人教版八年级下册数学《原(逆)命题、原(逆)定理》
人教版八年级下册数学 第17章《勾股定理》讲义 第6讲 勾股定理-逆定理(有答案)
人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲 勾股定理－逆定理 第一部分 知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
2.5逆命题与逆定理教案
题目2.5 逆命题与逆定理年级学科八年级数学课型信息技术与学科整合课授课教师张凡行工作单位奉化区向阳学校教学目标1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。
2、了解逆命题、逆定理的概念。
教学重难点关键重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．➢难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学方法多媒体与实际相结合运用的信息技术工具硬件：投影仪软件：PPT教学设计思路1.通过复习让学生重新了解命题的概念2.PPT展示2个命题，发现这两个命题的特点，并让学生小结3.通过题型加深对互逆命题的理解4.互逆定理的概念，不是所有的定理都有逆定理。
5.加强练习6.对所学的知识进行小结教学过程设计意图时间安排一、回顾旧知，引入新课命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”二、合作交流，探究新知 多媒体出示填表并思考命题条件结论命题真假⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a b =，那么22a b =⑷如果22a b =，那么a b =同学们完成填空并观察以上四个命题有什么不同？请你说一说。
小组交流成员代表回答。
归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
请学生分别说明上表的原命题，逆命题及真假。
问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？ 小试牛刀说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假性。
1. 鸟是动物。
2. 长方形有两条对称轴。
人教版初中数学八年级下册17.2.1《原(逆)命题、原(逆)定理》教案设计
原（逆）命题，原（逆）定理教学设计通过探索逆命题的写法、培养学生的观察能力、应变能力和语言表达能力。
情感态度与价值观教学中渗透着数学的形式美和内涵美,提高学生对数学美的鉴赏能力.教学重难点重点会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）教师活动学生活动设计意图㈠创设情景，导入新课5分钟一、回顾旧知，引入新课1、命题的概念：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
2、命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成。
3、命题有真有假。
正确的命题是真命题；错误的命题是假命题.填表并思考学生思考、相互交流本环（三）深入探究，巩固概念 10分钟例1 写出下列命题的逆命题1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1）如果一个三角形是直角三角形,那么它斜边上中线等于斜边的一半。
2）如果一个三角形斜边上中线等于斜边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3）如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
4）一边上的中线等于该边一半的三角形是直角三形。
2、等腰三角形两底角相等。
如果三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等。
如果三角形的两底角相等，那么它是等腰三角形。
两角相等的三角形是等腰三角形。
4、角平分线上的点到角两边的距离相等。
1）如果一个点在角的角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等。
2）如果一个点到角两边距离相等，那么这个点在叫的角平分线上。
3）到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
巩固知识例2 说出下列命题的逆命题，并判定原命题逆命题的真假：1、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假；①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题。
原(逆)命题和原(逆)定理
2.如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的命题。例如：
①原命题：若a＝b,则a2＝b2；逆命题：.（正确吗？）
②原命题：对顶角相等；逆命题：.（正确吗？）
由此可见：原命题正确，它的逆命可能也可能，正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题
探究活动：
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2、下面的三组数分别是一个 三角形的三边长a.b.c
5、12、13 7、24、25 8、15、17
（1）这三组数满足 吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长 、 、 ，满足 ，那么这个三角形是 三角形
2、练习册相关习题。
教学反思
勾股定理的逆定理及其应用。
学习难点
勾股定理的逆定理的证明。
授课类型
新授课
课时
教具学具ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习活动
修改意见
一、复习导入
1、勾股定理：直角三角形的两条的平方等于的，即.
