2010合肥一中自主招生2010年考试素质测试数学试卷(扫描答案)

2010年综合素质测试试卷数学

一、选择题（本大题共有5个小题，每小题8分，共40分）

1．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A 、B 、C 均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能的是（ ）

2．若点P （x ，y ）横坐标x 与纵坐标y 均为整数，则点P 称为整点.在以（10，0）、（0，

10）、（-10，0）、（0，-10）为顶点的正方形内（包括边）一共有整点的个数为（ ）

（A ）220 （B ）221 （C ）222 （D ）223

3．将二次函数1)1(22---=x y 的图象先向右平移一个单位，再沿x 轴翻折到第一象限，然后向右平移一个单位，再沿y 轴翻折到第二象限……以此类推，如果把向右平移一个单位再沿一条坐标轴翻折一次记作1次变换，那么二次函数1)1(22---=x y 的图象经过2010次变换后，得到的图象的函数关系式为（ ）

（A ）1)3(22++=x y （B ）1)2(22+-=x y

（C ）1)2(22-+-=x y （D ）1)1(22---=x y

4．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成50°的角，在直线l 上取一点P ，使得∠APB=30°，则满足条件的点P 的个数是（ ）

（A ）1个 （B ）2个

（C ）3个 （D ）无数个

5．如图，记二次函数12+-=x y 的图象与x 轴的正半轴交

点为A ，将线段OA 分成n 等分.设分点分别为P 1，P 2，…，

P n -1，过每个分点作x 轴的垂线，分别与该图象交于点Q 1，

Q 2，…，Q n -1，再记直角三角形OP 1Q 1，P 1P 2Q 2，…的面积

分别为S 1，S 2，…，这样就有32121n n S -=，32224n n S -=，…；

记W=S 1+S 2+…+S n -1，当n 越来越大时，W 最接近的常数是（ ）

（A ）32

（B ）21

（C ）31

（D ）41

(D)(C)(B)(A)C

B

A

二、填空题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）

6．等腰三角形的一条腰上的高线等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角的度数等于_____________.

7．将水平相当的A 、B 、C 、D 四人随机平均分成甲、乙两组进行乒乓球单打比赛，每组的胜者进入下一轮决赛.则A 、B 在下一轮决赛中相遇的概率是________.

8．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上一

动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则AM 的

最小值为_________.

9．已知点A 、B 的坐标分别为（1，0），（2，0）.若二次函数

3)3(2+-+=x a x y 的图象与线段AB 只有一个交点，

则a 的取值范围是__________________.

三、解答题（本大题共3小题，共70分）

10．（20分）已知，甲、乙两车分别从相距300（km ）的M 、N 两地同时相向而行，其中甲到达N 地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象.

（1）试求线段AB 所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了29

（h ），求乙车的速度；

（3）在（2）的条件下，它们在行驶的过程中相遇的时间.

11．（20分）提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）.

背景介绍：这条分割直线

．．既平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“等分积周线”.

尝试解决：

（1）小明很快就想到了一条分割直线，请你帮小明在图1中用尺规作图作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕.

（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图2中过点C画了一条直线CD交AB 于点D.你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由.（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识.请你解决下面的问题：在△ABC中，若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你画出该三角形所有的“等分积周线”.

（要求：1.画出示意图；2.简要说明确定的方法； 3.不需要尺规作图.）

12．（30分）如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动，点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，设P 、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）.

（1）若点P 以43

cm/s 的速度运动，

①当PQ ∥AB 时，求t 的值；

②在①的条件下，试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由.

（2）若点P 以1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切？若能，请求出运动时间t ；若不能，请说明理由.

利用立方和公式可得

3322(1)(1)(1)n n n n n n +-=++++=22(1)2n n n +++

于是有332212211-=+⨯+

3322323222

-=+⨯+ …………

3322

(1)(1)2n n n n n +-=+++ 将上面各式左右两边分别相加，就会有

3222222

(1)1(23(1))2(12)(12)n n n n +-=++++++++++++ 设S=22212n +++ ,则

321

(1)1(1)12(1)2n S n S n n +-=++-+++

解得S =

1(1)(21)6n n n ++