(完整word版)数列求和的各种方法
数列求和专题,方法大全,7种方法(全面模型+精选例题+习题附答案)精编材料word版
七、数列求和专题1．公式法等差数列求和公式： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列求和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．常用求和公式：1123(1)2n n n ++++=+L22221123(1)(21)6n n n n ++++=++L333321123[(1)]2n n n ++++=+L2．分组求和法如果一个数列的通项可以写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和法．3．错位相减法{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，采用错位相减法求解，在等式的两边同乘以{}n b 的公比，然后错位一项与{}n n a b ⋅的同次项对应相减，转化为特殊数列求和问题．需注意{}n b 共比为参数字母时，要对公比是否为1做讨论．它是等比数列前n 项和公式的推导方法．4．裂项相消法将数列每一项拆成两项或若干项，使得相加后有一些项可以相互抵消，从而求得其和．一般未被消去的项有前后对称的特点．常见裂项方法：①111(1)1n n n n=-++②1111()()n n k k n n k=-++③1111()(21)(21)22121n n n n=--+-+④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n=-+++++1k=⑥1log(1)log(1)logaa an nn+=+-注：（1）裂项常见公式没有必要死记硬背，例如对1(5)n n+裂项，可直接把分式从中间截断，变为115n n-+，再通分求得1155(5)n n n n-=++，与原式比较分母变为5倍，则把裂项后的结果115n n-+前面乘以15就变为与原式相等的裂项，即1111()(5)55n n n n=-++．（2）分母为根式相加形式的裂项，本质就是对分母有理化，即=1k=．（3）对数形式的裂项，考察的是对数的基本计算，利用对数性质巧妙构造相消项，如11log(1)log()log(1)loga a a ann nn n++==+-．5．倒序相加法一个数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，那么把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法．它是等差数列前n 项和公式的推导方法．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称为并项求和．形如(1)()n n a f n =-的数列，可用此法．7．含有绝对值的求和关键找到正负转折项进行分类讨论.练习题：答案解析：1n=也适合上式，故3104na n=-+令31040na n=-+≥，解得34.7n≤即当34n≤时，0na>；当35n≥时，0na<（1）当34n≤时，12||||||n nT a a a=+++L12na a a=+++L2320522nS n n==-+（2）当35n≥时，12||||||n nT a a a=+++L12343536()()na a a a a a=+++-+++L L342nS S=-23205350222n n=-+综上：223205(34)2232053502(35)22nnn nTnn n⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩数学浪子整理制作，侵权必究。
数列求和Microsoft Word 文档 (2)
第二讲数列求和(一)一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1二、精讲精练例题1、有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项? 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。
边学边练：等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项?例题2、有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少?【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。
第100项=3+4×(100-1)=399.边学边练：一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少?例题3、有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
数列求和七种方法技巧
数列求和的七种方法技巧包括：
1. 公式法：适用于等差数列、等比数列等基本数列的求和，可以直接使用求和公式进行计算。
2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，再除以2得到原数列的和。
3. 错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，通过错位相减的方式将原数列转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行计算。
4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得中间项相互抵消，从而求得数列的和。
5. 分组法：将数列中的项进行分组，然后分别求和，最后得到整个数列的和。
6. 乘公因式法：适用于具有公因式的数列，将公因式提取出来，然后进行求和。
7. 构造法：通过构造新的数列或方程，将原数列的求和问题转化为其他形式的问题进行求解。
以上是数列求和的七种方法技巧，可以根据具体情况选择适合的方法进行计算。
数列求和的基本方法和技巧学生用
数列求和的基本方法和技巧数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn[例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0)注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项．对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1222-⋯+n ），……的前顶和为ns，则ns的值。
二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
[例] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S （1≠x ）………………………①注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。
对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。
数列求和的七种基本方法
数列求和的七种基本方法数列求和是数学中常见的问题之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍数列求和的七种基本方法，包括等差数列求和、等比数列求和、算术平方平均数列求和、等差等比混合数列求和、调和数列求和、几何级数求和和级数求和。
通过了解和掌握这些方法，相信读者能更好地解决数列求和问题。
一、等差数列求和等差数列是指一个数列中的每两个相邻的项之差都相等。
求和等差数列的公式为：Sn = n(a1+an)/2，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，an是最后一个数。
二、等比数列求和等比数列是指一个数列中的每两个相邻的项之比都相等。
求和等比数列的公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是数列的和，a1是第一个数，q是公比，n是项数。
三、算术平方平均数列求和算术平方平均数列是指一个数列中的每两个相邻的项的算术平方平均数都相等。
求和算术平方平均数列的公式为：Sn=n(2a1+(n-1)d)/2，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，d是公差。
四、等差等比混合数列求和等差等比混合数列是指一个数列中的每两个相邻的项之比和差都相等。
求和等差等比混合数列的公式为：Sn = (a1+an)/2*n+(q^n-1)/(q-1)，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，an是最后一个数，q是公比。
五、调和数列求和调和数列是指一个数列中的每一项的倒数都与它的序号之比都相等。