2、填空题：
（1）在Rt△ABC， ∠C=90°， 8， 15，则 。
（2）在Rt△ABC，∠B=90°， 3， 4，则 。（如图）
3、直角三角形的性质
（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是，能构成直角三角形的是．（填序号）
①3，4，5②1，3，4③4，4，6④6，8，10
⑤5，7，2⑥13，5，12⑦7，25，24
四、课堂小结
本节课你的收 获是什么？还有哪些疑问 ？
人教版初中数学八年级下册 原(逆)命题原(逆)定理-“江南联赛”一等奖
勾股定理的逆定理——原（逆）命题、原（逆）定理一、教学目标：知识与技能：1了解原（逆）命题、原（逆）定理的相关概念，能写出一个命题的逆命题；2了解勾股定理逆定理的证明过程；过程与方法：1经历逆命题概念的生成过程，体会逆向思考是研究数学问题的一种思路；2经历判断勾股定理逆命题真假的过程，发展逻辑推理能力情感态度与价值观：1．通过书写逆命题并判断其真假的过程，养成严谨的学习态度和治学精神2．体会数学源于生活，养成从多个角度思考问题的习惯二、学情分析：学生在七年级下学期学习过命题的相关概念，知道命题分为题设和结论两部分、命题都可以写成如果那么的形式、以及命题分为真假命题两种。
并具备了一些逻辑推理的能力。
由于学生在生活中有将词语颠倒位置（正反话）的生活经验，而将这个经验迁移到本课的学习中，就会得到新的结论，所以将一个命题的题设和结论颠倒位置，得出新命题对学生来说并不困难，由于判断某些命题的真假需要一定的逻辑推理能力，如判断勾股定理的逆命题的真假，对学生来说就有一定难度。
三、教学重点：会写出一个简单命题的逆命题；并能判断逆命题的真假教学难点：判断勾股定理逆命题的真假四、导学过程：【情境导入】请两位同学表演一个生活小片段，并注意他们的语言特点。
设计意图:通过学生表演来激发学生的学习热情，引起学生的好奇心，让学生们发现生活中经常用到反正话,从而过渡到本课的研究内容体会数学是将生活中有规律的内容进行抽象、归纳、再应用的过程。
【课前回顾】1命题的概念：判断的语句叫做命题；2命题都有两部分：和，每个命题都可以写成…………的形式；3命题分为和两种4 将下列命题写成如果……那么……的形式1两直线平行，内错角相等；（2等腰三角形是轴对称图形；（3对顶角相等师生活动：学生代表投影展示回顾的内容，其他同学填写的若有错误及时更正答案。
设计意图：本部分内容在课前学生已填写完，课上回顾相关概念为本课的研究内容做好铺垫【新知探究】探究一：问题1：将上述4题中命题的题设和结论颠倒位置，你得到了什么问题2：原命题和逆命题之间最本质的关系什么师生活动：学生将4题中的题设和结论颠倒位置后得到一个新的命题，设计意图：让学生明确将题设和结论颠倒位置会得到一个新命题，体会逆命题概念的生成过程，经历追问的过程生成互逆命题的概念。
人教版数学八年级下册17.2.1原(逆)命题、原(逆)定理课件2
实验观察
5 3
4 追问：这个三角形的三条边有什么关系吗?
32 + 42 = 52
实验操作 提出猜想
动手画一画
（1）下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数 为边长（单位：cm）画三角形：
①2.5，6，6.5；②4，7.5，8.5.
∴ A’B’ 2=c2
么？
互逆命题的定义：如果两个命题的题设和结论正好 相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 逆命题。
怎样得到一个命题的逆命题？
把一个命题的题设和结论交换一下，即可得 到它的逆命题
巩固新知 说出下列命题的逆命题．并判断这些命题的
逆命题成立吗?
(1)两条直线平行，内错角相等． 逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立 (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
问命题那题2 么2由如这上果个面三三几角角个形形例的是子a三直你2边角发+长三现a角b了、形2什b。、=么c吗满c?足2请以命题的形式说出你的观点! ∴那解一分4断 （1如a逆解2则一互（两如∴4（互(aa思实②实12、 、 ， 、、 ，)A∠么：、析一2果命：组逆2直果2逆考验3验两△+） b） ） b判下什 判2’C这 (： 个三 题 (勾 命 角 一 定 ： 操 操，，，条b11A断了列么 前断了B=2))个回根三 角:股题边个理上作作斜斜4B因因直’如∠由解四叫 者由解=2C三忆据角 形数与长定一节边边为 为线，果cC2线互组做 是线互是提提2角勾勾形 的，互为理定课=长长aa平5/两=段逆数互 直段逆直c222出出形股股是 三都逆a的是的9为为2行个++a命中逆 角，a命角；0猜猜bb是定定直 边扩定逆互命、c、c°，实22题：命 三题b三，，想想直理理角 长大理命逆题==b，b内数、①题 角、角44那那、、角的的三 相有题命a1斜99错的互 、形 互1、和形么么cc++三内逆角同何经题、边组组角绝55逆原 的逆b本（aa77角容定形 倍关过，3、长22成成相对66定命 性定节直++、==形．理数系证但.c为的的等值bb66理题 质理课角满222。，明是k?22c三三．相==；(。与 定。的三足55k．一是互cc角角，，等为22逆 理命角个真逆．．形形，正cc命 ，题形22三命命是是那整==题 后2的角题题22的不不么数、 者定55形不,题是是22这那)互 是义，==中一设直直两么66逆 直）得22两定、角角个它55定 角到条是结三三实是理 三一较互论角角数一角.组小逆分形形相个形新边定别：：等定的数长理是理.判，的。什,定这这平么定两组方？理个数和；定同等理样于称是最为勾大互股边逆数长定.的理平,其方中，一那个么定这理个称三另角一形个是定直理角的三逆角定形理.
