此直线过三角形内心的充要条件是1122l Sl S =．证明 必要性：如图12-3，设I 是ABC △的内心，过I 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ．记BC a =，CA b =，AB c =，AP m =，AQ n =，内切圆半径为r ，则1()2ABC S a b c r s =++⋅=△，1()2APQ API AQI S S S m n r =+=+⋅△△△．图 12-3A BPQ nIm由111()21()2a b c rS a b c lS m n l m n r ++⋅++===++⋅，有1122l S l S =．充分性：设直线PQ 把ABC △的周长l 与面积S 分为对应的两部分成等比1122l S l S =，且与AB 交于P ，与AC 交Q ，与A ∠的平分线交于I ．记BC a =，CA b =，AB c =，AP m =，AQ n =，I 到AB ，AC 的距离为r ，I 到BC 的距离为d ．由1211()21()2a b c r l l a b c l m n m n r ++⋅+++==++⋅得1211112221122b rc r a dS S S m r n r ⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅ 注意到121211l l S S l S ++=，从而有ad ar =，即d r =，故I 为ABC △的内心，即直线PQ 过内心．性质7 设I 为ABC △的内心，BC a =，AC b =，AB c =，I 在BC ，AC ，AB 边上的射影分别为D ，E ，F ；内切圆半径为r ，令1()2p a b c =++，则（1）ID IE IF r ===，S ABC pr =△；（2）2ABCS r a b c=++△，AE AF p a ==-，BD BF p b ==-，CE CD p c ==-；（3）abc r p AI BI CI ⋅=⋅⋅⋅．证明 仅证（3）．在ABI △中，11sin sin cos 22AI C cAIB B C ==∠∠∠． 类似地还有两式，此三式相乘，即有111tan tan tan 222AI BI CI A B C abc ⋅⋅=∠⋅∠⋅∠=32ABC r r r pr rp a p b p c S p⋅⋅==---△，由此即证． 性质8 设I 为ABC △的内心，BC a =，AC b =，AB c =，A ∠的平分线交BC 于K ，交ABC △的外接圆于D ，则AI AD DI b cKI DI DK a+===． 证明 如图12-1，由AI BA AC AB AC b c KI BK KC BK KC a ++====+及ADC CDK △∽△，有AD AC CDDC CK DK==，亦有AD AC AB AB AC b c DI CK BK CK BK a ++====+，DI CD AC AB AB AC b cDK DK CK BK CK BK a ++=====+． 性质9 过ABC △内心I 任作一直线，分别交AB ，AC 于P 及Q 两点， 则AB AC AC AB AB AC BC AP AQ ⋅+⋅=++或sin sin sin sin sin AB AC B C A B C AP AQ⋅∠+⋅∠=∠+∠+∠． MABCNPQ图 12-4证明 如图12-4，先看一般情形：设M 为BC 上任意一点，直线PQ 分别交AB ，AM ，AC ，于P 、N 、Q ，则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AC BM AB CM AB AC AP AQ AQ BC AP BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△． ①当N 为ABC △的内心时，由三角形内角平分线性质及合比、等比定理，有BM ABBC AB AC=+，MC AC BC AB AC =+，AM AB AC BCAN AB AC ++=+． 将上述三式代入①式即证得结论．性质10 设ABC △的内心为I ，ABC △内一定P 在BC ，CA ，AB 上的射影分别为D ，E ，F ，当P与I 重合时，BC CA ABPD PE PF++的值最小． 证明 设BC a =，CA b =，AB c =，PD x =，PE y =，PF z =，显然有2ABC ax by cz S ++=△是定值．由柯西不等式，有2()()()a b cax by cz a b c x y z ++++≥++，故2()2ABCBC CA AB a b c a b c PD PE PF x y z S ++++=++≥△（定值）． 其中等号当且仅当a b cax by cz x y z==∶∶∶即x y z ==时成立，此时P 与I 重合． 