(完整版)导数及其应用课标解读
新课程标准下导数的应用精讲
新课程标准下导数的应用1 引言导数在新课程标准中的高中数学教材中可以说是“叱咤风云”，具有深刻的内涵与丰富的外延,在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.而导数的应用已经成为课改后中学数学的一个重点、难点、亮点,是进一步学习高等数学的基础,它为我们提供了新的解题工具,特别是在求曲线的切线、研究函数的单调性、求解函数的单调区间和研究函数极值、最值、证明不等式、恒不等式问题中求参数的取值范围等问题中,处理起来程序化,非常方便、简捷,是高考的热点.但导数在初等数学中的应用远不止于此,近几年高考试题中频频出现的方程根的研究问题、函数图象的画法、解析几何中的最值等问题也都显示了导数的威力与魅力.如何运用导数解决高考中的问题?本文将通过对新课程标准下导数的应用的讲解来介绍具体的方法.2导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准(实验)》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的．必修课程是整个高中数学课程的基础,选修课程是在完成必修课程学习的基础上,希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成．在系列1和系列2中都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻．2.1利于学生更好地理解函数的性态在高中阶段学习函数时,为了理解函数的性态,学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等．我们知道,函数的这些性质都可以通过函数的图象表示出来,因而,如果能准确地作出函数的图象,函数的性质就一目了然,函数的性态也容易掌握了．如果所涉及的函数是基本初等函数,用描点法就可以作出函数的图象．但是,如果所涉及的函数是非基本初等函数,如1--=x e y x ，1223-+-=x x x y ，等函数,仅用描点法就很难较为准确地作出象．但是,掌握了导数的知识之后,学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线,然后再结合描点法,就能较为准确地作出函数的图象．这样就有利于学生更好地理解函数的性态,同时也拓宽了学生的知识面．2.2 有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题,用初等数学方法是不能解决的,或者难以解决,而通过数学模型建立函数关系,利用函数思想,然后用导数来研究其性质,充分发挥导数的工具性和应用性的作用,可以轻松简捷地获得问题的解决,这也正体现和显示了新课程的优越性．其实我们不难发现,函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁,不管是在证明不等式,解决数列求和的有关问题,以及解决一些实际应用问题,我们都可以构造函数模型,并且利用导数,来解决相关问题．2.3 有利于学生弄清曲线的切线问题学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响,误认为曲线在某点处的切线,就是与曲线有一个公共点的直线．如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道)(x f 在点0x x =的切线斜率k ，正是割线斜率在0x x →时的极限,即0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→． 由导数的定义,)(x f k '=,所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是))((000x x x f y y -'=-．这就是说：函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线斜率．从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线C 及C 上的一点P ,在点P 外另取曲线C 上一点Q ,作割线PQ ,当点Q 沿曲线C 趋向点P 时,如果割线PQ 绕点P 旋转而趋向极限位置PT ,那么直线PT 就称为曲线C 在点P 处的切线．2.4 有利于学生学好其他学科高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念,它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用．微积分所讨论的基本对象是函数,而且以函数的极限为基础．作为微积分的一个重要的分支——微分学,主要涉及变量的“变化率”问题,对于)(x f y =,导数)(x f '可以解释为y 关于x 的变化率．在学习并且掌握了导数及其应用以后,学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：)(t S S =，算出物体的瞬时速度：dt ds t V =)(、瞬时加速度：22)(dt s d t A =；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了．2.5 有利于发展学生的思维能力在以前的课程标准中,无论是导数的概念还是应用,更多的是作为一种规则来教、来学．这样造成的后果是：不仅使学生感受不到学习导数有什么好处,反而加重了他们的学习负担．而《普通高中数学课程标准(实验)》就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做了一定的变化：即在高中阶段,应通过大量的实例,让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限,通过它了解这种认识世界的思维方式,提高学生的思维能力．再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法：先研究函数在某一点处的导数,再过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时,利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质．这种从局部到整体,再由整体到局部的思想方法是很值得学生学习的．总之,通过学习导数,使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题,而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上．在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一,发展学生的辩证思维能力．3 导数在解题中的应用【1】导数作为高中新教材的新增内容之一,它给高中数学增添了新的活力,特别是导数广泛的应用性,已经成为课改后中学数学的一个重点、难点、亮点，是进一步学习高等数学的基础,它为我们提供了新的解题工具,特别是在求曲线的切线、研究函数的单调性、求解函数的单调区间和研究函数极值、最值、证明不等式、恒不等式问题中求参数的取值范围等问题中,处理起来程序化,非常方便、简捷,为我们展现出了一道亮丽的风景线,也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合,不仅能加强能力的考查力度,而且也使试题具有更广泛的实践意义.下面举例探讨导数在新课程标准下高考的应用．3.1利用导数解决函数问题3.1.1利用导数求函数的解析式我们知道,用解析式表示函数关系,便于研究函数的性质,而利用导数求函数的解析式,可以使函数的一些基本性质就会显得更加的明了,此类型问题为导数的常用题型．例1：（湖北文科）已知关于x 的函数cd cx bx x x f +++=2331)(，其导函数为)('x f ，如果函数()f x 在1x =处有极值34-，试确定,b c 的值. 解 ：由()f x 在1x =处有极值34-,可得⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-==++-=．，3431)1(021)1('bc c b f c b f解得⎩⎨⎧-==11c b 或⎩⎨⎧=-=．31c b若1,1-==c b ，则0)1(12)(22'≤--=-+-=x x x x f ，此时()f x 没有极值， 若3,1=-=c b ，则0)1)(1(32)(2'≤+--=+--=x x x x x f ，易得符合条件，所以1=x 时，()f x 有极大值34- ，故3,1=-=c b 即为所求 3.1.2利用导数求函数的单调区间【2】函数的单调性是函数的一个重要性质,也是研究函数时经常要注意的一个性质.函数的单调性与函数的导数密切相关,在运用导数知识来讨论函数单调性时,可结合导数的几何意义,只需考虑)(x f '的正负即可,假设()y f x =在区间],[b a 中可导(1)若对),(b a 中所有x 而言()0f x '>/,则()x f 在),(b a 中递增;(2)若对),(b a 中所有x 而言()0f x '</,则()x f 在),(b a 中递减;(3)若对),(b a 中所有x 而言()x f '=0,则()x f 在),(b a 中不变．由此可见,只要求出函数的导数,判断其正负性,便能判断函数的单调性,这种方法比传统的“定义法”及“图像法”更方便．例1：（2009安徽理科） 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性.