天津 《几个常用函数的导数》同步教学设计
几个常用函数的导数(教案)
几个常用函数的导数(教案)章节一：导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的定义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够求解常见函数的导数。
教学内容：1. 导数的定义及几何意义；2. 导数的计算方法；3. 常见函数的导数。
教学步骤：1. 引入导数的定义，解释导数的几何意义；2. 引导学生通过极限的概念理解导数的计算方法；3. 举例讲解常见函数的导数；4. 练习求解常见函数的导数。
教学评估：1. 检查学生对导数定义的理解程度；2. 评估学生对导数计算方法的掌握情况；3. 检测学生求解常见函数导数的能力。
章节二：常数函数的导数教学目标：1. 掌握常数函数的导数；2. 能够求解常数函数的导数。
教学内容：1. 常数函数的导数定义；2. 常数函数导数的计算方法。
教学步骤：1. 引入常数函数的导数定义；2. 讲解常数函数导数的计算方法；3. 举例求解常数函数的导数；4. 练习求解常数函数的导数。
教学评估：1. 检查学生对常数函数导数定义的理解程度；2. 评估学生对常数函数导数计算方法的掌握情况；3. 检测学生求解常数函数导数的能力。
章节三：幂函数的导数教学目标：1. 掌握幂函数的导数；2. 能够求解幂函数的导数。
教学内容：1. 幂函数的导数定义；2. 幂函数导数的计算方法。
教学步骤：1. 引入幂函数的导数定义；2. 讲解幂函数导数的计算方法；3. 举例求解幂函数的导数；4. 练习求解幂函数的导数。
教学评估：1. 检查学生对幂函数导数定义的理解程度；2. 评估学生对幂函数导数计算方法的掌握情况；3. 检测学生求解幂函数导数的能力。
章节四：指数函数的导数教学目标：1. 掌握指数函数的导数；2. 能够求解指数函数的导数。
教学内容：1. 指数函数的导数定义；2. 指数函数导数的计算方法。
教学步骤：1. 引入指数函数的导数定义；2. 讲解指数函数导数的计算方法；3. 举例求解指数函数的导数；4. 练习求解指数函数的导数。
教学设计2：3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.1 几个常用函数的导数教学目标重点: 根据导数的定义求四个函数()y f x c ==，()y f x x ==，1()y f x x ==，2()y f x x ==的导数难点：四个函数()y f x c ==，()y f x x ==，1()y f x x ==，2()y f x x ==几何意义和物理意义的解释知识点：利用导数的定义求函数的导数能力点：利用定义求其它函数的导数教育点：定义法求解的步骤考试点：根据导数定义求函数在某一点处导数的方法易错易混点：利用定义求切线方程时，分清所给点是否为切点拓展点：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点教具准备 多媒体课堂模式 学案导学一、 引入新课复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般步骤：（1）求函数的改变量y ∆=()()f x x f x +∆-（2）求平均变化率y x ∆=∆()()f x x f x x+∆-∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim=0()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆ [师生活动]教师引导：那么，对于函数)(x f y =，如何求它的导数呢？学生回答：可以根据导数的定义.求求函数)(x f y =的导数，就是求出x ∆趋近于0时，yx∆∆所趋于的那个定值. 教师引导：那我们可以根据定义求导，这就是我们今天要学习的内容.[设计意图]通过复习旧知识得到证明新知识的方法，使得学生易于理解、接受.[设计说明]由已知到未知，过渡自然.二、 探究新知教师提问：根据前面求导数的步骤，你能够求函数()y f x c ==的导数吗？学生回答：可以，根据定义可以得出.师生共同完成： 因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆=0c c x -=∆ 所以 /y ＝x y x ∆∆→∆0limlim 00x ∆→== 教师提问：利用几何意义，0y '=表示什么意思？学生回答：根据导数的几何意义可知，其表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为0. 教师提问：若y c =表示路程关于时间的函数，则y '=0，可以怎么解释呢？学生回答：可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.教师提问：利用相同的方法，你能够求函数()y f x x ==的导数吗？学生回答：可以. 学生完成：因为y x ∆=∆()()f x x f x x +∆-∆=1x x x x +∆-=∆ 所以 /y ＝x y x ∆∆→∆0lim 0lim11x ∆→== 教师提问：同样，1y '=表示的几何意义呢？学生回答：函数y x =图象上每一点处的切线斜率为1.教师提问：若y x =表示路程关于时间的函数，则y '=1，可以怎么解释？学生回答：可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.教师提问：大家思考以下这个问题，在同一平面直角坐标系中，你能画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数吗？学生回答：可以.教师提问：从图象上看，它们的导数分别表示什么？学生回答：它们的导数分别表示这些直线的斜率.教师提问：你能够根据导数的定义求它们的导数吗？学生经过演算可以得出教师提问：这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？学生回答：4y x =增加得最快，2y x =增加得最慢教师提问：函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？学生回答：函数(0)y kx k =>增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加的越快，k 越小，函数增加的越慢. 函数(0)y kx k =<减少的快慢与k 有关系，即与函数导数的绝对值有关系，k 越大，函数减少的越快，k 越小，函数减少的越慢.教师引导：由这两个例子，大家可以知道对于所有的函数，我们都可以利用定义求它们的导数.那么，对于常用的几个函数的导数，要求大家记住并且要求会写求导的步骤.