关于清华大学高等数学期末考试
清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
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高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024届数学高一下期末学业水平测试试题含解析
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2024届数学高一下期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1( ) A ．cos160︒ B ．cos160±︒ C ．cos160±︒D ．cos160-︒2．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．103．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．角α的终边经过点221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，那么tan α的值为（ ）A ．12B ．C ．3-D ．5．得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ） A ．向左移动6π B ．向右移动6π C ．向左移动3π D ．向右移动3π 6．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）A ．1232+B ．1262+C ．932+D ．962+7．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（ ） A ．12B ．32C ．3D ．238．执行如图所示的程序框图，若输入3k =，则输出S =（ ）A ．13B ．15C ．40D ．469．三角形的三条边长是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最大边长为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A7(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷A7适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共7小题，每小题2分，共14分)1. 设平面区域{}1|),(22≤+=y x y x D ，则dxdy D⎰⎰2 = 。
2.设z=22x xy y ++，则xz∂∂= ; y z ∂∂= .3.改变积分顺序 ⎰⎰22),(x dy y x f dx = .4.函数 z=2x 2+y 2在点P(1,1)处，沿梯度方向的方向导数为_________________5. 'y =2xy 的通解为6.设平面曲线L 为下半圆周y=-21x -,则曲线积分⎰+Lds y x )(22=__________7.曲线x=41t 4,y=31t 3,z=21t 2在相应点t=1处的切线方程为_______________二.单项选择. (共8小题，每小题2，共16分)1. 1123lim 0-+→→xy xy y x =（ ）A 、不存在B 、3C 、6D 、∞2.常数，则级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121)sin(n n n na （ ）。
A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、 发散 D 、收敛性与a 的取值有关 3.3z x y =，则dz =( ).(A)dx dy + (B)233x ydx x dy + (C) 3x dx ydy + (D) 23x ydx ydy + 4.知2)()(y x ydydx ay x +++为某一函数的全微分,则a=( ) (A) -1 (B) 0 (C) 2 (D) 15.∑为平面x+y+z=3被圆柱面122=+y x 所截的有限部分，则⎰⎰∑xdS=（ ） A 、0 B 、32πC 、3D 、43 6.曲线积分⎰-+-Cdy x x dx y xy )4()22(2的值为( ),其中C 取圆周x 2+y 2=9的正向. A 、-18π B 、-2π C 、 -6π D 、－π7.二元函数f(x,y)在点（x 0,y 0）处两个偏导数),(00'y x f x ,),(00'y x f y 存在，是f(x,y)在该点可微的（ ）条件A 、充分B 、必要C 、充要D 、既非充分也非必要8. z=f(x,y)是由 333a xyz z =-所确定，则 =∂∂x z（ ）A.2z xy yz - B. xy z yz -2 C. 2z xy xz - D. xyz xy-2三.计算题（共8小题，每小题8分，共64分）1.设z=f(x-y,xy),f 具有二阶连续偏导数， 求xz∂∂ ,y x z ∂∂∂2。
2023-2024学年北京市清华大学附中高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年北京市清华大学附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={−1,0,1,2}，B={x|x=4k+3,k∈Z}，则集合A∩B=( )A. {−1}B. {1}C. {−1,1}D. ⌀2.已知复数z的共轭复数是1+i，则复数z2−i在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量a=(3,sinθ)，b=(5,1)，若a//b，则cos2θ=( )A. 725B. −725C. 2425D. −24254.已知双曲线C：x2a2−y216=1的左右焦点依次为F1，F2，且|F1F2|=10，若点P在双曲线的右支上，则|PF1|−|PF2|=( )A. −6B. 6C. 8D. 105.设(2−mx)5=a0+a1x+…+a5x5，若a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，则a3=( )A. 80B. 40C. −40D. −806.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完(一尺约等于33.33厘米).若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为( )A. 5B. 6C. 7D. 87.已知直线l：y=k(x+1)与⊙C：(x−1)2+y2=4交于A、B两点，则“k=±1”是“△ABC的面积取得最大值”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.设max{a,b}表示a与b的最大值.若x，y都是正数，z=max{x+y,1x +4y}，则z的最小值为( )A. 22B. 3C. 8D. 99.将f(x)=cos3x的图像向左平移φ(0<φ<π2)个单位后得到g(x)的图像，当|f(s)−g(t)|=2时，|s−t|min=π4，则φ=( )A. π12B. π6C. π4D. π310.边长为2的正方形ABCD 的中心为O ，将其沿对角线AC 折成直二面角.设E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，将△EOF 绕直线EF 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )A. π2B. 3π4C. πD. 3π2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
清华大学2011级第一学期期末试题-微积分B(1)
2011级微积分B（1）试题（A卷）
（2012年1月6日）
班级 姓名 学号
一、填空题（每题 分，共 题，计 分)
1． ．
2。 ．
3．数列 的最小项的项数为 ．
4。设 ,则 ．
5。设数列 单调减少，且 ．又 无界，则幂级数
的收敛域是．
6．若 ,则 .
