定积分的性质和基本定理
高等数学 定积分
第五章 定积分第一节 定积分的概念第二节 定积分的性质和中值定理第三节 微积分基本公式第四节 定积分的换元法第五节 定积分的分部积分法第六节 定积分的近似计算第七节 广义积分问题的提出定积分的定义 几何意义定积分存在定理第一节 定积分的概念abxyo?=A 曲边梯形由连续曲线实例1 （求曲边梯形的面积）)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一、问题的提出)(x f y =ab xyoab x yo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，,],[1210b x x x x x a b a n n =<<<<<=- 个分点，内插入若干在区间a bxyoi ξi x 1x 1-i x 1-n x ;],[],[11---=∆i i i i i x x x x x n b a 长度为，个小区间分成把区间形面积，曲边梯形面积用小矩上任取一点在每个小区间i i i x x ξ-],[1ii i x f A ∆ξ≈)(:))(],[(1近似为高为底，以i i i f x x ξ-（1）分割（2）近似ini i x f A ∆≈∑=)(1ξ曲边梯形面积的近似值为ini i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21→∆∆∆=λλn x x x 曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上t 的一个连续函数，且0)(≥t v ，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=∆i i i t t t ii i t v s ∆≈∆)(τ部分路程值某时刻的速度（3）求和ii ni t v s ∆≈∑=)(1τ（4）取极限},,,max{21n t t t ∆∆∆= λini i t v s ∆=∑=→)(lim 10τλ路程的精确值（2）近似设函数)(x f 在],[b a 上有界，记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 在],[b a 中任意插入若干个分点bx xx x x a nn =<<<<<=-121把区间],[b a 分成n 个小区间，各小区间的长度依次为1--=∆i i i x x x ，),2,1( =i ，在各小区间上任取一点i ξ（i i x ∆∈ξ），作乘积i i x f ∆)(ξ ),2,1( =i 并作和i i ni x f S∆=∑=)(1ξ，二、定积分的定义定义怎样的分法，⎰==ba I dx x f )(ii ni x f ∆∑=→)(lim 10ξλ被积函数被积表达式积分变量积分区间],[b a 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样的取法，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为积分上限积分下限积分和几点说明：（1） 定积分是一个数值，它仅与被积函数及积分区间有关，⎰b a dx x f )(⎰=b a dt t f )(⎰=ba duu f )(而与积分变量的字母无关.)( ,)()( 2⎰⎰⎰=-=aaabbadx x f dx x f dx x f 规定：）（.],[)(],[)( 3的取法无关的分法及的和式的极限与所表示上可积，则在区间若）（i bab a dx x f b a x f ξ⎰,0)(≥x f ⎰=ba Adx x f )(曲边梯形的面积,0)(≤x f ⎰-=ba Adx x f )(曲边梯形的面积的负值a b xyo)(x f y =AxyoabA -)(x f y =三、定积分的几何意义1A 2A 3A 4A 4321)(A A A A dx x f ba ⎰=-+-,],[)(变号时在区间b a x f 三、定积分的几何意义.)(是面积的代数和⎰badx x f几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于x x b x a x x f x ==,)(++--当函数)(x f 在区间],[b a 上连续时，定理1定理2 设函数)(x f 在区间],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在四、定积分的存在定理区间],[b a 上可积.例1 利用定义计算定积分.12dx x ⎰解将]1,0[n 等分，分点为nix i =，(n i ,,2,1 =)小区间],[1i i x x -的长度nx i 1=∆，(n i ,,2,1 =)取i i x =ξ，(n i ,,2,1 =)i i n i x f ∆∑=)(1ξi i ni x ∆=∑=21ξ,12i ni ix x ∆=∑=.,102的选取无关及法故和式极限与区间的分可积因为i dx x ξ⎰n n i ni 121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∑==n i i n 12316)12)(1(13++⋅=n n n n ,121161⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ∞→⇒→n 0λdx x ⎰102i i ni x ∆=∑=→210lim ξλ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n 121161lim .31= 几何上是曲线y=x 2,直线x=1及x 轴围成的曲边三角形面积.例2 利用定义计算定积分.121dx x⎰解在]2,1[中插入分点 12,,,-n q q q ,典型小区间为],[1ii q q -，（n i ,,2,1 =）小区间的长度)1(11-=-=∆--q qq q x i i i i ,取1-=i i qξ，（n i ,,2,1 =）i i ni x f ∆∑=)(1ξi ni ix ∆=∑=11ξ)1(1111-=-=-∑q q q i ni i ∑=-=ni q 1)1()1(-=q n 取2=nq即nq 12=),12(1-=n n )12(lim 1-+∞→xx x x xx 112lim1-=+∞→,2ln =)12(lim 1-∴∞→nn n ,2ln =dx x ⎰211i ni ix ∆=∑=→101lim ξλ)12(lim 1-=∞→n n n .2ln =i i ni x f ∆∑=)(1ξ原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+π-++π+π=∞→n n n n n n n nsin )1(sin 2sin sin 1lim π=∑=∞→n i n n i n 1sin 1lim n n i ni n π⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ=∑=∞→1sin lim 1.sin 10⎰ππ=xdx ix ∆i ξ例3：将下列和式极限表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++∞→n n n n n n πππ)(sin sin sin lim121 ：五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限Z .