下面，我们进一步的学习几个常用函数的导数.[设计意图] 通过求简单函数y c =及()y f x x ==的导数，达到让学生掌握住求函数导数步骤及明确导数的几何意义的目的三、理解新知1、()y f x c ==的导数0y '=，()y f x x ==的导数1y '=2、导数的几何意义是：曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.[设计意图]为准确的应用新知识，作必要的铺垫.四、运用新知例1求函数2()y f x x ==的导数[师生活动]教师提问：类比上面的导数的求法，你能得出2()y f x x ==的导数吗？ 学生思考回答：可以.师生共同分析得出答案. 解：因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆ =22222()2()x x x x x x x x x x+∆-+∆+∆-=∆∆ =2x x +∆所以 /y ＝x y x ∆∆→∆0lim 0lim(2)2x x x x ∆→=+∆= [设计意图]：通过教师的板书，使得学生进一步明确解题的步骤；并且锻炼学生的活用知识的能力.例2、已知函数1y x=，根据图象试描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. [师生活动]教师提问：函数1y x =的图像分布在第几象限？变化情况怎样？做出如上的图像 学生回答：分布在第一和第三象限，在各自的象限内随着x 的增大，函数值减小 教师提问：求切线的方程，先求什么？学生回答：切线的斜率，即在0x x =的导数解：结合图像可知：当0x <时，随着x 的增加，函数1y x =减少的越来越快；当0x >时，随着x 的增加， 函数1y x =减少的越来越慢. 又因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆ 11x x x x-+∆=∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+∆， 所以 /y ＝x y x ∆∆→∆0lim22011lim()x x x x x ∆→=-=-+∆ 即k ='21(1)11f =-=-， 所以曲线在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y x -=--，即20x y +-=.【设计意图】根据导数的几何意义，可以求切线的方程.五、课堂小结教师提问：我们本节课，你学习到了什么知识点？学生回答：1. 利用定义求导法的方法，求导的三个步骤：作差，求商，取极限.2. 利用导数求切线方程时，要判断所给点是否为切点.教师总结：求导的三个步骤：作差，求商，取极限. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.【设计意图】：通过总结知识点，让学生明白本节的主要内容，便于掌握.六、布置作业七、教后反思1.本节课的亮点是把用定义求导数的步骤讲解的细致，便于学生接受.2.本节课的弱项是利用导数求切线方程时，对于要判断所给点是否为切点的问题没有进一步的说明.八、板书设计。
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版《几种常见函数的导数》教案教学目的：1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．教学难点：公式1)'(-=n n nx x )(Q n ∈的推导．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim00函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y=＝(0/x f 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作(0/x f导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?（2）求平均变化率xx y ?=?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ??→?0lim二、讲解新课： 1. 0'=C (C 为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 证明：()y f x ==C ，∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0∴x y=0，y '=C ′=xy x ??→?0lim =0，∴y '=0.2. 1)'(-=n nnx x (Q n ∈)说明：实际上，此公式对R n ∈都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了*N n ∈的证明证明：()y f x ==nx∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=()n nx x x +?- =n x +1C n 1n x -Δx +2C n 2n x-(Δx )2+…+n n C ()n x ?－nx=1C n 1n x-Δx +2C n 2n x - (Δx )2+…+n n C ·()nx ?xy ??=1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx +…+n n C ·1()n x -?∴y '=()n x '=xy x ??→?0lim=0lim →?x （1C n 1n x-+2C n 2n x-Δx +…+n n C ·1()n x -?)=1C n 1n x-=n 1n x-∴y '=1)'(-=n n nx x 3. x x cos )'(sin =证明方法一：y =sin x ，Δy =sin(x +Δx )－sin x =sin x cos Δx +cos x sin Δx －sin xxxx x x x x y ?-?+?=sin sin cos cos sin ∴y '=xxx x x x x y x x ?-?+?=??→?→?sin sin cos cos sin lim lim000sin (cos 1)cos sin limx x x x xx→?-+?=?200sin (2sin )sin 2limlim cos x x xx x x x x ?→?→?-?=+?? 202sin 2lim(2sin )cos 4()2x x x x x x ?→??=-??