概率论与数理统计：c6_2 常用统计分布
63常用统计量的分布
§6.3常用统计量的分布一、样本均值的分布1、单个正态总体下的样本均值的分布2、两个正态总体下的样本均值的分布3、非正态总体下的样本均值的近似分布二、-分布1、分布定义2、分布的性质3、分布的典型模式4、分布的上α分位点2χ2χ2χ2χ2χ三、t-分布1、t 分布的定义2、t(n)的性质3、t(n)的典型模式4、t(n)分布的上α分位点四、F-分布1、F分布的定义2、F分布的性质3、F分布的典型模式4、F分布的上α分位点五、正态总体样本均值与样本方差的分布1、单个正态总体下样本均值与样本方差的分布2、两个正态总体下样本均值差与样本方差比的分布)2.3(1)(1)1()(1)(1)1()(,,,2,1,)(,)(,,,1)1.3(),(~11,,,,),,(1.31222121112212121212n n nX D n X n D X D n nX E n X n E X E n i X D X E X X X X nN X n X nX n X X X X X N X n i i n i i n i i n i i i i n ni i ni i n σσµµσµσµσµσµ=⋅====⋅========∑∑∑∑∑∑======于是有相互独立同分布，故与：由于注的正态分布，即，方差为服从均值为值的一个样本，则样本均为来自服从正态总体设总体定理本均值的分布、单个正态总体下的样一、样本均值的分布"""这点处。
望取值几乎集中在数学期时且当高的集中程度远比总体要的取值于即倍的方差的的方差却只是但有相同的数学期望与由上述可知注µµX n X nX X X X ,,,1,,:2∞→212(1,0.2),,,,,{0.9 1.1}0.95?n X N n X X X X P X n ≤<≥"例 设总体服从正态分布从中抽取容量为的样本欲使样本均值满足不等式试求样本容量最小应为取多大2110.2:~(1,)1.110.910.95{0.9 1.1}0.20.2()()2()1222ni i X X N nnP X n n n n n==⎛⎞⎛⎞−−≤≤<=Φ−Φ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=Φ−Φ−=Φ−∑解由题设知故0.951()0.975; 1.96,15.3664222,16n n n n +Φ≥=≥≥即查表得故因此样本容量最少应取。
数理统计基本概念
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;
概率论与数理统计c6_2
§6.2 常用统计分布
一、四种常用统计分布 1. 标准正态分布
x2 e 2
1 f ( x) 2
P{ X u }
2013-7-3
,x R
上侧分位数u ( 0< <1）满足
u
f ( x )dx
1
数理统计常用分布
阴影部 分面积 为
对于正态分布有： (u ) 1
2 ( n) n
(
2n
)
2 ( n) n 2 u ( n) n u 2n 2n
2013-7-3
27
例: 查表计算概率 1. X ~ N (0,1), P{1.58 X 1.96} ?
2. χ 2 ~ χ 2 (15), P{6.262 χ 2 24.996} ?
24
2.
Xi
Xi 2 ~ N (0,1) ~ ( n) i 1
n 2
Hale Waihona Puke 故Y1
2
i 1
X i ~ ( n).
n 2 2
#
2013-7-3 25
证明 ( n) n u 2n
2
证
因
2
n
i 1
2
n
i 1
2 Xi
且 X1，X2，…,Xn相互独立，Xi～N(0,1)，
E( 2 ) E ( X i2 ) D( X i ) n,
i 1 i 1 n n
2013-7-3
6
数理统计常用分布
D(χ 2 ) D( X i2 )
概率论常用统计分布共62页
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
概率论常用统计分布
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
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概率论与数理统计常用的统计分布
n(
)2
X
)2
概率论与数理统计i 1
抽样分布定理 最重要的总体： X ~ N (, 2 )
如何由样本 X1, X2,...X n 推断 ， 2 ？
分析：
对 ， 2 的推断是通过构造统计量实现的
（1）如何构造“好”的统计量 (X1, X2,...Xn ) （2） g(X1, X2,...Xn ) 服从什么分布？
概率论与数理统计
定理 1 设总体 X ~ N (, 2 ) ， X1, X2,...Xn 是取自 X 的一个样本， X 为该样本的样本均值，则有 （1） X ~ N(, 2 / n) （2）U X ~ N (0,1)
/ n
概率论与数理统计
本,则
设 X1, X2 ,, Xn 是来自总体 X ~ N(, 2 ) 的样
❖要求由样本构造一个以较大的概率包含真 实参数的一个范围或区间，这种带有概率 的区间称为置信区间，通过构造一个置信 区间对未知参数进行估计的方法
称为区间估计。
概率论与数理统计
设总体X的分布函数形式已知, 但它的一 个或多个参数为未知, 借助于总体X的一个样 本来估计总体未知参数的问题称为点估计问 题.