对于内切圆我们还有如下性质： 性质11 三角形一内（外）角平分线上的点为三角形一顶点的射影的充分必要条件是另一顶点关于内切圆（旁切圆）的切点弦直线与这条角平分线的交点．证明 如图12-5，在ABC △中，内切圆I ⊙切边BC 、CA 、AB 分别于点E 、E 、F ，直线AI 、BI 、CI 为三条内角平分线．图 12-5X ZI YM NS FEDH GTABC仅证直线CI 上的点G ，有CG AG D ⊥⇔、G 、F 三点共线．充分性．由D 、G 、F 共线．联结FI ，11180180909018022AIG AIC B B BFD AFG ⎛⎫∠=︒-∠=︒︒+∠=︒-∠=∠=︒-∠ ⎪⎝⎭（当G 在ABC △外时，为AFG ∠）．于是，A 、F 、G 、I 四点共圆，即90AGI AFI ∠=∠=︒．故CG AG ⊥． 必要性．由CG AG ⊥，联结FI ，由IF AB ⊥，知A 、F 、G 、I 四点共圆，又I 为内心，知1902AIC B ∠=︒+∠，则1180902A F G A I G A I C B ∠=︒-∠=∠=︒+∠．注意到，在等腰BDF △中，1902BFD B BFG ∠=︒-=∠．故D 、G 、F 三点共线．同理，直线CI 上的点H ，CH BH E ⊥⇔、F 、H 三点共线． 直线BI 上的点M ，BM AM D ⊥⇔、E 、M 三点共线． 直线BI 上的点N ，BN CN E ⊥⇔、N 、F 三点共线． 直线AI 上的点T ，AT BT E ⊥⇔、D 、T 三点共线． 直线AI 上的点S ，AS CS D ⊥⇔、S 、F 三点共线． 推论 三角形的一条中位线，与平行于此中位线的边的一端点处的内（外）角平线及另一端点关于内（旁）切圆的切点弦直线，这三条直线相交于一点，且该点为与中位线对应的顶点在这条内（外）交平分线上的射影． 事实上，若设Z 为AB 的中点，则ZM ZB =，且Z M B C ∥，有Z B M △为等腰三角形，从而知ZM 与AC 的交点Y 为AC 的中点，即ZY 为中为线．如图12-5，G 、M 在中位线ZY 上，H 、T 在中位线ZX 上，S 、N 在中位线XY 上．M 、N 、G 、H 、S 、T 均为三条直线的交点．注 在上述性质11及推论中，旁心的情形留给读者推证．性质12 设ABC △的内切圆（旁内圆）I ⊙分别切BC 、CA 、AB 边于点D 、E 、F ，设K 是DI 延长线上一点，AK 的延长线交BC 于点M ，则M 为BC 的中点的充要条件是点K 在线EF 上． 证明 如图12-6，过点K 用ST BC ∥交AB 于点S ，交AC 于点T ，则I K S T ⊥．联结SI 、FI 、TI 、EI ． 充分性．当点K 在EF 上时，注意到F 、S 、I 、K 及I 、E 、T 、K 分别四点共圆，有ISK IFK IEK ITK ∠=∠=∠=，即知SIT △为等腰三角形．图 12-6C 'B 'Q K P M SF ED T IAB C注意到IK ST ⊥，知K 为ST 的中点．又ST BC ∥，故知M 为BC 中点．必要性．当M 为BC 中点时，则知K 为ST 的中点．由IK ST ⊥，知I S I T =，即有Rt Rt ISF ITE △≌△，亦有SIF TIE ∠=．注意到F 、S 、I 、K 及I 、E 、T 、K 分别四点共圆，有SKF SIF TIE TKE ∠=∠=∠=∠，于是E 、K 、F 三点共线．故点K 在直线EF 上．注 若P 为DK 延长线一点，直线AP 交BC 于点Q ，则BQ DC =的充要条件是点P 在I ⊙上． 事实上，过P 作B C BC ''∥分别交AB 于B '，交AC 于C '，如图12-6．充分性．若P 在I ⊙上时，则知B C '为I ⊙的切线．由Rt Rt PIC DCI '△∽△，有PI ID PC DC '⋅=⋅．同理PI ID B P BD '⋅=⋅．从而B P DCPC BD '='． 又由平行线性质，有B P BQ PC QC '='．即DC BQ BD QC =，亦即DC BQBC BC=． 从而BQ DC =．必要性．当BQ DC =，由旁切圆性质（第十六章性质7）知Q 为ABC △的旁切圆的切点．由位似形性质知P 为AB C ''△的旁切圆点，故P 在I ⊙上．性质13 设ABC △的内切圆I ⊙分别切BC 、CA 、AB 边于点D 、E 、F ，L 为劣弧EF 上一点，过点L 作内切圆的切线与BC 所在直线交于点G ，则G 、E 、F 三点共线的充要条件是A 、L 、D 三点共线．证法1 充分性．当A 、L 、D 共线时，如图127-，联结AI 交EF 于点K ，则KI EF ⊥． ① 联结EI 、DI 、KD ，则22ID EI IK IA ==⋅图 12-7BK IREDFL CA G即ID IKIA ID=．