高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件
合集下载
高中数学 第1章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课件 a选修22a高二选修22数学课件
第三十六页，共三十八页。
12/12/2021
第三十七页，共三十八页。
内容(nèiróng)总结
第一章 导数及其应用。解剖难点 探究(tànjiū)提高。课堂基础达标
No Image
12/12/2021
第三十八页，共三十八页。
a
12/12/2021
第五页，共三十八页。
2．微积分基本定理揭示了_导__数__(_dǎ_o_sh_ù)与_定__积__分_(_jī_fēn之) 间的内 在联系，同时它也提供了计算__定__积__分__(j_īfē_n_) __的一种有效方法．
12/12/2021
第六页，共三十八页。
12/12/2021
F(a)．由此可以看出，积分运算与求导运算互为逆运算．注意： 只有 f(x)在[a，b]上连续，定积分bf(x)dx 才存在.
a
12/12/2021
第八页，共三十八页。
12/12/2021
课堂(kètáng)互动探究
归纳(guīnà)透析 触类旁通
第九页，共三十八页。
题型一 利用微积分定理求定积分 计算下列函数的定积分．
答案：76
12/12/2021
第十五页，共三十八页。
(1)计算：
x＋1，x≤1，
(2)已知 f(x)＝12x2，x＞1，
计算2f(x)dx 的值． 0
【思路探索】 对于(1)，由于 sin22x的原函数不易直接找出，
可先变形再计算；对于(2)，由于 f(x)为分段函数，可按分段标准
将积分化为两段积分的和．
则e
f(x)dx
的值为(
)
0
A．43
B．2
C．1
D．23
12/12/2021
2020_2021学年高中数学第1章导数及其应用1.6微积分基本定理课件新人教A版选修2_22021
图2
图3
1．由牛顿－莱布尼茨公式，下列各式中正确的是( )
b
A.aF′(x)dx＝F′(b)－F′(a) b
B.aF′(x)dx＝F′(a)－F′(b) b
C.aF′(x)dx＝F(b)－F(a) b
D.aF′(x)dx＝F(a)－F(b)
【答案】C
2．若定积分2(ax＋1)dx＝4，则实数 a 的值为( ) 0
(3)原式＝ (1＋cos x)dx＝(x＋sin x) ＝π2＋1. (4)原式＝10(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－31x310＋13x3－x21＝2.
定积分综合问题
【例 2】 已知函数 f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，f′(1) ＝2，1f(x)dx＝0，求函数 f(x)的解析式．
1.6 微积分基本定理
1．微积分基本定理 (1)定理内容： 如果函数 f(x)是区间[a，b]上的__连__续__函__数__，并且 F′(x) ＝__f_(x_)__，那么bf(x)dx＝_F_(_b_)_－__F_(_a_) .
a
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_牛__顿__—__莱__布__尼__茨__公．式
(2)定理的符号表示：bf(x)dx＝F(x)ba ＝__F_(_b_)_－__F_(a_)_. a
2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图 1，则bf(x)dx＝
a
__S_上___. (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 2，则bf(x)dx＝
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
3．设函数 f(x)＝x22－，xx，∈x[∈0，11，]，2]，
高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理新人教A版选修
＝6x－x2－x3＋14x4|
3 2
＝6×3－32－33＋14×34－6×2－22－23＋14×24
＝94－4＝－1.75.
(3)
3 1
x＋ 1x26xdx＝31x＋1x＋26xdx
3
＝ 1
(6x2＋6＋12x)dx
＝(2x3＋6x＋6x2)|
3 1
＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)
＝112.
5－1f(x)dx＝－ 1 1x2dx＋13xdx＋533dx＝13x3|
1－1＋12x2|
31＋3x|
5 3
＝23＋4＋6＝1023.
(2)f(x)＝x42－－x42， ，
x≥2或x≤－2， －2<x<2，
3
2
3
∴0|x2－4|dx＝0(4－x2)dx＋2(x2－4)dx
＝4x－13x3|
20＋13x3－4x|
2
[提示2] 由定积分的几何意义得0 (2x＋1)dx＝6.
