t分布与检验

t分布表的使用:
例：自由度为10，P(t>1.812)=P(t<-1.812)=0.05 P(︱t︱>1.812)=P(t>1.812)+P(t<-1.812)=0.1
0.05 0.05
-1.812
0
1.812
t分布表举例：
例：变量X表示面包房每日出售的面包量， 在15天内，出售面包的样本方差为16。假 定真实的出售量为70条，求任意15天内出 售面包平均数量为74条的概率。 分析：本例中已知样本方差S² =16，则S=4， 总体均值（真实的出售量）=70，运用t变量 公式得： 74 70 t 3.873 4 15
表示随机变量X服从正态分布。 符号~表示随机变量服从什么样的分布； N表示正态分布； ，² 为正态分布的（总体）均值（或期望）和 方差。 X是一个连续型随机变量，可在区间（－∞,+∞） 内任意取值。
正态曲线下的区域示意图
68%（近似） 95%（近似） 99.7%（近似）

-3
-Hale Waihona Puke -2(X ) t ~t S 20
X
19
查t分布表得：当自由度为19时， P(-2.861≦t≦2.861)=0.99
整理得出：
X 2.861S X 2.861S 0.99 P n n
X
将已知条件代入，得： 5.22≦ x ≦7.78 （近似值） 由于该区间包括了零假设值7.5，因此，我 们不拒绝零假设：真实的x =7.5。
按照上述步骤，首先运用t变量公式，求出 t变量。
72 70 t 1.936 4 / 15
查t分布表，当自由度为14时，t值大于等于 1.761的概率为0.05，大于等于2.145的概率为 0.025，因此，t值取1.936的概率介于0.025与 0.05之间。
查t分布表的注意事项：
⑴ 自由度为（n-1），而不是n。
X t S n
_
根据统计理论得知：变量t服从自由度为(n-1)的 t分布。
注意：在这里，自由度为(n-1)，而不是n。
结论：从正态总体中抽取随机样本，若该正态 总体的均值为，但方差² 用其估计量S² 来代替， 则其样本均值服从t分布。通常用符号t 表示， 其中k表示自由度。
k
k=120(正态） K=20 K=5
Z ~ N(0,1 )
任一给定均值和方差的正态变量都可转化为标准正 态变量，将其标准化可以大大简化计算。
例：变量X表示面包房每日出售的面包量，假 定它服从均值为70、方差为9的正态分布，即 X~N(70,9)，求任给一天，出售面包数量大于 75条的概率。 首先，定义变量Z，Z=(75-70)/3≈1.67 求：P(Z>1.67) 查正态分布表得： P(0≦Z≦1.67)=0.4525 则：P(Z>1.67)=0.5-0.4525=0.0475 即每天出售面包的数量超过75条的概率为 0.0475。

t分布与正态分布：
当k增大时，t分布的方差接近于标准正态分布方差值1。
例如：当k=10时，t分布的方差为10/8=1.25；
当k=30时，t分布的方差为30/28=1.07；
当k=100时，t分布的方差为100/98=1.02；
结论：随着自由度的逐渐增大，t分布近似于正态分布。
注意：对于t分布，不要求其样本容量很大，k=30时，t 分布与正态分布已很近似。
0 不同自由度下的分布
t分布的性质

⑴ t分布与正态分布相类似，具有对称性。 ⑵ t分布的均值与标准正态分布均值相同， 为0，但方差为k/(k-2)。由此，在求t分布的 方差时定义自由度必须大于2。 标准正态分布的方差等于1，因此，t分布方 差总大于标准分布的方差，也就是说，t分布 比正态分布略“胖”些。
正态分布
1.1
什么是正态分布？
对于连续型随机变量而言，正态分布是最
重要的一种概率分布，其形状似“钟型”。
经验表明：对于其值依赖于众多微小因素
且每一因素均产生微小的或正或负影响的 连续型随机变量来说，正态分布是一个相 当好的描述模型。如身高、体重、考试成 绩等。
为了方便，通常用：
X ~ N ( , 2 )
用假设的语言，将x =13称为零假设，用符号H0 表示。即，H0: x =13 与零假设相对应的是备择假设，用符号H1表示， 备择假设有以下几种形式： H1： x＞13 称为单边备择假设； H1： x＜13 称为单边备择假设； H1： x≠13 称为双边备择假设。 为了检验零假设（和备择假设）,根据样本数据及 统计理论建立判定规则来判断样本信息是否支持 零假设。若支持，不拒绝零假设，反之拒绝零假 设，接受备择假设。 建立判定规则有两种方法：置信区间法、显著性 检验法。
4.1 置信区间法