又DIK ∠公用，有IDA IKD △∽△，即有IDA IKD ∠=∠． ② 联结IL ，则ILD IDA IKD ∠=∠=∠，知D 、L 、K 、I 四点共圆． 又I 、D 、G 、L 四点共圆，从而I 、D 、G 、L 、K 五点共圆．于是90IKG ILG ∠=∠=︒，即K I K G ⊥． 由①、③可知，G 、E 、F 三点共线．必要性．当G 、E 、F 三点共线时，如图12-7，联结GI 交DL 于点R ，则IR DL ⊥．类似于充分性证明，由22FI ID IR IG ==⋅，得F 、I 、R 、E 四点共圆，又A 、F 、I 、E 四点共圆，即有90IRA IEA ∠=∠=︒，有IR AR ⊥．故A 、L 、D 三点共线．证法2 应用定差幂线定理，并注意AI FE ⊥，GI LD ⊥，则G 、E 、F 三点共线2222AI FG AF AG IF IG ⇔⊥⇔-=-．④ A 、L 、D 三点共线2222GI AD GA GD IA ID ⇔⊥⇔-=-．⑤ 由ID IF =及222222IG GD ID IF IA AF -===-， 既有2222IG AF IA GD +=+． ⑥而④式22222222IG AF IF AG ID AF IA GD ⇔+=+===+=+⇔⑥⑤式． 故G 、E 、F 三点共线A ⇔、L 、D 三点共线． 【典型例题与基本方法】例1 如图12-8，D 是ABC △的内心，E 是ABD △的内心，F 是BDE △的内心，若BFE ∠的读数为整数，求BFE ∠的最小度数．图 12-8F E DAB解 由性质4，知11111909090(90)112(4)24428BFE BDE BDA ACB ACB ∠=︒+∠=︒+∠=︒+︒+∠=︒+︒+∠．故当4ACB ∠=︒时，BFE ∠的最小度数为113︒．例2 如图12-9，设点M 是ABC △的BC 边的中点，I 是其内心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 为AH 的交点．求证：AE 等于内切圆半径r ．图 12-9M E IBP HA证明 设P 为内切圆与边BC 的切点，连IP ，设B C a =，CA b =，AB c =，则12M C a =，2a b cPC +-=，222cos 2a b c HC AC C a+-=⋅=． 由IMP EMH △∽△，有2EH HM MC HC a HC b cIP PM MC PC c b a--+====--． 又2()AH a S ABC r a b c ⋅==++△，即AH a b cr a++=． 再由EH b c r a +=（注意IP r =），及AE AH EH =-，有1A E A H E H a b c b c r r r a a +++=-=-=，故A E r =．注（1）此例的逆命题也是成立的，即若AE r =，则M 、I 、E 共线．（2）在图12-9，还可推证有如下结论：①直线MI 平分AP ；②设ABC △的内切圆I ⊙切AC 于Q ，切AB 于L ，则QL 与直线PI 的交点T 的直线AM 上；③设直线PI 交I ⊙于G ，即G 为直径端点，直线AG 交BC 于K ，则BK PC =；④ABC △的外心O 为KI 的中点……这些结论的证明可参见笔者著作《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释》（下册），哈尔滨工业大学出版社2007年元月出版． 例3 如图12-10，设ABC △的外接圆O ⊙的半径为R ，内心为I ，60B ∠=︒，A C ∠<∠，A ∠的外角平分线交O ⊙于E ．证明：（1）IO AE =；（2）2(1R IO IA IC R <++<．图 12-10MIBOAEC证明（1）连BI 并延长交O ⊙于M ，则M 为AC 的中点．连OM ，AM ，OC ，MC ，由60B ∠=︒，则知AOM △，MOC △均为正三角形．由性质3知IM AM MC ==，即知M 为过点A ，O ，I ，C 四点的圆的圆心，且半径为R ，从而此圆与O ⊙为等圆．延长AI 交O ⊙于F ，由题设条件可证F ，O ，E 三点共线．于是12OAI OMI ∠=∠，12AFE EOA ∠=∠，而OAI AFE ∠=∠，故OMI EOA ∠=∠，由此即有IO AE =．（2）连FC ，由性质3知IF FC =，又60AFC B ∠=∠=︒，从而IC IF =， 故2IO AI IC AE AF EF R ++=+>=．又2cos 2sin IO AI IC AE AF R AEF R AEF ++++=⋅∠+⋅∠245)245)275R AEF R R =∠+︒<︒+︒=︒12(14R R ==．（其中60AEF ∠>︒）即证． 例4 如图12-11，在ABC △中，4AB =，6AC =，5BC =，A ∠的平分线AD 交ABC △的外接圆于K ．O ，I 分别为ABC △的外心，内心．求证：OI AK ⊥．