正、余弦定理习题课共31页文档
正弦余弦定理习题课
[课堂小结] 1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正 确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解 决问题时要及时考虑另外一个定理．
2. 已知条件中既有边，又有角，解决问题的一般思路 是两种： ①利用余弦定理将所有的角转换成边后求解
②利用正弦定理将所有的边转换成角后求解．
(a2 b2 )(c2 a2 b2 ) 0
a 2 b2或c2 a 2 b2 0 a b或c 2 a 2 b2 ABC为等腰三角形或直角三 角形。
法二：由a cos A bcosB得
2RsinAcos A 2RsinBcosB
sin2A sin2B
2A 2B或2A 2B 即A B或A B
又0°＜B＜180°， ∴B＝150°.
探究问题二：三角形中的化简求值
例3：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。
解:（化角为边）由余弦定理得：
bcosC＋ccosB＝
a2
b·
b2
c2
a2 c2 b2
＋c·
2ab
2ac
a2 b2 c2 a2 c2 b2
2a
2a
a2
例3：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。
法二：由a cosB bcos A得
2RsinAcosB 2RsinBcos A
sinAcosB sinBcos A 0 即sin（A B） 0
A B
（2）a cos A bcosB
解：（2）a cos A bcosB
a
b2 (
c2
a2
)
b
a2 (
c2
b2
)
2bc
2ac
a2c2 a4 b2c2 b4 0
19正、余弦定理习题课
a ( h, k )
F（x ，y ）
、 、
、
例1. 将点A按向量 题： （1）若A (－2,1)，
a平移到A’，解答下列问 a＝(3,2)求A’点的坐标。
（2）若 a ＝(－1,2)，A(5,－8),求A’的坐标。
例2、把函数y＝2x2 的图象按 a =(1,-1)平移 后的图象的解析式为： ———————— 练习1把函数y＝－2x2+8x－6按向量 a (2,3) 平移后，求平移后函数的解析式。
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了血通眼,咱就找不到你了吗?"勇峰峰主抬头看着虚空,喃喃低声冷笑道："别忘了你再怎么变强大,都是和咱同脉相连の亲弟,你逃不出咱の血脉感应之术!""敢夺咱の画相,咱不会饶了你の,这回咱要给你好看!"原来那个神秘人,竟然是勇峰峰主の亲弟,和他是亲兄弟の关系.只是不知道他 们之间,因为壹个女人,有了什么样の冲突和纠葛.（正文叁000勇峰峰主）叁001生命体叁001根汉却丝毫不知道,在这无心峰上の这些事情.他已经在乱星海航行了三十几年了,距离前面の主星还是遥遥无期,不知道还得航行多久.好在他感应到了,自己の女人们应该没有什么事情,所以心也 就放宽了.几十年の时间,根汉从壹两星准至尊之境,壹路飙升到了九星准至尊之境,可以说是这乱星海成就了现在の他.茫茫黑暗の星空,似乎永远都是黑暗の.即使是你能看到前方の亮星,但是因为相隔太远了,始终不会是太耀眼夺目,四周似乎都是黑暗の.壹直到现在根汉也没有到达前面 の第壹颗恒星,这让他有理由相信,真要飞到那颗主星上の话,可能时间会超过千年.因为要到那里,中间必须要经过十几颗恒星,而这十几颗恒星是他目光所能看到,或者是飞船上能够观测到の部分,是不是还
正弦定理和余弦定理 习题课
例2
积为
A.9
在△ABC 中，已知 BC ＝ 6 ， A ＝ 30°， B ＝ 120°，则△ABC 的面
B.18 C.9 √ 3 D.18 3
解析
答案
反思与感悟 求三角形面积，主要用两组公式 1 (1) ×底×高. 2 (2)两边与其夹角正弦的乘积的一半. 选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求.
解析 由sin B＝2sin A，得b＝2a，
1 由△ABC 的面积为 a sin B，得 acsin B＝a2sin B， 2
解答
反思与感悟 择公式.
(1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段.
(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选
跟踪训练1 在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc. (1)求A的大小； 解 由题意知，
b2＋c2－a2 ac＋bc－ac 1 cos A＝ ＝ ＝ ， 2 2bc 2bc
跟踪训练 2
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 A
＝60° ，b＝16，此三角形的面积 S＝220 3，则 a 的值为 A.7 B.25 C.55 D.49 √
1 解析 由 S＝220 3，得 bcsin A＝220 3， 2
1 3 即 ×16×c× ＝220 3，∴c＝55. 2 2
题型探究
类型一 利用正弦、余弦定理转化边角关系 例1
解
2 在△ABC中，若c· cos B＝b· cos C，cos A＝ ，求sin B的值. 3
由c· cos B＝b· cos C，结合正弦定理，得
sin Ccos B＝sin Bcos C， 故sin(B－C)＝0，∵0<B<π，0<C<π， ∴－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c.
正、余弦定理习题课 课件
又
b＋c＝8，所以
bc＝238.∴S＝12bcsinA＝7
3
3 .