+? =－2sin x ·1·0+cos x =cos x ∴y '=cos x证明方法二：x y sin =，2)(sin 2)(cos2sin )sin(xx x x x x x x x y -?++?+=-?+=?2sin2cos 2x x x ???? ?+=， 22sin2cos x xx x x y ????? ?+=??，∴ 0lim )'(sin '→?==x x y 22sin2cos lim 0x xx x x y x ????? ?+=??→? x x x x x x x cos 22sinlim 2cos lim 00=????? ?+=→?→?．4. x x sin )'(cos -=证明方法一：y =cos x ，Δy =cos(x +Δx )－cos x =cos x cos Δx －sin x sin Δx －cos xy '=xxx x x x x y x x ?-?-?=??→?→?cos sin sin cos cos lim lim 00 0cos (cos 1)sin sin limx x x x xx→?--?=?200cos (2sin )sin 2limlim sin x x xx x x x x→?→?-?=-??202sin 2lim(2cos )sin 14()2x x x x x x→??=-?-??2cos 10sin sin x x x =-??-=- ∴y '=－sin x 证明方法二：x y cos =，2)(sin 2)(sin 2cos )cos(xx x x x x x x x y -?++?+-=-?+=?2sin 2sin 2xx x ??+-=， 22sin2sin x xx x x y ????? ?+-=??，∴ 0lim )'(cos '→?==x x y 22sin2sin lim 0x xx x x y x ????? ?+-=??→? x x x x x x x sin 22sinlim 2sin lim 00-=????? ?+-=→?→?．∴y '=－sin x .第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用三、讲解范例：例1 求(1)(x 3)′ (2)(21x)′ (3)(x )′解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3(3) xx x x x 212121)()(2112121==='='--例2质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．解：∵ 51ts =，∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=?-='-=t s ．答：质点在2=t 时的速度是645-．例3求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程．解：∵ x y sin = ∴ xx y cos )(sin ='='∴ 236cos6=='=ππx y ∴ 所求切线的斜率23=k ∴ 所求切线的方程为 )6(2321π-=-x y ，即 0361236=-+-πy x 答：曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程为0361236=-+-πy x ．四、课堂练习：1．(口答)求下列函数的导数：(1)y =x 5 (2)y =x 6 (3)x =sin t (4)u =cos ? 答案：(1)y ′=(x 5)′=5x 4；(2)y ′=(x 6)′=6x 5；(3)x ′=(sin t )′=cos t ；(4)u ′=(cos ?)′=－sin ? 2.求下列函数的导数：(1)y =31x(2)y =3x 答案：(1) y ′=(31x)′=(x －3)′=－3x －3－1=－3x －4(2321313133131)()(--=='='='x x x x y3.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s)，求质点在t =3时的速度.解：v =s ′=(t 3)′=3t 3－1=3t 2当t =3时，v =3×32=27 m/s ，∴质点在t =3时的速度为27 m/s 4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=21gt 2，(s 单位m ，t 单位s ，g =9.8 m/s 2)，求t =3时的速度. 解：v =s ′(t )=(21gt 2)′=21g ·2t 2－1=gt . t =3时，v =g ·3=9.8·3=29.4 m/s ，∴t =3时的速度为29.4 m/s.5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y ′=(x 4)′=4x 4－1=4x 3.∴y ′|x =2=4·23=32∴点P (2，16)处的切线方程为y －16=32(x －2)，即32x －y －48=0五、小结：这节课主要学习了四个公式:①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n －1(n ∈R )，③(sin x )′=cos x ，④(cos x )′=－sin x 六、课后作业：P127 1.2.3八、课后记：求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用。
《几种常见函数的导数》教案完美版
《几种常见函数的导数》教案完美版一、教学目标1. 理解导数的基本概念和物理意义。
2. 掌握几种常见函数的导数求导法则。
3. 能够熟练运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的基本概念和物理意义。
2. 几种常见函数的导数。
3. 导数的求导法则。
三、教学重点与难点1. 教学重点：导数的基本概念、物理意义，几种常见函数的导数，导数的求导法则。
2. 教学难点：导数的求导法则的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解导数的基本概念和物理意义。
3. 采用案例分析法，让学生通过实际问题，运用导数解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：以实际问题引入导数的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解导数的基本概念和物理意义，让学生理解导数的本质。
4. 讲解导数的求导法则，让学生能够熟练运用求导法则求解导数。
5. 利用案例分析，让学生运用导数解决实际问题，巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