[问题3] 求F(2)－F(0)的值． [提示3] F(2)－F(0)＝4＋2＝6. [问题4] 你得出什么结论？
2
[提示4] 0f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．
微积分基本定理
内 如果f(x)是区间[a，b]上的__连__续___函数，并且
容 F′(x)＝__f_(_x_) __，那么baf(x)dx＝_F__(b_)_－__F_(_a_)__
符 号
abfxdx＝Fxba＝__F_(_b_)－__F__(a_)
定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S
则 下．
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则
最新2019-2020年人教统编高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件1新人教A版选修
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F＇(x)＝f
（x)，那么
b
a f (x)dx F (b) F (a)
这个结论叫做微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式 （Newton-Leibniz formula).
或记作
b a
f(x)dx
=
F(x)
b a
=
F(b)-
F(a).
b
f(x)d x
F
(
x)
b
F (b )F (a)
a
a
微积分基本定理表明：
一个连续函数在区间[a,b] 上的定积分等于它 的任意一个原函数在区间[a,b] 上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意: 当 a b 时， F (x)=f(x)
1 x
3 1
9
1
1 3
1
22 3
.
例 2 计 算 下 列 定 积 分 :
π sinxdx,2π sinxdx,2π sinxdx.
0
π
0
解 因为 cos x ' sin x,
0
sin
xdx
cos
x
|0
cos
cos 0
2;
2
sin
xdx
cos
x
|2
cos
2
cos
2;
2
0
sin
xdx
cos
x
|02
cos
2
cos
0
0
.
我们发现： 定积分的值可取正值也可取负值，还可能是0；
（1）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值；
（x)，那么
b
a f (x)dx F (b) F (a)
这个结论叫做微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式 （Newton-Leibniz formula).
或记作
b a
f(x)dx
=
F(x)
b a
=
F(b)-
F(a).
b
f(x)d x
F
(
x)
b
F (b )F (a)
a
a
微积分基本定理表明：
一个连续函数在区间[a,b] 上的定积分等于它 的任意一个原函数在区间[a,b] 上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意: 当 a b 时， F (x)=f(x)
1 x
3 1
9
1
1 3
1
22 3
.
例 2 计 算 下 列 定 积 分 :
π sinxdx,2π sinxdx,2π sinxdx.
0
π
0
解 因为 cos x ' sin x,
0
sin
xdx
cos
x
|0
cos
cos 0
2;
2
sin
xdx
cos
x
|2
cos
2
cos
2;
2
0
sin
xdx
cos
x
|02
cos
2
cos
0
0
.
我们发现： 定积分的值可取正值也可取负值，还可能是0；
（1）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值；
2019秋高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件新人教A版选修2_2
[变式训练]
x3，x∈[0，1]， 求函数 f(x)＝ x，x∈[1，2]，在区间
2x，x∈[2，3]
[0，3]上的积分．
解：由积分性质，得：
∫30f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx＋∫32f(x)dx
＝∫10x3dx＋∫21 xdx＋∫322xdx
1
＝∫10x3dx＋∫21x2dx＋∫322xdx
＝13×(23－13)＋2×(2－1)－12－1
＝269.
(2)∫94 x(1＋ x)dx ＝∫94( x＋x)dx
＝
2 3x
x＋12x294
＝23×9×3＋12×92－23×4×2＋12×42 ＝2761.
类型 2 求分段函数的定积分
[典例❷]
＝x44|10＋23x32|21＋ln2x2|32 ＝14＋43 2－23＋ln82－ln42 ＝－152＋43 2＋ln42.
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)
[典例 3] 已知 x∈[1，2]，f(x)＝∫10(1－2x＋2t)dt， 则 f(x)的值域是________．
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数的导 数．( ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算 方便通常取原函数的常数项为 0.( ) (3)只有在连续的区间上才能用微积分基本定理求定 积分的值．( ) （4）若=F′（x）= f（x）,则 F（x）唯一( )
高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件新人教A版选修220721119
＝ 31ax3＋cx10＝a3＋c. f(x0)＝ax20＋c，
∴a3＝ax20，即
x0＝
33或－
3 3.
∵0≤x0≤1，∴x0＝
3 3.