解：()f x 的定义域是(0,+∞),22222()1.a x ax f x x x x -+'=+-= 设2()2g x x ax =-+,二次方程()0g x =的判别式28a ∆=-.①当280a ∆=-<,即022a <<时，对一切0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上是增函数.②当280a ∆=-=,即22a =时，仅对2x =有()0f x '=,对其余的0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上也是增函数.③当280a ∆=->，即22a >时,方程()0g x =有两个不同的实根2182a a x --=,2282a a x +-=,120x x <<. x1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ ()f x ' +0 - 0 + ()f x 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增此时()f x 在28(0,)2a a --上单调递增, 在2288(,)22a a a a --+-是上单调递减, 在28(,)2a a +-+∞上单调递增. 本题属于利用导数判断函数单调性的典型例题,难点在于对导数正负大小的讨论,涉及到了二次函数中判别式知识,综合性很强,也体现了导数在新课改后在高考中的重要地位.例2：（2009浙江文科）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++(,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．,求a 的取值范围．解：（I ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f , 解得0=b ，3-=a 或0=b ，1=a（II ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调,等价于导函数)(x f '在)1,1(-既 能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数,即函数)(x f '在)1,1(-上存 在零点,根据零点存在定理,有0)1()1(<'-'f f即0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a ,整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ,解得15-<<-a此题的难点之处在于考查不单调的情况,而不是我们常见的单调情况,反其道而行之的思考方式,更能体现新课改所提倡的创新精神.3.1.3利用导数求函数的值域【2】求函数的值域是中学数学中的重点,也是难点,方法因题而异,变化多样,不易掌握．但是,如果采用导数来求解,则大大化简难度,且一般问题都可行． 例：求函数212)(+-+=x x x f 的值域．解 ：显然,)(x f 定义域为[)∞+-，21,由于 12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f , 又1222721222++++=+-+x x x x x , 可见当21->x 时,0)(>'x f ．所以212)(+-+=x x x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-，21上是增函数．而26)21(-=-f ,所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是62⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭，. 首先确定函数的定义域,然后根据定义域判断)(x f '的正负,进而求出函数)(x f 的值域．3.1.4利用导数求函数的最（极）值【2】求函数的最（极）值是高中数学的重点,也是难点,是高考经常考查的内容之一,它涉及到了函数知识的很多方面,而用导数解决这类问题可以使解题过程简化,步骤清晰,也容易掌握,从而进一步明确了函数的性态．设函数()f x 可导，且在点0x 处连续，判定0()f x 是极大（小）值的方法是： （I ）如果在点0x 附近的左侧'()0f x >，右侧'()0f x <，则0()f x 为极大值； （II ）如果在点0x 附近的左侧'()0f x <，右侧'()0f x >，则0()f x 为极小值； 注意：导数为0的不一定是极值点,我们不难从函数3()f x x = 的导数研究中悟出这一点,3()f x x =是R 上的可导函数,也是R 上的单调函数,但是当0x =时, '()0f x =.一般地,函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导,则)(x f 在[]b a ,上的最值求法:(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点;(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值;(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.例1：（2004年湖南）已知函数e a e x x f ax ,0,)(2≤=其中为自然对数的底数. （I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）求函数)(x f 在区间[0，1]上的最大值.解：（I ）.)2()(ax e ax x x f +='（i ）当0a =时,令 .0,0)(=='x x f 得若),0()(,0)(,0+∞>'>在从而则x f x f x 上单调递增;若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减.（ii ）当0a <时,令.20,0)2(,0)(ax x ax x x f -===+='或故得若)0,()(,0)(,0-∞<'<在从而则x f x f x 上单调递减; 若)2,0()(,0)(,20ax f x f a x ->'-<<在从而则上单调递增; 若,2a x ->),2()(,0)(+∞-<'ax f x f 在从而则上单调递减. （II ）（i ）当a=0时，)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.1)1(=f（ii ）当02<<-a 时,)(x f 在区间[0，1]上的最大值是a e f =)1(.（iii ）当2-≤a 时,)(x f 在区间[0，1]上的最大值是.4)2(22ea a f =- 3.2利用导数解决切线问题【3】此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况,)(0x f '的几何意义就是曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率,)1(当点),(00y x P 在曲线上,即点),(00y x P 为切点时,则切线方程为()()000x x x f y y -'=-．)2(当点),(00y x P 不在曲线上时,则设切点坐标为()y x '',,由()()⎪⎩⎪⎨⎧--='=1010111x x y y x f x f y 先求切点的坐标，然后进一步求切线方程．3.2.1求过某一点的切线方程例1：求曲线x e y =在原点处的切线方程．解 ：显然点)0,0(不在曲线x e y =上，由于x e y ='，则设切点坐标为),(00y x P ，所以00x e y =，则过P 点的切线方程为)(000x x e e y x x -=-．因为点)0,0(在切线上，所以)(000x e e x x -=-，即10=x ，所以),1(e P ，故切线方程为)1(-=-x e e y ，即0=-y ex ．此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，再已知点代入方程，求出切点坐标后，最后求切线方程．例2：已知曲线a x x y l +-=2:2,求过点P ()1,2-的曲线l 的切线方程． 解：因a x x y +-=22,所以22-='x y ,则当2=x 时，a y =，2='y ． ① 当1-=a 时，点P ()1,2-在曲线l 上，故过点P 的曲线l 的切线方程为),2(2)1(-=--x y 即052=--y x ,②当1-≠a 时，点P 不在l 上，设曲线l 过点P 的切线的切点是),(00y x ,则切线方程为))(22(000x x x y y --=-且点P ()1,2-在此切线方程上,所以有 )2)(22(1000x x y --=--，即3620200+-=x x y ．又a x x y +-=02002,有3622020020+-=+-x x a x x ，即 0)3(4020=-+-a x x ，)1(4)3(416+=--=∆a a ． 当1->a 时,0>∆, 所以120+±=a x ;当0x x =时,()()1122122+±=-+±='a a y ,所以切线方程是()()()21121-+±=--x a y ,即()()12112--+±=x a y , 当1-<a 时,0<∆,切线不存在．3.2.2求两曲线切线方程例：（2009江西文科）若存在过点 (1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a 等于 ( ) A ．