动态规划 (矩阵连乘)概述
动态规划-(矩阵连乘)
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4、构造最优解
void MatrixChain::Traceback(int i, int j) {
if(i==j) { cout<<'A'<<i; return;} if (i<s[i][j]) cout<<'('; Traceback(i, s[i][j]); if (i<s[i][j])cout<<')'; if(s[i][j]+1<j)cout<<'('; Traceback(s[i][j]+1, j); if(s[i][j]+1<j) cout<<')'; } void MatrixChain::Traceback() { cout<<'('; Traceback(0, n-1); cout<<')'; cout<<endl; }
②当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n ③当i<j时，m [ i ] j ] [ m [ i ] k ] [ m [ k 1 ] j ] [ p i 1 p k p j
这里 A i 的维数为 pi1pi
∴可以递归地定义m[i][j]为：
m [i]j] [ m i k j{ m [i]n k [ ] m [k 0 1 ]j] [ p i 1 p kp j}i i j j
根据MatrixChain动态规划算法： ②计算m[i][j]数乘次数
m[2][5]=min m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5=13000
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法
一、矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指在矩阵计算中，给定n个矩阵，求这n个矩阵的连乘积的最优解问题。
矩阵连乘问题既可以用于组合优化，也可以用于信息处理系统中查找最优路径的搜索算法。
它是最基本的组合优化问题。
二、矩阵连乘问题的算法
1. 动态规划法：动态规划法是求解矩阵连乘问题的常用算法。
它采用递归方法，将原问题分解为若干个子问题，然后求出各子问题的最优解，最后组合出原问题的最优解。
2. 贪心算法：贪心算法是一种经典的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题，即通过某种启发式规则，在每一步中都使最优决策，最终得到最优解。
3. 分支定界法：分支定界法是一种由搜索算法和界定法相结合而成的最优化算法，也可以用于求解矩阵连乘问题。
该算法按照树状的层次结构，向下搜索一个在每一步骤都使得当前最优的路径，然后上溯形成最优解。
4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种搜索算法，它可以用于求解矩阵连乘问题。
它采用一种模拟物理过程的原理，通过不断地改变解的状态，以求出相对最优解。
- 1 -。
矩阵连乘问题（动态规划算法）
矩阵连乘问题（动态规划算法）动态规划算法思想简介：将⼀个问题分解为多个⼦问题，这点和分治法类似，但是每个⼦问题不是独⽴的⽽是相互联系的，所以我们在求解每个⼦问题的时候可能需要重复计算到其他的⼦问题，所以我们将计算过的⼦问题的解放进⼀个表中，这样就能避免了重复计算带来的耗费，这就是动态规划的基本思想；⼀般地，动态规划思想⼀般⽤来解最优化问题，主要分为以下四个步骤：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征；（2）递归地定义最优值；（3）以⾃底向上的⽅式计算出最优值；（4）根据计算得到的最优值时得到的信息，构造最优解；同时，问题的最优⼦结构性质也是该问题可⽤动态规划算法求解的显著特征，这⾥的最优⼦结构性质即指：问题的最优解也即代表着它的⼦问题有了最优解；问题描述：分析过程如下：（1）分析最优⼦结构的性质：（2）分析递归关系，以及利⽤⾃底向上的⽅式进⾏计算：（3）获取最优值和最优解：代码如下：#ifndef MATRIX_CHAIN_H#define MATRIX_CHAIN_Hvoid matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s);void traceback(int i, int j, int **s);#endif#include <iostream>#include "matrix_chain.h"using namespace std;//利⽤动态规划算法获取最优值void matrix_chain(int *p, int n, int **m, int **s) //p:各个矩阵的列数，n：矩阵个数，m：m[i:j]矩阵i到j的相乘次数，s:对应的分开位置{for (int i = 0; i < n; i++){m[i][i] = 0;}for (int r = 2; r <= n; r++){for (int i = 0; i < n - r + 1; i++){int j = i + r - 