在上述例子中，我们知道样本均值服从均值为x ， 方差为² /n的正态分布，由于真实的方差未知， 以样本方差代替。在这种情况下，样本均值服从 t分布，从而得到x 的一个95%的置信区间： 10.63≦ x ≦12.36 （近似值）

置信区间提供了在某一置信度下（如95%）真实 的x 的取值范围。因此，如果这个区间不包括零 假设中的值，如x =13，则拒绝零假设，即我们 以95%的置信度拒绝零假设。反之，接受零假设。

查t分布表，自由度为(n-1)=15-1=14 当自由度为14时，查表得，t值大于等于 2.977的概率为0.005，大于等于4.140的概 率为0.0005，所以，t值大于等于3.873的 概率介于0.0005~0.005之间。 练习1：
上例中其他条件不变，现假定15天 内出售面包的平均数量为72条，求获得 此数量的概率。
接受区域：上述不等式所描述的置信区间称为 接受区域。 零假设的临界区域（或拒绝区域）：接受区域 以外的称为零假设的临界区域或拒绝区域。 临界值：接受区域的上界和下界称为临界值。 它们是接受或拒绝零假设的分界线。 归纳：如果参数值在零假设下位于接受区域内， 则不拒绝零假设，若落在接受区域以外（即落 在拒绝区域内），则拒绝零假设。
当自由度为49时，在5%的显著水平下，查表 得临界的t值为-2.0096和2.0096 （见下图） ， 获此t值小于或等于-2.0096的概率为2.5%，获 得此t值大于或等于2.0096的概率也为2.5%。
95% t =-3.5 =2.5% =2.5%
-2.0096
0
2.0096
t检验的显著性：双边检验
P/E 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18
频数 2 2 5 6 5 7 5 4 3 4 6 1 总计：50
均值=11.5
样本方差=9.2755 样本标准差=3.0456
假设的样本（50支股票的P/E值）
假设检验

假设真实的x 取某一特定值，如x =13。 然后去检验这个假设，检验结果是接受或 拒绝该假设？下面以此为例说明。
3
1.2 正态分布的性质：

⑴ 正态分布曲线以均值为中心，对称分布。 ⑵ 正态分布的概率密度函数呈中间高、两边 低，在均值处达到最高，向两边逐渐降低， 即随机变量在远离均值处取值的概率逐渐变 小。 ⑶ 正态曲线下的面积约有68%位于± 两 值之间；约有95%面积位于±2之间；约有 99.7%的面积位于± 3之间。这些区域可用 作概率的度量。
显然，t值位于t分布的左侧拒绝区域。因此， 拒绝零假设。
t检验小结
零H0
备择假设
临界区域，拒绝H0，若
x= 0
x>0
x= 0
x<0
x= 0
x≠0
最后一列给出了t临界值，第一个下标表示显著水平，d.t代表自由度。
⑵ t分布表具有对称性，t值大于等于 某一特定值的概率与t值小于等于该特
定值相反数的概率相等。

关注某一总体，如纽约股票交易市场的
1758支（90年9月4日）股票，想要研究该
总体某一方面的统计特征，比如说股票价
格与收入比（P/E）的平均值。在总体中抽
取随机样本，如50支股票，求样本中每一
支股票的P/E值，然后再计算平均P/E值， 就称为总体平均P/E的估计量
准正态分布。
1
2
不同均值，同方差的两个正态分布图
不同均值，不 同方差
1
2
相同均值，不 同方差
1=2
标准正态分布

如果变量X的均值为，方差为，定义一个 新的变量Z，
Z
X

则根据性质5，变量Z的均值为0，方差为1。 在统计学中，我们称之为单位或标准正态 变量，用符号表示为：

f(Z)
0.4525
0.0475
0
1.67
标准正态变量概率密度函数
t分布
回忆：若样本均值 X ~ N ( ,
_ 2
n) ，则
变量Z服从标准正态分布。
X 即： Z ~ N (0,1) n
_
假定已知和² 的估计量S² ，则可以 用样本标准差（S）代替总体标准差 （），得到一个新的变量t。
H0：x =7.5
99%
0.5%
0.5%
5.22
7.5 7.78
a) x的99%的置信区间
4.3 显著性检验

显著性检验是一种两者择一的假设检验，现通 过P/E一例加以说明。 根据以下公式可知：

(X ) t S n
X
服从自由度为(n-1)的t分布。在具体应用中，、 S、n已知， x 未知。

⑷
正态分布可由两个参数，² 来描 述，即一旦知道，² 的值，就可以根 据附录表查到随机变量X落于某一区 间的概率值。 两个（或多个）正态分布随机变量 的线性组合仍服从正态分布。该性质 很重要，解释如下：