2014天津市高考数学试卷含答案
2014年天津市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年天津市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④A F•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC 的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1=（q﹣1）（1+q+…+q n﹣2）﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1＜0．∴s＜t．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ；下面分两种情况讨论：①a ≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f （x ）在R 上是增函数，不合题意； ②a ＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna ），减区间是（﹣lna ，+∞）；∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f （﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0；③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1；取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0，取s 2=+ln ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（﹣）+（ln ﹣）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（Ⅱ）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a=， 设g （x ）=，由g′（x ）=，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x ∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x ∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。
2014年高考数学真题天津【文】试题及答案
ED CBA 2014高考数学【天津文】一、选择题： 1．i 是虚数单位，复数7i34i++=( ) A ．1-iB ．-1+iC ．1731i 2525+ D ．1725i 77-+ 2．设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数z =x +2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知命题p ：∀x ＞0，总有(x +1)e x ＞1，则⌝p ( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0+1)0e x ≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0+1)0e x ≤1C ．∀x ＞0，总有(x +1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x +1)e x ≤14．设a =log 2π，12log b π=，c =π -2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a5．设{a n }是首项为a 1，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列， 则a 1=( )A ．2B ．-2C ．12D ．12-6. 已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y =2x +10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=7．如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ， 过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结 论：①BD 平分∠CBF ； ②FB 2=FD ·F A ； ③AE ·CE =BE ·DE ； ④AF ·BD =AB ·BF ． 则所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④8. 已知函数f (xωx +cos ωx (ω＞0)，x ∈R ，在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中，若相 邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π二、填空题9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查． 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．10．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 _______m 3．11．阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________． 12．函数f (x )=lg x 2的单调递减区间是________．13．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上， BC =3BE ，DC =λDF ．若1AE AF ⋅=，则λ的值为_______．14. 已知函数()20,54,22,0.x x x f x x x ⎧++⎪=⎨->≤⎪⎩若函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题15．某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)． (I)用表中字母列举出所有可能的结果；俯视图侧视图正视图PFEDCBA(II)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知a c -=，sin B C ． (I)求cos A 的值； (II)求πcos 26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，BA =BD，AD =2，P A =PD，E ， F 分别是棱AD ，PC 的中点．(I)证明：EF ∥平面P AB ； (II)若二面角P -AD -B 为60°，(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．18. 设椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ．已知12AB F =． (I)求椭圆的离心率；(II)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直 线l 与该圆相切于点M，2MF =19．已知函数232()3f x x ax =-(a ＞0)，x ∈R ．(I)求f (x )的单调区间和极值；(II)若对于任意的x 1∈(2，+∞)，都存在x 2∈(1，+∞)，使得f (x 1)·f (x 2)=1．求a 的取值范 围．20. 