导数应用举例

§2—6导数应用举例我们知道，函数y = f (X )的导数f '(X 的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率, 因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。

在 意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。

一、导数在物理上的应用举例(一) 导数的力学意义 设物体作变速运动的方程为 S =s (t )，则物体运动的速度 v (t )是位移S = s (t )对时间t的ds变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数v (t )=s '(t )=—;此时，若速度v 仍是时间t 的函数dtd 2sv (t ),我们可以求速度v 对时间t 的导数v '(t )，用a 表示，就是a = v (t )= s ^t )=—.在力dtv (t )=s '(t )=6t 2 - gt, a (t )=s "(t )=12t -g,v (2 )= 24 - 2g = 24 - 20 = 4(米/秒 J a (2)=24-g =24-10 = 14(米/ 秒.导数的电学意义 q 是q=q(t )，则通过该导体的电流 l (t 是电量q = q (t )对时间t 的变化率(单位时间内通过的电量)，即电量的一阶导数I (t )=q '(t )=四dt设通过某导体截面的电量 q =Asin ®t +W )(库仑)，其中A,◎严为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流I (t)y = f (x )具有不同的实际学中, a 称为物体的加速度, 也就是说，物体运动的加速度 a 是位移s 对时间t 的二阶导数。

某物体的运动方程为S =2t '- 討2(9取10米/秒2)，求t = 2秒时的速度和加速解:度。

根据导数的力学意义,设通过某导体截面的电量 解:因为 q = Asin (o t )，所以I (t )=q'(t )=〔Asin(豹t+W )】=A coS豹t + W )(安培)。

二、导数在经济工作中的应用举例边际的概念经济学上把“某某”经济函数y = f(X 的导数f '(X)，称为函数f(X )在X处的“边际某某”，即称f '(X )为函数f(x )的边际函数，称f'(x0)为函数f(x)在点x = x0处的边际函数值。

它反映了函数f(X )在点X = x0处的变化速度。

般地，“某某”经济函数y = f(X )，则“边际某某”就记作My = f "(x )= ^^,dxX孑f U0 )= ?MydxX改变一个单位时，f(x)近似地改变它表示经济函数y=f(x在点x0处，当经济量f \x0i)个单位。

I设成本C是产量X的函数C =C(x》则边际成本MC =C'(x)=——dxdP 设产量P是某种投入资源X的函数P=P(x),则边际产量MP = P'(x)=——；dxdR 设总收入R是产量X的函数R = R(x )，则边际收入MR = R'(x)=——；dx设总利润L是产量X的函数L=L(x )，则边际利润ML^LTxX^dx例3 某种产品的总成本C (万元)是产量X (万件)的函数(称为总成本函数)C(x )=100 +6x -0.4X2 +0.02X3(万元)，试问当生产水平为x=10 (万件)时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当?解：当生产水平为x=10 (万件)时，总成本C(10 ) = 100+ 6X10-0.4X102 +0.02X10' =140 (万元)，这时每个单位产品的平均成本为 辔）=曙=14（元/件）,C (x ) = 6-0.8x+0.06x 2,所以生产水平x=10 （万件）时的边际成本为MC =C (10 )=6 -0.8X10 +0.06X 102 = 4(元/件)由于边际成本是生产水平为X=10 （万件）时成本的瞬时变化率，可以近似地看作在这个水平上再增加一个单位产品， 总成本增加的数量，它低于平均成本14（元/■件），所以从 降低单位成本的角度看，还应该继续提高产量。

例4某公司总利润L （元）与每天产量X （吨）的关系为L = L （x ）= 250x-5x2,试确定每天生产 20吨、25吨和35吨时的边际利润，并予以经济解释。

解： 因为 ML =L '(x )=250 -10x,xz =L '(x ) = 250-250 = 0, x 笠=L'(35 )=250-350 =-100.上述结果表明， 25吨时，再多生产产品，则利润不再增加，且开始减少；当日产量为 吨，则利润约减少 100元。