1;m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];s[i][j] = i;for (int k = i + 1; k < j; k++){int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];if (t < m[i][j]){m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}}}//利⽤s[i][j]获取最优解void traceback(int i, int j, int **s){if (i == j)return;traceback(i, s[i][j], s);traceback(s[i][j] + 1, j, s);cout << "Multiply A" << i << " , " << s[i][j];cout << "and A" << (s[i][j] + 1) << " , " << j << endl;}#include <iostream>#include "matrix_chain.h"using namespace std;int main(void){int matrix_num = 0; //矩阵个数cout << "请输⼊矩阵个数：" << endl;cin >> matrix_num;int **m = new int *[matrix_num];for (int i = 0; i < matrix_num; i++)m[i] = new int[matrix_num];int **s = new int *[matrix_num];for (int i = 0; i < matrix_num; i++)s[i] = new int[matrix_num];int *p = new int[matrix_num];cout << "请输⼊各矩阵的列数：" << endl;for (int i = 0; i < matrix_num; i++){cin >> p[i];}matrix_chain(p, matrix_num, m, s);traceback(0, matrix_num - 1, s);system("pause");return1;}可结合我的另⼀篇关于贪⼼算法的博客进⾏⽐较，了解这两者的区别；。
矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题引言矩阵链乘法问题是计算机科学中的一个重要问题，它涉及到矩阵的乘法操作。
在很多实际的应用中，我们需要对多个矩阵进行乘法运算，这时候就需要考虑乘法的顺序。
矩阵的乘法运算是一个复杂的计算过程，不同的乘法顺序可能会导致不同的计算量和时间复杂度。
因此，矩阵链乘法问题就是要找到一种最优的乘法顺序，使得计算的总时间最短。
动态规划解法矩阵链乘法问题可以使用动态规划的方法来解决。
动态规划是一种将复杂问题分解成若干个子问题进行求解的方法。
在矩阵链乘法问题中，我们可以定义一个二维数组dp来存储最优的乘法顺序和对应的最小计算量。
状态定义我们可以将整个矩阵链划分成子问题，其中dp[i][j]表示从第i个矩阵乘到第j个矩阵所需要的最小计算量。
那么当i=j时，dp[i][j]=0，因为矩阵自己和自己相乘的计算量为0。
当i<j时，dp[i][j]的值需要通过求解子问题来获得。
状态转移方程对于dp[i][j]，我们可以选择一个中间位置的括号将矩阵链划分成两部分，然后分别计算这两部分的最小计算量。
假设括号在第k个位置，那么可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = min{dp[i][k] + dp[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1]}其中p是矩阵链的维度，假设矩阵链的维度为n，那么p的长度为n+1，p[i]表示第i个矩阵的行数，同时也是第i+1个矩阵的列数。
算法实现根据上述的状态转移方程，我们可以编写算法来解决矩阵链乘法问题。
1.初始化二维数组dp，将所有元素初始化为0。
2.对于链长len从2到n，依次计算dp[i][j]的值。
3.对于每一对(i, j)，利用状态转移方程计算dp[i][j]的最小值。
4.最后，dp[1][n]即为所求的最小计算量。
算法分析对于给定的矩阵链，动态规划算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是矩阵链的长度。
这是因为对于每一个子问题，都需要计算一次状态转移方程，总共有n^2个子问题，而每个子问题的计算量为O(n)。
算法设计与分析——矩阵连乘问题（动态规划）
算法设计与分析——矩阵连乘问题（动态规划）⼀、问题描述引出问题之前我们先来复习⼀下矩阵乘积的标准算法。
int ra,ca;//矩阵A的⾏数和列数int rb,cb;//矩阵B的⾏数和列数void matrixMultiply(){for(int i=0;i<ra;i++){for(int j=0;j<cb;j++){int sun=0;for(int k=0;k<=ca;k++){sum+=a[i][k]*b[k][j];}c[i][j]=sum;}}}给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。