8. 布置作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，为下一节课的教学做好准备。
10. 学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，不断改进教学方法。
六、教学评价1. 评价内容：学生对导数基本概念和物理意义的理解，以及对几种常见函数导数的掌握情况。
2. 评价方式：课堂提问、作业批改、课后访谈等。
3. 评价标准：能准确理解导数概念，熟练掌握几种常见函数的导数，并能运用导数解决实际问题。
七、教学反思1. 反思内容：教学方法、教学内容、课堂氛围、学生参与度等。
2. 反思方式：教师自我反思、学生反馈、同行评价等。
3. 改进措施：针对反思结果，调整教学方法，优化教学内容，提高课堂活力，关注学生个体差异。
八、教学拓展1. 拓展内容：导数在其他领域的应用，如物理学、经济学等。
2. 拓展方式：查阅相关资料、邀请专家讲座、小组讨论等。
3. 拓展目标：让学生了解导数在实际生活中的广泛应用，提高学生的学习兴趣。
几个常用函数的导数(教案)
3.2.1几个常用函数导数教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2、能利用导数公式求简单函数的导数。
教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 教学过程：【合作探究】探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数？新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？【典型例题】1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数 导数y c = 0y '=0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函数 导数y x = 1y '=1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函数 导数2y x = 2y x '=2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆ 函数 导数1y x =21y x '=- 5．函数y x =6．推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=【反思总结】1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.【当堂检测】1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .【板书设计】 1．函数()y f x c ==的导数 3．函数2()y f x x ==的导数 5．函数y x =2．函数()y f x x ==的导数 4．函数1()y f x x==的导数 6．推广：【课后作业】P82 探讨。
高中数学_几个常见函数的导数教学设计学情分析教材分析课后反思
某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限）问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限）问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？情境二：1.利用定义求出函数①c y =的导数2.若y c =表示速度关于时间的函数，则0y '=可以如何解释？如何描述物体的运动状态？ 问题1：函数值的增量y ∆是什么？（0）问题2：自变量的增量x ∆是多少（x x x x -∆+=∆)(）问题3：xy ∆∆=？?lim 0=∆∆→∆x y x 与x ∆的取值有关吗？ 问题4：你得到的函数c y =的导数是什么？（0='='c y ）与c 的取值有关系吗？情境三 学生探究：你能独立完成②x y =，③2x y =，④xy 1=这几个函数的导函数吗？ 问题1：函数②的导数是什么？（1='y ）若是改为cx y =呢？问题2：函数③的导数是什么？（x y 2='）若改为22x y =呢？问题3：函数④的导数是什么？（21xy -='）若改为x y 1-=呢？ 情境四：再探究：1.以上四个函数的导数求解过程中用到的变形方法都是常见的提公因式，通分，合并同类项等初级方法，你能否还用以上方法求出函数⑤x y =的导数呢？xx x x x y ∆-∆+=∆∆，再往下如何化简？根据经验我们知道，应该能够把分母上的x ∆约去才行（因为取极限时0→∆x ，分母为0分式无意义）故要进行分子有理化具体过程如下：x x x x ∆-∆+)())((x x x x x x x x x x +∆+∆+∆+-∆+==x x x +∆+1 00lim lim →∆→∆=∆∆='x x x y y x x x +∆+1=x 212.你能否把本节课所学的五个函数的求导公式通过类比推广统一起来呢？①1000)(-⨯='='cx cx c ②11)(0111==⨯='='-x x x x ③x x xx 222)(1122==⨯='- ④2211111)()1(x x x x x -=-=⨯-='='----⑤xx x x x 212121)()(2112121==⨯='='-- 推广：（1）若)(Q n x y n ∈=，则1-='n nx y （幂函数）（2）若)(Q n cx y n ∈=，则1-='n cnxy （类幂函数）习题设计： 1.(2014·合肥高二检测)已知y=sin30°,则导数y ′=( )A. B.- C. D.02.已知f(x)=lnx,则f(1)+f′(1)=( )A.1B.-2C.0D.23.已知f(x)=xα,若f′(-1)=-4,则α的值是( )A.-4B.4C.±4D.不确定4.已知f(x)=x3,则f(x)的斜率为3的切线有( )A.1条B.2条C.3条D.不能确定5.(2014·株洲高二检测)曲线y=在其上一点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标为.6.已知曲线y=在点P(1,1)处的切线与直线m平行且距离等于,求直线m的方程.效果分析：通过本节的讲解，对本节教学效果做如下分析：1.利用导数的定义进行某点处的导数值求解，较原来有所提高，从学生的反应来看，大部分学生已经有清晰地认识，能想到怎样解，部分知道为什么这样做。
高中数学 同步学案 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