1-或2564- B ．1-或214C ． 74-或2564-D ． 74-或7 解：设过 (1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-,即230032y x x x =-,又 (1,0)在切线上,则00x =或032x =-, 当00x =时,由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-, 当032x =-时,由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-,所以选A. 3.3利用导数解决不等式问题【4】纵观这几年的高考,凡涉及到不等式证明的问题,其综合性强、思维跨度大,因此历来是高考的失分点．利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,直接或间接等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性,将不等式的证明转化为函数问题．不等式是高中数学中的重要部分,它遍及数学的每一个分支学科.证明他们的方法很多,很多是具有很强的技巧性,特别对于某些不易证明的不等式,可根据给出不等式的特点构造函数,利用导数知识研究函数的单调性,然后利用函数的单调性来加以证明,往往可以达到事半功倍的效果,定会觉得豁然开朗.3.3.1利用函数的单调性证明不等式若函数()f x 与()g x 满足下列条件:（1）在[,]a b 上连续;（2）在(,)a b 内可导,且''()()f x g x <,（或''()()f x g x >）;（3）()()f a f b =,则在(,)a b 内,有()()f x g x <,（或()()f x g x >）;令()()()F x f x g x =-,由()()()()0()0f x g x f x g x F x ≤⇔-≤⇔≤,所以证明()()f x g x ≤等价于证明()0F x ≤.例1：（2009辽宁理科）已知函2(1)ln ,11()2ax a x a f x x -+->=. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：若5a <,则对任意,(0,),,1212x x x x ∈+∞≠有()()12112f x f x x x ->--.解: (1)()f x 的定义域为(0,)+∞.2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+==,(i)若11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x-=,()f x 在(0,)+∞单调增加.(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,()f x 在(1,1)a -单调减少,在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少,在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.(II)考虑函数 ()()g x f x x =+21(1)ln 2x ax a x x =-+-+ 则2')11(1)1(121)1()(---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于15a <<,故()0g x '>,即()g x 在(4, +∞)单调增加,从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->,即1212()()0f x f x x x -+->,故1212()()1f x f x x x ->--,当120x x <<时，12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---.3.3.2利用函数的最大、小值证明不等式当不等式中含有“=”号时,不等式()()()()0f x g x f x g x ≤⇔-≤,(()()0)g x f x -≥或,亦即等价于函数()()()F x f x g x =-有最大值0,（或G()()()x g x f x =-有最小值0）.例2：（2010湖北理科）已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-.(Ⅰ)用a 表示出b ,c ;(Ⅱ)若()ln f x x >在[1,∞]上恒成立,求a 的取值范围；(Ⅲ)证明：1111ln(1)(1)232(1)n n n n n ++++>++≥+. 解：(Ⅰ) '2(),bf x a x=-则有'(1)0,(1)1f a b c f a b =++==-=, 解得1,12b a c a =-=-(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1()12a f x ax a x -=++-, 令),1[,ln 211ln )()(+∞∈--+-+=-=x x a xa ax x x f x g ， 则2'2221(1)()11(1)(1)0,()aa x x a ax x a a g g x a x x xx -------==--==,（i ） 当11012,aa a-<<>.若11a x a -<<,则'()0g x <,()g x 是减函数，所以()(1)0g x g <=, ()ln f x x >,故()ln f x x ≥在[)1,+∞上恒不成立.（ii ）12a ≥时,11aa-≤,()g x 在[)1,+∞上是增函数.()(1)0g x g ≥=,当1x ≥时,()ln f x x ≥,所述,所求a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(Ⅲ)设111()ln(1)22(1)h x x x x =+--+,则有'221()02()h x x x =>+, 而lim ()0x h x →∞=,因此()0h x <在定义域上恒成立,则1111ln(1)22(1)n n n n >++-+111ln()ln(1)12(1)2n n n n n>--+--- ……111ln 2ln124>-+-所以111111...ln(1)ln(1)2322(1)2(1)nn n n n n ++++>++-=++++ 总结：一般地,解决不等式恒成立的问题和有解问题的基本策略常常是构造恰当的辅助函数,利用函数的单调性、最值、图象求解，基本思想方法包括：分类讨论、数形结合、参数分离、变换主元等等.函数、不等式、导数既是研究的对象,又是解决问题的工具.本题从函数的极值概念切入,借助导数求函数的单调区间,进而求出函数在闭区间上的值域,再处理不等式有解问题.在此题中传统知识与现代方法相互作用,交相辉映,对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查.3.4利用导数解决数列问题数列是高中数学中的重要内容之一,而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一,有许多初等解决方法．事实上,数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数,所以可以利用数列和函数的关系,再运用导数来解决数列求和的有关问题．3.4.1求数列的前n 和【5】例：求和：12321-++++n nx x x (其中0≠x ，1≠x )．解:注意到1-n nx 是n x 的导数,即1)(-='n n nx x ，可先求数列{}n x 的前n 和xx x x x x x x x n n n--=--=+++11)1(12，然后等式两边同时对x 求导,有12321-++++n nx x x2121)1(1)1()1()1]()1(1[x x n nxx x x x x n nn n n -++-=--+-+-=++拓展延伸，我们会发现，可以找到一个解决这类题的公式，形如])()1([)(n n nx q p x n p xq pn -++=+∑∑∑∑-+=+n n x p q x p )()('13.4.2求数列中的最大(小)项【5】将数列看作正整数集上的函数, 然后将定义域扩充为正实数, 用导数的方法求解问题是解决上述问题的一种好方法，特别用于求某个数列中的最大（小）项，使得计算更为简单.例：已知数列{}n a 的通项238,n a n n n N *=-∈,求数列{}n a 的最大项. 解：构造辅助函数23()8(0)f x x x x =->,则'2()163f x x x =-.显然,当'160()0;3x f x <<>时，当'16()0;3x f x ><时，故()f x 在区间16(0,)3上是增函数,在区间16(,)3+∞上是减函数,所以当163x =时,函数()f x 取最大值.对于n N *∈,23()8f n n n =-,75)5(=f ,72)6(=f ,所以)(n f 的最大值是75,即数列{}n a 的最大项为575a =.把数列通构造成一个函数,将数列的最小项问题转化为函数的最小值问题,从而利用导数求解.3.4.3研究数列的增减性【3】例：（2006湖南理科）已知函数()sin f x x x =-,数列{}n a 满足101a <<,1()n n a f a +=,1,2,3n =证明：（1）11;0n n a a +<<<（2）3116n n a a +<; 证明：（1）先用数学归纳法证明1,01,2,3n a n <=<1)当n=1时,由已知,结论成立.2)假设当n=k 时结论成立,即10n a <<,因为01x <<时'()1cos 0,x x f =->所以()f x 在(0,1)上是增函数,又()f x 在[0,1]上连续,从而(0)()(1),k f f a f <<即101sin11,k a +<<-<故当1n k =+时,结论成立. 