【全国通用】中考数学总复习热点专项练4解直角三角形应用试题
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--解直角三角形的应用
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--解直角三角形的应用一、综合题1．如图，在△ABC中，AB=AC=10，tanB=34，D是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），以点D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）当FC=FD时，直接写出BD的长．2．如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA= 45，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分△CPB交边BC于点Q，QM△AB于M，QN△CP于N．（1）当AP=CP时，求QP；（2）若四边形PMQN为菱形，求CQ；（3）探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？3．如图①，△ABC中，△ABC＝45°，AH△BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.（1）求证：BD=AC；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE.△）如图②，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，tanC=3,求AE的长；△）如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由。
4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，连接BD、CE，直线BD、CE相交于点F.（1）求证BD=CE.（2）求∠BFC的度数.（3）若AB=AC=2，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.5．如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；（2）连接DF，若BC＝√3，求DF的长．6．已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝4√3，AH△BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作△P，设AP＝x．（1）当x＝3时，求△P的半径长；（2）如图1，如果△P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．7．如图（1）问题提出：如图1，在四边形ABCD中，AB= BC，AD= CD=3，△BAD=△BCD = 90°，△ADC= 60°，则四边形ABCD的面积为.（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，△BAD=△BCD= 90°，△ABC=135°，AB= 2√2，BC=3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，1），点B（0，5），过点A作直线l△AB，过点B作BD△l，交x轴于点D，再以点B为圆心，BD长为半径作弧，交直线l于点C（点C位于第四象限），连结BC，CD.（1）求线段AB的长.（2）点M是线段BC上一点，且BM＝CA，求DM的长.（3）点M是线段BC上的动点.①若点N是线段AC上的动点，且BM＝CN，求DM+DN的最小值.②若点N是射线AC上的动点，且BM＝CN，求DM+DN的最小值（直接写出答案）.9．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在的水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm.（1）求∠CAO′的度数；（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？10．小强洗漱时的侧面示意图如图所示，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时身体前倾，下半身与地面的夹角∠FGK=80°，上半身与下半身所成夹角∠EFG=125°，脚与洗漱台距离GC=15cm，点D，C，G，K在同一直线上．（1）求此时小强腰部点F到墙AD的距离．（2）此时小强头部点E是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由；若不是，则他应向前还是向后移动多少厘米，使头部点E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？（计算过程及结果的长度均精确到1cm．参考数据；sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，√2≈1.41）11．如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB = CD，AD = 5，BC = 15，cos∠ABC=513．E为射线CD上任意一点，过点A作AF // BE，与射线CD相交于点F．联结BF，与直线AD相交于点G．设CE = x，AGDG=y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果S四边形ABEFS四边形ABCD=23，求线段CE的长．12．如图．Rt△ABC中，△C=90º，AC=BC=4．P是BC上一点（不与B，C重合），连接AP．将AP 绕点A逆时针旋转90º得到AQ．连接BQ．分别交AC，AP于点D，E．作QF△AC于点F．（1）求证：QF=AC；（2）若P是BC的中点，求tan△ADQ的值；（3）若△AEQ的内心在QF上，直接写出BP的长13．如图，△ABC内接于△O，AB＝BC，A为CD中点，CD与AB相交于点E，过B作BF∥AC，交CD延长线于F．（1）求证：ΔACE∽ΔABC；（2）求证：BF=FE；（3）延长FB交AO延长线于M．若tanF=34，CD=8√3，求BM的长．14．如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向上的A处，且灯塔B到A处的距离为40海里，轮船沿东北方向匀速航行，速度为20海里/时.（1）多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔B的西北方向上的C处?(结果保留根号)（2）若轮船不改变方向行驶，当轮船行驶到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的D处时，求灯塔B到D处的距离.(结果保留根号)15．如图，已知抛物线y= 12x2+mx+n与x轴相交于点A、B两点，过点B的直线y=−x+b交抛物线于另一点C（－5，6），点D是线段BC上的一个动点（点D与点B、C不重合），作DE△AC，交该抛物线于点E．（1）求m，n，b的值；（2）求tan△ACB；（3）探究在点D运动过程中，是否存在△DEA=45°，若存在，则求此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．16．如图，AB是△O的直径，PB与△O相切于点B，连接PA交△O于点C，连接BC．（1）求证：△BAC=△CBP；（2）求证：PB2=PC•PA；（3）当AC=6，CP=3时，求sin△PAB的值．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE（2）解：如图中，过点A作AM⊥BC于M，∵在Rt△ABM中，tanB=AMBM=34，∴AM=34BM，∴AB=√AM2+BM2=54BM，∵AB=10，∴BM=8，∵AB=AC，AM△BC，∴BC=2BM=16，∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB，∴∠BAD=∠ACB，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴ABCB=BDAB即1016=BD10，∴BD=25 4，∵DE∥AB，∴BDCB=AEAC，∴25416=AE 10， ∴AE =12532（3）解：过点F 作FH△BC 于点H ，过点A 作AM△BC 于点M ，AN△FH 于点N ，则△NHA ＝△AMH ＝△ANH ＝90°， ∴四边形AMHN 为矩形． ∴△MAN ＝90°，MH ＝AN ，由（2）得BM ＝CM ＝12BC ＝8，AM =34BM =6，∵AN△FH ，AM△BC ， ∴△ANF ＝90°＝△AMD ． ∵△DAF ＝90°＝△MAN ，∴△MAD+△NAD=△NAF+△NAD ，即△NAF ＝△MAD ， ∴△AFN△△ADM ， ∴AN AM =AF AD，∵tan∠ADF =tanB =AF AD =34，∴AN AM =AF AD =34， ∴AN ＝34AM ＝92，∴CH ＝CM －MH ＝CM －AN ＝72．又∵FH△DC ，FD=FC ， ∴CD ＝2CH ＝7，∴BD ＝BC －CD ＝16－7＝9．2．【答案】（1）解：∵AB=10，sinA= 45， ∴BC=8，则AC= √AB 2−BC 2 =6，∵PA=PC．∴△PAC=△PCA，∵PQ平分△CPB，∴△BPC=2△BPQ=2△A，∴△BPQ=△A，∴PQ△AC，∴PQ△BC，又PQ平分△CPB，∴△PCQ=△PBQ，∴PB=PC，∴P是AB的中点，∴PQ= 12AC=3（2）解：∵四边形PMQN为菱形，∴MQ△PC，∴△APC=90°，∴12×AB×CP=12×AC×BC，则PC=4.8，由勾股定理得，PB=6.4，∵MQ△PC，∴PBPC=BMMQ=BMMP=BQQC，即6.44.8=8−CQCQ，解得，CQ= 24 7（3）解：∵PQ平分△CPB，QM△AB，QN△CP，∴QM=QN，PM=PN，∴S△PMQ=S△PNQ，∵四边形PMQN与△BPQ的面积相等，∴PB=2PM，∴QM是线段PB的垂直平分线，∴△B=△BPQ，∴△B=△CPQ，∴△CPQ△△CBP，∴CP BC = CQ CP = PQ BP ， ∴CP BC = BQ 2BM， ∴CP=4× BQ BM =4× 54 =5，∴CQ= 258， ∴BQ=8﹣ 258= 398 ，∴BM= 45 × 398 = 3910，∴AP=AB ﹣PB=AB ﹣2BM=1153．【答案】（1）证明：在Rt△AHB 中，△ABC=45°，∴AH=BH ，在△BHD 和△AHC 中，AH=BH ，△BHD=△AHC=90°，DH=CH ， ∴△BHD△△AHC ， ∴BD=AC（2）解：△）如图，在Rt△AHC 中，∵tanC=3，∴AH CH =3，设CH=x ，∴BH=AH=3x ， ∵BC=4，∴3x+x=4，∴x=1， ∴AH=3，CH=1，由旋转知，△EHF=△BHD=△AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH ， ∴△EHA=△FHC ， EH AH =FH HC =1 ，∴△EHA△△FHC ， ∴△EAH=△C ， ∴tan△EAH=tanC=3， 过点H 作HP△AE ， ∴HP=3AP ，AE=2AP ，在Rt△AHP 中，AP 2+HP 2=AH 2，∴AP2+（3AP）2=9，∴AP= 3√1010，∴AE= 3√105△）由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，∴△GAH=△HCG=90°，∴△AGQ△△CHQ，∴AQCQ=GQHQ，∴AQCQ=CQHQ，∵△AQC=△GQE，∴△AQC△△GQH，∴EFHG=ACGH=AQGQ=sin30°=124．