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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
导数及其应用课件PPT
3
A. 6
B.0
解析 ∵f′(x)＝( x)′＝21 x，
1 C.2 x
∴f′(3)＝2 1 3＝
3 6.
12345
3 D. 2
解析答案
12345
3.设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的
倾斜角的范围是( A ) A.[0，π4]∪[34π，π)
B.[0，π)
C.[π4，34π]
即 y＝－12x＋ 23＋1π2.
解析答案
(2)求曲线 y＝sinπ2－x在点 A－π3，12处的切线方程. 解 ∵sinπ2－x＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
∴曲线在点
A－π3，12处的切线的斜率为
k＝－sin－π3＝
3 2.
∴切线方程为 y－12＝ 23x＋π3，
即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1).
所以点
P
到直线
y＝x
|0－1| 的最小距离为 2 ＝
2 2.
解后反思
解析答案
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当堂检测
1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( C )
A.0
B.2x
C.6
D.9
解析 ∵f(x)＝x2，
∴f′(x)＝2x，
∴f′(3)＝6.
12345
解析答案
2.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于( A )
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 几个常用函数的导数 原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x
f(x(x)＝_1_ f′(x)＝_2_x f′(x)＝－x12 f′(x)＝21 x
导数及其应用课件PPT
又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值.
解析答案
12345
4.某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增
加 100 元，已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 r＝400x－21x2，0≤x≤400， 80 000， x＞400，
则总利润最大时，年产量是( )
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为
x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，
问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)
解 依题意，有 xy＋12·x·2x＝8，∴y＝8－x x42＝8x－4x(0＜x＜4 2)，
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
S′(x)＝6x2－24x＋16，
令
S′(x)＝0，得
导数及其应用PPT教学课件
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
则平均变化率为
Vf 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
Vx
x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x x y
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
=6Δx+(Δx)2
再求 Vf 6 Vx Vx
再求 lim Vy 6 Vx0 Vx
小结：
时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-
7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由键是求出：Vf Vx 3 Vx
lim 再求出 Vf Vx0 Vx
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
： 当Δt趋近于0时,平均
通过列表看出平均速度的变化速度趋有势什么变化趋势?
瞬时速度?
• 我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”.
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
导数在实际生活中的应用PPT教学课件
为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高
与底面半径比为多少？
解:设桶底面半径为R,
则 桶 高 为h
V
R2
桶的用料为
S(R)
2
R2
2
R
V
R2
2 R2 2V ,
R
S'(R)
4
R
2V R2
,
令S'(R)
4
R
2V R2
0,
解得R
V
2
h R
此时，h
V
R2
V
3
V
2
2
4V 2 V
2
即h 2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q. 求产量q为何值 8
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
3、辨别真伪
我是历史 小专家
（1）汉武帝时大力推行儒学教育，在长安兴
办太学。（
）
X （2）董仲舒建议汉高祖，允许诸侯王把自己 的封地分给子弟，建立较小的侯国。（ ）
（3）汉文帝时，西汉在政治、经济、军事和
X 思想上实现了大一统，进入鼎盛时期（ ）
通过本课的学习你知道 了哪些历史人物?你最欣赏或 最钦佩谁?说说你喜欢或钦佩 他的理由。
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数在实际生活中的应用教学课件
数值模拟与仿真
数值模拟
导数可以用于数值模拟中的偏微分方程求解，例如在物理学、化学和生物学 等领域中，利用导数求解偏微分方程可以模拟自然现象的规律。
计算机仿真
导数可以用于计算机仿真中的参数优化和模型验证，例如在金融、交通和生 态等领域中，利用导数进行参数优化和模型验证可以提高仿真结果的准确性 和可靠性。
2023
《导数在实际生活中的应 用教学课件》
目录
• 导数概述 • 导数在物理中的应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程中的应用 • 导数的进一步应用
01
导数概述
导数的定义
1 2
定义
导数是函数值随自变量变化的速度，即函数在 某一点的导数表示函数在这一点变化率的大小 。
数学表达
如果函数y = f(x)在x = x0处可导，则称f'(x0)为 函数f(x)在x0处的导数。
稳定性
在船舶设计中，导数可以帮助分析船体的稳定性。例如，通过分析船体的重心以 及浮力的变化，利用导数可以确定最优的船体设计以实现稳定的航行。
05
导数的进一步应用
最优控制与决策
最优控制
导数可以用于求解最优控制问题，例如在工程、经济和金融 等领域中的最优控制策略，以实现系统性能的最优。
决策分析
导数可以用于决策分析中的最优选择问题，例如在风险评估 和预测分析中，利用导数求解最优投资组合或最优路径选择 等。
边际成本与边际收益
边际成本
导数可以用来描述成本的变化率，即边际成本。在经济学中 ，边际成本是指增加一单位产量所增加的成本。通过导数， 我们可以分析不同生产规模下的边际成本，从而优化生产决 策。
边际收益
与边际成本相对应，导数也可以用来描述收益的变化率，即 边际收益。在经济学中，边际收益是指增加一单位产量所增 加的收益。通过导数，我们可以分析不同生产规模下的边际 收益，从而优化销售决策。
导数应用ppt课件
工具
第二章 函数、导数及其应用
x
(－3，－2) －2
－2，23
2 3
23，1
f′(x)
＋0－0 Nhomakorabea＋
f(x)
极大值
极小值
工具
第二章 函数、导数及其应用
∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x＝ 23 处取得极小值 f32＝9257，又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9257.
令1－2sin x＝0，且x∈0，π2时，x＝π6，
当x∈0，π6时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈π6，π2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴f(x)max＝fπ6.故选B.