由1),2)可知，10n a <<对一切正整数都成立.又因为10n a <<时，1sin sin 0,n n n n n n a a a a a a +-=--=-< 所以1n n a a +<,综上所述, 11;0n n a a +<<<（2）设函数31,01,6()sin x x g x x x <<=-+由（1）知,当01x <<时，sin x x <,从而222'22()cos 12sin 2()0,22222x x x x x g x x =-+=-+>-+= 所以()g x 在(0,1)上是增函数,又()g x 在[0,1]上连续，且(0)0g =，所以当01x <<时, ()0g x >成立,于是()0n g a >,31sin 06n n na a a -+>,故3116n n a a +<.证明题中构造函数,引入函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数的单调性达到证明不等式的目的.3.5研究方程根的情况【5】用导数的方法确定方程()f x a =根的个数是一种很有效的方法,它是通过函数的变化情况,求导来鉴别它的增、减性,从而考察曲线()y f x =与直线y a =图象交点的状况,以确定根的虚、实范围和个数这位高考命题的新方向之一.例1：求证方程32320x x x -+-=仅有一个实根. 证明：设32()32,()f x x x x x R =-+-∈因为'2218()3233()033f x x x x =-+=-+>,所以()f x 为增函数,且又是连续函数,又因为(0)20,(1)10f f =-<=>可见曲线()y f x =的图象与0y =（x 轴）必有且仅有一个交点,即方程32320x x x -+-=仅有一个实根.例2: a 取何值时, 关于x 的方程022=++ax x 在]1,0(上有解？解：因为 022=++ax x ,所以 )2(xx a +-=，将a 看成x 的函数，因为]1,0(∈x ,)21(2x a --='，所以函数)2(xx a +-=在]1,0(上是增函数, 故3)121(-=+-≤a .本题亦可结合二次函数2)(2++=ax x x f 的图象, 使得问题转化为区间根分布问题, 但是要分在]1,0(上有两解和一解两种情况.采用转化思想将a 与x 分离开, 利用导数求函数值域, 使得运算量大大减少.3.6利用导数求极限【7】导数的定义在许多题目中出现的形式灵活多样,较为简单的类型是直接应用导数的定义是作适当的变形即能解决问题,导数是由极限定义,所以就能利用导数来求极限,特别在新课程改革之后的高考中,这方面的知识已成为命题的一个新趋势,引起我们的注意.例1：(2007年湖北理科改编)已知p 和q 是两个不相等的正整数,且2q ≥,则1(1)1lim1(1)1p n qn n →∞+-=+-解：设1x n=,且()(1),()(1)p q f x x g x x =+=+01(1)1()1lim lim1()1(1)1p n x qf x ng x n→∞→+--=-+- 0()(0)lim()(0)x f x f x g x g x→-=-''(0)(0)f p g q== 本题常规解法是利用极限的运算法则求极值.但当所求极限的形式与导数定义相似时,可以考虑利用导数的定义来解,另辟蹊径,方便快捷.3.7利用导数解决实际问题利用导数,不仅可以解决函数、切线、不等式、数列等问题,还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的,是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力,而解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言, 找出问题的主要关系, 并把问题的主要关系近似化, 形式化, 抽象成数学问题, 再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解．近几年,高考越来越注重对实际问题的考查,比如最优化问题、最低成本问题、最大利润问题等,而利用导数解决这些问题非常方便．例1：( 2005年全国卷III)用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x ，容器的体积为V ， 则(902)(482),(024)V x x x V =--<< 3242764320x x x =-+ '2125524320V x x =-+,由'21255243200V x x =-+=得1210,36x x ==10x <时，'0,1036V x ><<时，'0,36V x <>时，'0V >,所以,当10x =,V 有极大值(10)1960V =,又(0)0,(24)0V V ==, 所以当10x =,V 有最大值(10)1960V =例2：（2009湖南理科）某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x +万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y 万元.（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 ：（Ⅰ）设需要新建n 个桥墩,(1)1mn x m x+=-，即n=所以 ()256(1)(2)y f x n n x x==+++(2)m m x x x x +=256(-1)+2562256.x m x m x =++-（Ⅱ）由（Ⅰ）知,2332222561'()(512).22m mf x mx x xx=-+=- 令'()0f x =,得32512x =,所以x =64,当0<x <64时,'()f x <0,()f x 在区间(0,64)内为减函数; 当64640x <<时,'()f x >0.()f x 在区间(64,640)内为增函数, 所以()f x 在64x =处取得最小值,此时,640119.64m n x =-=-= 故需新建9个桥墩才能使y 最小.4结束语本文讨论了导数在研究函数的性质、求曲线的切线方程、证明不等式、求极限和数列以及解决实际问题等方面的广泛的应用.导数这部分内容不仅是函数的深化和拓展,还与其他许多知识都有着密切的联系,如函数图象交点和方程根的分布等综合研究,用导数法往往比传统法更具有优越性. 特别在新课程标准下的高考中，导数的应用凸显出更加重要的地位.致谢感谢在大学期间所有传授我知识的老师,是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识,这也是论文得以完成的基础.感谢我的指导老师柴国庆,在论文写作的整个过程中他给了我很大的帮助,才使我顺利的完成了这篇论文.参考文献[1]天利全国高考命题研究组.2006-2010最新五年高考真题汇编详解[M].西藏人民出版社,2010[2]李儒.导数在中学数学解题中的应用[M].中国科技博览2010（14）[3]姜秀云.浅析导数的应用[J].考试周刊,2010(4)[4]赵京之,导数在证明不等式中的应用[M],中国新技术新产品,2010（14）[5] 刘琍.导数应用的补充[J],景德镇高专学报,2006，21(2)[6] 孙灯勋导数在数列问题中的应用[J], 中学数学月刊, 2007，(10)[7] 李传军,导数应用中的“另类”视角[J],数学学习与研究,2010,(19)。
新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第五章一元函数的导数及其应用章整体解读〗
第五章一元函数的导数及其应用导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具．本章通过具体情境，引导学生直观理解导数概念，感悟极限思想，知道极限思想是人类深刻认识和表达现实世界必备的思维品质；理解导数是一种借助极限的运算，掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和简单复合函数的导数；能够运用导数研究简单函数的性质和变化规律，能够利用导数解决简单的实际问题．通过本章的学习，提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养．一、本章内容安排本章通过丰富的实际背景和典型实例，引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念及其几何意义，通过这些过程让学生了解导数是如何刻画瞬时变化率的，体会导数的内涵，感悟极限思想．本章还学习基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则和简单复合函数的导数，并从中进一步感悟极限思想；在此基础上，引导学生通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，认识导数是研究函数单调性、最大（小）值等性质的基本方法，体会导数的意义．本章知识结构如下：“51导数的概念及其意义”按照概念教学的基本环节展开．首先通过高台跳水运动员的速度、抛物线的切线的斜率两个典型变化率实例，引导学生两次完整经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而概括这两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征，并用这种思想方法研究一般函数＝f（）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，抽象出导数的概念——导数是瞬时变化率的数学表达．