求和调和数列的公式为：Sn=Hn/a，其中Sn是数列的和，Hn是调和数列的第n项，a是常数。
六、几何级数求和几何级数是指一个数列中的每个数都与前一项的比值都相等。
求和几何级数的公式为：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是数列的和，a是第一个数，q是比值，n是项数。
七、级数求和级数是无穷多个数连加的结果，求和级数的公式为：Sn=a/(1-r)，其中Sn是级数的和，a是第一个数，r是比值。
这七种基本的数列求和方法能够解决大部分数列求和问题。
数列求和方法(带例题和练习题)(可编辑修改word版)
数列求和主要思路：1. 求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式：2. 求和过程中注意分类讨论思想的运用：3.转化思想的运用； 数列求和的常用方法——、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：s 加严j ）〃” 2 1 2 [加 1 n （4=1） 2、 等比数列求和公式：S =八「（1一/） u 一 a qn ] _J _______ = 1 力 （g H 1）〔1-9 1-9 n13、S 〃=》k = l + 2 + 3 + +…+ /?..= -it （n +1）=l 2 + 22 +32 +...+ /* =^n(n +l)(2n+l) os n =^A ：3 = I 3 + 23 + 33+ •••+/73J 】公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数〃的值:（2）等比数列公比°未知时，运用前〃项和公式要分类。
例 1.求和 l+X + x2+・・ ・+0-2(“n2,XHO) 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛知• bn ｝的前n 项和，其中｛a n ｝. ｛0｝分别是等差数列和等比数列. 例 2・求和：1 +3x + 5x 2 + 7x 3 + ・・・ + (2〃一1)#12 4&例，求数列〒芦去 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用 倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的 例 4.求sin 2 h+ sin ' 2°+ sin ' 3。
+ …+ sin 2 88•+ sin 2 89。
的值例 4 变式训练八 求 cosl° +cos2° +cos3° +• • •+cosl78° +cosl79° 的值. 例 4 变式训练 2:数列｛an ｝： a t = 19a 2= 3, a 3= 2,a^2= a n ^x -a n , S2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中,若。
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。
下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。
一、等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
二、等比数列求和公式对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1或者当q=1时，$S=a_1n$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
三、几何级数求和公式对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1四、等差数列-等比数列混合求和公式对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1五、反比例数列求和公式对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：$S = \frac{n}{a_1}$六、算术-几何级数求和公式对于算术-几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差$S = \frac{a_1}{1-q} + \frac{d}{(1-q)^2}$，其中q≠1七、差分数列求和公式对于差分数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1+ (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用差分数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
求数列求和的方法
求数列求和的方法数列求和是数学中的一个重要问题，它涉及到数列的性质和求解方法。
在数学中，数列求和有多种方法，下面将为您介绍最常用的数列求和方法。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
等差数列求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的第一项，an表示等差数列的第n项，n表示等差数列的项数。
二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
等比数列求和的公式如下：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。
三、算术级数求和算术级数是指数列中每一项与前一项的差为一个固定的数d的数列，它可以看作是等差数列的变形。
算术级数求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示算术级数的前n项和，a1表示算术级数的第一项，an 表示算术级数的第n项，n表示算术级数的项数。
四、几何级数求和几何级数是指数列中每一项与前一项的比为一个固定的数q的数列，它可以看作是等比数列的变形。
几何级数求和的公式如下：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示几何级数的前n项和，a表示几何级数的第一项，q表示几何级数的公比，n表示几何级数的项数。
五、调和级数求和调和级数是指数列的每一项都是倒数数列的项的数列，它的求和公式如下：Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n其中，Sn表示调和级数的前n项和，n表示调和级数的项数。
六、费马数列求和费马数列是一个特殊的数列，它的每一项都是前一项的平方。
费马数列求和的公式如下：Sn=(a1^(n+1)-1)/(a1-1)其中，Sn表示费马数列的前n项和，a1表示费马数列的第一项，n 表示费马数列的项数。
七、斐波那契数列求和斐波那契数列是一个经典的数列，它的每一项都是前两项的和。
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数列求和的方法教学目标1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题． 教学内容知识梳理1．求数列的前n 项和的方法(1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝()21n a a n +＝na 1＋()d n n 21-. ②等比数列的前n 项和公式(Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝()qq a n --111＝a 1－a n q 1－q . ③常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n －1)= ，等 (2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法这是推导等差数列前n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(5)错位相减法这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列．(6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.123+++……+n=(1)2n n +2n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333123+++……+n =2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦2. 