（二） 弹性的概念例如，甲商品每单位价格 5元，涨价1元；乙商品每单位价格 200元，也涨价1元，两 种商品价格的绝对改变量都是 相比就能获得问题的解答。

甲商品涨价百分比为 品的涨价幅度比乙商品的涨价幅度更大 率.—=3^ =56.25%,即当X =8增加到X =10时，x 增加了 y 64 △x A y25%, y 相应增加了 56.25%,我们分别称 ——和」为自变量与函数的相对改变量.如ML xm=L'(20 )=250-200 = 50,MLML 当日产量为 20吨时，再多生产1吨，总利润约增加 50元；当日产量为35吨时，再多生产 11元，哪个商品的涨价幅度更大呢？我们只要用它们与其原价 20%,乙商品涨价百分比为 0.5%,显然甲商.为此,我们有必要研究函数的相对改变量与相对变化设函数y2 =x，当x 从8增加到 10时,相应的y 从64增加到100,即自变量x 的绝对△x = 2,函数 y 绝对改变量 ^y = 36. 又△x 2=一 =25%, 8x y 果在本例中，再引入下式则该式表示在(8,10)内，从X=8到x=10时函数y=x 2的平均相对变化率.因此我们有如下 定义: 定义 设函数y = f (X 在 X 处可导，函数的相对改变量y少,而当产品的价格下降时，需求量就会增加.根据函数弹性的定义可得，需求量Q 对价格P 的y 56-25^2.25, A x25%迥f (x 7x )- f (x )与自变量称为f (x )从x 到x +i x 两点间的弹性.当也X T 0时,x 处的弹性，记作,即旦=limEx Ex 3由于 岂也为x 的函数,故也称它为Ex女反映了随着x 的变化，函数y = f (X )变化幅度的大小Exf(x )的弹性函数.，也就是函数 y = f(x )对自变量X 的变化反映的灵敏度，即旦表示在点X 处，当X 产生1%的改变时，函数Exy = f (X )近似地改变Ey Ex求幕函数 y =x 00为常数)的弹性函数.Ex可见，幕函数的弹性恒为常数 ，等于幕指数a ,即在任意点处的弹性不变设某产品的需求量为价格P 的函数Q = f (P )，通常当产品的价格上涨时 ,需求量就会减的相对改变量—的极限称为在x仪心X xEQ P弹性一=2亍需求量Q对价格P的弹性的经济意义是：当价格为P时，若价格上涨（或下P=10时若涨价（或降价）1%,则需求量将减少（或增加）1%;当价格P=15时,若涨价（或降价）1%,则需求量将减少（或增加）3%.练习2—61.下列说法是否正确？2（1） 一汽车在刹车后t 秒所行的距离s （t ）=30t-6t （米）,则刹车开始时的速度为v=30米/秒，当t=5秒时的加速度为a =12米/秒2.⑵生产某种产品x 个单位成本函数为 C （x ）=200 +0.05X 2,则生产90个单位产品时，再多生产一个单位产品，成本将增加9个单位. ⑶设某种商品的总收益R 是商品价格P 和销售量Q 乘积，如果销售量Q 是价格P 的函数PQ=Q （P ）=12一2,则当价格P=6元时，价格每上涨似,总收益将随之增加询％.2.已知一物体的运动规律为 s （t ）=丄上° +2t 2-2（米），求t =1秒时速度和加速度.43.某企业利润函数 L （x ）=250x-5x （单位汗元）,x 为日产量（单位：吨），求每日生产20吨25吨、35吨时的边际利润.1 一 P14.某种产品的销售量Q 与价格P 之间的关系为Q 二〒，求销售价格P =-时的弹性系数.降）1%,需求量Q 将减少（或增加）EQ EP设某商品的需求函数为 其含义.Q=60-3P,求P=10,P=15时需求量Q 对价格P 的弹性，并解释解:岸七-20'当P=10时, 当P=15时,EQI PEQI P「-1,10-20-亠一3,15-20这表明，当价格习题2 —61.设质点作直线运动，其运动规律给定如下，求质点在指定时刻的速度与加速度兀t⑵ S = Acos 二(A 为常数),t = 1.32.设通过某导体截面的电量为 q = Acos ®t +9 )(库仑),其中 g®为常数，时间t 的单位为秒,求通过该截面的电流l (t )23.某产品生产x 个单位的总成本 C 为x 的函数C =C(x )=1000 +0.012X (元).求生产1000件产品时的边际成本，并说明其经济意义.4.某企业产品的成本函数和收入函数分别为1 2 C (x )=3000 +200X +-x 2,51 2R (x )=350x + ——x ,20其中x 为产品的产量，求边际成本、边际收入和边际利润.(提示利润函数L (x )= R (x )-C (x ))5.设某商品需求量Q 对价格P 的函数关系是Q = f (卩)=1600卩〕，试求需求量Q 对价格P 14丿的弹性.6.生产函数y=-x B,其中y 是产出量,x 是投入量.4(1)证明B 就是生产函数的弹性 EyEx(2)当B=-,^16个单位时的平均产量和边际产量各是多少43(1)s =t -3t +2, t =2;。