在此基础上，通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数的几何意义，让学生又一次经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，教科书不断渗透“用运动变化的观点研究问题”“逼近”“以直代曲”等微积分的重要思想，不断让学生体会极限的思想和方法，提升学生的数学抽象和直观想象素养．高中阶段研究的函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合得到的，因此，引入导数的概念之后，“52导数的运算”先研究基本初等函数的导数、导数的四则运算法则以及复合函数的导数，再解决计算简单初等函数导数的问题．本节首先根据导数的定义求6个常用的具体函数的导数，进而从特殊到一般直接给出基本初等函数的导数公式．接着，通过具体实例让学生直观感知两个函数和、差的导数与它们的导数的和、差之间的关系．在此基础上，直接给出导数的四则运算法则．最后，通过具体实例，在让学生直观感知求复合函数导数的方法的基础上，直接给出复合函数的求导法则．在本节相关内容的展开过程中，着重引导学生利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，求简单函数及简单的复合函数（限于形如f （ab ））的导数，并从中进一步体会极限思想，提升学生的数学运算素养．导数定量地刻画了函数的局部变化，“53 导数在研究函数中的应用”利用导数研究函数的性质，主要研究函数的单调性、极值与最大（小）值等重要性质．“531 函数的单调性”首先就高台跳水运动问题，考察运动员的重心距离水面的高度函数h （t ）的单调性，与h （t ）的导数v （t ）=h ′（t ）的正负之间的关系；接着，通过更多的具体函数的图象，探讨函数导数的正负与这个函数单调性的关系；进而，从具体到抽象、从特殊到一般，概括出它们的共性规律，给出一般可导函数f （）的单调性与其导函数()f x '的正负之间关系；最后利用这个关系，用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间，并讨论一些函数的增长快慢问题．“532 函数的极值与最大（小）值”仍然采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，从导数的角度给出可导函数极值点的特征（极值的必要条件），并利用可导函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，用导数求函数的极值、最大（小）值以及实际问题的最大（小）值，并利用导数研究函数图象和性质的综合性问题．通过本节的学习，让学生认识导数是研究函数性质的基本工具，也是解决优化问题的一种通法，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．导数的概念是微积分学的最重要的概念之一，在微积分学中具有基础性地位，也是本章最为核心的内容．利用导数的基本运算法则求简单函数和简单复合函数的导数，是运用导数研究函数性质的基础和必备技能．对很多运动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究，其中函数的增减，以及增减的范围、增减的快慢等是最基本的问题．导数简明地回答了这些问题：由()f x '的符号可知函数f （）是增还是减，由f '（）绝对值的大小可知函数变化的快慢．不仅如此，导数也是研究函数极值问题、解决优化问题的一种通法．导数定量地刻画了函数的局部变化规律，是研究函数性质的基本工具．因此本章的重点是：导数的概念，利用基本初等函数的导数公式和导数法则求简单函数和简单复合函数的导数，运用导数研究简单函数的性质．导数是瞬时变化率的数学表达，学生对导数的内涵——瞬时变化率的认识有一定难度；同时，从平均变化率过渡到瞬时变化率得到导数概念的过程，蕴含着“用运动变化的观点研究问题”“逼近（极限）”“以直代曲”等微积分的重要思想，需要学生不断感悟．因此，导数的概念是本章的一个教学难点．在导数概念及其几何意义的得出过程中，让学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透解决问题的思想方法，并借助具体数值和几何直观体会极限思想是突破难点的关键．由于复合函数的求导是“从外往内”分两层求导，需要准确分析复合函数的结构，而学生对复合函数的复合过程的认识存在一定的困难．因此，求简单复合函数的导数是本章的另一个教学难点．加强对复合函数的复合过程的分析，厘清复合函数中的自变量、中间变量、因变量，是突破这一难点的关键．二、本章编写思考1．在导数概念抽象过程中凸显导数的内涵与思想导数概念的本质是瞬时变化率，它高度抽象，为使学生初步理解导数的内涵与思想，教科书以两个典型的变化率问题为载体，以导数概念的本质及其反映的思想方法为指引，引导学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，展开观察、分析各实例的属性的数学活动，并挖掘其中所蕴含重要思想方法，进而析出各实例中蕴含的导数的本质属性．具体地，对于“问题1高台跳水远动员的速度”，教科书通过探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：）存在函数关系2(t) 4.9 4.811.h t t =-++如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？设置情境并提出问题，然后引导学生从已有经验出发，通过层层递进的问题，使学生感受用平均速度无法精确描述运动员的运动状况（在0≤t ≤4948这段时间内的平均速度为0，但运动员几乎一直处于运动状态），体会研究瞬时速度必要性的同时，自然地提出问题：如何求运动员的瞬时速度？瞬时速度与平均速度有什么关系？为了解决抽象导数概念过程中的这个关键问题，教科书构建了一个运动员在t 0时刻附近某一时间段内的平均速度v 趋近于t 0时刻的瞬时速度的过程，并以t 0＝1为例，借助技术工具，引导学生直观感受当Δt →0时平均速度v 无限趋近于一个确定的数，即t 0＝1时刻的瞬时速度．在此过程中，使学生理解解决瞬时速度问题的方法，也使学生感受其中蕴含的极限思想．接着，教科书让学生模仿上述求瞬时速度的过程和方法，解决运动员在其他时刻的瞬时速度，形成抽象导数概念的更多具体经验，然后再将上述过程与方法一般化，形成瞬时速度的一般形式化表示，从感性到理性，提升对解决问题的思想与方法的认识．对于“问题2抛物线的切线的斜率”，教科书类比解决问题1的过程与方法，引导学生探究“如何定义抛物线f （）＝2在点P 0（1，1）处的切线？”“如何求抛物线f （）＝2在点P 0（1，1）处的切线PT 的斜率0”让学生充分经历从割线到切线、从割线斜率到切线斜。
《第一章导数及其应用》教材分析与教学建议(精)
《第一章 导数及其应用》教材分析与教学建议广州市黄埔区教育局教研室 肖凌戆导数是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，任何事物的变化率都可以用导数来描述,其基本思想是以直代曲。
导数是研究函数和解决实际生活中优化问题的重要工具．在普通高中数学课程标准中，规定导数及其应用的教学内容有：（1)导数概念及其几何意义;（2)导数的运算；（3)导数在研究函数中的应用;（4）生活中的优化问题举例(导数在解决实际问题中的应用)；(5)定积分与微积分基本定理．(文科数学不做要求）本章内容在普通高中数学课程标准实验教材中的相应位置是:人教A 版选修1－1第三章，人教A 版选修2－2第一章.一、课标要求导数及其应用的基本教学要求是：1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．能根据导数定义，求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =(文科只要求求函数2,,y c y x y x ===， 1y x=的导数)；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数（文科数学不做要求);会使用导数公式表．3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求）7．通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求）8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．二、课时安排1．本章理科教学时间约需24课时，具体分配如下：变化率与导数 约3课时导数的计算 约3课时导数在研究函数中的应用 约4课时生活中的优化问题举例 约4课时定积分的概念 约4课时微积分基本定理 约2课时定积分的简单应用 约2课时小结与复习 约2课时2．本章文科教学时间约需16课时，具体分配如下：变化率与导数 约3课时导数的计算 约3课时导数在研究函数中的应用 约3课时生活中的优化问题举例 约4课时小结与复习 约2课时三、教材分析与教学建议(一）变化率与导数1．教材分析本节主要包括三方面内容：变化率、导数概念、导数的几何意义．实际上，它们是理解导数思想方法及其内涵的不同角度．首先，教科书从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率,并从数学上给予各种变化率在数量上的精确描述，即导数；然后，从数形转换的角度，由数到形，借助函数图象,探求切线斜率与导数的关系，阐明导数的几何意义．