题型三 三角形中的综合问题 例 3 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB＝2，BC＝ 6，CD＝DA＝4，求四边形 ABCD 的面积．
【解析】
如图所示，连接 AC. ∵B＋D＝180°，∴sinB＝sinD. S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD
【解析】 在△ABD 中，设 BD＝x，由余弦定理，得 BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA. 即 142＝x2＋102－2·10x·cos60°. 整理得：x2－10x－96＝0， 解之：x1＝16，x2＝－6(舍去)． 由正弦定理，得sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD. ∴BC＝sin11635°·sin30°＝8 2.
【讲评】 解这类题，设出变量 x，利用方程的思想去解决 问题是关键，注意方程的增根．
1－cos2B＝4
7
3 .
∴S 四边形 ABCD＝14sinB＝8 3.
思考题 3 在△ABC 中，若 c＝4，b＝7，BC 边上的中线 AD 之长为72，求边长 a.
【思路分析】
如图所示，令 CD＝DB＝x，则 a＝2x，在△ACD 和△ACB 中，∠ACB 是公共角，两次使用余弦定理可求出 x.(解题过程中， x 暂视为已知)
【解析】 AD 是 BC 边上的中线，可设 CD＝DB＝x， ∵c＝4，b＝7，AD＝72， ∴在△ACD 中，有 cosC＝72＋2×x2－7x722. 在△ACB 中，有 cosC＝722＋×27x×2－2x42.
∴72＋2×x2－7x722＝722＋×27x×2－2x42. ∴x＝92(x＝－92舍去)，a＝2x＝9.
第一章 正弦定理和余弦定理习题课
习题课 正弦定理和余弦定理学习目标 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用；2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识；3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.1.在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A.13 B.－23 C.14D.－14解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， ∴a ∶b ∶c ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k ， 则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋4k 2－9k 212k 2＝13，故选A.答案 A2.已知△ABC 的面积S ＝a 2－(b 2＋c 2)，则cos A 等于( ) A.－4 B.1717C.±1717D.－1717解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，面积S ＝12bc sin A ＝a 2－(b 2＋c 2)，∴12bc sin A ＝－2bc cos A ，∴sin A ＝－4cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得cos A ＝－1717.故选D. 答案 D3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.解析 由c 2＝(a －b )2＋6，可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，所以：a 2＋b 2－2ab ＋6＝a 2＋b 2－ab ，所以ab ＝6；所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 3324.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°类型一 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式【例1】 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C .证明 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ， 即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ， ∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin Bsin C ，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C ，故等式成立.规律方法 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.【训练1】 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b2，求证：a ＋c ＝2b . 证明 由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ， 即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ， ∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2， 整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ， 故等式成立.类型二 利用正弦、余弦定理解三角形【例2】 在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，求sin B 的值. 解 由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得， sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴－π＜B －C ＜π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c . ∵cos A ＝23，∴由余弦定理得3a 2＝2b 2， 再由余弦定理得cos B ＝66，又0°<B <180°，故sin B ＝306.规律方法 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用.【训练2】在锐角△ABC中，b2－a2－c2ac＝cos（A＋C）sin A cos A.(1)求角A；(2)若a＝2，求bc的取值范围.解(1)由余弦定理可得：a2＋c2－b2＝2ac cos B，⇒－2ac cos Bac＝cos（π－B）sin A cos A，∴sin 2A＝1且0°<A<90°⇒A＝45°，(2)⎩⎪⎨⎪⎧B＋C＝135°，0°＜B＜90°，0°＜C＜90°⇒45°＜C＜90°，又bsin B＝csin C＝asin A＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，bc＝2sin(135°－C)·2sin C＝2sin(2C－45°)＋2，45°＜2C－45°＜135°⇒22＜sin(2C－45°)≤1，∴bc∈(22，2＋2].方向1 与三角恒等变换的综合【例3－1】设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝()A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析 根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ， 所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 可得c ＝73b ，结合余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 因为0<C <π，所以C ＝2π3. 答案 B方向2 在复杂图形中的应用【例3－2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长.解 在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，即x 2－10x －96＝0， 解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， ∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2. 方向3 与向量的综合应用【例3－3】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影.解 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝ －35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.又0＜A ＜π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去).故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.规律方法 求解正、余弦定理综合应用问题的注意点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理. (2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角函数公式列式化简的习惯.1.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解，同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15 B.－16 C.－17D.－18解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形解析 假设能作出△ABC ，不妨设高113，111，15对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（22S ）2＋（10S ）2－（26S ）22×22S ×10S ＝－23110<0，∴A 为钝角. 