图 12-11证明 连接KO 并延长交O ⊙于E ，连AE ，则90KAE ∠=︒，2EKOK=． 因I 为ABC △的内心，由性质8知4625AK AB AC IK BC ++===． 于是OI AE ∥．从而90OIK KAE ∠=∠=︒，故OI AK ⊥． 【解题思维策略分析】1．注意到内心是角平分线的交点例5 如图12-12，设P 为ABC △内一点，APB ACB APC ABC ∠-∠=∠-∠，又设D ，E 分别是APB △及APC △的内心．证明：AP ，BD ，CE 交于一点．图 12-12PM N SED TRABC证明 过P 向三边作垂线，垂足分别为R ，S ，T ．连RS ，ST ，TR ，易知，P ，R ，A ，S ；P ，T ，B ，R ；P ，S ，C ，T 分别四点共圆，则(180)(180)APB ACB ABP BAP B A PAC PBC PRS PRT SRT ∠-∠=︒-∠-∠-︒-∠-∠=∠+∠=∠+∠=∠． 同理，APC ABC RST ∠-∠=∠．由条件APB ACB APC ABC ∠-∠=∠-∠，知SRT RST ∠=∠，亦即RT ST =． 由sin RT PB B =⋅∠，sin ST PC C =⋅∠，知sin sin PB B PC C ⋅∠=⋅∠． 即sin sin PB C AB PC B AC ∠==∠，亦即PB PC AB AC=． 设BD 交AP 于M ，CE 交AP 于N ，则由角平分线性质，有AN AC AB AM NP PC PB MP ===，即AN AMAP AP=，故M ，N 重合，从而AP ，BD ，CE 交于一点．例6 如图12-13，设三角形的外接圆半径、内切圆半径分别为R ，r ，其外心、内心分别为O ，I ．若IO d =，则222d R Rr =-．图 12-13证明 连AI 并延长交O ⊙于D ，作直径DE ，连BD ，BE ，设I ⊙切AB 于F ，连IF ，则IF r =．在Rt EBD △和Rt AFI △中，由BED FAI ∠=∠，知EBD AFI △∽△，从而DE BD AI FI =，即2R BDAI r=． 由性质3，知BD ID =，所以2Rr AI BD AI ID =⋅=⋅．将OI 两端延长交O ⊙于M ，N ，则由相交弦定理，得22()()AI ID MI IN R d R d R d ⋅=⋅=+-=- 故222d R Rr =-．例7 如图12-14，在ABC △中，有一个圆O '⊙内切于ABC △的外接圆O ⊙，并且与AB ，AC 分别相切于P ，Q ．求证：线段PQ 的中点I 是ABC △的内心．图 12-14证明 设AI 的延长线交O ⊙于M ，则O '在AM 上．连O P '，由O P AB '⊥，O A PQ '⊥，有2O P O I O A '''=⋅． ①作两圆连心线OO '交O ⊙于R ，T ，则O R TO O A MO ''''⋅=⋅． ② ①+②并注意到O P O T ''=，有O P TR O A MI ''⋅=⋅ ③再作O ⊙的直径MN ，可知B M B N ⊥，MNB MAB ∠=∠，从而R t R t B M N P O A △∽△，即有O P MN O A BM ''⋅=⋅．比较③，④，注意到MN TR =，故BM MI +． 由性质3，即知I 为ABC △的内心．另证 显然，PQ 的中点I ，圆心O '，BC 的中点M 都在BAC ∠的平分线上，若设2BAC α∠=，O '⊙的半径为r ，则s i n rAO α'=．设直线OO '交O ⊙于R ，T ，且O ⊙的半径为*r ，则，即**(2)s i n (2)/s i nR O O T r r rO M αr r AO r α'⋅-⋅'===⋅-'．由Rt PIO '△，知sin IO αr '=⋅，**sin sin (2)sin 2IM IO O M αr αr r αr ''=+=⋅+⋅-=⋅．由ABM △，知*2sin BM r αBM IM =⋅⇒=，即证．例8 ABC △的A ∠的平分线与ABC △的外接圆交于D ，I 是ABC △的内心，M 是边BC 的中点，P 是I 关于M 的对称点（设点P 在圆内），延长DP 与外接圆相交于点N ．试证：在AN ，BN ，CN 三条线段中，必有一条线段是另两条线段之和．证明 如图12-15，不妨设N 在BC 上，即证BN CN AN +=．图 12-15θθPMNDAB C连BD ，MN ，MD ，CD ，注意到共底ND 的三个三角形面积，即由2BND QND MND S S S +=△△△，及P 在ND 上，且IM MP =，知2MND IND BND CND S S S S ===△△△△．令NAD θ∠=，则NBD NCD θ∠=∠=，于是1sin 2BND S BD BN θ=⋅⋅△，1sin 2CND S CD CN θ=⋅⋅△，1sin 2IND NAD NAI S S S ID AN θ=-=⋅⋅△△△．