教学重点:让学生知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵,通过函数图象直观地理解导数的几何意义．教学难点:让学生体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的逼近方法;理解导数的概念．2．教学建议（1）从气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题入手，引入平均变化率，让学生了解平均变化率的几何意义．（2)从平均速度到瞬时速度，从瞬时速度到导数，让学生经历导数概念的形成过程．(3）从形的角度，建立切线斜率与导数的关系，获得导数的几何意义．（4)建立导函数概念．（5）通过具体数学例子,让学生掌握求过曲线上一点的切线方程．（二）导数的计算1．教材分析本节主要包括两方面内容：一是利用导数定义求函数的导数；二是利用导数公式及导数的运算法则求函数的导数．利用导数定义求导数是最基本的方法，但最终要归结为求极限，而新课程并未介绍极限知识,因此教科书只是采用这种方法计算了五个常见函数的导数，意在让学生感受这种基本方法．教科书直接给出基本初等函数的导数公式和导数运算法则,并未推导这些公式和法则，只要求利用它们求简单函数的导数,意在让学生掌握公式法求导数．教学重点：让学生会根据导数定义求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =导数（文科只要求求函数2,,y c y x y x ===,1y x=的导数）;能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数．教学难点:(1）利用导数定义求几个常见函数的导数；(2）求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数,文科数学不做要求)．2．教学建议(1）联系函数研究的需要，提出导数的运算问题．（2）让学生感受定义法求导数的过程．（3）联系几何直观和物理意义，进一步认识导数内涵，逐步培养学生用数学知识解释现实问题的习惯．（4)通过适量的练习,让学生熟悉公式法求导数．（5）对复合函数求导问题，仅限于形如()f ax b +的函数求导,关键是正确地分析出复合函数的复合过程，找出相应的中间变量，应避免过量的形式化的运算练习．（三）导数在研究函数中的应用1．教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．变化规律可用函数性质来描述．导数方法是研究函数性质的通法．本节主要包括三方面内容：一是利用导数研究函数的单调性;二是利用导数研究函数的极值；三是利用导数研究函数的最值．教学重点:（1)利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．(2）会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．教学难点:函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．教学建议(1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系．（2)结合典例,让学生掌握利用导数研究函数的单调性（求单调区间）的方法与步骤．(3）结合函数图象，直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点函数值大小的关系，建立函数的极大值、极小值的概念．（4）借助几何直观探索函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．（5)结合典例，让学生掌握利用导数研究函数的极大值、极小值的方法与步骤．（6）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数在给定区间上的最大值、最小值的方法与步骤．（7)通过适量的综合性练习，让学生进一步体会导数方法在研究函数中的优越性．（四）生活中的优化问题举例1．教材分析本节通过将生活中的优化问题转化为函数的最值问题,介绍导数在解决实际问题中的应用,让学生体会数学建模的过程，进一步培养学生应用数学的意识．教学重点：利用导数方法解决某些简单的优化问题．教学难点:将生活中的优化问题转化为函数最值问题．2．教学建议（1）提供背景知识,让学生感悟将生活中的优化问题转化为函数最值问题的过程．（2)通过典型问题的分析，让学生掌握解决优化问题的基本思路，了解导数在解决某优化问题中的作用．（五）定积分的概念1．教材分析本节主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质．教科书在对两类典型问题（求曲边梯形的面积和求变速直线运动物体位移）进行详细讨论的基础上,抽象概括出它们的共同本质特征,进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质．教学重点:“以直代曲”“逼近”的思想方法，定积分的概念、定积分的几何意义．教学难点:“以直代曲”“逼近”的思想方法,定积分的概念．2．教学建议（1)创设问题情境，揭示“以直代曲”“逼近”的思想方法．求曲边梯形面积和求变速直线运动物体位移的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，在教学中，要让学生充分体验“分割———近似代替—--求和-———取极限”的过程．（2）概括共同特征，引出定积分概念．（3）借助几何直观，揭示定积分的几何意义．(4）直观感知定积分的基本性质．（六）微积分基本定理1．教材分析微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．教学重点：直观了解微积分基本定理的含义，并用微积分基本定理计算简单的定积分．教学难点：了解微积分基本定理的含义．2．教学建议（1）创设问题情境,揭示寻求计算定积分新方法的必要性．(2）让学生经历微积分基本定理的发现过程．教学中，可借助变速直线运动物体求位移问题，探究速度与位移（即导数与定积分）之间的联系，归纳出微积分基本定理．(3）通过例题教学，揭示用微积分基本定理计算定积分的关键．（七）定积分的简单应用1．教材分析本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程（位移）以及求变力所作的功．解决这些问题的关键是将它们化归为定积分问题．同时，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解．教学重点：应用定积分求平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等问题，让学生在解决问题的过程中体验定积分的价值．教学难点:将实际问题化归为定积分问题．2．教学建议（1）创设问题情境，让学生体验定积分的价值．教学中，可从平面几何中用初等方法难以解决的平面图形面积问题入手，让学生经历将平面图形面积问题化归为定积分问题的过程．再以定积分在物理中的应用,强化学生的认识．（2)通过例题教学及变式训练，帮助学生归纳总结求比较复杂的平面图形面积的方法和步骤，并让学生进一步体验定积分的价值．。
导数的概念课件人教新课标
所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速 v
度趋近于确定值-13.1”
瞬时速度
那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t) h(t0 )
x0 x x0
同理可得 f '(6)=5
f (2) 3 说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度降落；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
t0
t
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
导数的概念： 一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变 化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数， 记作
即：
y |xx0
注意：
y |xx0
表示函数y关于自变量x在x0处 的导数。
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
时刻的瞬时速度。
那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，t=2时的瞬时速度是多少？
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
△t是时间改变量，可以是正值， 也可以是负值，但不为0。
当△t<0时， 2+△t 在2之前； 当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ，2]和区间[2，2 +△t ] 内的平均速度 v ，可以得到如下表格：
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念
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《第一章 导数及其应用》教材分析与教学建议广州市黄埔区教育局教研室 肖凌戆导数是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，任何事物的变化率都可以用导数来描述，其基本思想是以直代曲。
