高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战53615
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． .3.16
1．复数-1+31+i i =( ) A. 2+i B. 2i C. 1+2i D. l2i 2． 已知集合A={l ，3，m ），B={l ，m ），A
B =A ，则m=( ) A. 0或3； B ．0或3
C ．1或3 D.1或3
3． 下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( )
A. a>b+l
B. a>bl
C. a2>b2
D. a3>b3
4． 直线l 过抛物线C ：x2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则，与C 所围成的图形的面积等于( )．
A ．43 B.2 C ．83
. D. 162 5．某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补 种2粒，补种的种子数记为X,则X 的数学期望为( )．
A. 100
B. 200
C. 300
D. 400
6．51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A. 40
B. 20
C. 20
D. 40
7．△ABC 中，AB 边的高为CD.若CB =a ，CA =b ，a·b=0，|a|=1，|b|=2，则AD =( )
A.1155a b -
B.4455a b -
C.1155b a -
D. 4455
b a - 8． 已知F1，F2为等轴双曲线C 的焦点，点P 在C 上，|PFl| =2|PF2|，则cos ∠F1PF2=( ) A.
14 B. 35 C.34 D. 45 9．执行如图所示的程序框图，若输入n= 10，则输出S=( )
A.
511
B ．1011
C ．3655
D. 7255 10.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )
A. 28
B. 24+62
C ．20+213
D ．16+62+213
11．设P,Q 分别为圆x2+(y 一6)2 =2和椭圆2
10
x +y2 =1上的点，则 P ，Q 两点间的最大距离是( )
A. 52
B.46+2
C. 62
D.7+2
12．设函数f(x) =2ln(1)x x +-，函数(),0()(),0_
f x x
g x f x x ≥?=?-
A ．对任意实数a 、b ，a≠b ，都有f （a ）≠f(b)
B ．存在实数a 、b ，a≠b ，使得g(a ）=f(b)
c ．对任意实数a 、b ，O
D ．存在实数a 、b ，a
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若x ，y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥??+-≤??+-≥?
，则z=3xy 的最小值为____．
14.等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知al=10，a2为整数，且Sn≤S4，则公差d=．
15．若函数f(x)= cos2x+asinx 在区间(
6π，2
π)是减函数，则a 的取值范围是． 16．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE=BF= 37,动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为____．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosA=23
， sinB=5cosC.
(1)求tanC 的值； (2)若a=2，求△ABC 的面积．
18.（本题满分12分）如图，四棱锥SABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三 角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
(l)证明：SD ⊥平面SAB;
(2)求AB 与平面SBC 所成的角正弦值，
19.（本题满分12分）从某工厂生产的某产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标，
由测量结果得到下列频数分布表：
(1)作出这些数据的频率分布直方图，并估计该产品质量指标值的平均数x 及方差s2 （同一组中的数据用该组的中点值作代表）； (2)可以认为这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 x ，σ2。近似为样本方差s2; 一件产品的质量指标不小于110时该产品为优质品；利用该正 态分布，计算这种产品的优质品率p （结果保留小数点后4位）．
（以下数据可供使用：若Z~()2
N μδ，，则()68.26%,P μδξμδ-<<+= ()2295.44%)P μδξμδ-<<+=
20.（本题满分12分）设椭圆E1：22
22x y a b
+=l （a>b>0）的两个顶点与两个焦点构成一个面积2的正方形，P 是E1上的动点，椭圆E2：22
82
x y +=l (1)若椭圆E 上的点Q 满足：(0)OQ OP λλ=>，求λ的最小值；
(2)设E 在P 处的切线为l ，l 与E2交于A 、B 两点，求三角形OAB 面积的最大值，
21.（本题满分12分）设21()ln x f x x
-= (1)求证：f(x)在(0，1)和(1，+∞)上都是增函数；
(2)若在函数f(x)的定义域内，不等式af(x)>x 恒成立，求a 的取值范围，
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答 时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修41:几何证明选讲
如图，D,E 分别为△ABC 的边AB, AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为 m ，AC 的长为n ，AD, AB 的长是关于x 的方程x2 14x+ mn=0的两个根．
(1)证明：C,B,D,E 四点共圆；
(2)若∠A=90°，且m=4，n=6，求C,B,D ，E 所在圆的半径．
23.（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为2cos 22sin x y αα
=??=+?(a 为参数)
M 是Cl 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线C2．
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)在以a 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=
至与Cl 的异于极点的交点
为A ，与C2的异于极点的交点为B 。求|AB|．
24.选修45:不等式选讲
设函数f(x)=|xa|+3x ，其中a>0.