导数的计算第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P81～83,思考并完成以下问题1．函数y ＝c,y ＝x,y ＝x －1,y ＝x 2,y ＝x 的导数分别是什么？能否得出y ＝x n的导数公式？2．正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？[新知初探]1．几种常用函数的导数函数导数 f(x)＝c(c 为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x 2f′(x)＝2x f(x)＝1xf′(x)＝－1x 2f(x)＝xf′(x)＝12x[点睛] 对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础,都是通过导数的定义求得的,都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢,在求导数时,可直接应用,不必再用定义去求导． 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x α(α∈Q *) f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝a x(a>0且a≠1)f′(x)＝a xln_a f(x)＝e xf′(x)＝e x f(x)＝log a x(a>0且a≠1)f′(x)＝1xln af(x)＝ln xf′(x)＝1x[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若y ＝2,则y′＝12×2＝1( )(2)若f′(x)＝sin x,则f(x)＝cos x( ) (3)f(x)＝1x 3,则f′(x)＝－3x 4( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝0,则y′＝0B ．若y ＝5x,则y′＝5C ．若y ＝x －1,则y′＝－x －2D ．若y ＝x 12,则y′＝12x 12答案：D3．若y ＝cos 2π3,则y′＝( )A ．－32B ．－12C ．0 D.12答案：C4．曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线方程为________． 答案：y ＝x ＋1利用导数公式求函数导数[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝3x；(5)y ＝log 5x.[解] (1)y′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5.(3)y′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25.(4)y′＝(3x)′＝3x ln 3. (5)y′＝(log 5x)′＝1xln 5.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式．[活学活用] 求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x.解：(1)y′＝(lg x)′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln 10′＝1xln 10.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2.(3)y′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝32x.(4)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 13x ′＝1xln 13＝－1xln 3.导数公式的综合应用[典例] (1)曲线y ＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A.12－3π9B.12＋3π9C.12＋3π6D.12－3π6(2)设曲线y ＝x 在点(2,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直,则a ＝( ) A.22B.24C ．－2 2D ．2 2[解析] (1)因为y′＝－sin x,切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12, 所以切线的斜率k ＝y′|x＝π3＝－sin π3＝－32, 所以切线方程为y －12＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3,令x ＝0,得y ＝12＋3π6,故选C.(2)因为y ＝x ＝x 12,所以y′＝12x －12＝12x ,所以切线的斜率k ＝y′|x ＝2＝122,由已知,得－a ＝－22,即a ＝22,故选D. [答案] (1)C (2)D1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤1．曲线y ＝x 23在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为( )A.53B.89C.2512D.412解析：选C 可求得y′＝23x －13,即y′|x ＝1＝23,切线方程为2x －3y ＋1＝0,与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0, 与x ＝2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53, 围成三角形面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫2＋12×53＝2512.2．当常数k 为何值时,直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点． 解：设切点为A(x 0,x 20＋k)．∵y′＝2x,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 20＋k ＝x 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，k ＝14，故当k ＝14时,直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切,且切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 12.