Review
F
设 U ~ 2 (n1), V ~ 2 (n2 ) ,且 U ,V 相互独立,令
F
U /n1 V /n2
称 F 服从自由度为 (n1, n2) 的 F 分布，记为 F ~ F (n1, n2).
F(n1, n2 )的上侧分位点记为F (n1, n2 )
O
F (n1 , n2)
抽样分布的途径： （1） 精确地求出抽样分布，并称相应的统
在参数估计问题中，假定总体分布 形式已知，未知的仅仅是一个或几个 参数.
统计学中的常用概率分布及其性质
统计学中的常用概率分布及其性质概率论是数学中的一个分支，它研究的是随机事件的发生概率以及由随机变量带来的影响。
概率分布则是衡量随机变量取值的可能性的一种方法。
概率分布可以用来得出某些随机变量出现的概率，同时可以用来比较多个随机变量之间的差异。
在统计学中，常用的概率分布有正态分布、伯努利分布、泊松分布、指数分布、二项分布、负二项分布以及几何分布。
正态分布正态分布是一种非常常见的概率分布，也叫高斯分布。
正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其均值、方差以及标准差的值决定了曲线的位置与形态。
伯努利分布伯努利分布是一种离散概率分布，其只有两个可能结果，即成功或失败。
在伯努利分布中，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
伯努利分布可以用来估计投掷硬币等随机事件的概率。
泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，它用来衡量独立随机事件在一段时间内发生的次数。
泊松分布的概率密度函数为: P(X=k)= e^-λ * λ^k/k!，其中λ为平均发生次数。
指数分布指数分布是一种连续概率分布，其用途非常广泛，例如在可靠性工程学中，指数分布可以用来描述设备故障发生之间的时间间隔。
指数分布的概率密度函数为: f(x) = λ * e^-λx，其中λ为发生比例。
二项分布二项分布是一种离散概率分布，其表示在n次试验中成功的次数。
二项分布的概率函数为：P(X=k)= (n!/(k!*(n-k)!)) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中p为成功概率，n为试验次数。
负二项分布负二项分布是一种离散概率分布，其表示在成功x次之前，需要进行n次试验中失败的次数。
负二项分布的概率密度函数为：P(X=k)= (k-1)!((r-1)!*(k-r)!)p^r(1-p)^(k-r)几何分布几何分布是二项分布的一个特例，其表示在n次试验中，首次发生成功的次数。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k)=(1-p)^(k-1)* p，其中p为成功概率，k为试验次数。
常用统计分布(ppt文档可编辑修改)
x2
e 2 dx
3
D(Xi2 ) 3 1 2, i 1, 2, , n.
故 E( 2 ) E n Xi2 n E( Xi2 ) n,
i1
i1
D( 2 ) D n Xi2 n D( Xi2 ) 2n.
t 分布具有下列性质：
性质5.6 设 T ~ t(n) , 则当n 2 时有
E(T ) 0 D(T ) n
n2
性质5.7 设 T ~ t(n) ，p(t) 是T的分布密度，
则
lim p(t)
1
t2
e2
n
2
此性质说明，当 n 时，T分布的极限
分布是标准正态分布。
例2
2
近似
~
N
(n,2n).
2n
例1
设X
1
,
X
2
,,
X
为
6
来
自
正
态
总
体N
(0,1)的
一
组
样
本,
求C1
,
C
使
2
得
Y C1( X1 X 2 )2 C2( X 3 X4 X5 X6 )2
服 从 2分 布.
