最新高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.1
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高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
第三章 §3.1 导 数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
2020秋新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 导数及其应用 3.3.1
M 3.3.1 函数的单调性与导数
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
2.利用导数判断函数单调性的基本方法 剖析设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导, (1)若恒有f'(x)>0,则函数f(x)在(a,b)内为增函数; (2)若恒有f'(x)<0,则函数f(x)在(a,b)内为减函数; (3)若恒有f'(x)=0,则函数f(x)在(a,b)内为常数函数. 3.利用导数求函数单调区间的基本步骤 剖析(1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f'(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0; (4)确定f(x)的单调区间.
②当 b>0 时,令 y'>0,解得 x> ������或x<− ������,
所以函数的单调递增区间为(-∞,− ������)和( ������, +∞);
令 y'<0,解得 − ������ < ������ < ������且x≠0,所以函数的单调递减区间为
(− ������, 0)和(0, ������).
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
名师点拨 通过函数的图象,不仅可以看出函数的增减,还可以看 出函数增减的快慢.从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢 后,我们就能根据函数的图象大致画出导函数的图象,反之也可.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.1.3
切线方程为y－__f_(_x0_)_＝__f′_(_x_0)_(_x－__x_0_)_____．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
答案： x＋y－2＝0
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
过点P的切线
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
(1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
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第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
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第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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第三章 导数及其应用
标．
(3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
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第三章 导数及其应用
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合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
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答案： x＋y－2＝0
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第三章 导数及其应用
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过点P的切线
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第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
(1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
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第三章 导数及其应用
标．
(3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐
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第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.2
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4；
111
7
(3)∵y＝x2 ·x4 ·x8 ＝x8 ，
∴y′＝78x－18 ；
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第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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(4)y′＝(log3x)′＝xln1 3；
(5)∵y＝sinπ2＋x＝cos x， ∴y′＝－sin x；
(5)f(x)＝1＋sinsinx x；(6)f(x)＝lg x＋2x.
[思路点拨]
观察式子特点
变式 ――→
化繁为简
四则运算 ―求―导―法―则→
求导数
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x. (2)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9.
(6)y′＝sin
π3′＝0；
(7)∵y＝cos(2π－x)＝cos x，
∴y′＝－sin x.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求导法则的逆向应用
已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一 切x∈R恒成立，求f(x)的解析式．
3．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为________． 解析： y′＝ex，∴k＝e0＝1. 答案： 1
数学 选修1-1
最新人教版选修1-1高中数学第3章 导数及其应用3.3.1 公开课课件
1－ln x ∴f′(x)＝ x2 >0，
故f(x)在区间(0，e)上是增函数.
解析答
题型二
利用导数求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
解
f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)＞0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)＜0解得－3<x<2.
3.3.1 函数的单调性 与导数
第三章 § 3.3 导数在研究函数 中的应用
学 习 目 标
1. 结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与
导数的关系. 2. 能利用导数研究函数的单调性，并能够利用 单调性证明一些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不 超过三次).
栏 目 索 引
解析答
解题 技巧
构造法的应 用 a ， b 为实数，且 b ＞ a ＞ e ，其中 e 为自然对数 已知
例4
分析
的底，求证：ab＞ba. 观察ab＞ba，两边取对数即有bln a＞aln b， ln x 从函数角度考虑 b0) ln a与aln b， 可构造函数 y＝ x (x＞ ，根据单调性判断即可 . ln a ln b 即只要证 证明 当b＞a＞e时，要证ab＞ba，只要证 bln a a ＞ b . 1－ln x ln x ＞aln by ， 构造函数 ＝ x (x＞0)，则 y′＝ x2 . 1－ln x ln x 所以函数 y＝ x 在(0，＋∞)内是减函数. 因为当 x＞e 时，y′＝ x2 ＜0， ln a ln b 又因为 b＞a＞e，所以 a ＞ b . 故ab＞ba.
)
1 解析 ∵f′(x)＝1＋x>0，
故f(x)在区间(0，e)上是增函数.
解析答
题型二
利用导数求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
解
f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)＞0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)＜0解得－3<x<2.
3.3.1 函数的单调性 与导数
第三章 § 3.3 导数在研究函数 中的应用
学 习 目 标
1. 结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与
导数的关系. 2. 能利用导数研究函数的单调性，并能够利用 单调性证明一些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不 超过三次).
