高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题
人教版高中数学必修5第三章不等式 3.3.2 简单的线性规划问题
钢板张数最少？
分
A规格 B规格 C规格 张数
析： 第一种钢板
2
1
1
x
列 第二种钢板
1
2
3
y
表 成品块数 2x y x 2y x 3y
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需截
这两种钢板共z张，则
2x y 15,
x x
2y 3y
18, 27,
x 0,
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合时. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z
与哪条边界线重合时，可取得最大值.
解：当直线 l : y ax z 与边界
线重合时，有无数个点，
使函数值取得最大值，
此时有 kl kAC .
3
3
k AC
5
, kl
a
ห้องสมุดไป่ตู้. 5
问题的最优解.
（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关 系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案. 最优解一般在可行域的顶点处取得．
x 4 y 3, 例2 已知x, y满足 3x 5 y 25,设z ax y(a 0),
2019-2020年高中数学必修5简单的线性规划问题(I)
2019-2020年高中数学必修5简单的线性规划问题(I)教学目标（1）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（2）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．教学重点、难点用画网格的方法求解整数线性规划问题．教学过程一．数学运用例1．设满足约束条件组1320101x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求的最大值和最小值。
解：由知，代入不等式组消去得210101y x x y -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，代入目标函数得，作直线：，作一组平行线：平行于，由图象知，当往左上方移动时，随之增大，当往右下方移动时，随之减小，所以，当经过时，max 202146u =-⨯+⨯+=， 当经过时，min 212144u =-⨯+⨯+=，所以，，．例2．已知满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使取最大值的整数．解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，，，作一组平行线：平行于：， 当往右上方移动时，随之增大，∴当过点时最大为，但不是整数解， 又由知可取，当时，代入原不等式组得， ∴； 当时，得或， ∴或； 当时，， ∴， 故的最大整数解为或．说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有相应整数值，即先固定，再用制约．例3．（1）已知，求的取值范围；（2）设，且，，求的取值范围。
解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，作直线：，作一组平行线：，由图知由向右下方平移时，随之增大，反之减小，∴当经过点时取最小值，当经过点时取最大值，由和分别得，，∴，，所以，．（2），，，由（1）知，．例4（备用题）．已知的三边长满足，，求的取值范围。
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
【高中数学必修5】3.3.2简单的线性规划问题3
设 需要第一种钢板ｘ张，第二种ｙ张
列 列出约束条件所
2x y 15
对应的不等式组 目标函数为：ｚ＝ｘ＋ｙ
xx
Hale Waihona Puke 2y 3y18 27
画 画出可行域
x 0 y 0
B(3,9) C(4,8)
M
2x y 15
xx
2y 3y
18 27
x 0
y 0
x+3y=27
2x+y=15
x+2y=18
例7.在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料， 产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料 ，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、 乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利 润？
设 设生产甲种肥料ｘ车皮，乙种ｙ车皮
列 列出约束条件所
4x y 10
对应的不等式组
18x 15y 66
目标函数为：ｚ＝ｘ＋0.5ｙ x 0
3.3.2简单的线性规划 (三)
复习：解线性规划应用问题的步骤
1.设——分析条件，设未知数x,y 2.列——列出约束条件、目标函数 3.画——规范、精确地画出可行域 4.移——平移直线，注意斜率和移动方 向
5.求——解出最优解对应的点的坐标， 求出Z的最值 6.答——应用题要作答
例６.在上一节例3中，各截这两张钢板多少张 可得所需A、B、C三种规格成品，且使所用 钢板张数最少？
1
O1
x
x+y=1
还有别的方法解这类问题吗？ 2x+4y=0
画 画出可行域
y 0
4x y 10 18x 15y 66 x 0 y 0
解方程组求M点 的坐标
18x 15y 66 4x y 10
高二数学必修5简单的线性规划问题-PPT
问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ 问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？
C 设z＝2ｘ+ｙ
ｙ＝-2ｘ+ z
2ｘ+ｙ=0
o
问题4：z几何意义是:
斜率为-2的直线在y轴上的截距
x-4y=-3
A
3x+5y=25
x B 当直线过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当直线过点A(5,2)时,z最大,即zmax＝ 2×5+2＝12
产安排是什么？
应用举例
【引例】：
某工厂用A、B两种配件生 产甲、乙两种产品，每生 产一件甲产品使用4个A配 件并耗时1h，每生产一件 乙产品使用4个B配件并耗 时2h，该厂每天最多可从 配件厂获得16个A配件和 12个B配件，按每天工作 8h计算，该厂所有可能的 日生产安排是什么？
4 2
2
4
6
8
应用举例
【优化条件】： 若生产一件甲产 品获利2万元，生 产一件乙产品获 利3万元，采用哪 种生产安排获得 利润最大？
4
M(4,2 )
2
2
4
6
8
z y2x2x3yz
33
x -4y≤ - 3
例1、画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域
x≥1
x-4y≤-3
在该平面区域上
3x+5y≤25 x≥1
y x=1
3
故有四个整点可行解.