常见的裂项公式(1)()11+n n ＝1n －1n ＋1； (2)()k n n +1＝1k (1n －1n ＋k )； (3)()()12121+-n n ＝12(12n －1－12n ＋1)； (4)()()211++n n n ＝12()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+21111n n n n ； (5)1n ＋n ＋k ＝1k (n ＋k －n )． (6)设等差数列{a n }的公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)． 数列求和题型考点一 公式法求和1.(2016·新课标全国Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和.2.(2013·新课标全国Ⅰ，17)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.变式训练1.(2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .2.(2014·福建，17)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点二 错位相减法1.(山东)已知数列 的前n 项和S n =3n 2+8n ，是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）令 求数列的前n 项和T n .2.(2015·天津，18)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ⅠN *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ⅠN *，求数列{b n }的前n 项和.变式训练1.(2014·江西，17)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ⅠN *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； {}n a {}n b 1.n n n a b b +=+{}n b 1(1).(2)n n n n n a c b ++=+{}n c(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .2.(2014·四川，19)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ⅠN *).(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .3.(2015·湖北，18)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .4．(2015·山东，18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .5.(2015.浙江，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ⅠN *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ⅠN *).(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .6.(2015·湖南，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3, n ⅠN *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ；(2)求S n .考点三 分组求和法1.(2015·福建，17)在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝22 n a ＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值.2.(2014·湖南，16)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ⅠN *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a 2＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和.变式训练1.(2014·北京，15)已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.考点四裂项相消法1.(2015·新课标全国Ⅰ，17)S n为数列{a n}的前n项和．已知a n>0，a2n＋2a n＝4S n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，求数列{b n}的前n项和．2.(2011·新课标全国，17)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．3.(2015·安徽，18)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .变式训练1.(2013·江西，16)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1（n ＋1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2.(2013·大纲全国，17)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n .3.在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .考点五 倒序相加法已知函数f (x )＝14x ＋2(x ⅠR )．(1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12；(2)若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.变式训练1.设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.考点六 并项求和1.(2012·新课标，16)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________.2.(2014·山东，19)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝()21+n n a ，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .变式训练1.(2014·山东理，19)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .2.(2013·湖南，15)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ⅠN *，则：(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.考点七 数列{|a n |}的前n 项和问题1.(2011·北京，11)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________． 变式训练1.(2013·浙江，19)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列.(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.考点八 周期数列1.已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A ．2 008B ．2 010C ．1D ．0变式训练1.(2012·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A.1 006 B.2 012 C.503 D.0考点九 数列与不等式的应用1．(2014·新课标全国Ⅰ，17)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.2.(2015·浙江，20)已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ⅠN *)． (1) 证明：1≤a n a n ＋1≤2(n ⅠN *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12（n ＋2）≤S n n ≤12（n ＋1）(n ⅠN *)．3.(2013·江西，理)正项数列{a n }的前项和{a n }满足：222(1)()0n n s n n s n n -+--+=（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）令221(2)n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为n T 。