栏 目 索 引
解析答
解题 技巧
构造法的应 用 a ， b 为实数，且 b ＞ a ＞ e ，其中 e 为自然对数 已知
例4
分析
的底，求证：ab＞ba. 观察ab＞ba，两边取对数即有bln a＞aln b， ln x 从函数角度考虑 b0) ln a与aln b， 可构造函数 y＝ x (x＞ ，根据单调性判断即可 . ln a ln b 即只要证 证明 当b＞a＞e时，要证ab＞ba，只要证 bln a a ＞ b . 1－ln x ln x ＞aln by ， 构造函数 ＝ x (x＞0)，则 y′＝ x2 . 1－ln x ln x 所以函数 y＝ x 在(0，＋∞)内是减函数. 因为当 x＞e 时，y′＝ x2 ＜0， ln a ln b 又因为 b＞a＞e，所以 a ＞ b . 故ab＞ba.
)
1 解析 ∵f′(x)＝1＋x>0，
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解析答案
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( C )
A.π－1
B.π2－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos x， 当 x∈π2，π时，y′>0， 则函数在区间π2，π上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
答案
知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3) ＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
12345
解析答案
12345
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值 为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
4π 3
43π，2π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增↗
π3＋
解析答案
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( C )
A.π－1
B.π2－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos x， 当 x∈π2，π时，y′>0， 则函数在区间π2，π上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
答案
知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3) ＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
12345
解析答案
12345
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值 为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
4π 3
43π，2π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增↗
π3＋
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.1.1~3.1.2
解析答案
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 导数及其应用 3.1.1-3.1.2
第三章 导数及其应用
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
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D 典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
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D 典例透析 IANLI TOUXI
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1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
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1．掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的 多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．
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第三章 导数及其应用
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2010年舒马赫复出的消息是F1赛车上的重磅炸弹，人们 纷纷研究这位传奇的“F1之王”．研究发现，其除了超群的技 术外，速度的调节也恰到好处，他不轻易使用刹车，在某个时 间段内速度连续增加，在另一个时间段内速度则连续减少，呈 现一定的规律性．
解 析 ： 由 y ＝ f′(x) 的 图 象 可 知 ， 当 x<0 或 x>2 时 ， f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0，
∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在 (0,2)上为减少的．
答案： C
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第三章 导数及其应用
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4．已知函数f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R.若函数f(x)在[1,2] 上是减函数，求实数a的取值范围．
解析： ∵函数在[1,2]上是减函数， ∴f′(x)＝2x＋a－1x≤0 在[1,2]上恒成立，令 h(x)＝2x＋a－1x， 易知 h(x)在[1,2]上单调递增，故只需 h(2)≤0 即可． 解得 a≤－72， 故实数 a 的取值范围是－∞，－72.
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函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的 正负有如下关系
导函数的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
函数在(a，b)上的单调性 单调_递__增__ 单调_递__减__ _常__数___函数
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1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－∞，0)
D．(0,2)
解析： f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)<0得0<x<2，所以f(x)的单调递减区间为(0,2)．
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上述结论可用图来直观理解．
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1．深入理解导数与单调性的关系 在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增 (减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使 f′(x) ＝ 0 ， 不 会 影 响 函 数 f(x) 在 包 含 该 点 的 某 个 区 间 内 的 单 调 性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由 f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都 满足f′(x)>0.
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3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
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第三章 数及其应用
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2．对导数法研究函数单调性的两点注意： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函 数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导 数的符号来判断函数的单调区间． (2) 如 果 一 个 函 数 具 有 相 同 单 调 性 的 单 调 区 间 不 止 一 个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗 号”或“和”字隔开．
[思路点拨] 对(1)，求导后，应注意a的讨论．
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(1)函数 f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝exxx－－22－2 ex＝exx－x－232. 因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以 ex>0，(x－2)2>0. 由 f′(x)>0 得 x>3，所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋ ∞)；由 f′(x)<0 得 x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所 以函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
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[问题1] 在某个时间段内速度连续增加，若v＝f(t)，那 么f′(t)是否为正呢？
[提示1] f′(t)>0. [问题2] 在某个时间段内速度连续减少，若v＝f(t)，那 么f′(t)是否为负呢？ [提示2] f′(t)<0.
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求函数的单调区间
求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－ex 2； (2)y＝x3＋ax(a∈R)．
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3．函数f(x)＝xln x的单调递增区间是________．
解析： 函数定义域为{x|x>0}， f′(x)＝ln x＋1，令 f′(x)>0 得 x>1e， ∴函数 f(x)的单调递增区间是1e，＋∞. 答案： 1e，＋∞
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答案： D
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2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图所 示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
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