【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴∠CAE=∠BAD，AC=AE，AB=AD，∠BAC=∠DAE=45°，∵AB=AC，∴AC=AE=AB=AD，∴△AEC≌△ADB（SAS）∴BD=CE（2）解：过点A作AM⊥BD于M，AN⊥CE于N，当∠CAE=∠BAD<45°时，如图，∵AC=AE=AB=AD，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∵∠AMB=∠ANF=90°，在四边形ANFN中，∠BFC+∠MAN=180°，∠MAN=∠3+∠BAE+∠1=∠1+∠2+∠BAE=∠BAC=45°∴∠BFC=180°−45°=135°；当∠CAE=∠BAD>45°时，如图，∵∠BAC=∠DAE=45°∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠DAB=∠CAE，∵AC=AE=AB=AD，∴∠1=∠EAN=12∠CAE，∠2=∠BAM=12∠DAB，∴∠1=∠EAN=∠2=∠BAM∴∠MAN=∠BAN+∠BAM=∠1+∠BAN=∠BAC=45°∵∠AMF=∠ANF=90°，∴∠MFN=180°−∠MAN=135°，∴∠BFC=180°−∠MFN=45°，故∠BFC=45°或135°（3）解：如图，AB与EC交于G，∵四边形 ADFC 是菱形， ∴AC △ BD ，∴∠FBA =∠BAC =45° ， ∵∠BFC =45° ，∴∠FGB =∠AGC =90° ， 在Rt△AGC 中，AC=2，∴AG =AC ⋅cos45°=2×√22=√2 ，∴GB =AB −AG =2−√2 ，∴BF =BG sin45°=√2√22=2√2−25．【答案】（1）解：四边形CEDG 是菱形，证明：∵四边形ABCD 为矩形，G 是对角线BD 的中点，∴GB=GC=GD ， ∵CF=GC ，∴GB=GC=GD=CF ，∵四边形DCFE 是菱形，∴CD=CF=DE ，DE△CG ， ∴DE=GC ，∴四边形CEDG 是平行四边形， ∵GD=GC ，∴四边形CEDG 是菱形（2）解：方法一：设DF 交CE 于点N ，如图所示：∵CD=CF，GB=GD=GC=CF，∴△CDG是等边三角形，∴△GCD=△GDC =△CGD =60°，∴△DCF=180°﹣△GCD=180°﹣60°=120°，∵四边形ABCD为矩形，∴△BCD=90°.在Rt△BCD中，tan60°== BCCD，∴CD=√3tan60∘＝√3√3=1，∵四边形DCFE是菱形，∴DN=FN，CN△DF，△DCE=△FCE= 12△DCF=12×120°=60°，在Rt△CND中，DN=CD•sin△DCE=1×sin60°=1× √32= √32，∴DF=2DN=2× √32= √3．方法二：证明△FDG△△BCD，得DF=BC= √3.6．【答案】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=4√3，△B＝60°．又∵AB=4√3，AH△BC，∴AH=AB⋅sin∠B=4√3×√32=6．即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．在Rt△PHD中，HD＝2，利用勾股定理，得PD=√PH2+DH2=√32+22=√13．∴当x＝3时，△P的半径长为√13．（2）解：过点P作PM△EF，垂足为点M，连接PE．在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．利用勾股定理，得PD=√PH2+DH2=√(6−x)2+4．∵△ABC为等边三角形，AH△BC，∴△BAH＝30°．即得PM=12AP=12x．在△P中，PE＝PD．∵PM△EF，P为圆心，∴EM=12EF=12y．于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．即得14x2+14y2=(6−x)2+4．∴所求函数的解析式为y=√3x2−48x+160，定义域为103⩽x<24−4√63．（3）x=6−2√3，x=6−2√33，x=6+2√33，x=6+2√3．7．【答案】（1）3√3（2）解：作点B关于AD的对称点G，作点B关于CD的对称点M，连接MG交AD于点E，交CD于点F，连接BE，BF，过点G作GN△BC于点N交CB的延长线于点N，∴BF=MF，BE=EG，BG=2BA=4√2，BM=2BC=6∴△BEF的周长为BE+EF+BF=EG+EF+MF=MG。
2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 第四节 解直角三角形的实际应用 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章第四节解直角三角形的实际应用知识精练基础题1.(2023天津)sin 45°＋22的值等于()A.1B.2C.3D.22.(2023河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观，如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的()第2题图A.南偏西70°方向B.南偏东20°方向C.北偏西20°方向D.北偏东70°方向3.(2023南充)如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知∠BAC ＝α，则A ，C 两点相距()A.x sin α米B.x cos α米C.x ·sin α米D.x ·cos α米第3题图4.如图所示的网格是边长为1的正方形网格，则cos ∠CAB 的值为()第4题图A.55B.255C.22D.255.(2023包头)如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为()A.34B.43C.35D.45第5题图6.(2023十堰)如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)()第6题图A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米7.(北师九下P20第2题改编)如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD，BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i＝1∶0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i＝3∶4，则大坝底端增加的长度CF为()第7题图A.7米B.11米C.13米D.20米8.(2023武汉)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是________cm.(结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第8题图9.[新考法—跨学科](2022凉山州)如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为________．第9题图10.[新考法—数学文化](2023枣庄改编)桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处．如图所示是桔槔汲水的简单示意图，若已知杠杆AB＝6米，AO∶OB＝2∶1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为________米．(结果保留根号)第10题图11.成都第31届世界大学生夏季运动会代表建筑主火炬塔，其构造设计理念为“大运之光”，塔身整体采用钢结构制作，造型呈细腰型，底座为直径约13米的内外同心圆环，内环延伸出4根主管呈螺旋上升型，外环12根副管与主管反向螺旋上升，象征着十二条太阳光芒螺旋升腾聚集于阳燧，寓意“东进兴川之光”．某数学活动小组利用课余时间测量主火炬塔的高度，在点A 处放置高为1米的测角仪AB ，在B 处测得塔顶F 的仰角为30°，沿AC 方向继续向前行38米至点C ，在CD 处测得塔顶F 的仰角为65°(点A ，C ，E 在同一条直线上)，依据上述测量数据，求出主火炬塔EF 的高度．(结果保留整数，参考数据：3≈1.73，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47)第11题图拔高题12.[新考法—跨学科](2023甘肃省卷)如图①，某人的一器官后面A 处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图第12题图①第12题图②说明如图②，新生物在A 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠DBN ；再在皮肤上选择距离B 处9cm 的C 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为∠ECN .测量数据∠DBN ＝35°，∠ECN ＝22°，BC ＝9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A 处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)13.雨量监测站是一款以物联网为基础的现代型雨量站，通过这款设备，人们能远程获得降雨量的数据，并能根据当地环境气象判断出未来雨量情况，从而安排合理的农业作业．如图①是雨量监测站的实物图，如图②是该监测站的简化示意图，其中支杆AB，CD与支架MN 的夹角分别为∠BAM＝45°，∠DCM＝30°，支杆AB与太阳能供电板的夹角∠ABD＝85°，且支杆AB，CD的端点A，C的距离为14cm，支杆CD的端点D到支架MN的水平距离为16cm，求支杆AB，CD的端点B，D之间的距离．(结果精确到0.1cm.参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，3≈1.73)图①图②第13题图参考答案与解析1.B【解析】原式＝22＋22＝2.2.D【解析】∵南北方向是平行的，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向．3.B 【解析】∵在Rt △ABC 中，cos α＝AB AC ，∴AC ＝AB cos α.∵AB ＝x ，∴AC ＝x cos α.4.B 【解析】如解图，连接BD ，在△ABD 中，AB ＝32＋12＝10，AD ＝22＋22＝22，BD ＝12＋12＝2，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴△ABD 是直角三角形，∴cos ∠CAB ＝AD AB＝255.第4题解图5.D 【解析】如解图，∵两个正方形的面积分别为1，25，∴两个正方形的边长分别为CD ＝1，AB ＝5，设Rt △ABC 的AC 边为x ，则x 2＋(x ＋1)2＝52，解得x 1＝3，x 2＝－4(舍去)，∴BC ＝4，∴cos α＝BC AB ＝45.