思考n n n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dxx f e 2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n 证明n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛∞→ 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21lim ln n n n n f n f n f ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim 试证.1)(ln ⎰=dx x f e 利用对数的性质得⎪⎭⎫⎝⎛∑==∞→n i f n ni n e1ln 1lim n n i f ni n e1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==∞→ 指数上可理解为：)(ln x f 在]1,0[区间上的一个积分和．分割是将]1,0[n 等分分点为nix i =，（n i ,,2,1 =）⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=n n n n f n f n f e21ln lim 极限运算与对数运算换序得nn i f n i n 1ln lim 1⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→⎰=10)(ln dx x f 故nn n n f n f n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→ 21lim.10)(ln ⎰=dxx f e 因为)(x f 在区间]1,0[上连续，且0)(>x f 所以)(ln x f 在]1,0[上有意义且可积 ,2：将和式极限，表示成定积分.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ⎰∑-=-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=∞→∞→∞→1021222222222411)(41lim )(41)2(41)1(411lim 41241141lim dxx n ni n n n n n n n n n n i n n n 解第二节 定积分的性质、中值定理1.定积分性质2.中值定理对定积分的补充规定:（1）当b a =时，0)(=⎰ba dx x f ；（2）当b a >时，⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(.说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、定积分性质和中值定理证⎰±ba dxx g x f )]()([i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ⎰=ba dx x f )(.)(⎰±ba dx x g ⎰±b a dx x g x f )]()([⎰=b a dx x f )(⎰±ba dx x g )(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数).证⎰ba dx x kf )(ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i n i x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ.)(⎰=ba dx x f k 性质2⎰ba dx x f )(⎰⎰+=bcca dx x f dx x f )()(.补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例 若,c b a <<⎰c a dx x f )(⎰⎰+=cb b a dx x f dx x f )()(⎰b a dx x f )(⎰⎰-=cb c a dxx f dx x f )()(.)()(⎰⎰+=bc ca dx x f dx x f （定积分对于积分区间具有可加性）假设bc a <<性质3dx b a ⋅⎰1dx ba⎰=a b -=.则0)(≥⎰dx x f ba. )(b a <证,0)(≥x f ,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i =,0≥∆i x ,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆= λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 1ξλ.0)(⎰≥=ba dx x f 性质4性质5如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值dx e x⎰-20和dx x ⎰-20的大小.解令,)(x e x f x -=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x exdx ex⎰-∴2,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-2.20dx x ⎰-<性质5的推论：证),()(x g x f ≤ ,0)()(≥-∴x f x g ,0)]()([≥-∴⎰dx x f x g ba ,0)()(≥-⎰⎰ba ba dx x f dx x g 于是 dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(.