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ={0，1，2，…，q -1}，集合A ={x | x =x 1+x 2q +…+x n q n -1，x i ∈M ，i =1，2，…，n }(I)当q =2，n =3时，用列举法表示集合A ；(II)设s ，t ∈A ，s =a 1+a 2q +…+a n q n -1，t =b 1+b 2q +…+b n q n -1，其中a i ，b i ∈M ，i =1，2，…， n ．证明：若a n ＜b n ，则s ＜t ．2014高考数学天津【文】参考答案一．选择题1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．A 7．D 8．C二．填空题9．60 10．20π311．－4 12．(－∞，0)13．214．(1，2)三．解答题15．(I)解：从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(II)解：选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为 {A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种． 因此，事件M 发生的概率62()155P M ==．16．(I)解：在△ABC 中，由sin sin b cB C=，及sin B C ，可得b =．又由a c -=，有a =2c ．所以222222cos 2bc a A bc +-===(II)解：在△ABC中，由cos A =sin A =， 于是，21cos22cos 14A A =-=-，sin 22sin cos A A A =⋅=，所以πππcos 2cos2cos sin 2sin 666A A A ⎛⎫-=⋅+⋅= ⎪⎝⎭17．(I)证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ，因为F 为PC 中点，故MF ∥BC ，且12M F B C =．由已知有BC ∥AD ，BC =AD ．又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE ，且MF =AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB ． (II)(i)证明：连接PE ，BE ．因为P A =PD ，BA =BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ．所以∠PEB 为二面角P －D －B 的平面角．在△P AD 中，由P A =PDAD =2，可解得PE =2．在△ABD 中，由BA =BD，AD =2，可解得BE =1．在△PEB 中，PE =2，BE =1，∠PEB =60°，由余弦定理，可解得PBPBE =90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ，所以，平面PBC ⊥平面ABCD ．(ii)解：连接BF ．由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，由PB ，得∠ABP为直角．而12MB PB ==AM =，故EF =． 又BE =1，故在直角三角形EBF中，sin BE EFB EF ∠== 所以，直线EF 与平面PBC18．(I)解：设椭圆右焦点F 2(c ，0)．由12AB F =，可得a 2＋b 2=3c 2， 又b 2=a 2－c 2，则2212c a =．所以椭圆的离心率e =．(II)解：由(I)知a 2=2c 2，b 2=c 2，故椭圆方程为222212x y c c+=．C设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有1F P =(x 0＋c ，y 0)，1F B =(c ，c )． 由已知有，110F P F B ⋅=，即(x 0＋c )c ＋y 0c =0，又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c =0 ①因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=②由①和②可得3x 02＋4cx 0=0．而点P 不是椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则1402323c x c -+==-，12323c cy c +==，进而圆的半径为r =． 由已知，有|TF 2|2=|MF 2|2＋r 2，又2||MF =，故有22222508339c c c c ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得c 2=3．所以，所求椭圆的方程为22163x y +=．19．(I)解：由已知，有f ′(x )=2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )=0，解得x =0或1x a=． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；单调递减区间是(－∞，0)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．当x =0时，f (x )有极小值，且极小值为f (0)=0； 当1x a =时，f (x )有极大值，且极大值为2113f a a⎛⎫= ⎪⎝⎭． (II)解：由f (0)=32f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0及(I)知，当30,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f (x )＞0；当3,2xa⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，f(x)＜0．设集合A={f(x)｜x∈(2，＋∞)}，集合B=1(1,),()0 ()x f xf x⎧⎫⎪⎪∈+∞≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭．则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)=1”等价于A⊆B，显然0∉B．下面分三种情况讨论：(1)当322a>，即34a<<时，由32fa⎛⎫=⎪⎝⎭可知，0∈A，而0∉B，所以A不是B的子集．(2)当3122a≤≤，即3342a≤≤时，有(2)0f≤，且此时f(x)在(2，＋∞)上单调递减，故A=(－∞，f(2))，因而A⊆(－∞，0)；由f(1)≥0，有f(x)在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B．所以，A⊆B．(3)当312a<，即32a>时，有f(1)＜0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故1,0(1)Bf⎛⎫= ⎪⎝⎭，A=(－∞，f(2))，所以A不是B的子集．综上，a的取值范围是33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．(I)解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x｜x=x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i=1，2，3}．可得，A={0，1，2，3，4，5，6，7}．(II)证明：由s，t∈A，s=a1＋a2q＋…＋a n q n-1，t=b1＋b2q＋…＋b n q n-1，a i，b i∈M，i=1，2，…，n及a n＜b n，可得s－t=(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n-1－b n-1)q n-2＋(a n－b n)q n-1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n-2－q n-1=11 (1)(1)1nn q qqq------=－1＜0．所以，s＜t．。