(1)当a=l 时，求不等式f(x)≥3x+2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤1}，求a 的值．
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A.3﹣4i
B.3+4i
C.﹣3﹣4i
D.﹣3+4i
2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）
A.{0，1}
B.{﹣1，0，1，2}
C.{﹣1，0，2}
D.{﹣1，0，1}
3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和
n，则m﹣n=（）
A.5
B.6
C.7
D.8
4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）
A.（﹣1，1，0）
B.（1，﹣1，0）
C.（0，﹣1，1）
D.（﹣1，0，1）
6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A.200，20
B.100，20
C.200，10
D.100，10
7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么
集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A.60
B.90
C.120
D.130
二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）
9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为.
10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为.
11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.
12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=.
13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=.（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】
14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为.
【几何证明选讲选做题】
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则
=.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.
17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，
49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25，30] 3 0.12
（30，35] 5 0.20
（35，40] 8 0.32
（40，45] n1 f1
（45，50] n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.
18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.
19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式.
20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (3)
参考答案与试题解析
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A.3﹣4i
B.3+4i
C.﹣3﹣4i
D.﹣3+4i
【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值.
【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，
故选：A.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题.
2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）
A.{0，1}
B.{﹣1，0，1，2}
C.{﹣1，0，2}
D.{﹣1，0，1}
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.
【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，
∴M∪N={﹣1，0，1，2}，
故选：B.
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.
3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和
n，则m﹣n=（）
A.5
B.6
C.7
D.8
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论.
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，
直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，
则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，
故选：B.
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.
4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论.
【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，
即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，
曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，
即两个双曲线的焦距相等，
故选：A.
【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键.
5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）
A.（﹣1，1，0）
B.（1，﹣1，0）
C.（0，﹣1，1）
D.（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论.
【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），
A.若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件.
B.若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件.
C.若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件.
D.若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件.
故选：B.
【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键.
6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A.200，20
B.100，20
C.200，10
D.100，10
【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.
【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，
∴样本容量=10000×2%=200，
分层抽样抽取的比例为，
∴高中生抽取的学生数为40，
∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.
故选：A.
【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键.
7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定.
【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，
又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定.
故A、B、C错误.
故选：D.
【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面.
8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么
集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A.60
B.90
C.120
D.130
【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论.
【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；
②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；
③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：.
∴总共方法数是++=130.
即元素个数为130.
故选：D.
【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）
9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） .
【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.
【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③.
解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈?，解③求得x≥2.
综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）.
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题.
10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为 y=﹣5x+3. .
【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程.
【解答】解；y′=﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，
∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3.
故答案为：y=﹣5x+3
【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题.
11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.
【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论
【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，
若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，
故答案为：.
【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的.比较基础.
12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 .
【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果.
【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，
即sin（B+C）=2sinB，
∵sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinB，
利用正弦定理化简得：a=2b，
则=2.
故答案为：2
【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=
50 .
【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案.
【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，
∴a10a11=e5，
∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10
=ln（e5）10=lne50=50.
故答案为：50.
【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题.
（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】
14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1） .
【分析】首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标.
【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，
化为普通方程为：y2=x，
曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，
联立，
即交点的直角坐标为（1，1）.
故答案为：（1，1）.
【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则
= 9 .
【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求.
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，
∴=，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△CDF∽△AEF，
∴=（）2=9.
故答案为：9.
【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.
【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值.
（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值.
【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
∴Asin（+）=Asin=A?=，
∴A=.
（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），