第5题解图6.D 【解析】根据题意可知，∠BAD ＝90°，∠BCA ＝45°，AB ＝5，∴AC ＝AB ＝5，在Rt △ABD中，∠D ＝30°，∴tan 30°＝AB AD ，∴AD ＝AB tan 30°＝5tan 30°＝53，∴CD ＝AD －AC ＝53－5≈3.66(米).7.C 【解析】如解图，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N .由题意可知DM ＝EN ＝15，∵背水坡CD 的坡度i ＝1∶0.6，∴DM CM ＝53，∴CM ＝9.∵DE ＝MN ＝2，∴CN ＝7.∵背水坡EF 的坡度i ＝3∶4，∴EN NF ＝157＋CF＝34，解得CF ＝13.第7题解图8.2.7【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，过点C 作CE ⊥OA 于点E .在△BOD 中，∠BDO ＝90°，∠DOB ＝45°，∴BD ＝OD ＝2cm ，∴CE ＝BD ＝2cm.在△COE 中，∠CEO ＝90°，∠COE ＝37°，∵tan 37°＝CE OE≈0.75，∴OE ≈2.7cm.∴OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为2.7cm.第8题解图9.43【解析】由平面镜反射知识可知α＝∠A ＝β＝∠B ，∴tan α＝tan B ＝OD BD.易知△ACO ∽△BDO ，∴AC BD ＝OC OD ＝36＝12.∵CD ＝12，∴OD ＝8，∴tan α＝tan B ＝43.10.(3＋2)【解析】如解图，过点O 作OC ⊥BT ，垂足为C ，由题意得BC ∥OM ，∴∠AOM ＝∠OBC ＝45°，∵AB ＝6米，AO ∶OB ＝2∶1，∴AO ＝4米，OB ＝2米，在Rt △OBC 中，BC ＝OB ·cos 45°＝2×22＝2(米).∵OM ＝3米，∴此时点B 到水平地面EF 的距离＝BC ＋OM ＝(3＋2)米．第10题解图11.解：如解图，设BD 的延长线与EF 交于点G ，由题意可得∠FDG ＝65°，∠FGD ＝90°，∴∠DFG ＝25°.AB ＝CD ＝EG ＝1米，AC ＝BD ＝38米，设FG ＝x 米，在Rt △BFG 中，∠FBG ＝30°，tan 30°＝FG BG ＝x BG ＝33，解得BG ＝3x ，在Rt △DFG 中，∠DFG ＝25°，tan 25°＝DG FG ＝DG x≈0.47，解得DG ＝0.47x ，∴BD ＝BG －DG ＝3x －0.47x ＝38，解得x ≈30，∴EF ＝FG ＋EG ＝30＋1＝31(米).∴主火炬塔EF 的高度约为31米．第11题解图12.解：如解图，过点A 作AF ⊥MN ，垂足为点F ，设BF ＝x cm ，∵BC ＝9cm ，∴CF ＝BC ＋BF ＝(x ＋9)cm.在Rt △ABF 中，∠ABF ＝∠DBN ＝35°，∴AF ＝BF ·tan 35°≈0.7x cm.在Rt △ACF 中，∠ACF ＝∠ECN ＝22°，∴AF ＝CF ·tan 22°≈0.4(x ＋9)cm ，∴0.7x ＝0.4(x ＋9)，解得x ＝12，∴AF ＝0.7x ＝8.4cm ，∴新生物A 处到皮肤的距离约为8.4cm.第12题解图13.解：如解图，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，过点D 分别作DF ⊥MN 于点F ，作DG ⊥BE 于点G ，则易得四边形DGEF 是矩形，DF ＝16cm ，∴EF ＝DG ，DF ＝GE .在Rt △CDF 中，∠CFD ＝90°，tan ∠DCF ＝DF CF ，∴CF ＝DF tan ∠DCF ＝16tan 30°＝1633＝163cm.∵∠BAE＝45°，∴∠ABE＝45°，AE＝BE.∵∠ABD＝85°，∴∠DBG＝∠ABD－∠ABE＝85°－45°＝40°.在Rt△DBG中，∠BGD＝90°，sin∠DBG＝DGBD，cos∠DBG＝BGBD，∴DG＝BD·sin∠DBG＝BD·sin40°≈0.64BD，BG＝BD·cos∠DBG＝BD·cos40°≈0.77BD，∴AE＝BE＝BG＋GE＝(0.77BD＋16)cm.∵AF＝AE＋EF＝AC＋CF，∴0.77BD＋16＋0.64BD＝14＋163，解得BD≈18.2cm.答：支杆AB，CD的端点B，D之间的距离约为18.2cm.第13题解图。
2023年安徽中考数学总复习专题：解直角三角形的实际应用(PDF版,有答案)
2023年安徽中考数学总复习专题：解直角三角形的实际应用1．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒且∠APO＝60°，∠BPO ＝45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时70千米的限制速度？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）．2．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m，∠BOC＝90°．（1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由．（2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？（3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m．3．投影仪，又称投影机，是一种可以将图象或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆AD与地面FC垂直，且AD的长为12cm，脚杆CD的长为50cm，AD距墙面EF的水平距离为240cm，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角∠EAD＝120°，脚杆CD与地面的夹角∠DCB＝42°，求光源投屏最高点与地面间的距离EF．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈1.73）4．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移多少m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）5．小华在网上看到一个如图（1）的躺椅，他决定自己动手用木条制作一个简易的躺椅，如图（2）是简易躺椅的侧面，其中∠B＝44°，∠ACB＝17°，∠DEC＝∠DCE＝48°，AE=13AC，若木条AB＝5dm，请你计算木条AC，DE，DC的长．（相关数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97，sin17°＝0.29，cos17°＝0.96，tan17°＝0.31，sin48°＝0.74，cos48°＝0.67，tan48°＝1.11，结果保留一位小数）6．“蛟龙号”载人潜水器是中国探索深蓝的利器．如图，在某次任务中，当蛟龙号下潜到点B处时，科研人员在海面的观察点A测得点B的俯角为60°，当蛟龙号继续垂直下潜2千米到达海底C处时，在观察点A测得点C的俯角为75.97°，求点C到海面的深度．（结果精确到0.1千米）参考数据：3≈1.73，sin75.97°＝0.97，cos75.97°≈0.24，tan75.97°≈4.007．图1是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处B出发先沿水平方向向左行走37米到达点C，再经过一段坡度（坡面的垂直高度与水平方向的距离的比）为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向左行走50米到达点E．在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为58°，摩天轮最高处A的仰角为24°．AB所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求AB的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）8．一艘渔船在海中自西向东航行，速度为28海里/小时，船在A处测得灯塔C在北偏东60°方向，半小时后渔船到达B点，测得灯塔C在北偏东15°方向，求船与灯塔间的最近距离．9．海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A 的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为602海里的D处拦截到该可疑船只．（1）求点A到直线CB的距离；（2）若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：3≈1.73)10．如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与侧面示意图，已知底座矩形BCLK的高BK＝19cm，宽BC＝40cm，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝76°，支架AF的长为240cm，篮板顶端F到篮筐D的距离FD＝90cm（FE与地面LK垂直，支架AK与地面LK 垂直，支架HE与FE垂直），篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝66°，求篮筐D到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈94，sin76°≈0.96，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0）参考答案1．解：（1）在Rt△BOP中，∠BOP＝90°，∵∠BPO＝45°，OP＝100，∴OB＝OP＝100．在Rt△AOP中，∠AOP＝90°，∵∠APO＝60°，∴AO＝OP•tan∠APO．∴AO＝1003（米），∴AB＝100（3―1）（米）；（2）∵此车的速度=100(3―1)4=25（3―1）≈25×0.73＝18.25米/秒，70千米/小时=700003600米/秒≈19.4米/秒，18.25米/秒＜19.4米/秒，∴此车没有超过了万丰路每小时70千米的限制速度．2．解：（1）△OBD与△COE全等．理由如下：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，∵∠BOC＝90°，∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．∴∠COE＝∠OBD，在△COE和△OBD中，∠COE=∠OBD∠CEO∠ODBOC=OB，∴△COE≌△OBD（AAS）；（2）∵△COE≌△OBD，∴CE＝OD，OE＝BD，∵BD、CE分别为1.8m和2.4m，∴OD＝2.4m，OE＝1.8m，∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2.4﹣1.8＝0.6（m），∵妈妈在距地面1.2m高的B处，即DM＝1.2m，∴EM＝DM+DE＝1.8（m），答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的；（3）∵OA＝OB=OD2+BD2=2．42+1．82=3（m），∴AM＝OD+DM﹣OA＝2.4+1.2﹣3＝0.6（m）．∴秋千的起始位置A处与距地面的高0.6m．故答案为：0.6．3．