湍流模型发展综述

湍流模型发展综述

摘要：在概述了湍流问题的基础上，本文简要介绍了湍流的四种模型，对湍流模型在不同情况下的模拟能力进行了对比，最后简述了湍流模型的发展方向。

关键词：湍流模型；Navier-Stokes方程组；J-K模型

Abstract：On the basis of introducing the problems of turbulence, this paper briefly analyzed four kinds of turbulence models and compared their ability of simulation in different situations. At last, the paper expounded the development direction of the turbulence model.

Key words：Turbulence model; Navier-Stokes equations; J-K model

一、引言

湍流又称紊流,是自然界中常见的一种很不规则的流动现象。当粘性阻尼无法消除惯性的影响时,自然界中的绝大部分流动都是湍流。

湍流运动的实验研究表明，虽然湍流结构十分复杂，但它仍然遵循连续介质的一般动力学规律，湍流流动的各物理量的瞬时值也应该服从一般的N-S方程。对粘性流体服从的N-S方程进行时均化，就可以得到雷诺平均方程。与定常的N-S方程相比，不同之处是在该式右边多了九项与脉动量有关的项，这脉动量的乘积的平均值与密度的乘积是湍流流动中的一种应力，称为湍流应力或雷诺应力。其中，法向雷诺应力和切向雷诺应力各有三个。

湍流问题就是在给定的边界条件下解雷诺方程。由于雷诺平均方程中未知数个数远多于方程个数而出现了方程不封闭的问题，这就需要依据各种半经验理论提出相应的补充方程式，即各种湍流模型。一般按照所用湍流量偏微分方程的物理含义或者数量进行区分，分别称为梅罗尔—赫林方法和雷诺方法。而后者又将湍流模型分成四类。（1）零方程模型；（2）一方程模型；（3）二方程模型；（4）应力方程模型。下面就对这些模型进行简单的描述。

二、湍流模型简介

1、零方程模型

最初的湍流模型只考虑了一阶湍流计算统计量的动力学微分方程，即平均方程，没有引进高阶统计量的微分方程，因而称之为一阶封闭模式或零方程模型。零方程模型又称为代数模型，代数模型又可以分成以下几种模型：（1）Cebeci —Smith 模型，（2）Baldwin—Lomax 模型，（3）Johnson—King 模型。

其中，B-L与C-S模型的不同之处在于外层湍流粘性系数取法不同。后者适用于湍流边界层，而前者则可用于 N-S方程的计算。此两模型已在工程计算中

得到广泛应用，其准确度和可靠性也得到了较多实验数据的验证。实践表明，对于接近平衡状态的平面或轴对称湍流边界层，C-S模型具有工程应用的足够精度。此两模型的缺点是运用了混合长度理论假设，这就意味着当平均速度梯度为零时湍流粘性系数为零。这导致在一些特殊区域如分离点及再附点附近代数模型不能准确地模拟该处的流动。还有，上述两个代数模型没有考虑湍流能量的传输和耗散。J-K湍流封闭模型则专门用来处理二维湍流边界层中存在强烈的逆压梯度和伴随存在分离的情况。为了加快在气流中压力梯度的变化，引入了一个新的近似来模拟湍流边界层中强烈的历史效应。这个模型不仅仅是一个涡的粘度模型，它还具有雷诺应力模型的特点。

2、一方程模型

对于一方程模型，有的是只计算湍流动能的传输，而有的是把两方程湍流模型作简化，如S-A模型等。对于完整的雷诺应力方程模型，包含了平均运动的一个连续方程和三个动量方程，雷诺应力的6个方程，k方程和ε方程，总共由包含12个未知量的12个微分方程组组成的封闭的方程组。如果还要计及传热则需计算温度或其它有关标量的分布，就要继续补充方程。对于一般工程中的湍流流动问题，这个方程组实在是太庞大了；对于复杂流动，若要求解此方程组，就目前已达到的计算机水平，无论是从计算时间或费用来说，都是不太可能的事。3、两方程模型