则dx x f ba ⎰)( dx x g ba ⎰≤)(. )(b a <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）dx x f b a ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤- ,)()()(dx x f dx x f dx x f ba ba ba ⎰⎰⎰≤≤-∴即dx x f ba ⎰)(dx x f ba⎰≤)(.说明： 可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质5的推论：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤ ,)(⎰⎰⎰≤≤∴ba ba b a Mdx dx x f dx m ).()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，性质6例2 估计积分dx x⎰π+03sin 31值的范围.解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx x dx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x例3 估计积分dx xx⎰ππ24sin 值的范围.解,sin )(xx x f =2sin cos )(x x x x x f -='2)tan (cos x x x x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ,0<)(x f 在]2,4[ππ上单调下降,,22)4(π=π=f M ,2)2(π=π=f m ,442π=π-π=-a b ,422sin 4224π⋅π≤≤π⋅π∴⎰ππdx x x .22sin 2124≤≤∴⎰ππdx x x 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，上的平均值在],[)()(1b a x f dxx f a b ba⎰-则在积分区间],[b a 上至少存在一个点 ξ，使dx x f b a ⎰)())((a b f -=ξ. )(b a ≤≤ξ性质7（定积分中值定理）积分中值公式证Mdx x f a b m ba≤-≤∴⎰)(1)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ 由闭区间上连续函数的介值定理知在区间],[b a 上至少存在一个点 ξ,)(1)(⎰-=ξbadx x f a b f dx x f ba ⎰)())((ab f -=ξ.)(b a ≤≤ξ即在区间],[b a 上至少存在一个点ξ，1. 积分中值公式的几何解释：xyoa b ξ)(ξf 使得以区间],[b a 为以曲线)(x f y =底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(ξf 的一个矩形的面积。
定积分的概念及性质
定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一． 定积分的定义A ）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰b adx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。
例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。
注：1、有定义知道⎰ba dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替3、如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。
可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
17定积分与微积分基本定理(含答案)
17定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1 b －a nf (ξi )，当n →∞时，上 述和式无限接近某个□01常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝lim n →∞ ∑ni ＝1b －an f (ξi )．其中f (x )称为□02被积函数，a 称为积分□03下限，b 称为积分□04上限． 2.定积分的几何意义性质1：⎠⎛a b kf (x )d x ＝□01k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． 性质2：⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝□02⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a b g (x )d x . 性质3：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋□03⎠⎛c b f (x )d x . 4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝□01F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛abf (x )d x ＝F (x )b a ＝□02F (b )－F (a )． 5．定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S . (1)S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；(2)S ＝□01－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)S ＝□02⎠⎛ac f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ； (4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x . 6．定积分与函数奇偶性的关系函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0.练习1.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( ) A.8ln 3 B ．