解
X1
X2
~
N (0,2), 则
X1
X2 2
~
N (0,1)
同理
X3 X4
性质2 ( 2分布的数学期望和方差) 若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
证明 因为 Xi ~ N (0, 1), 所以 E( Xi2 ) D( Xi ) 1,
概率论与数理统计：六大基本分布及其期望和方差
概率论与数理统计：六大基本分布及其期望和方差绪论：概率论中有六大常用的基本分布，大致可分成两类：离散型（0-1分布、二项分布、泊松分布），连续型（均匀分布、指数分布、正态分布）。
补充：在进入正文之前先讲一下期望和均值的一些区别：期望和均值都具有平均的概念，但期望是指的随机变量总体的平均值，而均值则是指的从总体中抽样的样本的平均值，即前者是理想的均值，而后者则是实际观测出来的数据的均值。
例如：对于一个六面的骰子，其期望E = （1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.5。
然后掷5次骰子，每次掷的点数分别为1,3,5,5,1，则平均值为（1+3+5+5+1）/ 5 = 3。
可以发现两者并不相等。
方差（variance）：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，方差度量了随机变量与期望（也可说均值）之间的偏离程度。
标准差为方差的开根号。
协方差（Covariance）：用于衡量两个变量之间的误差，而方差是协方差的特殊情况，即当两个变量相同的情况。
其公式如下：，表示含义为：E（∑（“X与其均值之差” * “Y与其均值之差”））当协方差为正时：表示两变量正相关（即同时变大变下）。
当协方差为负时：表示两变量负相关（即你变大，我变小，反之亦然）。
当协方差为0时：两变量相互独立。
相关系数：其公式如下，表示的含义为用X和Y的协方差除以X 和Y的标准差。
所以相关系数也可以看成协方差，一种剔除两个变量量纲影响，标准化后的特殊协方差。
正文：1、0-1分布已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中 0 < p< 1，则成X服从参数为p的0-1分布。
其中期望为E（X） = p 方差D（X） = p（1-p）；2、二项分布n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。
其中期望E（X） = np 方差D（X） = np（1-p）；3、泊松分布表示单位时间内某稀有事件发生k次的概率，其公式为其中方差和期望均为，详细了解请☞戳4、均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布其中期望E（X） = （a+b）/ 2 ，方差D（X） = （b-a）^2 / 12。
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n
n
E(2 )
E
(
X
2 i
)
D( X i ) n,
i 1
i 1
2021/3/5
6
数理统计常用分布
n
D(χ2 )
D(
X
2 i
)
i 1
n
{E(
X
4 i
)
[E(
X
2 i
)]2 }
2n.
i 1
性质2(可加性)设Y1、Y2相互独立,且Y1～2(n1) , Y1～2(n2)，则 Y1+Y2 ～ 2(n1+ n2) .
2
n
Xi2
~
2(n)
i 1
即随机变量 2 服从自由度为 n 的卡方分布.
例 统计量的分布 (之一)
2021/3/5
5
数理统计常用分布
2分布的三条性质： 性质1.(数字特征) 设 2 ~ 2(n) ，则有
E( 2 ) = n ， D( 2 ) = 2n
证明:
2
n
X
2 i
i 1
且 X1，X2，…,Xn相互独立，Xi～N(0,1)，
的样本, X , S 2分别是样本均值和样本方差，
则
(1)X与S 2相互独立;
(2) X ~ N (0,1); n
n1
(3) 2
S2
~
2(n
1);
(4) X ~ t(n 1)
Sn
2021/3/5
18
数理统计常用分布
证明(4) : 由(2) U X ~ N (0,1) n
由(3)
V
(n 1)S 2
2
~
2(n 1)
由(1)可知U和V是相互独立的, 再由定理6.2.2
可得
U X V (n 1) n
(n
1)S
2
2
n
1
1
X ~ t(n 1)
Sn
2021/3/5
19
数理统计常用分布
定理6.2.5 设正态总体 X 与 Y 相互独立，
X ～N(1, 12) , 样本为X1， X2，… X n1,样 本均值和样本方差为 X , S12；
数理统计常用分布
§6.2 常用统计分布 一、四种常用统计分布
1. 标准正态分布
f (x)
1
x2
e 2 ,xR
2
上侧分位数u ( 0< <1）满足
P{ X
u
}
u
f
( x)dx
2021/3/5
1
数理统计常用分布
阴影部 分面积
为
上侧分
对于正态分布有：(u ) 1 位数u
P{X u } 1 P{X u } 1 (u )
Y ～ N (2, 22 )，样本为Y1， Y2，… Y n2，
样本均值和样本方差为 Y , S22 . 则有
(1)F
S12 S22
2 1
2 2
~ F (n1 1, n2 1)
F
X Y
n1 n2
~
F (n1, n2 )
即随机变量 F 服从第一自由度为n1，第二自 由度为n2 的F分布.