人教版八年级数学下册《原逆命题原逆定理》PPT
原（逆）命题，原（逆）定理
激趣导入
正话反说
牛奶 奶牛
故事 事故
模特 特模（磨）
牛角尖 干瞪眼 狗咬我 尖角牛 眼瞪干 我咬狗
我的眼睛
孤僻的我
精神的我
我的（屁股）
温故知新
1、判断一件事情的语句，叫做（ 命题 ），命题是 由（ 题设 ）和 （ 结论 ）两部分组成。（ 题设 ） 是已知事项，（ 结论 ）是由已知事项推出的事项。 2、任何一个命题都可以写成“（ 如果…，那么…）的 形式，正确命题叫做（ 真命题），错误的命题叫做 （假命题 ）
原命题、逆命题、互逆命题概念
题设和结论正好相反的两个命题，叫做 互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题 ，那么题另一设个和命结题 论
叫做它的逆命题。
交换位置
（1）在两个命题中，第一个命题的条件是第二命题的结论，而第一个
命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题， 其
中一个叫原命题，另一个叫它的逆命题。 （2）任何一个命题都有逆命题。
例题分析
例3、你能举出一些互逆定理的例子吗？
随堂练习
1、下列命题的逆命题是真命题的是（ C ）
A.对顶角相等 B.若a=b,则 a2 = b2 C.两直线平行，内错角相等 D.全等三角形的对应角相等
随堂练习
2、写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）若x=1，则 x2=1。
（2）若|a|=|b|，则a=b （3）如果ab=0,那么a=0,b=0。
3、一个命题是真命题，它的正确性经过推理证实的， 这样的真命题叫做（ 定理 ）。
温故知新
4、写出下列命题的题设与结论
（1）如果 a2 = b2，那么a=b。
人教版八年级下册数学 原(逆)命题、原(逆)定理
a2c2 b4 a4 b2c2，试判断△ABC的形状.
解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0. 当a=b时，△ABC为等腰三角形; 当a≠b时，△ABC为直角三角形.
收获与疑惑：
01我们把题设和结论正好相反的两命题 叫做互逆命题。
02一般的，如果一个定理的逆命题经过证 如果三角形明的是三正边确长的a、，b那、么c,它满也足是一个定理，称，这那 么这个三角两形个是定直理角互三为角逆形定。理。
每一个命题是否都有逆命题？ 任何一个定理都有逆定理吗？
归纳:互逆定理
1)两条直线平行，内错角相等；
内错角相等，两直线平行。 性质和判定
2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
在角的内部，角平分线上的点到两边的距离相等。
3)如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,
斜边长为c，那么
。
如果三角形的三边长a、b、c,满足 角形是直角三角形。
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角
的平分线上。
（3）如果两个三角形的对应角相等， 那么这两个三角形是全等三角形。
（4）在角的内部，角平分线上的点到两边 的距离相等
例2：如果直角三角形的两条直角边长分别是
a,b,斜边长为c，那么
。下面
哪句话能与勾股定理凑成一对互逆命题呢？
A. 如果直角三角形的三边满足 长分别为a，b,斜边长为c。
原（逆命题） 原（逆定理）
学习目标:
温故知新
判断一件事情的语句，叫做 命题 。 命题由 题设和 结论 两部分组成。 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析 才能找到，从而将命题改写成 “如果 …那么 …”的形式。 题设成立，结论也一定成立的命题叫真命题。 题设成立，结论不一定成立的命题叫 假命题。
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规律方法总结： 每一个命题都有逆命题，而一个定理 不一定有逆定理。定理和逆定理都是 真命题，而命题和逆命题却不一定是 真命题。
小结：本节课你学到了什么？
逆命题: 如果三角形三边a,b,c满足关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形
原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段 两端的距离相等。
逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上。
原命题：角平分线上的点，到这个角的两边 距离相等。
逆命题： 到角两边距离相等的点，在这个 角的平分线上。
课堂练习
1、说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题 （1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角 互余 （2）等边三角形的每个角都等于60°
(3)矩形的对角线相等
(4)两直线平行，同旁内角互补
2、举例说明下列命题的逆命题是假 命题：
（1）如果一个整数的个位数字是5， 那么这个整数能被5整除；
请同学们举出一些互逆命题，并思 考：是否原命题正确，它的逆命题 也正确呢？
说出下列命题的逆命题，ຫໍສະໝຸດ 些命题的 逆命题成立吗？ 1、两条直线平行，内错角相等。
内错角相等，两直线平行
2、如果两个实数相等，那么它们的绝对 值相等。
如果两个实数的绝对值相等，那么这两 个实数也相等
3、对顶角相等。 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
17.2.1 原（逆）命题，原（逆）定理
学习目标
1.理解原命题、逆命题、逆定理 的概念。 2.理解定理、逆定理、互逆定理 的关系。
探究一：命题与逆命题
1、什么叫做命题？
可以判断真假的语句叫做命题。 2、什么叫做逆命题？ 命题的题设和结论正好是相反的， 像这样的两个命题称为互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么 另一个叫做它的逆命题。
4、两个负数之积为正数
如果两个数之积是正数，那么这两个 数是负数
探究二：定理与逆定理 1、定理与命题有什么关系？ 2、定理一定存在逆定理吗? 3、什么是互逆定理？
写出下列定理的逆命题，并判断其能否成为原 定理的逆定理。
原命题：直角三角形两直角边a,b的平方和，等 于斜边c的平方.即 a2 b2 c2