2
1
x +4y=11
0 1 2 3 4 5x
3x +２y=10
应用举例
练习5： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两
高中数学简单的线性规划问题
（3）
Z
y1Biblioteka x2的取值范围？课题小结：
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关
于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题， 统称为线性规划问题。
满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。
由所有可行解组成的集
y
合叫做可行域。
可行域
使目标函数取得
最大值或最小值的可行解
o
最优解
x C
叫做这个问题的最优解。
2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
5x＋3 y 15
y
x＋1
x－5 y 3
作出直线3x＋5y ＝z 的 图像，可知直线经过A点时，
y
Z取最大值；直线经过B点 时，Z取最小值。
一、引例：
1、已知x、y满足的条件，求x、y满足的区域： 并求z＝2x＋y的最大值，
y x
x＋y
1
y －1
解析：
Z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z， 它表示斜率为－2，在y轴上的截距 为z的一组直线系。
y
由图可以看出，当直线经过可行域上
的点C时，截距z最大。
x 可知z要求最大值，即直线经过C点时。
o
C
求得C点坐标为（2，－1），
则Zmax=2x＋y＝3
一、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关
于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题， 统称为线性规划问题。
高中数学 必修5 26.简单的线性规划问题(一)
26.简单的线性规划问题（一）教学目标 班级______ 姓名____________1.了解线性规划的基本概念.2.掌握简单的线性规划问题的一般解法.教学过程一、线性规划的相关概念.1.线性规划的相关概念.（1）约束条件：关于变量x ，y 的不等式组.（2）线性约束条件：关于x ，y 的一次不等式组.（3）目标函数：要求最值的关于x ，y 的函数解析式.（4）线性目标函数：关于x ，y 的一次解析式.（5）可行解：满足线性约束条件的解),(y x . （6）可行域：由所有可行解组成的集合.（7）最优解：使目标函数取最值的可行解.（8）线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题.2.注意事项.（1）线性约束条件必须是关于x ，y 的二元一次不等式（或等式）.（2）在线性约束条件下，最优解可能不唯一.（3）最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解.（4）线性规划问题不一定存在可行解.二、线性规划问题.1.用线性规划求最值的一般步骤：（1）画可行域；（2）分析几何意义；（3）找最优解，求最值.2.常用几何公式：（1）截距：直线b kx y +=（斜截式）与y 轴交点的纵坐标，即当0=x 时，y 的值b .（2）斜率：2121x x y y k --=，表示),(11y x ，),(22y x 两点连线的斜率. （3）两点间的距离：221221)()(y y x x d -+-=，表示),(11y x ，),(22y x 两点间的距离. （4）点到直线的距离：2200||B A C By Ax d +++=，点),(00y x 到直线0=++C By Ax 的距离.三、例题分析：1.用线性规划求最值.32≤+y x ，例1：设变量x ，y 的线性约束条件为 32≤+y x ，求分别目标函数y x z +=1， 0≥x ，0≥y .12+=x y z ，322223+-++=y x y x z 的最大值.02≥-+y x ， 作业：若实数x ，y 满足 4≤x ， 求x y S -=的最小值.5≤y ，。
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简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念【常考题型】题型一、求线性目标函数的最值（X+2Q2,【例1】设变重X, *满足约束条件〈2x+ y<4, 则目标函数z= 3x- V的取值范围〔4*- - 1,是（）3A. -6C. [-L6]D. -6,3."+2E,[解析]约束条件〈2X+V<4,y> - 1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y= 3x- Z斜率为3 z 取最小值-3.・・z=3x-y 的取值范围为6」，故选A. ［答案］A 【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而 言，最优解一般在可行域的边界上取得.在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.【对点训练】X- 4y< -3,3x+5y<25,求z 的最大值和最小值.Q1,［解］作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示.把z=2x+＞变形为v=-2x +乙则得到斜率为-2,在）/轴上的截距为乙旦随z 变化的一组平行直线.由图可以看出, 当直线z=2x+*经过可行域上的点/时，截距z 最大，经过点8时，截距z 最小.|x-4y+3 = 0,解方程组i3H5 =。
，得/点坐标为厚），X=l,解方程组L-4*+3 =。
，得8点坐标为(")，大值 = 2x5 + 2=12, z 建小值=2x 1 + 1 = 3.(于4尸3=0=0题型二、求非线性目标函数的最值(X- y+5>0, X+VA O,x<3.⑴求"=/+必的最大值与最小值；V⑵求 >=六的最大值与最小值.X— O［解］画出满足条件的可行域如图所示，(1) /+,=。
表示一组同心圆(圆心为原点Q,旦对同一圆上的点】+必的值都相等，由图可知：当(X, M在可行域内取值时，当旦仅当圆。
过c点时，〃最大，过(0,0)时，〃最小.又Q3,8),所以u意大也=73、"缺小值=0.y(2) v^=—表示可行域内的点Rx, H到定点Q(5,0)的斜率，由图可知，蜘最大，处。