8 C.9ln 3D ．9答案 A解析 设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点E (2,9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023x d x ＝＝8ln 3. 2.已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0 到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20 答案 B 解析3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在答案 C 解析＝＝13x 310＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2－12×22－⎝⎛⎭⎪⎫2－12＝13＋4－2－2＋12＝56. 4. ＝( )A ．7 B.223 C.113 D ．4答案 C 解析＝＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －x 3310＝4－13＝113.5. 的值为________．答案 2(e －1) 解析＝2⎠⎛01e x d x ＝2·e x 10＝2(e －1)．6．若f (x )＝3＋2x －x 2，则＝________.答案 π解析 令y ＝3＋2x －x 2，则(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，所以函数f (x )的图象是以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x 轴上方(包括x 轴)的部分，所以＝14×π×22＝π7．如图，已知点A (0,1)，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上移动，过P 点作PB垂直x 轴于点B ，若图中阴影部分的面积是四边形AOBP 面积的13，则P 点的坐标为________．答案 (1,1)解析 由题意，点P (x 0，y 0)，则梯形AOBP 的面积为12(1＋y 0)x 0＝12(1＋x 20)x 0，且阴影部分的面积为又阴影部分的面积是梯形AOBP 面积的13，∴13x 30＝13×12(1＋x 20)x 0，解得x 0＝0或x 0＝±1； 取x 0＝1，则y 0＝1，∴P 点的坐标为(1,1)．8.如图，矩形OABC 中曲线的方程分别是y ＝sin x ，y ＝cos x .A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.43－1πB.42－1πC ．4(3－1)πD ．4(2－1)π答案 B解析 由题可知图中阴影部分的面积故选C.9．如图，点M 在曲线y ＝x 上，若由曲线y ＝x 与直线OM 所围成的阴影部分的面积为16，则实数a 等于( )A.12B.13C ．1D ．2答案 C解析 由题意，M (a ，a )，直线OM 的方程为y ＝xa，故所求图形的面积为得a ＝1，故选C.10．若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(A >0，ω>0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．答案2－32解析 由图可知，A ＝1，T 2＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，T ＝2π，∴ω＝1， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴图中的阴影部分的面积为＝1－32＝2－32. 11．一物体做变速直线运动，其 v t 曲线如图所示，则该物体在12～6 s 间的运动路程为________ m.答案 494解析由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 0≤t <1，21≤t ≤3，13t ＋13<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得所以物体在12～6 s 间的运动路程是494m.12．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g答案 C解析 由题意知电视塔高为＝2g －12g ＝32g .13.若则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1 答案 B 解析 因为所以，S 2<S 1<S 3.14．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．5 3 C.323D.353答案 C解析 联立⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝3－x 2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－6，由图可知，阴影部分的面积可表示为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×－3－13×－33－－32＝323. 15．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5000B ．6667C ．7500D ．7854答案 B解析 图中阴影部分的面积为⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 310＝23，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为10000×23≈6667，故选B.16．若＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 ∵(x 2)′＝2x ，(ln x )′＝1x ，∴⎠⎛1a⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝＝(a 2－1)＋ln a ，由＝3＋ln 2(a>1)，所以(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2，所以a ＝2.17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．