第十五页，共26页。
反思(fǎn
解析(jiě
跟踪训练 2 (1)已知 x∈(0,1]，f(x)＝ʃ10(1－2x＋2t)dt，则 f(x)的值域 是__[_0_,2_)___. 解析 f(x)＝ʃ10(1－2x＋2t)dt ＝(t－2xt＋t2)|10＝－2x＋2(x∈(0,1]). ∴f(x)的值域为[0,2).
(1)对被积函数，要先化简，再求积分.
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再
求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.
2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，
因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，
第九页，共26页。
解析(jiě xī)
(3)ʃ21[2x2＋xx＋1－cos x]dx＝_4_＋__ln__2_－_s_i_n_2_＋__s_in__1_. 解析 ʃ21[2x2＋xx＋1－cos x]dx ＝ʃ21(2x＋1＋1x－cos x)dx ＝(x2＋x＋ln x－sin x)|21 ＝6＋ln 2－sin 2－(2－sin 1) ＝4＋ln 2－sin 2＋sin 1.
重点难点 个
第八页，共26页。
解析(jiě xī)
(2)ʃ20|1－x2|dx＝____2____. 解析 |1－x2|＝1x2－－x12， ，01≤ <xx≤≤21. ， ʃ20|1－x2|dx＝ʃ10(1－x2)dx＋ʃ21(x2－1)dx ＝ x－13x310＋ 31x3－x21 ＝23＋73－1＝2.
高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件新人教版选修2_2
a
上的改变量 F(b)－F(a) . 以路程和速度之间的关系为例解释如下： 如果物体运动的速度函数为v＝v(t)，那么在时间区间[a，b]内物体的位 移s可以用定积分表示为 s＝bv(t)dt .
a
另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s＝s(t)， 那么在时间区间[a，b]内物体的位移为 s(b)－s(a) ，
0
－6
解析 因为函数f(x)为偶函数，
且6f(x)dx＝8，所以6 f(x)dx＝26f(x)dx＝16.
0
－6
0
课堂小 结 1.求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分. (2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积 分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. 2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值， 因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之 和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
＝－2，求 a、b、c 的值.
解 由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2.
①
而又f′1f(x(x)d)＝x＝2ax1 ＋(abx，2＋∴bfx′＋(c0))d＝x b＝0，
0
②0
＝13ax3＋12bx2＋cx10 ＝13a＋12b＋c，
∴13a＋12b＋c＝－2，
③
由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
上的改变量 F(b)－F(a) . 以路程和速度之间的关系为例解释如下： 如果物体运动的速度函数为v＝v(t)，那么在时间区间[a，b]内物体的位 移s可以用定积分表示为 s＝bv(t)dt .
a
另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s＝s(t)， 那么在时间区间[a，b]内物体的位移为 s(b)－s(a) ，
0
－6
解析 因为函数f(x)为偶函数，
且6f(x)dx＝8，所以6 f(x)dx＝26f(x)dx＝16.
0
－6
0
课堂小 结 1.求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分. (2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积 分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. 2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值， 因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之 和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
＝－2，求 a、b、c 的值.
解 由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2.
①
而又f′1f(x(x)d)＝x＝2ax1 ＋(abx，2＋∴bfx′＋(c0))d＝x b＝0，
0
②0
＝13ax3＋12bx2＋cx10 ＝13a＋12b＋c，
∴13a＋12b＋c＝－2，
③
由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课件 新人教A版选修2-2
跟踪训练 1 求下列定积分：
(1)1xndx；
0
(2)
2π
(cosx－sinx)dx；
0
(3)21ex－1xdx.
解析：(1)1xndx＝n＋1 1xn＋1|
1 0
0
＝n＋1 1×1n＋1－n＋1 1×0n＋1
＝n＋1 1.
(2)
2π
(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)|
2π 0
0
＝(sin2π＋cos2π)－(sin0＋cos0)
＝0.
(3)21ex－1xdx＝(ex－lnx)|
2 1
＝(e2－ln2)－(e1－ln1)
＝e2－e－ln2.