最A— O小,又03,8), 8(3, -3),-3 3 8所以/ 是大渲= 3 — 5 = 1'，照小坦=3 _ 5 = 一4・【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法⑴非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果・(2)常见代数式的几何意义主要有:①表示点(x, y)与原点(0,0)的距离；yj x-a 2+ ―表示点(X, V)与点(。
，切的距离.②f表示点(X, M与原点(0,0)连线的斜率；写表示点(X, H与点(D,可连线的斜率.这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.X- y+2<0, XA】，则£的最大值是.2. 已知变重x, v满足约束条件【对点训练】x+ y-7<0.［解析］由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数表示坐7N C口+2二0X区B/标(X,刀与原点(0,0)连线的斜率.由图可知，点。
与。
连线斜率最大;5 98与。
连线斜率最小，又5点坐标为员必C点坐标为(L6),所以99［答案］6 z题型三、已知目标函数的最值求参数rx-2<o,【例3］若实数x, *满足不等式组〈/-K0,lx+2y-(7>0,目标函数t=x-2y的最大值为2,则实数d的值是_____________ .［解析］如右图，x=2, 由<[x+2y- <7=0.x=2,得o-2 代入"2p=2中，解得。
=2.V=克一，［答菊2【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解.同时要搞清目标函数的几何意义.【对点训练】X— y+5>0, x<3, x+ y+ &A0.(旦z=2*+4y的最小值为-6,则常数虹（）A. 2B. 9C. 3yf］QD. 0［解析］选D由题意知，当直线z=2x+4y经过直线x=3与x+y+Zr=。
的交点（3, -3 -幻时，z 最小，所以-6 = 2x3 + 4x（-3-幻，解得虹0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例4】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？［解］设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为X分钟和V分钟，总收益为Z元, 由题意得'*+ y<300, 500x+200y<90 000, x>0, 、Q0・目标函数为z= 3 000*+2 000/"x+ y<300,5x+2/<900, 二元一次不等式组等价于< 八 <y>o.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作直线/:3 000x+2 000*=0, 即 3x+2y=0.平移直线/,从图中可知，当直线/过M 点时，目标函数取得最大值.・.・点A4的坐标为(100,200).・•・ z 缺大值=3 000*+ 2 000/= 700 000(元)•因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大, 最大收益是70万元.【类题通法】x+ y = 300,I5x+2y= 900,解得 *=]00, y= 200.利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数（当数据较多时，可以列表格来分析数据）；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论.【对点训练】4 .铁矿石/和8的含铁率冶炼每万吨铁矿石的C。
△的排放量Z?及每万吨铁矿石的价格c如下表：某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO△的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石的最少费用为（百万元）.解析：可设需购买/矿石x万吨，3矿石V万吨,则根据题意得到约束条件为：5",0.5x+0.7y>1.9,目标函数为z=3x+6y,当目标函数经过（1,2）点时目标函数取最小值，最小值为：z是小值= 3x1 + 6x2 = 15.答案：15【练习反馈】2*- y+l>0, x-2y- 1 <0, x+y<l的线性约束条件下，取得最大值的可行解为（A. （0,1）B・（一1, -1）C・（1,0） D.解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x=0f v= 1时，z= - 1;当x= - 1, y=-】时，z=0;当x=l, >=0 时，z=l;当x=；, *=；时，z=0.排除选项A, B, D,故选C.r^+ i,2.已知变量x, v满足约束条件则z=x+2v的最小值为() lx+ 1 >0,A. 3B. 1C. -5D. -6解析：选c由约束条件作出可行域如图：1 Z Z由z=x+2y得y= -］火+云］的几何意义为直线在V轴上的截1 z距，当直线y= "2%+2过直线乂=一 1和x—v= 1的交点4( 一、一2)时，z最小，最小值为-5,故选C.3. 已知实数/、*满足2*,贝ij目标函数z=x-2y的最U<3,小值.解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示.目标函数可化为：乙作直线及其平行线，知当此直线经过点 /时，-的值最大，即z的值最小.又/点坐标为(3,6),所以z的最小值为3-2x6=-9.答案：-9x+y<4,{点O为坐标原点，那么| PO\的最小值Q1 ,等于,最大值等于解析：点RX,刃满足的可行域为MBC区域，4(1,1),。
1,3).由图可得，|户。
|景小值资料. ...=|4。
|=滋；\PO\景大值= |。
|=廖x+ y>3解：作出不等式组的可行域，如图所示.I2x-3y<3r+y=3 j画出直线G ： x+2*=0,平移直线6到直线/的位置，使/过可行 域内某点，旦可行域内其他点都在/的不包含直线6的另外一侧，该' 点到直线4的距离最小，则这一点使z=x+2y 取最小值.'显然，点4满足上述条件,(x+y=3(]2 3)解[2“3y=3得点4京亦12 3 18・."缺小值=亏+ 2乂吕=亏・5 .已知x, v 满足约束条件［一+ y>32x — 3v<3求z=*+2*的最小值.。