2014年高考理科数学天津卷-答案
34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即2λ2-②，①+②得5λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得2120ππ4π2233+=m 【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -43π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法1203373734960C C C C +=. 3463k k C C -(k =3463k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即-⎧，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量,||||6n BEn BEn BE==⨯与平面PBD3）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，0≤故()1,2BF BC CF BC CPλλλ=+=+=-.，得0BF AC=，因此，2(1即12BF⎛=-设(1,n x y=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即，可得1(0,n=-FAB的一个法向量的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值2，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即1.②由①和②可得234x cx +可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a (1n a -++-()1q ++-q。
2014年高考真题——理数(天津卷)试题及答案
2014年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（）+i D+2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一．﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=16．（5分）（2014•天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，BE=λBC，DF=μDC，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）．C D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_________名学生．10．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3．11．（5分）（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________．12．（5分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为_________．13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为_________．14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_________．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（）+i D+解：复数=2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）﹣3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）t=log t5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一．﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=1先求出焦点坐标，利用双曲线﹣，可得=2∵双曲线=1∴双曲线的方程为=16．（5分）（2014•天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，BE=λBC，DF=μDC，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）．C D．两个向量的数量积的定义由•=1•=，求得﹣﹣解：由题意可得若=（）（）++λ•μ=﹣（﹣）））﹣，故答案为：二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为，×=6010．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．×π×+=故答案为：11．（5分）（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．==﹣．12．（5分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．，再由余弦定理求得cosA=ab=cosA==﹣．13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．（，可得（14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．，三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．再由复合三角函数的周期公式的范围，求出sinx））的最小正周期=，]，]，则[，]=时，即=）取到最小值是：时，即时，）取到最大值是：，，最小值为应用，16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．，（名同学是来自互不相同学院的概率为的数学期望17．（13分）（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．的方向向量，根据•，求出向量的坐标，进而求出平面=•（Ⅱ）∵=的法向量，得，则=，所成角的正弦值为（Ⅲ）∵=，上，设λ===，得=2，，，）=，得，则的法向量=18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．|F．可得．可设椭圆方程为，．利用圆的性质可得，于是．联立可得．设圆心为，利用两点间的距离公式可得圆的半径，化为．因此椭圆方程为．，可得，在椭圆上，∴．，化为=0，∴，，可得．=，=．，r==，解得的斜率为19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．A={x|，+A={x|，+20．（14分）（2014•天津）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．=a=a，则=ln，令=，+ln，满足﹣）ln﹣，设，由=，得＜；∴随着=a=a=ln，设=t，解得，…①；﹣。
2014年高考理数真题试卷(天津卷)
D.﹣ + i
第Ⅱ卷的注释
第Ⅱ卷 主观题
评卷人 得分
一、填空题（共 6 题)
1. （2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、
四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取