解：过点A作AG⊥EF，垂足为G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，则AB＝GF，AG＝BF＝240cm，∠GAB＝90°，在Rt△DBC中，∠DCB＝42°，CD＝50cm，∴DB＝CD•sin42°≈50×0.67＝33.5（cm），∵AD＝12cm，∴GF＝AB＝AD+DB＝45.5（cm），∵∠EAD＝120°，∴∠EAG＝∠EAD﹣∠GAB＝30°，在Rt△EAG中，EG＝AG•tan30°＝240×33=803（cm），∴EF＝EG+GF＝803+45.5≈183.9（cm），∴光源投屏最高点与地面间的距离EF约为183.9cm．4．解：作∠DAG＝50°，AG交BC于G，过点G作GH⊥AD于H，则BEGH为矩形，∴GH＝BE，BG＝EH，设BE＝12xm，∵斜坡AB的坡比为12：5，∴AE＝5xm，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝262，解得：x＝2（负值舍去），∴BE＝24m，AE＝12m，∴GH＝BE＝24m，在Rt△GAH中，tan∠GAH=GH AH，则24AH≈1.2，解得：AH＝20，∴EH＝AH﹣AE＝10（m），∴BG＝EH＝10m，答：坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡．5．解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥FC于点N，如图，在Rt△ABM中，AB＝5dm，∠ABC＝44°，∵sin∠ABM=AM AB，∴AM＝AB•sin∠ABM＝5•sin44°＝5×0.69＝3.45dm，在Rt△ACM中，∠ACM＝17°，∵sin∠ACM=AM AC∴AC=AMsin∠ACM=AMsin17°=3.450.29≈11.9dm；∵AE=13 AC，∴EC=AC―AE=23AC=23×11.9≈7.93dm，∵∠DEC＝∠DCE＝48°，∴DE＝DC，∵DN⊥FC∴FN=CN=12EC≈3.97dm，在Rt△DEN中，EN＝3，97dm，∠DEN＝48°，∵cos∠DEN=EN DE，∴DE=ENcos∠DEN=3.97cos48°=3.970.67≈5.9dm答：AC的长为11.9dm，DE的长为5.9dm，DC的长为5.9dm．6．解：延长CB，交AE于点D，由题意得，∠DAB＝60°，∠DAC＝75.97°，∠ADC＝90°，BC＝2千米，设BD＝x千米，则CD＝（x+2）千米，在Rt△ABD中，tan60°=BDAD=xAD=3，解得AD=33 x，在Rt△ACD中，tan75.97°=CDAD=x+233x≈4.00，解得x≈1.5，经检验，x≈1.5是原方程的解且符合题意，∴CD≈3.5千米．∴点C到海面的深度约为3.5千米．7．解：过C作CM⊥OD于M，过F作FN⊥AB于N，如图所示：则FN＝EO，ON＝EF，OM＝BC＝37米，BO＝CM，FN∥EO，∴∠EDF＝∠DFN＝58°，∵斜坡CD的坡度为i＝1：2.4，CD＝26米，∴BO＝CM＝10（米），MD＝24（米），∵DE＝50米，∴FN＝EO＝DE+MD+OM＝50+24+37＝111（米），在Rt△DEF中，tan∠EDF=EFDE=tan58°≈1.60，∴EF≈1.60DE＝1.60×50＝80（米），∴ON＝EF≈80米，∴BN＝ON﹣BO≈70（米），在Rt△AFN中，∠AFN＝24°，∵tan∠AFN=ANFN=tan24°≈0.45，∴AN≈0.45FN＝0.45×111＝49.95（米），∴AB＝AN+BN＝49.95+70≈120（米），即AB的高度约为120米．8．解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，过点B作BE⊥AC于点E，由题意得，∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣15°＝75°，AB＝28×0.5＝14（海里），∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝45°，在Rt△ABE中，sin30°=BEAB=BE14=12，cos30°=AEAB=AE14=32，解得BE＝7，AE=73，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE＝7海里，∴AC＝AE+CE＝（7+73）海里，在Rt△ACD中，sin30°=CDAC=CD7+73=12，解得CD=72+732．∴船与灯塔间的最近距离为（72+732）海里．9．解：（1）过点A作AH⊥CB于点H，如图．由题意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∴∠C＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴AH=12AC=12×120＝60（海里）．答：点A到直线CB的距离是60海里；（2）海警船能否在1小时内拦截到可疑船只，理由：在Rt△ADH中，AD＝602海里，AH＝60海里，∴DH=AD2―AH2=60（海里），∵∠ABH＝∠BAC+∠C＝60°，在Rt△ABH中，∠BAH＝90°﹣∠ABH＝30°，∴BH=12 AB，∴AB＝2BH，∵BH2+AH2＝AB2，∴BH2+602＝（2BH）2，∴BH＝203，∴BD＝DH﹣BH＝（60﹣203）海里，∵海警船的速度是30海里/小时，∴（60﹣203）÷30≈0.9＜1，答：海警船能否在1小时内拦截到可疑船只．10．解：延长FE交地面LK于点M，过点A作AG⊥FM，垂足为G，则∠FML＝90°，AK＝GM，HE∥AG，∴∠FHE＝∠FAG＝66°，在Rt△ACB中，∠ACB＝76°，BC＝40cm，∴AB＝BC•tan76°≈40×4＝160（cm），∵BK＝19cm，∴GM＝AK＝AB+BK＝179（cm），在Rt△AFG中，AF＝240cm，∴FG＝AF•sin66°≈240×910=216（cm），∵FD＝90cm，∴DM＝FG+GM﹣FD＝216+179﹣90＝305（cm），∴篮筐D到地面的距离约为305cm．。
中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题1．已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．已知平面直角坐标系xOy中第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，如果cosα＝，且OP＝5，那么点P的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（3，5）D．（5，3）3．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD 的长度是（）A．B．C．D．5．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米．此时滑块上升的高度是（）（单位：米）A．B．C．D．106．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（）A．900m B．900m C．900m D．1800m7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得AB＝60cm，∠B＝50°，则点A到BC的距离为（）A．60sin50°cm B．60cos50°cmC．D．60tan50°cm8．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB＝37°，∠F AC＝60°，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（）（参考数据：sin37°，cos37°≈，tan37°≈）A．（18+6）米B．（24+10）米C．（24+6）米D．（24+18）米二．填空题9．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点处，则∠ABC的正弦值为．10．某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为30°，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为60°，已知大厦的层高均为4m，则这棵树与大厦的距离为m．11．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC＝8m，则坡面AB的长度是m．12．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．13．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为米．14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC 与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC ＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）三．解答题15．常州天宁寺始建于唐贞观年间，是佛教音乐梵呗的发源地之一，也是常州最大的寺庙．某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度．如图所示，平地上一幢建筑物AB与宝塔CD相距56m，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45°、宝塔顶部的仰角为60°．求天宁寺宝塔的高度（结果保留根号）．16．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）17．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）（1）求此时小区楼房BC的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？18．如图所示，为了知道楼房CP外墙上一广告屏的高度GH是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF＝30°，在B处测得∠HEF＝50°，点A、B、C共线，AC⊥CP 于点C，DF⊥CP于点F，AB为20米，BC＝30米，测角仪的高度（AD、BE）为1.3米，根据测量数据，请求出GH的值．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．20．如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向．从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．（1）求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（将材料装配上船的时间忽略不计），再沿射线BP方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP 方向前往P点，已知A、P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据： 1.41，≈1.731，≈2.45）参考答案一．选择题1．