－2答案 C解析 由f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ，得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝0是原函数的一个极值点，∴f ′(0)＝b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，⎠⎛a 0(x 3－ax 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－13ax 30a＝0－a 44＋a 43＝a 412＝112，∴a ＝±1.函数f (x )与x 轴的交点横坐标一个为0，另一个为a ，根据图形可知a <0，得a ＝－1.18．如图，由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积为________．答案4 3解析令y＝－1得到A(－2，－1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(2，－1)．设围成的图形的面积为S，因为y轴两边的阴影部分关于y轴对称，所以。
定积分的计算知识点总结
定积分的计算知识点总结一、定积分的定义。
1. 概念。
- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x_0将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δ x=(b - a)/(n)。
在每个小区间[x_i - 1,x_i]上取一点ξ_i(i =1,2,·s,n)，作和式S_n=∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。
当nto∞时，如果S_n的极限存在，则称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_a^bf(x)dx，即∫_a^bf(x)dx=limlimits_n→∞∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。
- 这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式。
2. 几何意义。
- 当f(x)≥slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，∫_a^bf(x)dx表示位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质。
1. 线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
2. 区间可加性。
- ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^bf(x)dx，其中a < c < b。
3. 比较性质。
- 如果在区间[a,b]上f(x)≥slant g(x)，那么∫_a^bf(x)dx≥slant∫_a^bg(x)dx。
- 特别地，<=ft∫_a^bf(x)dxright≤slant∫_a^b<=ftf(x)rightdx。
定积分知识点总结等价
定积分知识点总结等价在本文中，我们将对定积分的基本概念、性质和求解方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用定积分。
一、定积分的基本概念定积分可以看作是一个区间上面积的度量，它描述了函数在一定区间上的总体变化情况。
在数学上，定积分可以理解为函数在指定区间内的面积或者是曲线的弧长，在物理上可以表示为质量、能量、熵等的总量。
1.1 定积分的定义设f(x)在区间[a, b]上有定义，且[a, b]是有限闭区间，将[a, b]上的分割记作Δ，记Δ的任一分点为x0, x1, ..., xn，对应的区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]。
则对应的分割Δ表示为：Δ = {x0, x1, ..., xn}Δ的长度记作δxi = xi - xi-1，假设Δ长度的最大值为δ = max{δxi}。
我们将区间[a, b]分成n个小区间，当n趋于无穷大时，（也就是每个小区间的长度趋于0），则这个过程称为区间[a, b]的分割，也称之为区间[a, b]的划分。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用如下的极限形式定义：∫（a->b）f(x)dx = lim（Δ->0）Σ（i=1->n）f(xi*)δxi其中，xi*是区间[xi-1, xi]上的任意一点。
1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是非常直观的，它表示了曲线与坐标轴以及两条直线之间的面积。
当函数f(x)在区间[a, b]上是非负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a, x=b之间的面积。
当函数f(x)在区间[a, b]上是有正有负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中函数f(x)在区间[a, b]上的正值与负值部分面积互相抵消，最终得到曲线与x轴之间的面积。
1.3 定积分的物理意义在物理上，定积分可以用来描述某一物理量在一定的时间或空间范围内的总量。
例如，对于质量密度为ρ(x)的一根杆在区间[a, b]上的质量总量可以表示为：m = ∫（a->b）ρ(x)dx这里ρ(x)dx表示了杆上长度为dx的小段的质量。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总在微积分学中，定积分是一个基本概念。
它是将一个区间上的函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。
在这篇文章中，我们将详细介绍定积分的相关知识点，包括定义、性质、计算方法以及一些重要的定理。
一、定积分的定义定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的面积或体积表示出来的过程。
这里我们主要探讨二维平面内的定积分。
在数学语言中，定积分的定义可以写作：$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$表示每份长度。
$x_i$是第$i$份区间的中间点，即$a+(i-\frac{1}{2})\Delta x$。