．
4. （2014•天津）在以 O 为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a 相交于 A、B 两点，若△AOB 是
等边三角形，则 a 的值为
．
5. （2014•天津）已知函数 f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程 f（x）﹣a|x﹣1|=0 恰有 4 个互异的实数根，
则实数 a 的取值范围为
A.
B.
C.
D.
4. （2014•天津）设变量 x，y 满足约束条件
，则目标函数 z=x+2y 的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5. （2014•天津）如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点 D，交 BC 于 E，过点 B 的
圆 的 切 线 与 AD 的 延 长 线 交 于 点 F ， 在 上 述 条 件 下 ， 给 出 下 列 四 个 结 论 ：
名学生．
2. （2014•天津）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 b﹣c= a，2sinB=3sinC，则
cosA 的值为
．
3. （2014•天津）设{an}是首项为 a1 ， 公差为﹣1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 S1 ， S2 ， S4 成等比
2014年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8小题，每小题5分）1.（ 5分）（2014 ?天津）i 是虚数单位，复数 -------- =（ ）3+41 A . 1-i B . - 1+iC .丄+」D_ +_i25 2^77考点：复数代数形式的乘除运算. 专题：数系的扩充和复数.分析：将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3 -4i ，即求出值.解答：解：复数 7+1. (7+1) (3-41)|25 - 25! “.34-41 (3+蚯)(3-4i)=251故选A .点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题.最小值为（ ）A . 2B . 3考点：简单线性规划. 专题：不等式的解法及应用.分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 解答：解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y ，得 y=-丄-*盂4违的截距最小，此时z 最小. 此时z 的最小值为z=1+2 xi=3, 故选：B .平移直线y=- ，由图象可知当直线 y=- 经过点B （1, 1）时，直线y=2. （ 5分）（2014?天津）设变量 z=x+2y 的z 的最大值. x ,则目标函数ic/Il-1-1■J/\点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.3.（5分）（2014?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A . 15 B. 105 C. 245 D. 945考点：程序框图.专题：算法和程序框图.分析：算法的功能是求S=1 >3>5X-（2i+1 ）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值.解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1 X3>5X->>2i+1 ）的值，•/跳出循环的i值为4,•••输出S=1 X3X5XM05 .故选：B.点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.4. > 5分）> 2014?天津）函数f >x）=log >x2_4）的单调递增区间为> ）~2A . > 0, +7 B. （— a, 0）C. > 2, +呵D. > — a,—2）考点：复合函数的单调性.专题：函数的性质及应用.分析：令t=x2- 4 >0,求得函数f (x)的定义域为(-汽-2) U (2, + 8),且函数f ( x) =g (t) =log ]t.根据复合函数的单调性，本题即求函数t在(-8, - 2) U (2, + ^) 2上的减区间•再利用二次函数的性质可得，函数t在(-8,- 2) U (2, + 8)上的减区间.解答：解：令t=x2- 4 > 0,可得x > 2，或X V- 2,故函数f (x)的定义域为(- 8,- 2) U (2, + 8),当x€(-8,- 2)时，t随x的增大而减小，y=log 11随t的减小而增大，~2所以y=log ] (x2- 4)随x的增大而增大，即f (乂)在(-8,- 2)上单调递增.故选：D.点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题.2 2岂-耳=1 (a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线a2b23• • 2 2 .2-c =a +b ,2 2--a =5, b =20,5. ( 5分)(2014?天津)已知双曲线y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线I上，则双曲线的方程为(=1[Too考点：双曲线的标准方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：先求出焦点坐标，利用双曲线£-£=1 (a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线a21/, 2 2 2y=2x+10，可得=2，结合c =a +b，求出aa, b,即可求出双曲线的方程.解答：解：•••双曲线的一个焦点在直线I 上,令y=0，可得x= - 5,即焦点坐标为(-5, 0), ••• c=5,-=1 (a> 0, b > 0)的一条渐近线平行于直线I: y=2x+10 ,C.=1故选：A .点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题.6. （5分）（2014?天津）如图，△ ABC是圆的内接三角形，/ BAC的平分线交圆于点D ,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分/ CBF;②FB2=FD?FA；③AE?CE=BE ?DE;④AF?BD=AB ?BF .所有正确结论的序号是（）A .①②B .③④C .①②③D .①②④考点：与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用.专题：直线与圆.分析：本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项.解答：解：•••圆周角/ DBC对应劣弧CD，圆周角/ DAC对应劣弧CD,••• / DBC= / DAC .•••弦切角/ FBD对应劣弧BD，圆周角/ BAD对应劣弧BD ,•/ FBD= / BAF .•/ AD是/ BAC的平分线，•/ BAF= / DAC .•/ DBC= / FBD .即BD平分/ CBF .即结论①正确. 又由 / FBD= / FAB , / BFD= /AFB，得△ FBD 〜△ FAB .由,FB2=FD?FA .即结论②成立.r A rb由—-得AF?BD=AB ?BF .即结论④成立.AF _AB正确结论有①②④ .故答案为D点评：本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度 不大，属于基础题.7. （ 5 分）（2014?