注意到性质3，知BD CD ID ==，从而由①式即得BN CN AN +=．例9 如图12-16，在ABC △中，O 是外心，I 是内心，30C ∠=︒，边AC 上的点D 与边BC 上的点E 使AD BE AB ==．求证：OI DE ⊥，OI DE =．图 12-16BCD IE AMO证明 连AI 并延长交ABC △的外接圆于M ，连BD ，OM ，OB ，BM ．由I 为内心，知BM CM =．又OC OB =，则OM EB ⊥．由AI 平分BAC ∠，且AB AD =，则AI BD ⊥．从而知OMI ∠与EBD ∠的两组对边分别垂直，且它们都是锐角，因此，OMI EBD ∠=∠． ①由正弦定理，有2sin 2sin 30AB R C R R OB OM =⋅=⋅︒===，又12BAD BMC ∠=的度数=BM 的度数=BOM ∠，从而DAB MOB △≌△，即有BD BM =． 由性质3知BM IM =，从而BD IM =． 又AD BE AB ==，则BE OM =．由①，②，③得OMI EBD △≌，从而知通过旋转90︒和平移可使用两个三角形重合，故OI DE ⊥，OI DE =．2．注意过内心的直线的性质 例10 如图12-17，在R ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，连接ABD △的内心与ACD △的内心的直线，分别与AB 边交于K ，AC 边交于L ，ABC △与AKL △的面积分别记为S 与T ．求证：2S T ≥．图 12-17证明 设AD 与KL 交于E ，由性质9可得AB AD AD AB AB AD BD AK AE ⋅+⋅=++，AD AC AC AD AC AD DC AE AL ⋅+⋅=++．此两式可变为1111BDAK AE AD AB AB AD +=++⋅， ① 1111DCAE AL AD A C AC AD+=++⋅． ② 由ADB CAB △∽△，有AC AB AD BD =，即1BD AB AD AC =⋅． ③ 由ADC BAC △∽△，AB AC AD DC =，即1DC AC AD AB=⋅． ④ 由①，②，③，④得AK AL =，即1145AKO ALO ∠=∠=︒． 又1O 是ABD △的内心，易得11AKO ADO △≌△．从而AK AD =．于是111122sin sin sin cos sin 2S AB AC AB AC T AK AL AD AD B C B B B⋅==⋅=⋅=⋅=≥⋅∠∠∠∠∠， 故2S T ≥．例11 如图12-18，在ABC △中，AB AC ≠，AD BC ⊥，D 为垂足，过Rt ABD △的内心1O 和Rt ACD △的内心2O 的直线啊交AB 于K 交AC 于L ．若AK AL =，则90BAC ∠=︒．图 12-18证明 设KAD α∠=，LAD β∠=，由性质9及正弦定理，有sin sin90sin sin sin90AB ADB B αAK AE ∠⋅+︒⋅=∠++︒，sin90sin sin sin sin90AD ACC C βAE AL︒⋅+∠⋅=∠++︒．将AK AL =，sin AD B AB ∠=，sin ADC AC∠=，代入上述两式，得sin sin sin sin B αC β∠+=∠+．又sin BD αAB =，sin DC βAC =，即有ADBD AD DCAB AB AC AC+=+．而AB =AC， =，亦即2()()0BD DC AD BD DC --⋅=． 因AB AC ≠，知BD DC ≠，从而20AD BD DC -⋅=， 则Rt Rt ABD CAD △∽△，即有B β∠=，C α∠=．又180BAC B C ∠+∠+∠=︒，故90BAC βαB C ∠=+=∠+∠=︒．注 例10，例11的证法见孙哲先生的文章《三角形内心的一个性质与三道几何名题的新证》（《中学数学》1999年第6期）．3．注意内切圆(旁切圆性质的应用)例12 设E 、F 分别为ABC △内切圆I ⊙与边AC 、AB 的切点，M 为BC 的中点，AM 与EF 交于点N ，以BC 为直径的圆M ⊙分别交BI 、CI 于点X 、Y ．证明：NX ACNY AB=． 证明 如图12-19，由题设知X 、Y 分别为C 、B 在角平分线BI 、CI 上的射影，由性质11知，X 、Y 均在内切圆的切点弦EF 所在直线上．又由性质12知，N 、I 、D 三点共线．图 12-19IMN F DX Y BC ATES延长BY 、CX 交于点S ．则I 为SBC △的垂心，即知S 在直线ND 上，又由垂心性质11知I 为DXY△的内心，有1122ABC DBI CYX DYX ∠=∠=∠=∠，即得ABC DYX ∠=∠．同理ACB DXY ∠=∠．于是sin sin sin sin NX XD DYX ABC AC NY DY DXY ACB AB∠∠====∠∠． 