$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形的面积之和，$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于无穷大。
最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。
二、定积分的性质1. 线性性$\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$2. 区间可加性$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$3. 积分中值定理如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的，则存在一个$c\in[a, b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。
其中$c$称为积分中值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数（即$F'(x)=f(x)$）。
三、定积分的计算方法1. 分段函数对于分段函数$f(x)$，我们需要将其分段拆分并分别进行计算。
定积分的概念
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割 求和 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
取极限
精确值——定积分
四.定积分的性质 一、基本内容
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时，a f ( x )dx 0 ；
b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
(4) s lim v ( i )t i v ( t )dt 0 T
T2
1
n
i 1
A lim f ( i )xi
0 i 1
n
b
a
f ( x )dx
二、定积分存在定理
定理1 当函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上连续时， [
[ 称 f ( x ) 在区间 a , b] 上可积.
1 . 2
例2 利用定义计算定积分
i 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i ，(i 1,2, , n ) n 1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n
0 x dx.
2
1
i 取 i xi ( i 1,2,3,4...,n) y n n n 2 f ( i )xi i xi
o
i 1 n
i n
1
x
f ( )x
i 1 i i
n 1
n 1 i 1
i 1 n 1 2 i n( n 1) 2 2 n n i 1 2n
n1 2n
0 n
1
0
xdx lim i xi 0
定积分知识点总结
北京航空航天大学李权州一、定积分定义与基本性质1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数)1,...,1,0(1-=-=∆+n i x x x i i i 中最大者.在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=.)1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ而做成总和∑-=∆=10)(n i i i x f ξσ然后建立这个总和的极限概念：σπ0||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义：0>∀ε，0>∃δ，在||||πδ<时，恒有εσ<-||I则称该总和σ在0→λ时有极限I .总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为⎰=badx x f I )(2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则⎰⎰≥babadx x g dx x f ,)()(特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则⎰≥badx x f 0)((2) 积分的线性性质⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα特别地，有⎰⎰=bab ax f c dx x cf )()(.设f(x)在[a,b]上可积，且连续，(1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得)()()(θf a b dx x f ba-=⎰二、达布定理1.达布和分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和∑∑=+=+-=-=ni i i i ni i i i x x m f S x x M f S 1111)(),(,)(),(ππ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界.回到一般情况，有上下界定义知道i i i M f m ≤≤)(ξ将这些不等式逐项各乘以i x ∆(i x ∆是正数)并依i 求其总和，可以得到),(),(f S f S πσπ≤≤推论1 设f(x)在[a,b]上有界. 设有两个分割π，'π，'π是在π的基础上的加密分割，多加了k 个新分店，则||,||),(),'(),(||,||),(),'(),(πωππππωπππk f S f S f S k f S f S f S +≤≤-≥≥这里m M m M ,,-=ω分别为f 在[a,b]上的上、下确界. 推论2 设f(x)在[a,b]上有界. 对于任意两个分割',ππ，有)(),(),()(a b M F S f S a b m -≤≤-ππ2.达布定理定义 设f(x)在[a,b]上有界，定义。
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第二节 定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。