层级一 学业水平达标1．若指数函数f(x)＝a x(a ＞0,a≠1)满足f′(1)＝ln 27,则f′(－1)＝( ) A ．2B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：选C f′(x)＝a x ln a,由f′(1)＝aln a ＝ln 27,解得a ＝3,则f′(x)＝3xln 3,故f′(－1)＝ln 33. 2．已知f(x)＝x 2·x,则f′(2)＝( ) A ．4 2B ．0 C. 2D ．5 2解析：选D 原函数化简得f(x)＝x 52,所以f′(x)＝52·x 32,所以f′(2)＝52×232＝5 2.故选D.3．已知f(x)＝x α,若f′(－1)＝－2,则α的值等于( ) A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2,则f(x)＝x 2,∴f′(x)＝2x, ∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．若曲线y ＝x 在点P(a,a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a 的值是( ) A ．4B ．2C ．16D ．8解析：选A ∵y′＝12x ,∴切线方程为y －a ＝12a(x －a)．令x ＝0,得y ＝a2,令y ＝0,得x ＝－a, 由题意知12·a2·a＝2,∴a ＝4.5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：选C ∵y′＝x 2,∴y′|x ＝1＝1,∴切线的倾斜角α满足tan α＝1,∵0≤α<π,∴α＝π4.6．已知f(x)＝1x ,g(x)＝mx,且g′(2)＝1f′2,则m ＝________.解析：∵f′(x)＝－1x 2,∴f′(2)＝－14.又∵g′(x)＝m,∴g′(2)＝m.由g′(2)＝1f′2,得m ＝－4.答案：－47．曲线y ＝ln x 在点M(e,1)处的切线的斜率是________,切线方程为____________． 解析：∵y′＝(ln x)′＝1x ,∴y′|x ＝e ＝1e .∴切线方程为y －1＝1e (x －e),即x －ey ＝0.答案：1ex －ey ＝08．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2,过第一象限的点(a,a 2)作抛物线C 的切线l,则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a,a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点, ∵y′＝2x,∴直线l 的方程为y －a 2＝2a(x －a)． 令x ＝0,得y ＝－a 2,∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0,－a 2)． 答案：(0,－a 2) 9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2.解：(1)y′＝(x 8)′＝8x8－1＝8x 7.(2)y′＝(4x)′＝4x ln 4. (3)y′＝(log 3x)′＝1xln 3.(4)y′＝(cos x)′＝－sin x. (5)y′＝(e 2)′＝0.10．已知P(－1,1),Q(2,4)是曲线y ＝x 2上的两点, (1)求过点P,Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y′＝2x,P(－1,1),Q(2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y′|x ＝－1＝－2, 过Q 点的切线的斜率k 2＝y′|x ＝2＝4,过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1),即2x ＋y ＋1＝0. 过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2),即4x －y －4＝0. (2)因为y′＝2x,直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1,切线的斜率k ＝y′|x＝x 0＝2x 0＝1, 所以x 0＝12,所以切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14, 与PQ 平行的切线方程为： y －14＝x －12,即4x －4y －1＝0.层级二 应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t,则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523 B.110523C.25523D.110523解析：选B ∵s′＝15t －45.∴当t ＝4时,s′＝15·1544＝110523 .2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x ＞0)的一条切线,则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y′＝1x ,∴令1x ＝12,得x ＝2,∴切点为(2,ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b,得b ＝ln 2－1.3．在曲线f(x)＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1,－1)解析：选D 因为f(x)＝1x ,所以f′(x)＝－1x 2,因为切线的倾斜角为34π,所以切线斜率为－1,即f′(x)＝－1x 2＝－1,所以x ＝±1,则当x ＝1时,f(1)＝1；当x ＝－1时,f(1)＝－1,则点坐标为(1,1)或(－1,－1)． 4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1解析：选B 对y ＝xn ＋1(n ∈N *)求导得y′＝(n ＋1)x n. 令x ＝1,得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1,∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0,得x n ＝n n ＋1, ∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×nn ＋1＝1n ＋1, 故选B. 5．