单元教学设计导数与其应用

课题名称《导数及其应用》单元教学设计设计者姓名冯德福设计者单位酒泉市实验中学联系电话《导数及其应用》单元教学设计（冯德福酒泉市实验中学）一、教学要素分析1、数学分析（1）该单元在整个高中数学中的地位和作用导数的概念是大学数学微积分的核心概念之一，是中学数学中特别重要的内容，在中学数学与高等数学之间起着承前启后的衔接作用。

导数以不同的形式渗透到高中数学的好多方面，与高中数学的许多内容都有密切的联系。

导数是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率、证明不等式等的利器，为解决中学数学问题提供了新的视野。

在中学数学中的应用涉及到函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等方面.应用导数可以十分方便地处理中学数学问题. 同时导数也是解决一些物理、化学问题等其他实际问题等的有力工具。

（2）导数在实际生活中的应用导数在物理、化学、生物、天文、地理、经济等领域都有着十分广泛和主要的应用。

为了突出导数概念的实际背景，教材选用了两个物理问题作为典型实例，从平均变化率到瞬时变化率的过程，引出导数概念，揭示导数的本质——导数就是瞬时变化率。

这也是导数的物理意义。

现实生活中经常遇到求利润最大、用料最省和效率最高等优化问题，这些问题常转化为数学中求函数的最值问题，而导数是求函数最值的强有力工具，因此我们利用导数解决生活中的优化问题就自然而然地用到导数了。

物理方面，学习了导数及其应用以后，学生可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：s=s(t),算出物体的瞬时速度 , 瞬时加速度；对非稳恒电流，就可以算出其瞬时电流强度；化学与数学紧密相关。

化学中的反应速度、冷却速度等都可以通过微积分的方法来解决。

（3）该单元的蕴含的基本数学思想和方法，以及数学文化价值在知识传授上，采用从特殊到一般，从猜想到探究，由感性上升到理性的思路，让学生充分感受数学知识产生过程，学会进行数学推理和探究方法。

同时，借助函数图象的直观性，即函数的平均变化率就是曲线割线所在直线的斜率，再利用无限逼近的数学思想得到曲线的切线和导数的关系――导数的几何意义，充分体现了数形结合思想和“无限逼近”的极限思想。

现实生活中的优化问题都转化为数学中求函数的最值问题，进一步体现了等价转化思想。

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及其广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。

教材在多处介绍了微积分的发展史。

例如，在引言中介绍了与微积分紧密相关的“四大问题”，阐述了微积分在人类科学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍；通过拓展性栏目，给学生介绍牛顿法，展示导数在科学研究中的作用；通过实习作业，让学生收集微积分创立和发展的有关材料，让学生体会微积分在数学和科学思想史上价值，关注微积分的文化价值，领略数学文化，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观．2、课程标准视角分析《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称为《标准》）将《导数及其应用》这部分内容安排在选修1－1的第三章和选修2－2的第一章。

虽然是选修内容，但它仍然是高中数学中相当重要的一块内容。

在选修2－2中还增加了定积分与微积分基本定理的内容，对运算的要求也略有提高，主要原因是文科要求较低，理科对数学的要求更高。

（1）注重导数概念和几何意义教材让学生从平均变化率开始，通过瞬时变化率引入导数的概念，强化了对导数本质的认识，同时增强学生对导数几何意义的认识和理解。

（2）运算方面要求略有降低《标准》对本部分的要求是：能利用导数定义求常见的6个函数的导数；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。

选修1-1不要求对复合函数求导，就是选修2-2也仅限于求一些简单的复合函数的导数。

（3）强化了应用图像研究函数的方法新教材中通过图象理解导数概念，强化了函数图象的作用，以图像为主体设计了“思考”、“探究”、“观察”、例题和练习，把学生从抽象的极限定义中解放出来，让学生体验到导数研究函数的优越性。

（4）突出导数的实际应用导数是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具。

《标准》对导数的运用有较高的要求。

从导数概念的引入，到导数的应用举例都用到了大量的实例。

这些实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”，从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，提高学生的思维能力。

利用导数可以解决很多实际问题，诸如利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，以及运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题。

定积分部分还有求曲边梯形的面积和便利做功等。

（5）关注数学文化要求师生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

学生在必修内容中对函数的单调性已经熟悉，简单的单调性问题可以很容易解决，但是对于一些较为复杂的函数单调性问题应用已有知识已经很难解决，这就迫使学生希望有更好的方法和工具来解决这类问题。

高二的学生，有强烈求知欲，喜欢探求真理，具有积极的学习态度.已经有很强的概括能力和抽象思维能力。

因此，学习导数这一主要内容有很好的学生基础。

5、重点难点分析（1）教学重点：①使学生知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，理解导数的几何意义；②四种常见函数的导数公式及应用；③基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导方法；④利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；⑤掌握求函数极值方法；；⑥掌握利用导数求函数的最大值和最小值的方法；⑦掌握利用导数解决优化问题的基本方法．（2）教学难点：①体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的过程中采用的逼近思想；②理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来；③函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；④根据实际问题建立适当的函数关系；⑤利用导数解决优化问题的基本方法．二、教学目标1、知识与技能：（1）通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（2）通过函数图象直观地理解导数的几何意义；（3）能根据导数定义，求函数2,,y c y x y x===，3,y x=1yx=，y x=的导数（文科只要求求函数2,,y c y x y x===，1yx=的导数）；（4）能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b+的导数(文科数学不做要求)；（5）会使用导数公式表；（6）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；（7）结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；（8）会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；（9）通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；（10）通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求)；（11）通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求)；（12）体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．2、过程与方法：(1)通过对大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；(2)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；(3)通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法；（4）通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严密推理的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程；（5）通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法；（6）在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解。