解：∵将△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°∴cos A＝＝现将每条边的长度都扩大为原来的5倍，则＝∴cos A的值不变．故选：A．2．解：过点P作PB⊥x轴于点B∵cosα＝＝∴可假设OB＝4，则OP＝5∴PB＝＝3∴点P的坐标可能是（4，3）故选：B．3．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．AB＝＝＝5，BC＝2，AC＝＝∵S△ABC＝BC•3＝3，S△ABC＝AB•CD＝CD∴CD＝．在Rt△ACD中AD＝＝＝＝．∴tan∠BAC＝＝＝．故选：B．4．解：过点A作AH⊥BC于H∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°∵AH⊥BC∴∠BAH＝∠BAC＝30°∴∠BAD+∠DAH＝30°∵∠DAE＝30°∴∠BAD+∠EAC＝30°∴∠DAH＝∠EAC∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝∵BH＝AB＝3∵AH＝AB sin60°＝6×＝3∴＝∴DH＝∴BD＝BH﹣DH＝3﹣故选：A．5．解：如图，设AB＝10m，过点B作BC⊥AC于点C由i＝1：3，得tanα＝＝∴AC＝3BC在Rt△ABC中∵AC2+BC2＝AB2∴（3BC）2+BC2＝102解得BC＝∴滑块上升的高度为：h＝．故选：A．6．解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E∵∠ABC＝150°∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°又∵∠BCD＝105°∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°在R△BCE中∠CBE＝30°，BC＝1800m∴CE＝BC＝900（m）在Rt△CDE中∠DCE＝45°∴CD＝CE＝900（m）故选：B．7．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD中∵sin B＝∴AD＝sin B•AB＝60sin50°即点A到BC的距离为60sin50°cm故选：A．8．解：作AD⊥BC于点D，如图∵BC∥EF∴∠DBA＝∠EAB，∠DCA＝∠CAF∵∠EAB＝37°，∠CAF＝60°∴∠DBA＝37°，∠DCA＝60°∵AD＝18米，tan∠DBA＝，tan∠DCA＝∴＝，＝解得BD＝24米，CD＝6米∴BC＝BD+CD＝（24+6）米故选：C．二．填空题9．解：如图，取BC的中点D，连接AD由网格可得，AC＝，AB＝∴AB＝AC∴AD⊥BCRt△ABD中∵AD＝∴sin∠ABC＝．故答案为：．10．解：如图，根据题意可知：∠BAC＝30°，∠DCB＝30°，AB＝4×4＝16（m）∴∠ADC＝90°，设CD＝x m∴AD＝AD＝xm，BD＝CD＝xm∵AD+BD＝AB∴x+x＝16∴x＝4（m）．答：这棵树与大厦的距离为4m．故答案为：4．11．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝8m∴＝＝解得AC＝8则AB＝＝16（m）．故答案为：16．12．解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH∴BH＝CH在Rt△ACH中∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝∴CH＝（12+CH）解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．13．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D由题意得：AD＝150米在Rt△ADB中∠BAD＝30°∴BD＝AD•tan30°＝150×＝50（米）在Rt△ADC中∠DAC＝60°∴CD＝AD•tan60°＝150（米）∴BC＝BD+CD＝200（米）∴这栋楼的高度为200米故答案为：200．14．解：如图2，过C作CD⊥MN于D则∠CDB＝90°∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm）∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm）∵∠ACB＝15°∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm）故答案为49．三．解答题15．解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E，则四边形AEDB是矩形依题意BD＝56，∠EAD＝45°，∠CAE＝60°∴△ADE是等腰直角三角形∴AE＝ED则四边形ABDE是正方形∴AE＝BD＝56在Rt△ACE中∴答：天宁寺宝塔的高度为（）米．16．解：过点C作CF⊥BD，垂足为F由题意得：AC＝DF＝12m，CF＝AD设AD＝CF＝xm在Rt△ABD中∠BAD＝31°∴BD＝AD•tan31°≈0.6x（m）在Rt△CFB中∠BCF＝20°∴BF＝CF•tan20°≈0.36x（m）∴BD＝BF+DF＝（0.36x+12）m∴0.6x＝0.36x+12解得：x＝50∴AD＝50m，BD＝30m∴两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m．17．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°∵∠DCF＝∠FDC＝45°∴CF＝DF∵四边形BCFE是矩形∴BE＝CF＝DF在Rt△ADE中∠AED＝90°∴tan∠DAE＝＝＝2+∴BE＝30经检验，BE＝30是原方程的解∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15（米）答：此时小区楼房BC的高度为15米．（2）∵DE＝15（2+）米∴AE＝＝＝15（米）过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H在Rt△ABC中∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米∴tan∠BAC＝＝＝在Rt△AGH中GH＝DE＝15（2+）米AH＝＝＝（30+45）米∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米（30+30）÷5＝（6+6）（秒）答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．18．解：由题意得：EF＝BC＝30米，DF＝AC＝AB+BC＝50（米）在Rt△EHF中∠HEF＝50°∴HF＝EF•tan50°≈30×1.19＝35.7（米）在Rt△DFG中∠GDF＝30°∴FG＝DF•tan30°＝50×＝（米）∴HG＝FH﹣FG＝35.7﹣≈6.9（米）∴GH的值约为6.9米．19．解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．∵∠FDC＝30°，DF＝30∴，∵∠FCH＝45°∴CH＝FH＝15∴∵CE：CD＝1：3∴∵AB＝BC＝DE∴；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G∵∠ACG＝45°∴＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．20．解：（1）过P作PH⊥AB于H，如图：根据已知得：∠PBH＝45°，∠P AH＝30°，BP＝30海里∴∠PBH＝∠BPH＝45°∴△BPH是等腰直角三角形∴BH＝PH＝＝＝15（海里）在Rt△APH中tan∠P AH＝，即tan30°＝∴AH＝15（海里）∴AB＝BH+AH＝15+15≈57.9（海里）∴小岛A，B之间的距离约是57.9海里；（2）过P作PG⊥BC于G，如图：由（1）知AB＝57.9海里，BP＝30海里∴救援船到达P所需时间为≈1.95（小时）由已知可得∠CBP＝60°，∠BPC＝∠PBA+∠P AB＝75°∴∠GPB＝90°﹣∠CBP＝30°，∠GPC＝∠BPC﹣∠GPB＝45°在Rt△BPG中cos∠BPG＝，即cos30°＝∴PG＝15∵∠GPC＝45°＝∠C∴△GPC是等腰直角三角形∴CP＝PG＝15≈36.75（海里）∴补给船到达P所需时间为36.75÷30＝1.23（小时）∵1.95﹣1.23＝0.72（小时），0.72×60＝43.2（分）∴救援船不能在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．。
安徽省2020年中考数学总复习热点专项练4解直角三角形应用试题及参考答案
解直角三角形复习练习4 类型一测宽1.(2018?青海)如图,同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度.小宇同学在A处观测对岸点C,测得∠CAD=45°,小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD=30°,请根据这些数据算出河宽(精确到0.01米, ≈1.414, ≈1.732).解过C作CE⊥AB于E,设CE=x米.Rt△AEC中,∠CAE=45°,AE=CE=x.在Rt△BEC中,∠CBE=30°,BE=CE=x.∴x=x+60.解得x=30+30≈81.96米.答:河宽为81.96米.类型二测高2.(2018?云南昆明)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国----南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长.(结果保留小数点后一位)(参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90, ≈1.73)解如图,连接CB,过点A作AE⊥BD于E,在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,∴AE=ABcos30°=10×=5 (m),BE=ABsin30°=10×=5(m).∵BC=6.5m,∴CE=BC-BE=6.5-5=1.5(m),在Rt△ADE中,∵∠EAD=42°,AE=5,∴DE=AE?tan42°=5×0.9≈5×1.73×0.9=7.785(m),∴CD=DE-CE≈7.785-1.5=6.285≈6.3(m).类型三航行类3.(2018?四川眉山)知识改变世界,科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图,某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动,车到达A地后,发现C地恰好在A地的正北方向,且距离A地13千米,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地,求B、C两地的距离.参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈解过B作BD⊥AC,垂足为D,设AD=x,在Rt△ABD中,tanA=,即,∴BD=x.在Rt△BCD中,tan∠CBD=,即,∴CD=+x=13,解方程得:x=4-3.∴BD=12-3,在Rt△BCD中,cos∠CBD=,即: ,∴BC=20-5.答:B、C两地的距离为20-5千米. ?导学号16734126?类型四坡度、坡角类4.(2018?湖南邵阳)某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示,已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27)解由题意可知,在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10m,∴AD=AB=5m.在Rt△ACD中,sin∠ACD=.因为∠ACD=15°,AD=5m,所以sin15°==0.26.解得AC≈19.2m.答:AC的长度约为19.2m.。