已知f(x)＝a 2(a 为常数),g(x)＝ln x,若2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝1,则x ＝________. 解析：因为f′(x)＝0,g′(x)＝1x ,所以2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝2x －1x ＝1.解得x ＝1或x ＝－12,因为x ＞0,所以x ＝1.答案：16．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2, 又∵y′＝(ln x)′＝1x ,∴1x ＝2,解得x ＝12.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.即2x －y －1－ln 2＝0. 答案：2x －y －1－ln 2＝07．已知曲线方程为y ＝f(x)＝x 2,求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程． 解：设切点P 的坐标为(x 0,x 20)． ∵y ＝x 2,∴y′＝2x,∴k ＝f′(x 0)＝2x 0, ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B(3,5)代入上式,得5－x 20＝2x 0(3－x 0), 即x 20－6x 0＋5＝0,∴(x 0－1)(x 0－5)＝0,∴x 0＝1或x 0＝5, ∴切点坐标为(1,1)或(5,25),故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5), 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x 0,y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点． ∵y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a2x 20(x －x 0)．令x ＝0,得y ＝2a2x 0；令y ＝0,得x ＝2x 0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。
高中数学选修2-2 几个常见函数的导数教学设计
几种常见函数的导数教学设计教学目的使学生应用由定义求导数的三个步骤推导常见函数的导数公式，掌握并能运用公式正确求常见函数的导数．教学重点和难点1． 能利用定义求几个见到函数的导数，加深对导数概念的理解；2． 能利用公式求简单函数的导数，并结合导数的几何意义解决一些几何问题；3． 体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学时常用到的由特殊到一般的数学思想，进一步发展学生的思维能力；4． 正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．学情分析本节内容重点是求常见函数的导数，根据导数的定义求导数是基本的方法.导数的运算最终归结为求极限，而本教材并没有给出极限的严格定义，也没有介绍相关知识，学生也没不具备推导中需要的相关知识，因此在教学中对指数函数对数函数的导数，只能作为公式直接介绍给学生；另一方面，本班学生数学学习能力较高，已经掌握了二项式定理，因此，在教学中没有采取教材中的由y x =、2y x =、1y x =、y =3y x =的导数归纳总结出幂函数的求导公式的做法，而是让学生直接推导正整数指数幂的求导公式，符合学生的学情特点，也能激起学生的探知欲.教学过程一、复习提问1.导数的定义是什么?2.导数的几何意义是什么？3.按定义求导数有哪几个步骤？二、新课1．引言：导数定义给出了求导数的最基本的方法，但利用定义来求导数是一个非常繁琐机械的过程，因此，我们要思考的问题是能否求出一些常见函数的导数，并将这些函数的导数公式化，得出更简便的求导方法.2.探究问题：我们常见的函数有哪几类？尝试用导数的定义求它们的导数.探究1:求函数()f x kx b =+的导数.特别的，若0k =，()0C '=.探究2：求函数()()f x x αα=是常数的导数. 说明：当学生用定义求导数时，()()()y f x x f x x x x x x xαα∆+∆-+∆-==∆∆∆，对式子()x x α+∆无法变形处理，因此引导学生先处理特殊问题，培养学生形成在解决问题时由特殊到一般的思维方式.探究3：求函数*()()n f x x n N =∈的导数 说明：学生已经学习了二项式定理，因此有能力解决这个问题.由特殊到一般，猜想：1()x x ααα-'=探究4：求函数()sin f x x =的导数.说明：在证明中涉及到和差划积公式和α与sin α的关系。
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因为
所以
函数
导数
表示函数 图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数 的导数
因为
所以
函数
导数
表示函数 图像（图3.2-3）上点 处的切线的斜率都为 ，说明随着 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当 时，随着 的增加，函数 减少得越来越慢；当 时，随着 的增加，函数 增加得越来越快．若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻 的瞬时速度为 ．
4．函数 的导数
因为
所以
函数
导数
5．函数 的导数
因为
所以
函数
导数
（2）推广：若 ，则
三．课堂练习
1．课本P13探究1
2．课本P13探究2
四．回顾总结
函数
导数
五．布置作业
§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 、 、 、 的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点：四种常见函数 、 、 、 的导数公式及应用
教学难点：四种常见函数 、 、 、 的导数公式
教学过程：
一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数 ，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
二．新课Байду номын сангаас授
1．函数 的导数
根据导数定义，因为
所以
函数
导数
表示函数 图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．