导数是研究函数和解决实际生活中优化问题的重要工具．在普通高中数学课程标准中，规定导数及其应用的教学内容有：(1)导数概念及其几何意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用；(4)生活中的优化问题举例(导数在解决实际问题中的应用)；(5)定积分与微积分基本定理．(文科数学不做要求)本章内容在普通高中数学课程标准实验教材中的相应位置是：人教A 版选修1－1第三章,人教A 版选修2－2第一章.一、课标要求导数及其应用的基本教学要求是：1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．能根据导数定义，求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =只要求求函数2,,y c y x y x ===， 1y x=的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数(文科数学不做要求)；会使用导数公式表．3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求)7．通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求)8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．二、课时安排1．本章理科教学时间约需24课时，具体分配如下：变化率与导数 约3课时导数的计算 约3课时导数在研究函数中的应用 约4课时生活中的优化问题举例 约4课时定积分的概念 约4课时微积分基本定理 约2课时定积分的简单应用 约2课时小结与复习 约2课时2．本章文科教学时间约需16课时，具体分配如下：变化率与导数 约3课时导数的计算 约3课时导数在研究函数中的应用 约3课时生活中的优化问题举例 约4课时小结与复习 约2课时三、教材分析与教学建议（一）变化率与导数1．教材分析本节主要包括三方面内容：变化率、导数概念、导数的几何意义．实际上，它们是理解导数思想方法及其内涵的不同角度．首先，教科书从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种变化率在数量上的精确描述，即导数；然后，从数形转换的角度，由数到形，借助函数图象，探求切线斜率与导数的关系，阐明导数的几何意义．教学重点：让学生知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，通过函数图象直观地理解导数的几何意义．教学难点：让学生体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的逼近方法；理解导数的概念．2．教学建议（1）从气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题入手，引入平均变化率，让学生了解平均变化率的几何意义．（2）从平均速度到瞬时速度，从瞬时速度到导数，让学生经历导数概念的形成过程．（3）从形的角度，建立切线斜率与导数的关系，获得导数的几何意义．（4）建立导函数概念．（5）通过具体数学例子，让学生掌握求过曲线上一点的切线方程．（二）导数的计算1．教材分析本节主要包括两方面内容：一是利用导数定义求函数的导数；二是利用导数公式及导数的运算法则求函数的导数．利用导数定义求导数是最基本的方法，但最终要归结为求极限，而新课程并未介绍极限知识，因此教科书只是采用这种方法计算了五个常见函数的导数，意在让学生感受这种基本方法．教科书直接给出基本初等函数的导数公式和导数运算法则，并未推导这些公式和法则，只要求利用它们求简单函数的导数，意在让学生掌握公式法求导数．教学重点：让学生会根据导数定义求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =导数（文科只要求求函数2,,y c y x y x ===，1y x=的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数．教学难点：（1）利用导数定义求几个常见函数的导数；（2）求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数，文科数学不做要求)．2．教学建议（1）联系函数研究的需要，提出导数的运算问题．（2）让学生感受定义法求导数的过程．（3）联系几何直观和物理意义，进一步认识导数内涵，逐步培养学生用数学知识解释现实问题的习惯．（4）通过适量的练习，让学生熟悉公式法求导数．（5）对复合函数求导问题，仅限于形如()f ax b +的函数求导，关键是正确地分析出复合函数的复合过程，找出相应的中间变量，应避免过量的形式化的运算练习．（三）导数在研究函数中的应用1．教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．变化规律可用函数性质来描述．导数方法是研究函数性质的通法．本节主要包括三方面内容：一是利用导数研究函数的单调性；二是利用导数研究函数的极值；三是利用导数研究函数的最值．教学重点：（1）利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．（2）会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．教学建议（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系．（2）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数的单调性（求单调区间）的方法与步骤．（3）结合函数图象，直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点函数值大小的关系，建立函数的极大值、极小值的概念．（4）借助几何直观探索函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．（5）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数的极大值、极小值的方法与步骤．（6）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数在给定区间上的最大值、最小值的方法与步骤．（7）通过适量的综合性练习，让学生进一步体会导数方法在研究函数中的优越性．（四）生活中的优化问题举例1．教材分析本节通过将生活中的优化问题转化为函数的最值问题，介绍导数在解决实际问题中的应用，让学生体会数学建模的过程，进一步培养学生应用数学的意识．教学重点：利用导数方法解决某些简单的优化问题．教学难点：将生活中的优化问题转化为函数最值问题．2．教学建议（1）提供背景知识，让学生感悟将生活中的优化问题转化为函数最值问题的过程．（2）通过典型问题的分析，让学生掌握解决优化问题的基本思路，了解导数在解决某优化问题中的作用．（五）定积分的概念1．教材分析本节主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质．教科书在对两类典型问题（求曲边梯形的面积和求变速直线运动物体位移）进行详细讨论的基础上，抽象概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质．教学重点：“以直代曲”“逼近”的思想方法，定积分的概念、定积分的几何意义．教学难点：“以直代曲”“逼近”的思想方法，定积分的概念．2．教学建议（1）创设问题情境，揭示“以直代曲”“逼近”的思想方法．求曲边梯形面积和求变速直线运动物体位移的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，在教学中，要让学生充分体验“分割--—近似代替—--求和----取极限”的过程．（2）概括共同特征，引出定积分概念．（3）借助几何直观，揭示定积分的几何意义．（4）直观感知定积分的基本性质．（六）微积分基本定理1．教材分析微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．教学重点：直观了解微积分基本定理的含义，并用微积分基本定理计算简单的定积分．教学难点：了解微积分基本定理的含义．2．教学建议（1）创设问题情境，揭示寻求计算定积分新方法的必要性．（2）让学生经历微积分基本定理的发现过程．教学中，可借助变速直线运动物体求位移问题，探究速度与位移（即导数与定积分）之间的联系，归纳出微积分基本定理．（3）通过例题教学，揭示用微积分基本定理计算定积分的关键．（七）定积分的简单应用1．教材分析本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程（位移）以及求变力所作的功．解决这些问题的关键是将它们化归为定积分问题．同时，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解．教学重点：应用定积分求平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等问题，让学生在解决问题的过程中体验定积分的价值．教学难点：将实际问题化归为定积分问题．2．教学建议（1）创设问题情境，让学生体验定积分的价值．教学中，可从平面几何中用初等方法难以解决的平面图形面积问题入手，让学生经历将平面图形面积问题化归为定积分问题的过程．再以定积分在物理中的应用，强化学生的认识．（2）通过例题教学及变式训练，帮助学生归纳总结求比较复杂的平面图形面积的方法和步骤，并让学生进一步体验定积分的价值．。