7． 。
8。函数 的以 为周期的Fourier级数是.
13．证明 ，并计算定积分 ．
14。已知曲线段 ，有界区域 由 与 轴及直线 围成．
（Ⅰ）求 绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积;
（Ⅱ）求曲线段 的长．
15．已知函数 在区间 上可导,且点 在曲线 上．
证明:
(Ⅰ）存在 ，使得 ;
（Ⅱ）存在两个不同的点 ，使得 ．
16.已知函数 ， ， ．
（Ⅰ)求 的单调区间;
（Ⅱ)证明 ．
（Ⅲ）（附加题）证明级数 收敛．
9.当且仅当参数 满足时,数项级数 收敛.
10.叙述二、解答题（共6题，每题10分，计60分）
注：16(Ⅲ）是附加题，解答正确得5分．
11．已知函数 在 处具有一阶导数，且满足条件
．
求 在 处的一阶带皮亚诺型余项的泰勒公式．
12.求幂级数 的收敛域及和函数．
清华大学微积分期末试题
期末样题参考解答一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上）1．积分⎰⎰xdy xy f dx 03)(在极坐标下的累次积分为 。
答案：⎰⎰=θπθθθcos 30240)sin cos (rdr r f d2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分()=+⎰⎰Ddxdy yx x )sin(12。
答案：2==⎰⎰Ddxdy3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且x x f cos 2)1,(=，⎰⎰=Ddxdy y x f 1),(，则⎰⎰=∂∂Ddxdy yy x f y),( 。
答案：11sin 2-4．计算积分值⎰⎰=-1)1ln(yydx xx dy。
答案：⎰⎰⎰-=--=-=101041)1ln()1()1ln(2dx x x dy x x dx x x5. 设}2:),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x )( 。
答案：ππθπ4222302020====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线， 则第一型曲线积分=-⎰Lds y x )(22 。
答案：07. 设S 为上半球面222y x R z --=，则第一型曲面积分=++⎰⎰SdS z y x )( 。
答案：3222R dxdy zRzzdS R y x S π===⎰⎰⎰⎰≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ， 则第二型曲线积分=+⎰Lydy xdx 。
答案：2222),1()1,0(22),1()1,0(22e y x y x d e e =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ 9．设32),,(z xy z y x f =，则在1===z y x 点=)],,(div[grad z y x f 。
2024届清华大学高一数学第二学期期末复习检测试题含解析
2024届清华大学高一数学第二学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（ ） A ．1：3B ．3：1C ．2：3D ．3：22．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则EB ED ⋅的取值范围为（ ） A ．233,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．233,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．23,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．233,642⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知实数满足约束条件，则的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3A π=，sin 2sin C B =，则ABC 的周长为（ ） A ．33+B ．36+C ．333+D ．336+5．数列{a n }中a 1＝﹣2，a n +1＝11na -，则a 2019的值为（ ） A ．﹣2 B ．13 C ．12D ．326．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π37．若(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，13cos ,cos +4342ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．33B ．33-C ．69-D ．5398．已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ） A ．426-B ．0C ．424-D ．19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积15cos ,2,1S B a c ===，则b =( )A ．32B ．2C ．34D ．5210．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 轨迹长度为3，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A 3B 233C ．3D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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关于清华大学高等数学期
末考试
This manuscript was revised on November 28, 2020
清华大学
2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷）
考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班
考试方式： 闭卷
命题教师：
一. 9分 ）
1、若在)
,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。
2、设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=232322t
t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。
3、=⎰
dx 1cos 12。
本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）
1、设A x x ax x x =-+--→1
4lim 231，则必有 答( )
2、设211)(x
x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( )
3、设f 为连续函数，又，⎰=x
e x dt t
f x F 3)()(则=')0(F 答( )
2小题，每小题5分，总计10分 ）
1、求极限x
e e x x x cos 12lim 0--+-→。
2、x y 2ln 1+=,求y '。
3小题，每小题8分，总计24分 ）
1、讨论⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=0,00arctan )(2
x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。
2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。
3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。
3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。
2、求不定积分⎰
x x x d cos sin 3。
3、计算积分⎰-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x
x x 。
4小题，每小题6分，总计24分 ）
1、求不定积分⎰
+)1(10x x dx 。
2、计算积分⎰+πθθ4
30 2cos 1d 。
3、求抛物线221x y =
被圆822=+y x 所截下部分的长度。
4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。