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________.解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边6.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4.解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理AB sin C ＝BCsin A ， 于是AB ＝sin Csin A ·BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝55， 由倍角公式得sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝2cos 2A －1＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.7.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积.解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)因为a ＝6，cos A ＝12，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又因为b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bc sin A ， 得△ABC 的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为( )A.922B.924C.928D.229解析 不妨设c ＝2，b ＝3，则cos A ＝13，sin A ＝223. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3. ∵a sin A ＝2R ，∴R ＝a sin A ＝32×223＝928. 答案 C9.已知△ABC 中，三边与面积的关系为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 243，则cos C 的值为( )A.12B.22C.32D.0解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 243＝2ab cos C 43，∴tan C ＝33，C ∈(0，π)，∴C ＝π6，∴cos C ＝32. 答案 C10.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32. 又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 答案 30°11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B＝3sin C ，则cos A 的值为________.解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得：2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得：a ＝c ，b＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.答案 3412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－（34）2＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC →＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.13.(选做题)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求角A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解(1)△ABC中，∵a cos C＋3a sin C－b－c＝0，利用正弦定理可得sin A cos C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin C，化简可得3sin A－cos A＝1，∴sin(A－30°)＝1 2，∴A－30°＝30°，∴A＝60°.(2)若a＝2，△ABC的面积为12bc·sin A＝34bc＝3，∴bc＝4 ①.再利用余弦定理可得a2＝4＝b2＋c2－2bc·cos A＝(b＋c)2－2bc－bc＝(b＋c)2－3·4，∴b＋c＝4 ②.结合①②求得b＝c＝2.。
(三)正余弦定理习题课.docx
高一数学导学案§正、余弦定理习题高一数学备课组备课教师：备课组长：备课：授课：一、三维目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其屮i边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；掌握三角形各种类型的判定方法；能够应用三角形面积定理。
过程与方法：通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：正、余弦定理在解三角形问题时，沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，使学生了解事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，培养学生从本质上寻求事物之间内在联系的能力。
二、教学重难点重点：在已知三角形的两边及其屮一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余眩定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、学法指导：通过典型题型掌握用正弦定理，余弦定理及其变形解决问题的方法。
四、知识链接1.正弦定理：2.余弦定理及其推论：五、学习过程题型一、判断三角形解的个数问题在利用正弦定理解“己知两边及其中一边的对角”的三角形时，可能有两解、一解、或无解。
例1.在AABC中，已知日,5,力，讨论三角形解的情况分析：先由sin〃二如空可进一步求出B；则C = 180°-(J + ^),从而“竺丄亠a sin^1.当A为钝角或直角时，必须a>b才能有且只有一解；否则无解。
因为从sin/二竺皿计算B时，只能取锐角的值，所以只有一解。
a2.当A为锐角时，如果日2方，这时从sin〃二竺皿计算B时，也只能取锐角的值，所以只有一解。
a如果a<b.那么可以分下而三种情况来讨论：(1)若$>Z?sin/,这时从sin〃 =加讪月计算得sinB〈l,B可以取锐角和钝角，故有两解;a(2)若a = bsinA f这时从sin〃二竺皿计算得sinB=l, B只能是直角，故有一解；(3)若ci<bsix\A ,这时从sin^ = ?sln/ 计算得 sinB>l,故无解。
正弦定理和余弦定理(习题课)
cos C＝a2＋2ba2b－c2
2．三角形中常用的面积公式
(1)S＝1ah(h 表示边 a 上的高)； 2
(2)S＝1bcsin A＝1acsinB＝1absin C；
2
2
2
(3)S＝1r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)． 2
在△ABC 中，常有以下结论
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
根,C=60°,则c=
.
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且a,b是方程x2-5x+2=0的两个
根,C=60°,则c=
.
答案
7.[2019河南安阳林州一中高二(上)期中考试]已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边, 且a2+c2-b2=ac. (1)求角B的大小; (2)若c=3a,求tan A的值.
a
b
2R
2R
题型 1 已知两角一边
题型 1 已知两角一边
abc sin A sin B sin C
题型 1 已知两角一边 答案
abc sin A sin B sin C
题型 2 已知两边一对角
题型 2 已知两边一对角
abc sin A sin B sin C
题型 2 已知两边一对角 答案
abc sin A sin B sin C
题型 2 已知两边一对角
变式：若求c边，怎么求？
题型 2 已知两边一对角
变式：若求c边，怎么求？
a2 b2 c2 2bc cos A
答案
答案
6.[2019浙江宁波镇海中学高二(上)月考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A：B∶C=1∶1∶4,则
正弦定理和余弦定理习题课
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§1.1 正弦定理和余弦定理习题课导学案
学习目标
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．
学习重难点：正弦定理和余弦定理的灵活运用
学习方法：自主、探究
已知三边求角，用定理；
已知两边和夹角，求第三边，用定理；
已知两角和一边，用定理．
π，a＝b＝
2：在△ABC中，已知A＝
6
互学
探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
π，a＝25，b＝；
①A＝
π，a，b＝
②A＝
π，a＝50，b＝.
③A＝
6
思考：解三角形中，如何判断三角形解的个数？
例：在∆ABC中，已知80
∠=︒，试判断此三角形的解的情况．
A
b=，45
a=，100
思学：
应用正弦定理和余弦定理可以解决哪些三角形问题？
测学
在△ABC中，已知a=b，45
B=，求,A C和c．
课后反思：。
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1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使Βιβλιοθήκη 渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克