天津）设 a , b€R ，贝U a >b”是 a|a|>b|b|”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题：简易逻辑.分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答：解：若a >b ,① a > b%,不等式a|a|> b|b 等价为a?a > b?b ,此时成立.② 0>a > b ,不等式a|a >b|b|等价为-a?a >- b?b , 即卩a 2< b 2,此时成立.③ a^0 > b ,不等式a|a|> b|b 等价为a?a >- b?b ，即a >- b ,此时成立，即充分性 成立. 若 a|a|> b|b|,① 当 a >0, b > 0 时，a|a |>b|b|去掉绝对值得，（a - b ） （a+b ）> 0，因为 a+b >0,所 以 a -b >0，即 a >b .② 当 a > 0, b < 0 时，a > b .③ 当 a < 0, b < 0 时，a|a |>b|b|去掉绝对值得，（a - b ） （a+b ）< 0，因为 a+b < 0,所 以a -b >0，即a >b .即必要性成立，综上a >b"是a|a |>b|b|”的充要条件， 故选：C .点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键.& （ 5分）（2014?天津）已知菱形 ABCD 的边长为2, / BAD=120 °点 _ _.=入L-, I =』：’，若（_-?，* =1，-'上？-.1 =考点： 专题： 分析： 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AL ? AF 1，求得4 A+4卩-2入=：3①；再由JE ?L,F --；,求得-入-入甘-下②.纟口 合①②求得入+卩的值.解答：解:由题意可得若 AE ?AT = ( A5+BE ) ?(应5+DF )=阴存 AD +址■ AD +BI!・ DFE 、F 分别在边BC 、DC 上, 1B. 2C. 5D . 2 36?12A .=4 V4 p- 2 入—2=1 ,4 V+4 p- 2 入=3 ①.西?斎-EC ?（-氏）版呢=（1 -入）厩？（1 - P）瓦=（1- V）而? （1 -2=(1 - V (1-p) »>DOS120 = (1 -入—p+ 入)(-2)=-二，即-V p+ V =,-二②.3由①②求得V+尸二，6点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义, 属于中档题.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. （5分）（2014?天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4: 5: 5: 6,则应从一年级本科生中抽取60 名学生.考点：分层抽样方法. 专题：概率与统计.分析：先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求.解答：解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为丄4+5+B+6 5故应从一年级本科生中抽取名学生数为300 >=60,故答案为：60.=2 >2 >Cos120°【-■ i' '■+ 入「，i?「i+ V I?『，'= -2+4 p+4 廿入卩2滋Xdos120°点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法, 应各层的样本数之比，属于基础题.利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对故答案为：上.10.（5分）（2014?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为侧视图考点：由三视图求面积、体积. 专题：立体几何.分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的 体积公式计算. 解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2，底面直径为4,几何体的体积V n点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.11. （5分）（2014?天津）设｛a n ｝是首项为a i ，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和，若 S i , S 2, S 4成等比数列，则 a 1的值为 -丄.考点：等比数列的性质. 专题：等差数列与等比数列. 分析：n （ 2ai+l - n ）由条件求得，S n = -------------- ----------- ，再根据S 1,S 2, S 4成等比数列，可得％ Z=S 1?S 4, 由此求得a 1的值.m .正视图 傭观圏兀.故答案为:再根据若S i, S2, S4成等比数列，可得S 2 2=S1?S4，即(施］-1) 2=a i? (4a i -6),解得a i=-—,1故答案为：-一.2点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题.12. (5分)(2014?天津)在△ ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c,已知b-c4a，2sinB=3sinC,则cosA的值为一丄—考点：余弦定理；正弦定理.专题：解三角形.分析：由条件利用正弦定理求得a=2c, ,再由余弦定理求得cosA= * 的值.2 2bc解答：解：在△ ABC中，故答案为：-一.4点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.13. (5分)(2014?天津)在以0为极点的极坐标系中，圆p=4sin B和直线p in 9=a相交于A、B两点，若△ AOB是等边三角形，则a的值为3 .考点：简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+ (y- 2) 2=4，可得a 的值.解答：解：直线psin 0=a 即y=a, (a>0),曲线p=4sin 0,2 2 2即p =4 psin0,即x + (y - 2) =4,表示以C (0, 2)为圆心，以2为半径的圆，解答:解：由题意可得, a n=a i+( n —1)( —1 )=a i+1 -■/ b- c」a ①，2sinB=3sinC ,4••• 2b=3c ②，•/ △ AOB 是等边三角形，••• B (二a , a ),3直线和圆的位置关系， 求出B 的坐214. ( 5 分)(2014?天津)已知函数 f ( x ) =|x +3x|, 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 (0, 1)考点：专题：分析：根的存在性及根的个数判断. 函数的性质及应用. 由 y=f (x )- a|x - 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|,作出函数 y=f (x ), y=a|x - 1|的图象利用 数形结合即可得到结论.