中考数学总复习专题练习--解直角三角形及其应用.doc
一、选择题1. 轮船在B 处测得小岛A 在其北偏东32。
方向，从小岛A 观测B 处的方向为（）A.北偏东32°B.南偏西32°C.南偏东32°D.南偏西58°【答案】B 2.直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（ ） A. 150°B. 135°C. 120°D. 120° 或 135°【答案】B 3. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆"，如图1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结 点.当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不 计），其中AB 丄BC, EF 〃BC, ZAEF=143°, AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（ ）（参考数据：sin37°~0.60, cos37°~0.80, tan37°^0.75）【答案】BA. ® B © c © D@ 【答案】A 4.已知在ZkABC 中，AB=14, BC=13, tanB= -y ,则 sinA 的值为（） A-5 C.£ D *65o B宽度AC 之比），则AC 的长是（）A. 20海里B.40海里C. 20$海里D. 40 海里【答案】C &在离地面高度为5米处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60。
的角，则拉线的长是（）【答案】AA.5 © 米【答案】A B. 10 米 C. 15 米 D. 10点米6.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE1AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论：① △AEFs^CAB ；②CF=2AF ；③DF 二DC ；④tanZCAD= 五；正确的是（）B ----------------------- CA.4个B. 3个C. 2个 【答案】B 7.如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛C 位于北偏东60。
2022年九年级数学中考专题训练——解直角三角形的应用附详细解析
中考专题训练——解直角三角形的应用附解析1．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB ＝20cm，AB与墙壁AD的夹角∠α＝30°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝80°．现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（结果精确到1cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，≈1.41）．2．为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠PAB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732）3．如图1所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成．图2是其侧面结构示意图，支撑板CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB 可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（1）如图2，当∠CDE＝60°时，求点C到直线DE的距离；（2）如图3，当∠DCB＝90°时，再将CD绕点D转动，使点B落在DE上，求此时∠CDB的度数．4．火灾是生活中最常见、最突出的一种灾难，消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC（10m≤AC≤20m）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE＝3.5m．（1）当起重臂AC的长度为12m，张角∠CAE＝120°，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一居民家突发火灾，该居民家距离地面的高度为180m，该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）5．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB ＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离（线段AC）为10cm．求：（1）∠BAC＝°，OM＝；（2）此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.414）6．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）7．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝°，EF与AB的位置关系；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）8．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行．（1）若支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°，求两轮轮轴A，B之间的距离；（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）9．为应对新冠疫情，学校购进一批酒精消毒瓶（如图1），AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝8cm，BE＝6cm，当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan30°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）10．如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）11．住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m．已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°．（参考数据：sin35°≈0.57；cos35°≈0.81；tan35°≈0.70）（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1m）？（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？12．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC ＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．（1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；（2）若（1）中BC长度不变，当∠MAB＝30°时，求该挖掘机最远（即伸展臂伸展角∠ABC最大时）能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）14．激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？15．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）16．如图1是十五中行政楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）（1）求开门过程中B与C走过的路径之和；（2）此时B与C之间的距离为多少？（结果保留一位小数）17．为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？18．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）19．“荡秋千”一直以来都是人们喜闻乐见的休闲方式之一，某天，小鹏和小运两人玩荡秋千．左图为实际图，右图为侧面几何图．静止时秋千位于铅垂线AB上，转轴A到地面的距离AB为3m，荡秋千的起始位置为C，终点为D，点C距离地面为1.16米，安全链AC为2.3m．需要解决问题如下：（1）秋千位于起始位置点C时，安全链AC与铅垂线AB夹角（即∠CAB）的度数；（2）如果我们把荡秋千的最高点与起始点的铅直高度之差记作H，起始点至最高点的路径长记作L，H与L的比值记作P（愉悦度），据科学研究表明，当0.20＜P＜0.22时，C推出后可达到最高点D处，此时∠CAD＝100°．请问这个过程能否实现愉悦感最强？说明理由．（结果精确到0.01，参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin27°＝0.452，π＝3）20．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．参考答案与试题解析1．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB ＝20cm，AB与墙壁AD的夹角∠α＝30°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝80°．现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（结果精确到1cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，≈1.41）．【分析】过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．在△GAB中先求出GB、GA，再在△FAB中求出CF，最后利用线段的和差关系求出AD．【解答】解：如图，过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．在Rt△ABG中，∠BAG＝∠a＝30°，AB＝20cm，∴GB＝AB＝10cm，．在Rt△BCF中，∠FBC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，BF＝DE﹣BG＝40（cm），∴CF＝BF•tan∠FBC＝40tan40°≈33.6（cm），∴AD＝CE+CF﹣AG＝150+33.6﹣17.3≈166（cm）．