答案： B
工具
第二章 函数、导数及其应用
4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数， 则a的最大值是________． 解析： f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)＝0⇒a＝3. 答案： 3
由原点到切线 l 的距离为 1100，则 3|m2＋| 1＝ 1100，
工具
第二章 函数、导数及其应用
解得m＝±1. ∵切线l不过第四象限，∴m＝1. 由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4， ∴c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ . 当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下表：
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－
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(2)求区间端点以及驻点或不可导点的函数值;
(3)比较大小，最大者就是最大值,最小者就是最小值.
例1:求函数f (x) 6 12x x3在3，3上
的最大值与最小值.
解：f ' x 12 3x2 x3,3
令f ' x 0,解得：x 2或x 2
又f (2) 22，f (2) 10，f (3) 15, f (3) 3
1、最大利润问题
例2.设每批生产 x 单位某种产品的费用为 C(x) 200 4x ，
得到的收益为 R(x) 10x x2 ，问每批生产多少单位产品时 100
才能使利润最大？并求最大利润.
解：设利润函数为 L x R(x) C(x) 10x x2 (200 4x)
100
则L(x) 6 x
4.某厂全年生产用A种材料5170吨，每次订购费用为570元，每吨A种 材料单价为600元，库存保管费用率为14.2%，试求最优订购批量， 批次及周期，使得总费用最小.
课堂小结：
实际问题求最值的步骤： ①根据实际问题建立目标函数； ②求目标函数的最值可疑点； ③若目标函数只有唯一驻点， 则该点的函数值即为所求最值.
课堂练习
1.设某厂生产某种产品 q件所需要的成本为 C(q) 5（q元 2）00
销售后得到的总收入为 R(q) 10q（0元.0）1q2
问生产多少件产品才能使利润最大？ 2.已知某厂生产 q件产品的成本为 C(q) 25000 （20元0q） ，1 q2
40 问生产多少件产品才能使平均成本最小？ 3.某种产品的需求函数为 Q( p) 7，5其 p中2 p为价格，Q为需求量. 问当p为多少时收入最大？最大收入是多少？
.
所以全年总费用 E 是由订货费 E1和仓库保管费 E2 两部分构成,即
24000 q
38400000
E E1 E2 1600
q
4012% 2.4q 2
q
则 dE dq
2.4
38400000
q2
,
令 dE dq
0，得唯一驻点q
4000.
故当批量为q=4000，批次n=6，周期为T=2（月）时，全年总费用最省.
的订购费用为1600元.由于该物品不易保管，库存保管费率为
12%，所以必须分期分批订货.试求最优订购批量 q 、批次 n 及
周期 T ，以使全年总订购费与仓库报管费最省.
解：设订购批量为 q件,则订购批次为 n= 24000 次，而进货周期
为 T 1 年. n
q 又平均库存量为批量的一半，即为
q 2
作业布置： 1.书P73 习题2.5/1、5、6、7
2.预习导数的应用----洛必达法则
谢谢各位莅临指导！再见！
Thanks everyone
问题为最优化问题。
一、函数的最大值与最小值问题
1.若函数 y f (x)在a,b上连续，则函数 y f (x)
在a,b 上的最大值和最小值存在.
y 2.最值可疑点：驻点
或不可导点、区间端点
y=f(x)
o a x1x2 x3 x4 x5
x x6 b
3.在给定区间上求最值的步骤: (1)求函数的驻点或不可导点;
购套数不超过300套，每套售价400元；若订购套数超过300套
时，每超过一套可以少付1元.问怎样的订购数量，才能使工厂销售收入最大？
解：设订购套数为 q,则销售收入函数为
400q,0 q 300 R(q) pq 700q q2, q 300
则R(q)
400, 0 q 300 700 2q, q 300
函数f (x) 6 12x x3在3，3上的
最大值为22，最小值为10.
*给定区间求最值的步骤： 1、求驻点； 2、计算； 3、比较确定最值.
二、经济生活中的最优化问题 实际问题求最值的步骤：
①根据实际问题建立目标函数；
②求目标函数的最值可疑点；
③若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求最值. 若目标函数只有一个极值，则这个极值即为所求最值.
2.5 导数的应用
——最优化问题
著名数学家华罗庚在《人民日报》上发
表了《大哉数学之为用》精彩描述了数
学在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、 化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之 繁”等各方面无处不有的重要贡献。
在经济生活中，我们常常会需要解决“投入最少”、 “成本最低”、“效益最好”等实际问题，数学上称这样的
6x x2 200 100
50
令L(x) 6 x =0，得唯一驻点x 300 50
故每批生产300单位产品时才能使利润最大，且最大利润为L(300) 700
2、成本最低问题
例3.设某产品在日产量为 q件时所需要的成本为
，
C(q) 18q 40 q 100(百元)，求使平均成本最小的日产量.
令R(q)=0，得驻点q1 350, 且q2 300是不可导点.
当q 350时， R(q) 0；当 q 350时， R(q) 0.
所以q 1
350是极大值点，也是最大值点；而
q 2
300不是极值点.
即将订购套数控制在350套时工厂销售收入最大.
4、库存管理问题
例5.某企业需某种物品24000件/年，其价格为40元/件，每次
解：设平均成本函数为 C(q) C(q) 18 40 100
q
则C (q )
20 qq
100 q2
令C(q) 20 100 =0，得唯一驻点q 25 q q q2
故当每天的产量为q=25(件)时，平均成本达到最小.
3、最大收入问题
例4.一家工厂生产一种成套的电器维修工具，厂家规定，订