如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
例如，给定三个连乘矩阵{A1，A2，A3}的维数分别是10*100，100*5和5*50，采⽤（A1A2）A3，乘法次数为10*100*5+10*5*50=7500次，⽽采⽤A1（A2A3），乘法次数为100*5*50+10*100*50=75000次乘法，显然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次数为7500次。
加括号的⽅式对计算量有很⼤的影响，于是⾃然地提出矩阵连乘的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵，如何确定矩阵连乘的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
⼆、问题分析矩阵连乘也是Catalan数的⼀个常⽤的例⼦，关于时间复杂度的推算需要参考离散数学关于Catalan的内容。
下⾯考虑使⽤动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。
1、分析最优解的结构问题的最优⼦结构性质是该问题可以⽤动态规划求解的显著特征！！！2、建⽴递归关系3、计算最优值public static void matrixChain(int n) {for (int i = 1; i <= n; i++) {m[i][i] = 0;}for (int r = 2; r <= n; r++) {//i与j的差值for (int i = 1; i <= n - r + 1; i++) {int j = i + r - 1;m[i][j] = m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];s[i][j] = i;for (int k = i + 1; k < j; k++) {int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];if (t < m[i][j]) {m[i][j] = t;s[i][j] = k;}}}}}4、构造最优解public static void traceback(int i, int j) {if (i == j) {System.out.printf("A%d", i); // 输出是第⼏个数据return;}System.out.printf("(");traceback(i, s[i][j]);// 递归下⼀个数据System.out.printf(" x ");traceback(s[i][j] + 1, j);System.out.printf(")");}三、总结。
动态规划矩阵链相乘
A2(A[3:4]): 计算A[3:4]的计算量+计算A2乘 (A[3:4])的计算量：240+10 ☓4 ☓10=640
A1 5☓10 A2 10☓4 A3 4☓6 A4 6☓10
50 ☓5 ☓ 100 +50 ☓100 ☓ 10 =75000 按A(BC）计算，所需乘法次数为：
5 ☓100 ☓ 10 + 50☓5 ☓10=7500 可见如何结合十分影响计算的效率，自然提 出了矩阵链相乘的最优计算次序问题
完全加括号的矩阵连乘积
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的；
两个矩阵相乘
若A是一个p*q矩阵，B是一个q*r矩阵，则 其乘积C=AB是一个p*r矩阵。
for(i=1;i<=p;i++) for(j=1;j<=r;j++) {c[i][j]=0; for(k=1;k<=q;k++)c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; } 总共需要pqr次数乘。
（A1A2A3）乘A4的计算量：320+5 ☓6 ☓10=620
(A1A2)(A3A4): 200+240+5 ☓4 ☓10=640
A1(A2A3A4 ): 640 &#来存储 计算A[i:j]的最少数乘次数 例7.1：A1 5☓10 A2 10☓4 A3 4☓6 A4 6☓10 请给出计算A[1：4]的最优计算次序 1、计算规模为2的子问题 计算A[1：2] 所需乘法次数：5☓10 ☓4=200 计算A[2：3] 所需乘法次数：10☓4 ☓6=240 计算A[3：4]所需乘法次数： 4☓6☓10=240
矩阵链乘法（动态规划）
矩阵链乘法（动态规划）
⼀题意描述：
给定由n个要相乘的矩阵构成的序列（链）<A1,A2,A3,····A n>。
由于矩阵满⾜结合律（加括号⽅式表⽰结合⽅式），不同的计算⽅式导致的求出最终计算结果的代价相异，有的花的时间很少，有的⽅式所花时间很多，那么下⾯的任务就是求出算出结果所需要的最少时间及⼀个最优解。
⼆思路分析：
设p(n)表⽰⼀串n个矩阵可能的加全部括号⽅案数。
当n=1时，只有⼀个矩阵，此时p(1)=1。
当n>=2时，⼀个加全部括号的矩阵乘积等于两个加全部括号的⼦矩阵乘积的乘积，⽽且这两个⼦乘积之间的分裂可能发⽣在第k个和第k+1个矩阵之间，其中k=1，2，····，n-1;因此可以求得递归式：