答：安装师傅应将支架固定在离地面166cm的位置．2．为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠PAB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】设PC＝x米，根据等腰直角三角形的性质用x表示出AC，根据正切的定义列出方程，解方程求出x，得到CD的长，结合图形计算，得到答案．【解答】解：设PC＝x米，在Rt△ACP中，∠PAC＝45°，∴AC＝PC＝x，∴BC＝200﹣x，在Rt△BCP中，∠PBA＝30∴tan∠PBA＝，∴＝，解得x＝100﹣100≈100×1.732﹣100＝73.2，即PC＝73.2米，答：风筝的高度PC约是73.2米．3．如图1所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成．图2是其侧面结构示意图，支撑板CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB 可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（1）如图2，当∠CDE＝60°时，求点C到直线DE的距离；（2）如图3，当∠DCB＝90°时，再将CD绕点D转动，使点B落在DE上，求此时∠CDB的度数．【分析】（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，即可解答；（2）在Rt△DCB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，在Rt△CDF中，∠CDE＝60°，CD＝40mm，∴CF＝CD•sin60°＝40×＝60（mm），∴点C到直线DE的距离为60mm；（2）在Rt△DCB中，CD＝40mm，CB＝40mm，∴tan∠CDB＝＝＝，∴∠CDB＝30°，∴此时∠CDB的度数为30°．4．火灾是生活中最常见、最突出的一种灾难，消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC（10m≤AC≤20m）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE＝3.5m．（1）当起重臂AC的长度为12m，张角∠CAE＝120°，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一居民家突发火灾，该居民家距离地面的高度为180m，该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）【分析】（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．先在Rt△AGC中求出CG，再利用直角三角形的边角间关系求出CF；（2）先计算当AC长20m、∠CAE＝150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．【解答】解：（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．由题意知：四边形AEFG是矩形．∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝∠AGC＝∠AGF＝90°．∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝在Rt△AGC中，∵sin∠CAG＝，∴CG＝AC×sin30°＝12×＝6（m）．∴CF＝CG+GF＝3.5+6＝9.5（m）．答：云梯消防车最高点C距离地面的高度CF为9.5m．（2）过点C作CH⊥AE，交EA的延长线于点H．当AC＝20m，∠CAE＝150°时，∠HAC＝30°．在Rt△AHC中，∵cos∠HAC＝，∴AH＝cos∠HAC×AC＝cos30°×20＝×20＝10≈1.732×10＝17.32（m）．∴HE＝AH+AE＝3.5+17.32＝20.82（m）．由题意知，四边形HEFC是矩形，∴CF＝HE＝20.82m．∵20.82＜180，∴该消防车不能实施有效救援．5．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离（线段AC）为10cm．求：（1）∠BAC＝45°，OM＝ 5.5cm；（2）此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.414）【分析】（1）延长MO交AC于点D，则∠ADO＝90°，先利用平角定义求出∠AOD＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DAO＝70°，再利用角的和差关系可求出∠BAC，最后根据题意利用支点O到水平桌面的距离减去台灯底座高度即可求出OM 的长；（2）先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC，AB的长，从而求出AO的长，然后在Rt△ADO OD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）延长MO交AC于点D，则∠ADO＝90°，∵∠AOM＝160°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝20°，∴∠DAO＝90°﹣∠AOD＝70°，∵∠OAB＝115°，∴∠BAC＝∠OAB﹣∠DAO＝45°，由题意得：OM＝7.5﹣2＝5.5（cm），故答案为：45；5.5cm；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，AC＝10cm，∴BC＝AC•tan45°＝10（cm），AB＝AC＝10≈14.14（cm），由题意得：AO＝31.64﹣AB﹣OM＝12（cm），在Rt△ADO中，∠AOD＝20°，∴OD＝AO•cos20°≈12×0.94＝11.28（cm），∴BC+OD+7.5＝28.78（cm），∴此时点B到桌面的距离约为28.78cm．6．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）【分析】（1）以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO 与⊙O交于点Q，根据题意可得PD＝145m，DQ＝55m，从而求出PQ的长，进而可得OA＝OP＝PQ，进行计算即可解答；（2）过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，从而得∠DOF＝90°，EF＝OD，进而求出∠BOF＝44.4°，然后在Rt△BOF中求出BF，进行计算即可解答．【解答】解：如图，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO与⊙O交于点Q，由题意得：PD＝145m，DQ＝55m，∴PQ＝PD﹣DQ＝145﹣55＝90（m），∴OA＝OP＝PQ＝45（m），∴风轮叶片OA的长度为45m；（2）如图，过点B作BE⊥MN E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，则四边形ODEF是矩形，∴∠DOF＝90°，EF＝OD，由题意得：∠AOB＝120°，AOD＝14.4°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOD﹣∠DOF＝44.4°，∴BF＝OB sin44.4°≈45×0.70＝31.5（m），∵OD＝PD﹣OP＝145﹣45＝100（m），∴EF＝OD＝100m，∴BE＝BF+EF＝131.5（m），∴此时风叶OB的端点B距地面的高度为131.5m．7．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝147°，EF与AB的位置关系垂直；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）【分析】（1）①根据平行四边形的判定定理可知四边形GHMN是平行四边形，可得∠M ＝∠HGN＝147°；由AH⊥AB，EF∥AH，可知EF⊥AB；②过G作GP⊥EF，可求FP ＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，由四边形GDEP为平行四边形可得GD＝PE，即可求解；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P，由cos∠GNP＝＝＝0.55，可求∠GNP≈57°，可得∠NGP≈33°，∠NGD≈123°，即可求得∠PGD的值．【解答】解：（1）①∵GH＝MN，MH＝NG，∴四边形GHMN是平行四边形，∵∠NGD＝33°，∴∠M＝∠HGN＝147°，∵AH⊥AB，EF∥AH，∴EF⊥AB，故答案为：147，垂直；②过G作GP⊥EF，垂足为P，∵∠NGD＝33°，∴∠FGP＝57°，∴FP＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，∵GP⊥EF，EF⊥AB，∴GP∥AB，又∵DE∥AB，∴GP∥DE，∵EF∥AH，∴四边形GDEP为平行四边形，∴GD＝PE，∴EF＝DG+PF＝50+50+42≈142.0cm；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P．∴NP＝305﹣50﹣50﹣150＝55cm，∵NG＝GD＝100cm，∴cos∠GNP＝＝＝0.55，∴∠GNP≈57°，∴∠NGP≈33°，∴∠NGD≈123°，∴∠PGD≈123°﹣33°＝90°，故NF绕着G点顺时针旋转了90°．8．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行．（1）若支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°，求两轮轮轴A，B之间的距离；（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长度即可；（2）作辅助线，分别求出C点到AB的距离，F点到直线DO的距离，求和即可．【解答】解：（1）∵支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°，∴AB＝＝＝100（cm），即两轮轮轴A，B之间的距离为100cm；（2）过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG+CH，∵OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，∴∠FOG＝180°﹣120°＝60°，∵∠G＝90°，∴∠F＝30°，∴OG＝OF＝30，∴FG＝30，由（1）知AB＝100，AC＝80，BC＝60，＝AC•BC＝AB•，∴S△ABC即×100×CH＝×60×80，解得CH＝48，∴FG+CH＝48+30≈48+30×1.732≈100.0cm，即扶手F到AB所在直线的距离为100.0cm．9．为应对新冠疫情，学校购进一批酒精消毒瓶（如图1），AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝8cm，BE＝6cm，当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan30°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【分析】（1）由平行线的性质可求得∠D'BE＝72°，从而可求得∠DBD'＝36°，利用弧长公式即可求解；（2）过点D作DG⊥BD'于点G，过E作EH⊥BD'于点H，可求得DG＝4.72cm，HE＝5.7cm，利用平行线的性质可求解．