因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效§2.1一、定积分的基本性质性质 1b a1dx=∫b adx=b-a证 0lim →λ∑=n1i f(ξi ）Δx i ＝lim →λ∑=n1i １·Δx i ＝0lim →λ(b-a)=b-aba 1dx=∫badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］ba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ba f(x)dx+β∫b ag(x)dx证：设F(x)=αf(x)+βg(x),lim →λ∑=n1i F(ξi ）Δx i ＝0lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］Δxi＝0lim →λ［α∑=n1i f(ξi ）Δx i ＋β∑=n1i g(ξi ）Δx i ］＝αb af(x)dx+β∫bag(x)dxαf(x)+βg(x)在［a,bba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b ag(x)dx特别当α=1,β=±1ba ［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx ±∫b ag(x)dx当β=0ba αf(x)dx=α∫b af(x)dx性质 2性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意两点构成的区间上可b af(x)dx=∫c a f(x)dx+∫bcf(x)dx证a,b,c(i)当a<c<b ，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b ］时，可以让点C是一个固定的b af(x)dx= 0lim →λ∑],[b a f(ξi ）Δx i∑],[c a＝0lim →λ［∑],[c a f(ξi ）Δx i ＋∑],[b c f(ξi )Δxi＝0lim →λ∑],[c a f(ξi )Δx i ＋0lim →λ∑],[b c f(ξi ）Δxica f(x)dx+∫bcf(x)dx（ii)当c<b<a由(i)a cf(x)dx=∫bc f(x)dx+∫abf(x)dx-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b af(x)dx, ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b cf(x)dx 对于其它4种位置与(ii)性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。
性质4 若f(x)在［a,b ］上可积，f(x)≥0，且a<b,b af(x)dx ≥证 由f(ξi ）≥0,Δx i >0，有f(ξi ）Δx i>0∑=n1i f(ξi ）Δx i >0b af(x)dx=0lim →λ∑=n1i f(ξi ）Δx i ≥性质4性质5 若f(x),g(x)在［a,b ］上可积，f(x)≥g(x)，且a<bba f(x)dx ≥∫bag(x)dx证：由f(x)-g(x)≥0，由性质2，4b af(x)dx-∫ba g(x)dx ＝∫ba ［f(x)-g(x)］dx ≥性质5性质6 若f(x)在［a,b ］上连续f(x)≥0但f(x)baf(x)dx>0证 由f(x)=0，则存在x 0∈［a,b ］，不妨设x ０∈(a,b)，有f(x ０)>0，由f(x)在［a,b ］上连续，所以在点x ０处连续，即0x x lim →f(x)=f(x ０)>0，由连续保号性知，对0<2)x (f 0<f(x ０），存在δ１>0，当x ∈(x ０-δ１,x ０＋δ１）时，有f(x)>2)x (f 0x ∈［x ０－21δ，x ０＋21δ］⊂ (x ０－δ１，x ０＋δ１）时，f(x)> 2)x (fba f(x)dx=∫x ０－21δaf(x)dx+⎰δ+δ-2x 2x 1020f(x)dx+∫bx ０＋21δf(x)dx⎰δ+δ-2x 2x 1020f(x)dx ≥⎰δ+δ-2x 2x 10202)x (f 0 dx=2)x (f 0⎰δ+δ-2x 2x 1020dx=2)x (f 01δ>0 性质6推论 若f(x),g(x)在［a,b ］上连续，f(x)≥g(x)，且f(x)≠g(x)，a<bb af(x)dx>∫b ag(x)dx若将性质5－｜f(x)｜≤f(x)≤｜f(x)ba ｜f(x)｜dx ≤∫b a f(x)dx ≤∫ba ｜f(x)｜dx性质7 若f(x)在［a,bb af(x)｜dx ≤∫ba ｜f(x)｜dx性质8 若f(x)在［a,b ］上连续，m 、M 是f(x)区间［a,bm(b-a)b af(x)dx ≤M(b-a)证：由m ≤f(x)≤M,x ∈［a,b ］a<b由性质5m(b-a)=b amdx ≤∫b a f(x)dx ≤∫b amdx=M(b-a)性质9 (积分中值定理)若f(x)在闭区间［a,b ］上连续，a<b 则至少存一点ξ∈［a,bb af(x)dx=f(ξ)(b-a)证：由性质8m(b-a)b af(x)dx ≤M(b-a)不等式两边同除b-a ，由b-a>0m ≤ab dx )x (f ba-⎰≤M由f(x)在［a,b ］上连续，则［m,M ］为函数值域，故至少存在一点ξ∈［a,bab dx )x (f ba-⎰＝f(ξ)(2.2)则b af(x)dx=f(ξ)(b-a)积分中值定理的几何意义：设f(x)≥0b af(x)dxy=f(x),y=0,x=a,x=b 同成的曲边梯形面积，如图５-５表明，在区间［a,b ］上至少存在一点ξ，以ξ处的纵坐标f(ξ)为高，(b-a)为底的矩形面积，等于该曲边梯形的面积。