例13 已知ABC △的中线AM 交其内切圆Γ于点K ，L ，分别过K 、L 且平行于BC 的直线交圆Γ于点X 、Y 、A 、AY 分别交BC 于P 、Q ．证明：BP CQ =．证明 如图12-20，设内切圆圆心为I ，I ⊙分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，直线DI 交EF 于点T ，则由性质12知点T 在直线AM 上．图 12-20LTPM FZDY I ΓQK XCSEBA设过点K 、L 的两条切线交于点S ，则由性质13知，F 、E 、S 三点共线．由调和点列性质5后的推论8知KA KTAL TL=． ① 设直线YL 交AP 于点Z ，由KX YL ∥知KX AKLZ AL=． ② 注意到等腰梯形YLXK 中KL 为其对角线，两底的公垂线为TI ．从而KX KTYL TL=．再注意到①、②式KX KXLZ YL=，即知L 识YZ 的中点．因此，M 是QP 的中点．故BQ PC =，即有BP CQ =． 例14 设J 是ABC △顶点A 所对旁切圆的圆心，该旁切圆与边BC 切于点M ，与直线AB 、AC 分别切于点K 、L ，直线LM 与BJ 交于点F ，直线KM 与CJ 交于点G ．设S 是直线AF 与BC 的交点，T 是直线AG 与BC 的交点．证明：M 是线段ST 的中点．图 12-21LMF YG JXSKA B C证明 如图12-21，由性质11及其推论，知AF FJ ⊥，AF JG ⊥．设直线FG 分别交AB 、AC 于X 、Y ，则XY 为ABC △的中位线．从而S 关于直线FB 与A 对称，T 关于直线GC 与A 对称，于是SJ AJ TJ ==．注意到Jm ST ⊥，故SM MT =． 【模拟实战】习题A1．已知1O ⊙与2O ⊙相交于A 、B 两点，延长1O A 交2O ⊙于点C ，延长2O A 交1O ⊙于D ．求证：A 是BCD △的内心．2．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD 是斜边上的高．1O ，2O 分别是ACD △和BCD △的内心．求证：21AO C BO C ∠=∠．3．设ABC △的内切圆I 与AB 、AC 边分别切于点E 、F ，射线BI 、CI 分别交EF 于点M 、N ．试证：四边形AMIN 与IBC 的面积相等．4．在梯形ABCD 中，BC DA ∥，对角线AC 与BD 相交于P ．记PAB △、PBC △、PCD △、PDA△的内切线半径依次为1r 、2r 、3r 、4r ，且13241111r r r r +=+．求证：AB CD BC DA +=+．5．在凸四边形ABCD 中，AC BD AB ==，且AC BD ⊥，垂足为E ．设I 为AEB △的内心，M 为AB边的中点．求证：MI CD ⊥，且12MI CD =．6．设I 为ABC △的内心，A B C '''△是从I 向BC ，CA ，AB 所作垂线的垂足三角形．证明：cot cot cot cot cot cot A B C A B C '''∠+∠+∠≥∠+∠+∠．7．已知AO 是等腰AEF △的底EF 上的高，有AO EF =，延长AE 到B ，使B E A E =，过点B 作AF 的垂线，垂足为C ．求证：点O 是ABC △的内心．8．设ABC △的外接圆半径为R ，内切圆的半径r ，内心为I ，延长AI 交外接圆于D ．求证：2AI ID Rr ⋅=．9．在ABC △中，C ∠的平分线交边AB 及三角形的外接圆于D ，K ，I 是ABC △的内心．求证：（1）111ID IK IC -=；（2）1IC IDID DK-=．10．I 为ABC △的内心，且A '，B '，C '分别为IBC ∠，IAC ∠，IAB ∠的外心．求证：A B C '''△与ABC 有相同的外心．习题B1．在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的平分线分别交外接圆于点P ，Q ，R ．求证： AP BQ CR BC CA AB ++>++．2．四边形ABCD 内接圆，BCD △，ACD △，ABD △，ABC △的内心依次记为A I ，B I ，C I ，D I ．证明：A B C D I I I I 是矩形．3．在锐角ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的平分线延长后分别与ABC △的外接圆交于1A ，1B ，1C ．直线1AA 与B ∠，C ∠的外角平分线相交于0A ，0B ，0C 与此类似．求证：（1）000A B C △的面积是六边形111AC BACB 的2倍；（2）000A B C △的面积至少是ABC △面积的4倍． 4．ABC △的A ∠，B ∠，C ∠的内角平分线分别与外接圆交于1A ，1B ，1C ．