解答：解：由 y=f (x ) - a|x — 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|, 作出函数y=f (x ), y=g (x ) =a|x - 1|的图象， 当a 切，不满足条件，f a ts - 1)玄>1则 a > 0,此时 g (x ) =a|x - 1|=, _ ,L _ a (i _ PY 1当—3v x v 0 时，f (x ) = - x 2- 3x , g (x ) = - a (x - 1), 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时-x 2 - 3x= - a (x - 1),即 x + (3 - a ) x+a=0, 则由△ = (3- a ) 2 - 4a=0，即 a 2- 10a+9=0，解得 a=1 或 a=9, 当a=9 时，g (x ) = - 9 (x - 1), g (0) =9，此时不成立，•此时 a=1,要使两个函数有四个零点，则此时0v a v 1,若a > 1,此时g (x ) = - a (x - 1 )与f (x ),有两个交点， 此时只需要当x > 1时，f (x ) =g (x )有两个不同的零点即可， 即 x +3x=a (x - 1),整理得 x + ( 3 - a ) x+a=0 ,则由△ = (3- a ) 2 - 4a > 0, 即卩 a 2 - 10a+9>0，解得 a v 1 (舍去)或 a > 9, 综上a 的取值范围是(0, 1) U (9, + s),方法 2：由 f (x )- a|x - 1|=0 得 f (x ) =a|x - 1|,x €R ,若方程 f (x )- a|x- 1|=0 恰有 4 U (9, +s).代入 x 2+ ( y - 2)2=4，可得(2+ (a -2) 2 =4,a > 0, - - a=3.点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 标是解题的关键，属于基础题.若x=1，则4=0不成立, 故x 力,f (J=1x 沖1 =1、丘 - 1 ) 2+5 (K- 1)|K -I || lx-11x-1+5|, 设 g (x ) =x — 1+'!当 x > 1 时，g (x ) =x — 1+，:Z-1+5 ■1—-— - ■■ I "，当且仅当 X _ 1口 号,+5,则方程等价为|=|x - 1+1X-1仁1，即x=3时取等当X V 1时,=5 — 4=1，当且仅当—(x — 1)=—」L ,即卩x= — 1时取等号，Z- 1则|g ( X )I 的图象如图：若方程f (x )— a|x — 1|=0恰有4个互异的实数根, 则满足a > 9或0 V a v 1,故答案为:点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强, 难度较大.三、解答题(共6小题，共80分)I 7115. (13 分)(2014?天津)已知函数 f (x ) =cosx?sin (x+—)(I )求f (x )的最小正周期；jr| jr(n )求f (x )在闭区间［-——,——］上的最大值和最小值.4 4考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法. 专题：三角函数的图像与性质. 分析：(i )根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的,x €R .(n )由(i )化简的函数解析式和条件中x 的范围,求出2x- —的范围，再利用3正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.解答: 解答解：(i )由题意得，1 . . V3 2=-=.i ；■: ' ■ ■q q=*「」「.I-：.」.(2工-中Vs qL ・2Sin所以, 由(I )得 f (x )|一 ,周期公式 求出此函数的最小正周期;cosx )f (x ) =cosx? (—sinx2f (x )的最小正周期=n.16. （ 13分）（2014?天津）某大学志愿者协会有 6名男同学，4名女同学，在这10名同学中, 3名同学来自数学学院，其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10名同学中随机选取 3名同学，到希望小学进行支教活动 （每位同学被选到的可能性相同） （I ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；f n ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.考点：古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列. 专题：概率与统计. （I ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的 基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；兀 口]，则 2疋一 "€[— 5717T ? -------------2 23 6 6,即吕口（2丈一芈）=- 乂时，_ 1~2f ( x ) 函数f （x ）取到最小值是:取到最大值是:丄，最小值为4点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题.分析: 3名同学是来自互不相同学院的（n ）随机变量X 的所有可能值为0, 1, 2,3, P (X=k)3-k---- --- (k=0 , 1, 2,解答:3）列出随机变量 X 的分布列求出期望值.f I ）解：设 选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A ,点评: _C 扣*弼49c10，=60所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为（n ）解：随机变量X 的所有可能值为2, 3）所以随机变量的分布列是2 3 lb随机变量0, 1, 2,4960(k=0, 1,31] 30 X 的数学期望 E47+3X7^^.5210 30 5本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望,考查应用概率解决实际问题的能力. 由 x€[- 所以，所求的最大值为丄，_]得，2x €[-sin 〔2蛊 - ¥ 1时, ],周期公式17. （ 13 分）（2014?天津）如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA 丄底面 ABCD ,AD 丄 AB ,AB // DC , AD=DC=AP=2 , AB=1，点 E 为棱 PC 的中点.（I ）证明：BE 丄DC ;（II ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（川）若F 为棱PC 上一点，满足 BF 丄AC ,求二面角F -AB - P 的余弦值.考点： 专题： 分析： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角. 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何.（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 求出BE , DC 的方向向量,根据二了？ |-0 ,可得BE 丄DC ;（II ）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线 BE 与平面PBD所成角的正弦值；（川）根据BF 丄AC ,求出向量IT 的坐标，进而求出平面 FAB 和平面ABP 的法向量, 代入向量夹角公式，可得二面角 F - AB - P 的余弦值. 解答: 证明：（1） •/ PA 丄底面ABCD , AD 丄AB ,以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，••• AD=DC=AP=2 , AB=1，点 E 为棱 PC 的中点.