图５-５f(ξ)即(2.2)式左边所确定的值，称为函数f(x)在区间［a,b］上的平积分中值定理与微分中值定理同样重要，利用积分中值定理可以证明方程根的存在性，适合某种条件ξ的存在性及不等式，有时与微分中值定理综合运例 设函数f(x)在［0,1］上连续，(0，1)内可导，且3 132f(x)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点ξ，使f ′（ξ)=0证：由积分中值定理知，在［32，１］上存在一点c,３⎰132f(x)dx=３·f(c)（１－32）＝f(c)=f(0)故f(x)在区间［0,c ］上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点ξ∈(0,c) ⊂ (0,1)使f ′(ξ)=0例 证明∞→n lim ⎰210x1x n+dx=0证0≤⎰210x1x n+dx＝n n n1ξ+ξ21 ０≤ξn ≤21０≤ξnn ≤（21）n ，由∞→n lim （21）n=0，由夹逼定理知∞→n lim ξnn ＝０，而0<n11ξ+有∞→n lim 21·ξnn ·n11ξ+∞→n lim ⎰210x1x n+dx=0§2.2积分学基本定理设f(x)在区间X 上连续，a ∈X 是一固定点，任给x ∈X ，有［a,x ］或［x,a ］⊂X ，所以f(t)在［a,x ］或［x,a ］上连续，则f(t)在［a,x ］或［x,a ］上可积，对每一个x ∈X 都有唯一的值x af(t)dtx af(t)dtX 上的一个函数，称为变上限函数，记作G(x)G(x)=x af(t)dt x ∈X二、微积分学基本定理定理 设f(x)在区间X 上连续，a ∈X是一固定点，G(x)=x af(t)dt x ∈X定义的函数G(x)在X 上可导，且G ′(x)=f(x)，也x af(t)dt 是被积函数f(x)在X证 任给x ∈X 当｜Δx ｜充分小时，有x+Δx ∈X，0x lim→∆x)x (G )x x (G ∆-∆+ 0x lim→∆xdt)t (f dt )t (f xaxx a∆-⎰⎰∆+x lim→∆xdt)t (f dt )t (f axxx a∆+⎰⎰∆+0x lim→∆x dt)t (f x x x∆⎰∆+0x lim →∆x x )(f ∆∆ξ0x lim →∆f(ξ) ξ介与x,x+Δx＝xlim →ξf(ξ） 由f(t)在x所以xlim →ξf(ξ)=f(x)，因此，G(x)在xG ′(x)=dxd ∫xaf(t)dt=f(x)本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似乎不相干的概念之间的推论 若函数f(x)在某区间X 上连续，则在此区间上f(x)的原函数存在，原函数的一般表达式可写成x af(t)dt+C其中C 是任意常数，a ∈X 为固定点，x ∈X这个定理告诉我们区间上的连续函数一定存在原若u(x),v(x)在区间X 上可导，当x ∈X 时，u(x),v(x)∈E 且f(x)在区间Edx d ⎰)x (u )x (v f(t)dt=f(u(x ′)u ′(x)-f(v(x))v ′(x)事实上，取a ∈E ，a为定点，利用导数的运算法则dx d ⎰)x (u )x (v f(t)dt=dxd［⎰a )x (v f(t)dt+⎰)x (u a f(t)dt］＝dxd［－⎰)x (v a f(t)dt+⎰)x (u af(t)dt＝f(u(x))u ′(x)-f(v(x)V ′(x)dx d ⎰)x (u af(t)dt=f(u(x))u ′(x)， dx d ⎰)x (v a f(t)dt=-f(v(x)v ′(x)，dxd∫ax f(t)dt=-f(x)例 3 dx d ⎰32x xcost ２dt 解 dxd ⎰32x x cosx ２dt=3x ２cos t ６－2xcosx ４例4 求0x lim→422x 0xdt t 1t sin 2+⎰解 0x lim→422x 0x dt t 1tsin 2+⎰（0＝0x lim →322x4x 2x 1x sin + ＝210x lim →32x x x ⋅·2x11+＝21三、牛顿—数情况下是行不通的，而微积分学基本定理却为定积分的计算方法开避了新途径，我们有下面的定定理二(牛顿—莱布尼兹公式)设函数f(x)在［a,b ］上连续且F(x)∫baf(x)dx=F(b)-F(a)证 由定理条件知，∫ x a f(t)dt 是f(x)在区间［a,b ］上的一个原函数，而F(x)也是f(x)在区间［a,b∫x a f(t)dt-F(x)≡C,C即∫xa f(t)dt ≡F(x)+C在上式两边令x=a ，有０＝∫aa f(t)dt=F(a)+C ，有C=-F(a)∫x af(t)dt=F(x)-F(a)再令x=b，∫baf(t)dt=F(b)-F(a) 即 ∫b af(x)dx=F(b)-F(a)公式(2.5)称为牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式，这是一个非常重要的公式，它给出了定积分与不定积分之间的联系，通过它，我们可利用不定积分来计算定积分，而不必用求和式极限的方法来计算，这个公式是定积分计算的基础，为了书写方便，常用F(x)｜b a表示F(b)-F(a)，于是公式(2.5) ∫b a f(x)dx=F(x)｜b a=F(b)-F(a)例5 求∫１０x ３dx 解 ∫10x ３dx ＝41x ４10＝41（１－０）＝41例6 求⎰π20(x ２+2cosx)dx解⎰π20(x ２+2cosx)dx ＝⎰π20x ２dx+⎰π2cosxdx＝31（x ３20π)＋２(sinx 20π＝31（83πsin 2π-sin＝243π例7 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧π≤≤ππ≤≤x 2x 2x 0x sin 若若 求⎰π0f(x)dx解 由函数f(x)在［０，２］上有间断点2π，除该点外函数连续，由本章第一节定理已知f(x)在［０，π⎰π0f(x)dx ⎰π20sinxdx+⎰πn2xdx＝-(cos x 20π）＋21（x ２n2π＝１＋21（π２－42π）＝１＋83π２第三节定积分的计算方法§3.1虽然定积分的计算可以归结为求被积函数的原函数，但有时求被积函数的原函数是比较麻烦的，例如用变量代换法，求得原函数后，再换回原来的变量，而定积分只需计算出它的值，由不定积定理(定积分换元积分法)若函数f(x)在［a,b ］上连续作变量代换x=ψ(t)，ψ(t)(i)ψ(α)=α，ψ(β)=b 且ψ(t)∈［a,b ］,t ∈［α、β(ii)在［α，β］(或［β，α］)上有连续的导数ψ′(t)∫b a f(x)dx=∫βαf ［ψ(t)］ψ′(t)dt证 由(3.1)式两边的定积分的被积函数都是连续，所以它们的原函数都存在，设F(x)是f(x)在［a,b ］上的原函数，即F ′(x)=f(x)，由dtdF(ψ(t))=F ′(ψ(t))ψ′(t)=f(ψ(t))ψ′(t)，即F(ψ(t))是f(ψ(t))ψ′(t)的原函数，由牛顿—∫b a f(x)dx=F(x)｜b a=F(b)-F(a)∫βαf(ψ(t))ψ′(t)dt=F(ψ(t))｜βα=F(ψ(β))-F(ψ(α))=F(b)-F(a)从而(3.1)公式(3.1)式从右向左又称为定积分的凑微分法，∫βαg(t)dt=∫βαf(ψ(t))ψ′(t)dt=F(ψ(t))｜βα=F(ψ(β))-F(ψ(α))公式(3.1)式从左向右又称为定积分的变量代换在用变量代换法时，为了保证ψ(t)∈［a,b ］，只需ψ(t)在［α，β］(或［β，α］)上单调即可。