1.找局部最优解：把问题：转化成两个最优⼦问题：及
2.构造递归解：
⾸先定义m[i,j]为解决⼦问题A[i....j]的最⼩计算次数，那么解决整个问题A[1,n]所花的最⼩时间为m[1,n]。
那么递归⽅程可以写成如下形式：
为了跟踪如何构造⼀个最优解我们可以定义s[i,j]为这样的⼀个k值，在该处分裂乘积后可得⼀个最优解。
3.构造函数进⾏求解
输出最优路径的函数⾃⼰编写，经过调⽤数组s[i][j]即可。
矩阵连乘问题的算法
矩阵连乘问题的算法介绍矩阵连乘问题是一个经典的数学问题，它涉及到如何寻找一组矩阵相乘的最优顺序，使得计算所需的乘法操作总数最小化。
这个问题在计算机科学和算法设计中有着重要的应用。
本文将介绍矩阵连乘问题的算法及其相关概念和应用。
问题描述给定一组矩阵{A1, A2, A3, …, An}，其中Ai的维度为pi-1 × pi（1 ≤ i ≤ n），我们希望找到一种矩阵相乘的顺序，使得计算这些矩阵相乘所需的乘法操作总数最小化。
动态规划算法动态规划算法是解决矩阵连乘问题的经典方法。
它通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。
下面将介绍动态规划算法的具体实现步骤。
定义子问题假设我们要计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数，其中i ≤ j。
确定状态转移方程设m[i][j]表示计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数。
根据定义，我们有以下状态转移方程： - 当i = j时，m[i][j] = 0，因为只有一个矩阵无需进行乘法操作； - 当i < j时，m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 × pk × pj}，其中i ≤ k < j。
填表计算最优值根据状态转移方程，我们可以使用动态规划的方法逐步填充表格m。
具体步骤如下：1. 初始化所有m[i][i]为0（0 ≤ i ≤ n）； 2. 对于每个子问题(i, j)，从i= 1递增到j = n-1，按照递增的长度进行计算： - 对于每个i和j，根据状态转移方程计算m[i][j]； 3. 最终，m[1][n-1]即为所求的计算矩阵Ai × Ai+1× … × An的最优顺序和乘法操作总数。
重构最优解为了得到最优顺序下的具体计算过程，我们可以使用一个辅助表格s来记录最优划分点。
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——矩阵连乘问题
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动态规划的应用：矩阵连乘
问题：给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，
2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵 连乘积需要的数乘次数最少。
例:A1A2相乘，设这2个矩阵的维数分别为10*5，5*3运 算次数10*5*3=150。
矩阵 A1 A2 A3 A4 A5 A6
数组p
p0 p1
p1 p2
3515
p2 p3
155
p3 p4
510
p4 p5
1020
p5 p6
2025
维数值 3035
根据MatrixChain动态规划算法：
①计算次序（如图）
8
3、计算最优值
矩阵 A1 A2 A3 A4 A5 A6
数组p
p0 p1
p1 p2
3515
p2 p3
155
p3 p4
510
p4 p5
1020
p5 p6
2025
维数值 3035
根据MatrixChain动态规划算法：
②计算m[i][j]数乘次数 Ⅰ计算A1、A2、A3、A4、A5、A6 Ⅱ计算(A1A2)(A2A3)(A3A4)(A4A5)(A5A6) Ⅲ计算(A1A2A3)(A2A3A4)(A3A4A5)(A4A5A6) Ⅳ计算(A1A2A3A4)(A2A3A4A5)(A3A4A5A6) Ⅴ计算(A1A2A3A4A5)(A2A3A4A5A6) Ⅵ计算(A1A2A3A4A5A6)
m[2][5]=m[2][2]+m[3][3]+m[4][5]+p2p3p5+p1p2p5
2. A2 ((A3 A4) A5)
m[2][5]=m[2][2]+m[3][4]+m[5][5]+p2p4p5+p1p2p5
(A2 A3)(A4 A5) (A2 A3A4) A5
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3、计算最优值
矩阵 A1 A2 A3 A4 A5 A6
数组p
p0 p1
p1 p2
3515
p2 p3
155
p3 p4
510
p4 p5
1020
p5 p6
2025
维数值 3035
根据MatrixChain动态规划算法：
③计算s[i][j]（断点K的位置）
m[2][5]=min m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5=13000 m[2][3]+m[4][5]+p1p3p5=7125 m[2][4]+m[5][5]+p1p4p5=11375 最小值为7125，断点的位置为3