3、情感态度与价值观：(1) 通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，不断认识数形结合和等价转化的数学思想，提高参与意识和合作精神；（2）通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯；（3）通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力.三、单元教学流程：1.教学阶段规划（1）知识结构（以选修2-2第一章为例）（2）教材处理①导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。

教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。

通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。

这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。

②在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。

应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。

③应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（3）学习方式以导学为主,课堂学生讨论通过激发学生学习数学的兴趣、引导学生掌握正确的数学学习方法、改变数学课堂的教学模式，让学生成为学习的主人。

2.课时划分选修1-1第三章，本章约需要16个课时，具体分配如下：3.1变化率与导数约4课时3.2导数的计算约3课时3.3导数在研究函数中的应用约3课时3.4生活中的优化问题举例约4课时实习作业约1课时小结约1课时选修2-2第一章，本章约需要24个课时，具体分配如下：1.1 变化率与导数约4课时1.2 导数的计算约3课时1.3 导数在研究函数中的应用约4课时1.4 生活中的优化问题举例约3课时1.5 定积分的概念约4课时1.6 微积分基本定理约2课时1.7 定积分的简单应用约2课时实习作业约1课时小结约1课时四、《导数的概念》的教学设计限是否存在以及极限是什么的问题.教法、学法引导发现式教学法，类比探究式学习法确定依据：教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．教学手段电子白板，几何画板，GGB等多媒体辅助教学确定依据：通过多媒体弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近思想，揭示导数本质．教学环节确定依据：为更好落实教学目标, 把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，，为学生创设探究空间,让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程,从中获取知识,发展思维,感受探索的乐趣.教学环节内容师生活动设计意图复习引入提出问题回顾1：当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的高度为：105.69.4)(2++-=tttH，问在2秒时运动员的瞬时速度为多少？回顾2：已知曲线C是函数105.69.4)(2++-=xxxf的图象,求曲线上点P),(yx处的切线斜率.【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？学生交流探讨瞬时速度和和切线的斜率两个问题，解决方法上有什么共同之处.针对新概念创设相应的问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.类比探索形成概念①归纳共性揭示本质研究对象求解问题求解方法本质思想具体例子物体运动规律H=h(t)物体在t时的瞬时速度求时间增量t∆求位移增量h∆求平均速度th∆∆求瞬时速度=vtht∆∆∆0lim→平均速度的极限极限思想曲线y=f(x)曲线上P),(yx点处切线的斜率求横坐标增量x∆求纵坐标增量y∆求割线的斜率xy∆∆求切线的斜率limxykx∆→∆=∆割线斜率的极限极限思想一般情形函数y=f(x)函数在xx=处的变化率求自变量增量x∆求函数值增量y∆求比值求比值的极限平均变化率的极限极限思想【师生活动】将学生分成若干学习小组，以表格为载体为师生、生生互动搭起积极交流的探究平台.教师巡视，鼓励学生参与，对个别学有困难的小组加以指导.探究后，共同归纳得出：两个问题的解决在方法、本质、思想上都有相同之处.一个是“位移改变量与时间改变量之比”的极限，一个是“纵坐标改变量与横坐标改变量之比”的极限.如果舍去它们的具体含义，都可以概括为求平均变化率的极限.【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，讨论解决这两个问题的方法、本质、思想上有什么共同之处，引导学生分析、观察、归纳，打通揭示事物本质的思维通道.教学环节内容师生活动设计意图类比探索②类比迁移形成概念【思考】考虑求一般函数y=f(x) 在点x到x+x∆之间的平均变化率的极限问题，也就是怎样计算函数在点引导学生利用求瞬时速度的方法和思想类比探究，猜想得出函数在点x处的变化率xyx∆∆∆0lim→具体到抽象，特殊到一般方式，利用瞬时速度进行类【联系】一般而言，)(x f y =在0x 处的导数就是导函数)(x f '在x =0x 处的函数值，表示为|x x y ='，这也是求)(0/x f 的一种方法.)(x f 在一点处的导数”、“函数)(x f 在开区间内的导数”的关系.教学 环节 内 容 设计意图 练习 反馈 巩固 概念 练习： 1．已知y =x 3－2x +1，求y ′，y ′|x =2. 2．设函数f (x )在x 0处可导，则0lim →x ∆xx x f x x f ∆∆∆)()(00--+等于 A. f ′(x 0) B.0 C.2 f ′(x 0) D.－2 f ′(x 0) 3． 已知一个物体运动的位移S （m ）与时间t （s ）满足关系S （t ）＝-2t 2+5t （1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度； （2）求物体在t 时刻的瞬时速度；（3）求物体t 时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？1.巩固求导方法；2.通过适当的变式训练，提高学生的模式识别的能力，设计练习3，体验实际应用，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活.通过练习，反馈学生对知识技能的掌握情况，以便及时调节教学，更好的达成教学目标.小结 整理 形成 系统 ①知识层面②方法层面：用定义求导数的三个步骤③思想层面：极限思想、函数思想、类比思想、转化思想④应用层面：举出生活中与导数有关的实例（涉及变化率问题的问题可以考虑用导数解决引导学生从知识、方法、思想和应用四个层面进行小结，理清知识结构，提炼数学方法和领悟数学思想，培养应用意识. 分层 作业 必做题： 1.教材P10习题1.1 1、2、3、4、5 弹性的分层作业，照顾到各种层次的学1、本单元从大学和高中数学的联系上，整体遵循课程标准理念，同时结合自己教学实际来进行，以便于更好操作.2、选择现实生活中的事件作为教学资源，尊重学生实际，按学生的学习水平和表现进行设计，体现新课程标准中对学生知识和能力的要求，调动学生学习的积极性和主动性. 。