证明：111A B C △的面积大于或等于ABC △的面积．5．设K 为ABC △的内心，点1C ，1B 分别为边AB ，AC 的中点，直线AC 与1C K 交于点2B ，直线AB 与1B K 交于点2C ．若22AB C ABC S S =△△，求CAB ∠．6．设I 是ABC △的内心，并设ABC △的内切圆与三边BC ，CA ，AB 分别相切于点K ，L ，M ．过B 点平行于MK 的直线分别交直线LM 及LK 于点R 和S ．证明：RIS ∠是锐角．7．在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，连接ABD △的内心与ACD △的内心的直线分别交AB 边于K ，交AC 边于L ，KL 与AD 交于E ．求证：111AB AC AE+=． 8．设ABC △的内心为I ，外接圆分别交AI ，BI ，CI 于A '，B '，C '．证明：IA IB IC I IB IC '''⋅⋅≤⋅⋅． 9．已知等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，又BCD △的内切圆切CD 于E ，F 是DAC ∠的角平分线上一点，且EF CD ⊥，ACF △的外接圆交CD 于G ．证明：AFG △是等腰三角形．10．ABC △具有下面性质：存在一个内部的点P 使10PAB ∠=︒，20PBA ∠=︒，30PCA ∠=︒，40PAC ∠=︒．证明：ABC △是等腰三角形． 11．已知R ，Q 分别是ABC △的边BC ，AB 上的点．并且使AB BR AC CR +=+，CB BQ CA AQ +=+，AR ，CQ 相交于J ，又M 是BC 的中点，I 是ABC △的内心．求证：AJ MI ∥，2AJ MI =．12．在ABC △中，30BAC ∠=︒，70ABC ∠=︒，M 为形内一点，20MAB MCA ∠=∠=︒，求MBA ∠的度数．13．在ABC △，AD 为A ∠的平分线，M ，N 分别为AB ，AC 的中点．若B ∠，MDN ∠，C ∠成等差数值，求证：AB ，BC ，AC 也成等差数值．。
三角形 内心
三角形内心
目录：
1. 三角形内心的定义
1.1 三角形内心的特点
1.1.1 内心到三角形三边的距离相等
1.1.2 内心到三角形三边的连线交点为内心
1.1.3 内心是三角形的重心、垂心和外心的交点
2. 内心在三角形中的应用
2.1 内心是三角形的三条角平分线的交点
2.2 内心是三角形的内接圆心
2.3 内心相关定理的证明方法
3. 怎样找到三角形的内心
3.1 利用内心到三边的距离相等的性质确定内心位置
3.2 利用内心是三角形的重心、垂心和外心的交点确定内心位置
3.3 利用内心到三边的连线交点为内心确定内心位置
4. 怎样利用内心解决三角形相关问题
4.1 内心是解三角形的关键
4.2 利用内心定位求解三角形的相关角度和边长问题
4.3 内心定理在三角形计算中的应用案例
5. 结语
5.1 总结三角形内心的重要性和应用价值
5.2 鼓励读者深入学习三角形内心相关知识，提高数学学习能力。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC B OC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故C tan B tan A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为AB是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r ，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
为三角形的 Ａ 外心 Ｂ 内心
C 重心
D 垂心
（B
）
6．在三角形
ABC
中，动点
P
满足：
2
CA
2
CB
2AB• CP ，则
P
点轨迹一定通过△ABC
的：
（B） Ａ 外心
Ｂ 内心
C 重心
D 垂心
7.已知非零向量A→B与A→C满足(|AA→→BB|
A→C +|A→C|
)·B→C=0 且|AA→→BB|
·|AA→→CC|
若 O 是 ABC (非直角三角形)的垂心，则 S BOC：S AOC：S AOB tan A：tan B：tan C
故 tan AOA tan BOB tan COC 0
3．O
是 ABC 的外心
|
OA
||
OB
||
OC
|
(或
2
OA
2
OB
2
OC
)
若 O 是 ABC 的外心则 SBOC：SAOC：SAOB sinBOC：sinAOC：sinAOB sin2A : sin2B : sin2C
例 11． 设 O、G、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心.