高中数学_导数及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计-------导数及其应用一．教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求最值极值过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性、最值的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
二．教学重难点对于函数导数及其应用，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索研究切线、单调区间、最值和极值。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
三．教法分析：1．教学方法的选择：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
3．教学课堂结构知识回顾—问题情境—新课探究—知识运用（例题精讲—变式训练—拓展延伸—能力提升）—课堂小结—作业布置四．学法分析：为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
五．教学过程：（一）知识回顾从已学过的知识（导数几何意义、求导公式、判断二次函数的单调性、极值）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性、求极值），引起认知冲突，激发学习的兴趣。
导数课标解读
课标解读一、 学习内容分析导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
《普通高中数学课程标准（实验稿）》安排在选修1－1（面向文科，共约16课时）与选修2－2（面向理工科，共约24课时），通过平均速度→平均变化率→平均变化率的变化趋势→瞬时变化率→瞬时速度→过曲线上的一点的切线的斜率，引入导数概念，进一步介绍导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。
意向向理工、经济方向发展的学生，还需要初步了解定积分概念及其应用、微积分基本定理，为以后进一步学习微积分打下基础。
新课程中，导数及其应用的处理需要反映以下五个方面的特点：1． 重视直观，数形结合，突出本质在2004年开始实施的普通高中新课程数学实验中，导数的学习不再以极限的严格定义为基础，而是通过大量具体例子，直接引入导数定义，并直接用极限符号表述由平均变化率→瞬时变化率的过程，这里的处理体现出形的直观与生动，符号与数的刻画的精确与便利，同时也揭示出导数的几何意义与代数特征，符合高中学生的年龄特征与学习特点。
另外，利用导数刻画函数的单调性、从曲边梯形面积的计算与变速运动物体所走路程的计算引入定积分等，都充分体现了数形结合的优越性，在高中阶段这部分内容的教与学更需要突出形对数的直观展示。
2． 关注过程，归纳通法，控制运算导数作为一个研究变化率的工具，在数学和其他自然科学中有着广泛的应用。
教学中应尽量从学生熟悉、易理解的问题情境中提炼数学模型，构造导数工具，让学生理解应用导数解决问题的关键环节，并从通性通法的角度认识导数工具的价值与意义。
多项式函数是重要的初等函数。
作为多项式函数的特例，一次函数与二次函数为初中、高中阶段学生所熟悉；而三次函数既有极大值、极小值，又含有零点，用导数处理较为方便，因此，高中阶段，应用导数研究函数时，大多数以不超过三次的多项式函数作为载体进行剖析，以控制运算的复杂性。
其他类型的函数则用类似的方法进行处理。
高数-导数概念及应用
核心导语
3 个必知条件——导数应用中的三个重要结论
(1) f (x)>0 在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增的充
导数
知识网络
导数概念 导数运算
导数应用
函数的瞬时变化率
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数
函数单调性研究 函数的极值、最值
曲线的切线 变速运动的速度
最优化问题
核心导语
一、导数概念及运算
1个重要区别——“过某点”与“在某点”的区别
求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线” 的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定 在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
2项必须防范——导数运算中应注意的问题 (1)利用公式求导时要特别注意，除法公式中分子符号，防 止与乘法公式混淆． (2)含有字母参数的函数求导时，要分清哪是变量哪是参 数，参数是常量，其导数为零.
核心导语
3种必会方法——求导数的基本方法 (1)连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导． (2)根式形式：先化为分数指数幂、再求导． (3)复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差， 再求导.
内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的
个数为 1 .
第1讲 导数及其应用
考向一 导数的基本运算
例1 求下列函数的导数．
热 点
(1)y＝exlnx；
考 向
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
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导数及其应用课标解读
1、整体定位
《标准》中对导数及其应用的整体定位如下：
“微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。
通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
”
为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：
（1）要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。
由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容呢？导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解。
（2）导数的运算不宜要求过高
由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。
这里，只要求学生能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=x 1,y=
x 的导数；能利
用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。
（3）注重导数在研究函数和生活实践中的应用
导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具。
这里，我们要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。
以及利用导数解诸如运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题，以及利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。
（4）关注数学文化
重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
2、课程标准的要求
（1）导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算
①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=x
1,y=x 的导数。
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(a+b)）的导数。
③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
函数的单调性是函数的重要性质，函数的单调性问题是高考的热点问题，若利用函数定义求解，一般较为复杂，学生失分率高，新教材引入导数以后，有效地解决了这一难题。
利用导
数判别函数单调性的法则为：在区间D上，若，则在D上是增函数；若，则在D上是减函数。
反之，若在D内可导，且若在D上是增（减）函数，则一定有。
例1. 证明函数在［0，2］上是减函数。
解：，当时，。
∴函数在［0，2］上是减函数
例2. 求函数的单调区间。
解：
令得：
（1）当或时，
，
所以，；
（2）当或时，
所以，
∴的单调增区间是，单调减区间是，。
解含有参数的函数单调性时，需分类讨论参数，确定的符号，从而确定函数的单调性。
例3. 求函数在上的最大值（其中）。
解：令，则求在（0，1］上的最大值
当时，显然在（0，1］上为增函数，所以
当时，令
得：，易知时，
为增函数
时，为减函数。
于是若（此时）
则在（0，1］上为增函数
此时
若（此时）
则在上为增函数
在上为减函数
所以
由以上讨论知当时，
时，
从以上例题可以看出，利用导数解决函数的单调性问题，其求解过程思路流畅、简捷，便于掌握。