类型二 求分段函数的定积分 [例2] (1)若f(x)＝xco2，sxx－≤10，，x>0， 求 (2)计算定积分2|3－2x|dx.
号
a
2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图①，则bf(x)dx＝S 上．
a
(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图②，则bf(x)dx＝－S 下． a
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则 bf(x)dx＝S 上－S 下．
3．
π 2
(1＋cosx)dx 等于(
)
- π
2
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
解析：原式＝[x＋sinx]
＝π2＋sin2π－－π2＋sin－π2＝π＋2. 答案：D
4．若k(2x－3x2)dx＝0，则 k 等于( )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)∵(sin x－cos x)′＝cos x＋sin x，
2π
∴ π
(cos
x＋sin
x)dx＝(sin
x－cos
x)|
2π π
＝(sin 2π－cos 2π)－(sin π－cos π)
＝(0－1)－[0－(－1)]
＝－1－1＝－2.
f(x)dx＝
__S_上___．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
b
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②，则af(x)dx＝ ____－__S_下___．
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如
图
③
，
则
b
a
f(x)dx
符 号
abfxdx＝Fxba＝__F_(_b_)－__F__(a_)
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S
则 下．
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则
a
＝
_S_上__－__S_下___
，
若
S
上＝S
b
下
，
则
a
f(x)dx
＝
___0_____.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
对微积分基本定理的理解
b
(1)微积分基本定理表明，计算定积分
a
f(x)dx的关键是找
到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2． (1＋cos x)dx 等于( )
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
解析：
＝π2＋sin2π－－π2＋sin－π2＝π＋2. 答案： D
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2
[问题 2] 利用定积分的几何意义求0 (2x＋1)dx 的值．
2
[提示2] 由定积分的几何意义得0 (2x＋1)dx＝6.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[问题3] [提示3] [问题4]
求F(2)－F(0)的值． F(2)－F(0)＝4＋2＝6. 你得出什么结论？
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
合作探究 课堂互动
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求简单函数的定积分
求下列定积分：
2
(1) (3x2＋x－1)dx； 0
2π
(2)π (cos x＋sin x)dx；
0
(3)
(ex－cos x)dx.
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．下列值等于 1 的是( )
1
A．0xdx
1
C．01dx
1
B.0(x＋1)dx D．1012dx
解析： 10xdx＝12x2| 10＝12；10(x＋1)dx＝12x2＋x| 10＝32；
1
01dx＝x|
10＝1；1012dx＝12x|
10＝12.
答案： C
数学 选修2-2
2
[提示4] 0f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
微积分基本定理
内 如果f(x)是区间[a，b]上的__连__续___函数，并且
容 F′(x)＝__f_(_x_) __，那么baf(x)dx＝_F__(b_)_－__F_(_a_)__
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．6 微积分基本定理
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x， [问题1] f(x)和F(x)有何关系？ [提示1] F′(x)＝f(x)．
3．若a12x＋1xdx＝3＋ln 2，则a的值是________．
解析：Байду номын сангаас
a12x＋1xdx＝(x2＋ln
x)|
a 1
＝(a2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a2－1)＋ln a＝3＋ln 2.
a2－1＝3， ∴a>1，
a＝2，
∴a＝2.
答案： 2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
4．已知
f(x)＝xco2，s x－1，
x≤0， x>0，
1
试求－1f(x)dx.
解析： － 1 1f(x)dx＝0－1x2dx＋01(cos x－1)dx ＝13x3| 0－1＋(sin x－x)| 10＝sin 1－23.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
(2)牛顿－莱布尼兹公式指出了求连续函数定积分的一般
方法，把求定积分的问题，转化成求原函数(F(x)叫做f(x)的原
函数)的问题，揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也
提供计算定积分的一种有效方法．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
－π
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基
本定理求解．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(1)∵x3＋12x2－x′＝3x2＋x－1，
∴20(3x2＋x－1)dx＝x3＋12x2－x|
2 0
＝23＋12·22－2－0＝8.
数学 选修2-2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
0
∴ －π
(ex－cos
x)dx＝(ex－sin
x)|
0 －π
＝(e0－sin 0)－[e－π－sin(－π)]
＝1－e－π.
数学 选修2-2