求证 OG 1 OH
3
证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心 OG 1 (OA OB OC)
3
按垂心定理 OH OA OB OC
由此可得 OG 1 OH .
3
补充练习
1．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足
3
证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG) (PA PB PC)
初中的几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
三角形五心定律
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。5PCzVD7HxA
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3>/2c，(c1+c3>/2c，(c1+c2>/2c >。jLBHrnAILg
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关诗歌
三角形五心歌<重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．
由于任何n边的多边形都可以分割成<n-2）个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式，但需要先知道分割用的对角线的长度。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。6ewMyirQFL
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三角形内心充要条件的证明
三角形内心充要条件的表述如下：
在如下三角形ABC中，则O为ABC
∆内心的充要条件是：
⋅+⋅+⋅=
a OA
b OB
c OC
图示1(r为内接圆半径)
下面证明：
➢充分性：
充分性表述成，若O为ABC
∆所在平面内的点，当满足条件：⋅+⋅+⋅=时，O即为ABC
a OA
b OB
c OC
∆的内心。
证明：
0 ()()0 ()0 ()() a OA b OB c OC a OA b OA AB c OA AC a b c OA b AB c AC a b c OA b AB c AC ⋅+⋅+⋅=⇒
⋅+⋅++⋅+=⇒
++⋅+⋅+⋅=⇒
++⋅=-⋅+⋅ 11
()
()
(|b c
OA BA CA
a b c a b c bc bc OA BA CA a b c c a b c b bc BA CA
OA a b c c b bc BA OA a b c BA ⇒=
⋅+⋅++++⇒
=
⋅⋅+⋅⋅++++⇒
=
⋅+++⇒
=
⋅++这一步最为关键)
|||
CA
CA +
||BA BA 即为BA 方向的单位向量，||
CA
CA 即为CA 方向单位向量，所以||||BA CA
BA CA +
即为以BA 和CA 构成角的角平分线。
(原因如下图所示：
1||BA e BA =，2||CA
e CA =，12e e e =+，向量12e e +即为以1e 和2e 为边构
成的平行四边形的对角线，由于1e 和2e 为单位向量，即构成的平行四边形为菱形，所以12e e +即e 为以1e 和2e 构成角的角平分线)
图示2
由上面的分析，我们可以得到：
()
(*)
|
|||
bc
OA e a b c
BA CA e BA CA λλ==++=+
为常数,且
即OA 在A ∠所在角平分线上，同理可证，OB 、OC 在在B ∠和C ∠所在角平分线上，即O 为ABC ∆内角平分线的交点，即为内心的定义，充分性的证明完毕。
➢ 必要性：
分析：由上面充分性的证明中的(*)表达式可知，只要由内心的定义
证明常数bc
a b c
λ=++即可。
证明：
图示3
在图示3中，e 的长度为：
1|| 2||cos
2cos
22
A A
e e ∠∠=⋅=⋅ 在图示1中，OA 的长度为：
|| sin
2
r
OA A =∠
将||OA 用||e 来表示，有：
sin
||2 sin ||2cos 2
|| ||(1)
sin r A OA r A A e r
OA e A
∠=
=∠∠⇒=⋅∠
由O 为ABC ∆的内心，则OA 在A ∠所在角平分线上，因此有：
(
)()||||BA CA BA CA
OA e c b BA CA λλλ=⋅+=⋅+=⋅
对上式两边取模长，并由(1)可得：
|||()|||
||||
||sin ||
BA CA
OA e BA CA OA r
A e λλλ=⋅+=⋅⇒=
=
∠
由ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++可得：
1
sin ()
2
111
222
1
()2
sin ABC AOC BOC AOB S bc A S S S b r a r c r
a b c r
r bc
A a b c
∆∆∆∆=⋅∠=++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅++⋅⇒=
∠++正弦定理
即：
(
)()||||BA CA bc BA CA
OA a b c c b BA CA λ=⋅+=⋅+++
按照前面充分性的证明过程逆推：
()()
()() bc BA CA bc BO OA CO OA
OA a b c c b a b c c b b c BO OA CO OA a b c a b c b c b c
OA BO CO OA
a b c a b c a b c ++=
⋅+=⋅+++++=⋅++⋅+++++⇒
+=
⋅+⋅+⋅++++++ b c b c
OA OA BO CO
a b c a b c a b c a b c
OA BO CO
a b c a b c a b c a OA b BO c CO ⇒
+-
⋅=⋅+⋅++++++⇒
⋅=⋅+⋅++++++⇒⋅=⋅+⋅ 0
a OA
b OB
c OC ⇒⋅+⋅+⋅=
必要性证明完毕。