••• B ( 1, 0 , 0), C (2 , 2 , 0), D ( 0 , 2 , 0),P(0 , 0 , 2), E (1 , 1 , 1)-- ■- - N=(0 , 1 , 1), 1'= (2 , 0 , 0) I '=0 ,• BE 丄 DC ;(n ) v | i= ( - 1, 2, 0),可；=(1, 0, - 2),设平面PBD 的法向量| = (x , y , z ),令 y=1，则 >■= ( 2, 1, 1), 则直线BE 与平面PBD 所成角B 满足:(出)V|，■-= (1 , 2, 0),心(-2,- 2, 2), i= (2, 2, 0),由F 点在棱PC 上，设CF =疋P = (- 2入，-2入2 X) (0三入1) 故E?=^+EF = (1 - 2 人 2 - 2X, 2X (0W 入1 炙, 由 BF 丄 AC ,得 BF ?AC =2 (1 - 2 X +2 (2- 2 X =0,设平面FBA 的法向量为ii= (a , b , c ),令 c=1，则「i= ( 0,- 3, 1), 取平面ABP 的法向量| i = (0, 1, 0), 则二面角F - AB - P 的平面角 a 满足:故二面角F - AB - P 的余弦值为：— 10点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向 量夹角问题，是解答的关键.ID 尸 BD-m*PB=0，得-s+2y=0 x - 2 z=0sin 0=in故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为Vsn * AB = 0 n*BF=0COS a == 3I i | ■|n | 7103v'TC i10 即芋=(-，得18. (13分)(2oi4?天津)设椭圆亠+ 二=1 (a > b > o )的左、右焦点分别为 F i 、F 2，右顶a 2b 2点为A ，上顶点为B ,已知|AB|=丄丄|F i F 2|.2(I )求椭圆的离心率；(n )设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点 F 1,经过原点O 的直线I 与该圆相切，求直线I 的斜率.考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(I )设椭圆的右焦点为F 2 ( c , o ),由|AB|=V3|F 1F 2|.可得Qj + b 巫容x 2c , 再利用b 2=a 2 - c 2, e=即可得出.aj - ] ■ 1 . - =c (x o +c ) +cy o =0,(n )由(i )可得b 2=c 2 •可设椭圆方程为? 2亠;亡二1 ,设 P (x o , y o ),由 F i (-c , o ) , B( o , c ),可^得卩利用圆的性质可得-,于是I卜=。
2014天津高考真题数学文(含解析)
③ AE CE BE DE ；④ AF BD AB BF ． 则所有正确结论的序号是（ A．①② B．③④ ） C．①②③ D． ①②④
1 / 14
8．已知函数 f ( x) 3 sin x cos x( 0), x R. 在曲线 y f ( x ) 与直线 y 1 的交点中，若相 邻交点距离的最小值为 A．
9 / 14
7.如图， ABC 是圆的内接三角形， BAC 的平分线交圆于点 D ，交 BC 于
E ，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F ，在上述条件下，给出下列
四个结论： ① BD 平分 CBF ； ② FB FD FA ； ③ AE CE BE DE ；
π ，则 f ( x ) 的最小正周期为（ 3
C． π D． 2 π
）
π 2
B．
2π 3
二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向， 拟采用分层抽样的方法， 从该校四个年 级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级 的本科生人数之比为 4 : 5 : 5 : 6 ，则应从一年级本科生中抽取 10．一个几何体的三视图如图所示（单位: m ） ，则该几何体的体积为 名学生．
B． x0 0 ，使得 ( x0 1)e x0 1 D． x 0 ，总有 ( x 1)e x 1
x 0,( x 1)e x 1p : x 0, ( x 1)e x 1 ，故选 C ．
） D． c b a
2
4.设 a log 2 , b log 1 , c 2 , 则（ A. a b c B． b a c
2014年天津高考文科数学真题及答案
2014年天津高考文科数学真题及答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）i 是虚数单位，复数=++ii 437（ ） A. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 725717+- （2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 53.已知命题为则总有p e x x p x ⌝>+>∀,1)1(,0:（ ）A.1)1(,0000≤+≤∃x ex x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x e x x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有 4.设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >>5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ） A.2 B.-2 C.21 D .21 6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 7.如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④8.已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2π B.23π C.π D.2π二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12.函数()3lg f x x =的单调递减区间是________. 13.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AE ⋅=，则λ的值为________.（14）已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.（16）（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （1）求A cos 的值；（2）求)62cos(π-A 的值.17、（本小题满分13分） 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.（1） 证明平面；（2） 若二面角P-AD-B 为， ① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18、（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.（1） 求椭圆的离心率；（2） 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.19 （本小题满分14分）已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围 20（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-， （1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t qa q a a s A t s 其中,,2,1,,n i Mb a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.。