【解答】解：（1）∵BD′∥EF，∠DBE＝∠BEF＝108°，∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝36°，∵BD＝8cm，∴点D转动到点D′的路径长为：（cm）；（2）过点D作DG⊥BD'于点E作EH⊥BD'于点H，如图，Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈8×0.59＝4.72（cm），Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°＝6×0.95＝5.7（cm），∴DG+HE＝10.42cm，∵BD'∥EF，∴点D到直线EF的距离约为10.42cm．10．如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）【分析】（1）连接CD，延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，利用等腰三角形的三线合一性质可得∠CBE＝37°，CD＝2CE，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，最后进行计算即可解答；（2）在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出CD的长，进而求出正六边形的边长，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接CD AB交CD于点E，则AE⊥CD，∵BC＝BD＝56mm，∴∠CBE＝∠CBD＝37°，CD＝2CE，在Rt△BCE中，BE＝BC•cos37°≈56×0.8＝44.8（mm），∵AB＝8mm，∴AE＝AB+BE＝8+44.8＝52.8（mm），∴A离纸面CD的距离约为52.8mm；（2）在Rt△BCE中，∠CBE＝37°，BC＝56mm，∴CE＝BC•sin37°≈56×0.6＝33.6（mm），∴CD＝2CE＝67.2（mm），∴正六边形的边长为67.2mm，∴正六边形的周长＝6×67.2＝403.2（mm），∴正六边形的周长约为403.2mm．11．住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m．已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°．（参考数据：sin35°≈0.57；cos35°≈0.81；tan35°≈0.70）（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1m）？（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？【分析】（1）根据直角三角形的边角关系进行计算即可；（2）根据直角三角形的边角关系计算出AN即可．【解答】解：（1）如图1，由题意可知，AB＝CD＝16.8m，∠ADB＝35°∵tan∠ADB＝，∴≈0.7，∴BD≈24.0米，答：两楼间的距离应为24.0m；（2）如图2，过点M作MN∥BD，在Rt△AMN中，BD＝20m＝MN，∠AMN＝35°，∴AN＝tan35°×MN≈14.0（m），∴MD＝AB﹣AN＝16.8﹣14.0＝2.8（m），答：这时南楼的影子会影响北楼一楼的采光，且影子在CD的高度为2.8m．12．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC ＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）在Rt△PDQ中，由∠PDQ＝30°得出DQ＝2，进而求出FP即可；（2）当∠ADC＝53°，PE＝3.2米时，求出PF，与2.1米比较即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，由题意可知，∠ADC＝60°，PE＝2.4米，QE＝0.4米，在Rt△PDQ中，∠PDQ＝30°，PQ＝2.4﹣0.4＝2（米），∴tan30°＝，∴DQ＝＝2（米），∴PF＝AB﹣DQ＝（6﹣2）（米），（2）当∠ADC＝53°，PE＝3.2米时，则∠DPQ＝53°，PQ＝3.2﹣0.4＝2.8（米），∴DQ＝PQ•tan53°≈2.8×1.33 3.724（米），∴PF＝6﹣3.724≈2.276（米），∵2.276＞2.1，∴能通过．13．如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．（1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；（2）若（1）中BC长度不变，当∠MAB＝30°时，求该挖掘机最远（即伸展臂伸展角∠ABC最大时）能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）【分析】（1）根据题意可得：∠BCA＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；（2）过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意可得：∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，从而利用三角形内角和定理求出∠ACD＝45°，然后在RtABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）如图：由题意得：∠BCA＝90°，在Rt△ABC中，∠MAB＝45°，AB＝4米，∴BC＝AB•sin45°＝4×＝2（米），∴伸展臂BC的长为2米；（2）过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意得：∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠MAB＝45°，在RtABD中，AB＝4米，∴AD＝AB•cos30°＝4×＝2（米），在Rt△BCD中，BC＝2米，CD＝BC•cos45°＝2×＝2（米），∴AC＝AD+CD＝（2+2）米，∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2+2）米的土石．14．激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．15．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）【分析】（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，利用平行线的性质可得∠BMH＝66.4°，然后在Rt△BMH中，利用锐角三角函数的定义求出MH的长，从而求出HP的长，即可解答；（2）延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，利用平角定义先求出∠NMK 的度数，再在Rt△NMK中，利用锐角三角函数的定义求出KM的长，从而求出PQ的长，进行比较即可解答．【解答】解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣17.6＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，。
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。
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热点专项练(四) 解直角三角形应用
类型一 测宽
1.
(2018·青海)如图,同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度.小宇同学在A处观测对岸点C,测得∠CAD=45°,小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD=30°,请根据这些数据算出河宽(精确到0.01米,2≈1.414,3≈1.732).
C作CE⊥AB于E,设CE=x米.
Rt△AEC中,∠CAE=45°,AE=CE=x.
在Rt△BEC中,∠CBE=30°,BE=3CE=3x.
∴3x=x+60.解得x=303+30≈81.96米.
答:河宽为81.96米.
类型二 测高
2.
(2018·云南昆明)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长.(结果保留小数点后一位) (参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,3≈1.73)
,连接CB,过点A作AE⊥BD于E,
在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,
∴AE=AB cos30°=10×
32=53(m),BE=ABsin 30°=10×1
2=5(m).∵BC=6.5m,∴CE=BC-BE=6.5-5=1.5(m),
在Rt△ADE 中,
∵∠EAD=42°,AE=53,
∴DE=AE ·tan42°=53×0.9≈5×1.73×0.9=7.785(m),∴CD=DE-CE ≈7.785-
1.5=6.285≈6.3(m).
类型三 航行类
3.
(2018·四川眉山)知识改变世界,科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图,某校组织学生乘车到黑龙滩(用C 表示)开展社会实践活动,车到达A 地后,发现C 地恰好在A 地的正北方向,且距离A 地13千米,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地,求B 、C 两地的距离.参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈3
5,tan 53°≈43
B 作BD ⊥A
C ,垂足为
D ,
设AD=x ,在Rt△ABD 中,tan A=BD AD ,
即3=BD x ,∴BD=3x.
在Rt△BCD 中,tan ∠CBD=CD BD ,
即43=CD 3x ,∴CD=43x 3,43x
3+x=13,
解方程得:x=43-3.∴BD=12-33,
在Rt△BCD中,cos∠CBD=BD
BC
,
即:3
5=12-3
3
BC
,∴BC=20-53.
答:B、C两地的距离为20-53千米.〚导学号16734126〛类型四 坡度、坡角类
4.(2018·湖南邵阳)某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.
如图所示,已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27)
,在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10m,∴AD=1
2
AB=5m.
在Rt△ACD中,sin∠ACD=AD
AC
.
因为∠ACD=15°,AD=5m,
所以sin15°=5
AC
=0.26.
解得AC≈19.2m.
答:AC的长度约为19.2m.。