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3、计算最优值
矩阵 A1
0 i j m[i][ j ] min{m[i][k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i j ik j
A3 A4 A5 A6
A2
数组p
p0 p1
p1 p2
3515
p2 p3
155
p3 p4
( A((BC)D)) ( A( B(CD ))) (( AB)(CD )) (((AB)C )D) (( A( BC))D)
16000, 10500, 36000, 87500, 34500
5
矩阵连乘问题
将矩阵连乘积
Ai Ai 1...Aj 简记为A[i:j] ，这里i≤j
考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵 Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全 加括号方式为 ( Ai Ai 1...Ak )( Ak 1 Ak 2 ...Aj ) 计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上 A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量
510
p4 p5
1020
p5 p6
2025
维数值 3035
根据MatrixChain动态规划算法：
②计算m[i][j]数乘次数
m[2][5]=min m[2][2]+m[3][5]+p1p2p5=13000 m[2][3]+m[4][5]+p1p3p5=7125 m[2][4]+m[5][5]+p1p4p5=11375 最小值为7125，断点的位置为3 A2 (A3 A4 A5)中的两种情况： 1. A2(A3(A4A5)):
2
动态规划的应用：矩阵连乘
Ai 与 Ai 1 是可乘 假设：给定n个矩阵{A1, A2 ,...,An } ， 其中
的， i 1,2,...,n 1 。考察这n个矩阵的连乘积
A1 A2 ...An
矩阵乘法满足结合律，计算矩阵的连乘可以有许多不同的计 算次序，这种计算次序可以用加括号的方式来确定 若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已 完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算 法计算出矩阵连乘积
这里 Ai 的维数为 pi 1 pi
∴可以递归地定义m[i][j]为：
0 i j m[i][ j ] min{m[i][k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i j ik j k（断点）的位置只有 j i 种可能
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3、计算最优值
6
2、建立递归关系
①设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i][j]，
则原问题的最优值为m[1][n]
②当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n m[i][ j] m[i][k ] m[k 1][ j] pi 1 pk p j ③当i<j时，
3
矩阵连乘
① ②
完全加括号的矩阵连乘积可递归定义为：
单个矩阵是完全加括号的 矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完 全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即 A=(BC)
4
矩阵连乘
例如：表格中有四个矩阵及相应维数
矩阵 维数
A 50×10
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
D
10×40 40×30 30×5
总共有五种完全加括号的方式
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3、计算最优值
int MatrixChain::MChain() { //求A[0:n-1]的最优解值 for (int i=0;i<n; i++) m[i][i]=0; for (int r=2; r<=n; r++) for (int i=0; i<=n-r; i++) { int j=i+r-1; m[i][j]=m[i+1][j]+p[i]*p[i+1]*p[j+1]; //m[i][j] 的初值 s[i][j]=i; for (int k=i+1; k<j; k++) { int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if (t<m[i][j]) {m[i][j]=t; s[i][j]=k;} } } return m[0][n-1]; }