为进一步改善湍流模型，出现了考虑所有二阶关联量的雷诺应力模型。这是一种微分模型。在此模型的框架下，首先写出雷诺应力的动力学微分方程，然后对方程中出现的湍流扩散项、分子扩散、生成、耗散、压力等诸项模型化就得到了雷诺应力模型。但求解完整的雷诺应力模型，难度较大，由此人们从雷诺应力的输运方程出发，重新选取尺度因子建立了众多的两方程湍流模型，如k−ε，k−ω等，它们都需要求解两个输运方程。

二方程模型即 k −ε模型以其结构简单，使用方便经济的优点，在工程上得到了极为广泛的应用。但是标准的 k −ε模型也存在着一些缺陷。如该模型中的许多模拟项建立在各项同性的假设之上，使得该模型对于一些各项异性较强的流动（如分离流动）不能很好的进行模拟以及在粘性底层中存在数值困难等。Wicox 提出k−ω模型克服了k−ε模型的许多弱点，特别是在近壁面区域中，k−ω模型的性能比k−ε模型有较大的提高；然而，k−ω对自由来流的ω值非常敏感。Menter通过混合函数将这两种模型结合起来，既保留了k−ω模型在近壁面区域、k−ε模型在自由剪切层中各自的优良特性，又克服了k−ω模型对自由来流的ω值的敏感性，从而设计出一种新的BSL模型。

三、湍流模型模拟能力的对比

B-L模型广泛地应用于CFD领域，能够较好地模拟附体流动，对于较小的局部分离流动，该模型也有一定的模拟能力。当采用B-L模型计算跨声速分离流动时，其激波总是较实际激波位置靠后。

J-K模型需要求解一个关于最大粘性剪切应力分布的常微分方程。由Johnson D A和King L S于1985年首先提出，经过不断地完善和发展,陆续发表了几个版本。J-K85模型能较好地计算二维翼型分离流动,但是该模型在模拟附体平衡流动时激波位置过于靠前，确定边界层厚度非常困难。将J-K模型应用于机翼分离流动，提出了J-K90A模型，其中湍流耗散项仅用于恢复区域。同年,为改进J-K85模型模拟附体平衡流动激波位置靠前的不足，Johnson D A和Coakley T J提出了J-K90J模型，该模型考虑到压缩性影响，采用双曲正切函数形式混合的内层湍流粘性系数(由平衡流和J-K85模型内层粘性系数构成)，外层湍流粘性系数与J-K90A模型相同，只是合成流场湍流粘性系数的函数由指数函数修改为双曲正切函数。

肖志祥采用B-L模型,J-K90A及J-K92模型分别数值模拟了跨声速三维机翼、超声速细长旋成体流场。结果表明B-L、J-K90A和J-K92模型数值模拟跨声速和超声速流动，对于附体流动，三种湍流模型都能得到与实验吻合良好的结果；对中等分离流动J-K90A和J-K92模型模拟的结果与实验更接近，对大攻角、大分离流动J-K92模型则体现出较其他两个模型更好的模拟能力来。

刘学炎采用一方程的S-A模型、二方程的标准k-ε模型、RNG k-ε模型、Realizable k-ε模型和二方程的标准k-ω模型，五种不同的湍流模式对二维平板绕流进行数值模拟，并与经验公式相比较。结果显示，采用五种不同的湍流模式，数值模拟平板的粘性流场,由于平板两端形成的奇点的影响,平板前后端压力突变引起了局部摩擦阻力发生变化,但是这部分摩擦阻力很小对总的摩擦阻力影响不大。而S-A模型的计算结果和经验公式结果符合较好。

李超等借助CFD软件，采用k-ε模型、RNG k-ε模型和k-ω模型三种湍流模型对导管螺旋桨进行不同空化数条件下的空化性能计算，通过与试验数据对比，分析不同湍流模型、不同空化数对计算结果的影响。分析结果表明：k-ω模型计算更加稳定，更加容易收敛，精度也相对较高，因而与k-ε模型和RNG k-ε模型相比更适于对导管螺旋桨的空化性能进行计算；在空化数或进速系数较小的条件下，空化相对较剧烈，计算的相对误差较大，需要采用更加精确的空化模型或通过进一步提高网格质量来提高计算精度；另外，与k-ε模型和RNG k-ε模型相比，k-ω模型对空化数较敏感，对不同空化数条件下计算的相对误差变化较大。

四、总结