2021/3/5
15
推论1
数理统计常用分布
若
1 F ~ F (n1, n2 ) F ~ F (n2 , n1 )
F ( n1 , n2 )的上侧分位数F ( n1 , n2 ) ( 0< <1 )：
2021/3/5
13
数理统计常用分布
例 查表计算： t0.95(20) ? t0.95(80) ? 解 t0.95(20) t10.05(20) t0.05(20) 1.7247
t0.95(80) t0.05(80) u0.05 1.645
4. F 分布 F ～F ( n1 , n2 )
n1 n2
f
(
x)
n1
2
n2
2
Γ( n1 n2 ) 2
(n1 )(n2 )
x
n1 2
1
(n1
x
n2
)
n1
n2 2
,
22
x0
0,
x0
2021/3/5
14
数理统计常用分布
称X 服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的 F分布.
定理6.2.3 设随机变量X，Y 相互独立，
X ~ 2(n1) ，Y～ 2(n2)，则
又称学生氏分布----第一个研究者以Student
作笔名发表文章.
f (x)
(n 1)
n
2 (
n
)
(1
x2 n
n1
) 2,
2
xR
t (n) 的上侧分位数 t (n) ( 0< <1 )：
2021/3/5
10
数理统计常用分布
P{T
t
(n)}
t (n)
fT
( x)dx
2021/3/5
11
数理统计常用分布
2021/3/5
2
数理统计常用分布
查表
如 ＝0.025 时， u＝？
(u0.025) 1 0.025 0.975
u0.025 1.96 上侧分位数例题
2. 2 (卡方)分布
1
x n1 x
f
(
x)
2(
n 2
)
(
2
)
2
e 2 ,x0 ,
0 , x 0
2021/3/5
3
数理统计常用分布
证明: 记
Y1
n1
X
2 i
,
i 1
Y2
n1 n2
X
2 i
i n1 1
2021/3/5
7
数理统计常用分布
则
Y1
Y2
n1 n2
X
2 i
i 1
且Xi , i=1,2,…,n1+n2 相互独立，Xi～N(0,1),
从而 Y1+Y2～ 2 (n1+n2).
性质3.(大样本分位数 2 ()n当) n 足够大(如 n > 45 )时，有
P{F
F (n1, n2 )}
F (n1 ,n2 )
fF
( x)dx
推论2
若
F
~
F (n1, n2 )
F1 (n1 , n2 )
1 F (n2 , n1 )Leabharlann 2021/3/516
数理统计常用分布
例 统计量的分布 (之二)
2021/3/5
17
数理统计常用分布
二、抽样分布定理
定理6.2.4
设 X1, X 2 ,..., X n是正态总体X ~ N (, 2 )
2 (n) n u 2n
其中u满足(u ) 1 .
2021/3/5
证明
8
数理统计常用分布
2(n) 的上侧分位数( 0< <1 )：
P{ 2
2 (n)}
2 (n)
f 2 ( x)dx
阴影部 分面积
为
2021/3/5
9
数理统计常用分布
例 查表计算概率
3.自由度为 n的 t 分布 T～t(n)
其中()为Gama函数, 称随机变量X 服从
自由度为n 的2分布，记为 2 ~ 2(n)
Gama 函数
() x1exdx, 0 0
主要性质: (1) 1, (1) , () ( 1)( 1) 2
2021/3/5
4
数理统计常用分布
定理6.2.1 设 X1，X2，…，Xn 相互独立 且都服从标准正态分布，则
定理6.2.2 设随机变量X, Y 相互独立, X ~N(0,1)，
Y～ 2(n)，则 T X ~ t(n) Yn
即随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布.
T 分布的特点：
1.关于纵轴对称： t1 (n) t (n)
2021/3/5
12
数理统计常用分布
2. n 较大时(n>30)， t (n) u