数值计算上机第七题关于改进欧拉方法
改进的欧拉算法课程设计
改进的欧拉算法课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解欧拉算法的基本原理及其在数值分析中的应用；2. 掌握改进的欧拉算法的计算步骤和推导过程；3. 能够运用改进的欧拉算法解决简单的数值问题。
技能目标：1. 培养学生运用数学软件或编程语言实现改进的欧拉算法的能力；2. 提高学生分析数值问题、设计算法及解决问题的能力；3. 培养学生通过合作学习，进行算法优化和调试的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数值分析学科的兴趣，激发其探究精神；2. 增强学生的团队合作意识，学会倾听、尊重他人意见；3. 培养学生严谨、踏实的科学态度，提高其面对问题的勇气和信心。
本课程针对高年级学生，结合数值分析学科特点，注重理论知识与实践操作的结合。
通过本课程的学习，使学生能够深入理解并掌握改进的欧拉算法，培养其运用所学知识解决实际问题的能力，同时提高学生的情感态度价值观，为后续学习和工作打下坚实基础。
二、教学内容本章节教学内容以《数值分析》教材中关于改进的欧拉算法的相关章节为基础，进行以下组织：1. 回顾欧拉算法的基本原理，对比其与改进的欧拉算法的优缺点；- 教材章节：3.2 欧拉方法及其改进2. 详细讲解改进的欧拉算法的推导过程和计算步骤；- 教材章节：3.3 改进的欧拉方法3. 分析改进的欧拉算法在数值求解常微分方程中的应用；- 教材章节：3.4 数值求解常微分方程实例4. 通过实例演示，让学生动手实践改进的欧拉算法，提高其编程和解决问题的能力；- 教学实例：求解一维非线性常微分方程初值问题5. 组织课堂讨论，分析改进的欧拉算法在求解过程中的误差来源及优化方法；- 教材章节：3.5 改进的欧拉方法的误差分析6. 总结改进的欧拉算法的特点、适用范围及其在工程和科学研究中的应用。
教学内容安排和进度如下：第1-2课时：回顾欧拉算法，引入改进的欧拉算法；第3-4课时：详细讲解改进的欧拉算法的推导和计算步骤；第5-6课时：分析改进的欧拉算法在数值求解中的应用；第7-8课时：实例演示，学生动手实践；第9-10课时：课堂讨论，总结和拓展。
数值分析简明教程课后习题答案(第二版)
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
《改进Euler法》课件
实例讲解
一阶微分方程
使用改进欧拉法解决了一阶微分方程。
不同步长的对比
展示了使用不同步长时所得到的结果的对比，说明 步长对解的准确性的影响。
总结
欧拉法的局限性
欧拉法虽然精度有限，但Байду номын сангаас在数值解微分方程中使用广泛。
改进欧拉法的优势
改进欧拉法通过增加计算量等方法，提高了精度和稳定性。
根据实际情况选择方法
2 处理高阶微分方程
使用改进的欧拉方法（Improved Euler Method），利用泰勒公式对下一时刻的解做泰勒 展开，得到更精确的解。
3 防止发散
采用小步长策略或自适应步长策略，防止迭代过程中发散。
改进欧拉法示意图
改进欧拉法迭代过程
展示了改进欧拉法的迭代过程和与欧拉法的区别。
更靠近真实解
通过计算得到更靠近真实解的值，提高了解的准确 性。
改进Euler法
通过本次PPT课件，我们将学习改进Euler法，一种数值解微分方程的方法， 通过迭代逼近真实解，提高精度和稳定性。
什么是Euler法？
Euler法是一种数值解微分方程的方法，通过迭代逼近真实解。然而，它存在精度有限、不能处理高阶微分方 程和容易发散等问题。
改进的方法
1 提高精度
使用龙格-库塔方法，在算法中增加计算量来提高精度。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适合的数值解法。
改进欧拉法公式
改进欧拉法公式
拓扑学中欧拉公式的证明
用数学归纳法证明
( 1)当 r= 2时，由表明 1,这两个区域可以想象为以赤道为边界的两个半球面，
赤道上存有两个“顶点” 将赤道分为两条“边界”，即为 r= 2，v= 2，e= 2；于是 r+
v- e= 2,欧拉定理设立.。
( 2)设r= m(m≥ 2)时欧拉定理成立，下面证明 r= m+ 1时欧拉定理也成立。
由表明 2，我们在 r= m+ 1的地图上自由选择一个区域 x ,则 x 必存有与它如此相连的区域 y ，使在换成 x 和 y 之间的唯一一条边界后，地图上只有 m 个区域了；在
换成 x 和 y 之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界
的顶点，则该顶点留存，同时其他的边界数维持不变;若原该边界一端的或两端的顶
点现在沦为 2条边界的顶点，则换成该顶点 ,该顶点两边的两条边界便沦为一条边界。
于就是 ,在换成 x 和 y之间的唯一一条边界时只有三种情况：
①减少一个区域和一条边界；
②增加一个区域、一个顶点和两条边界；
③减少一个区域、两个顶点和三条边界；
即为在换成 x 和 y 之间的边界时 ,不论何种情况都必定存有“增加的区域数 + 增
加的顶点数 = 增加的边界数”我们将上述过程反过来 (即将 x 和 y之间换成的边界又
照曝光原样图画上 ) ，就又沦为 r= m+ 1的地图了，在这一过程中必然就是“减少的
区域数 + 减少的顶点数 = 减少的边界数”。
因此，若r= m (m≥2)时欧拉定理成立，则 r= m+ 1时欧拉定理也成立.。
由 ( 1)和 ( 2)所述 ,对于任何正整数r≥2,欧拉定理设立。
复变函数中欧拉公式的证明。
欧拉法,改进欧拉法,斐波那契法原理及流程图
1欧拉法求微分方程方法说明欧拉(Euler)法是解常微分方程初值问题(4.1)最简单的数值方法，其具体做法是，将区间[a，b]进行N等分：，步长.并将式(4.1)写成等价的积分形式（4.2）再对式(4.2)右端积分用矩形公式计算，则有, (4.3)在式(4.3)右端取，舍去余项。
则得,作为的近似值。
在式(4.3)右端取，舍去余项，则得作为的近似值．一般地，在式(4.3)右端取舍去余项，则得(4.4)作为的近似值．式(4.4)为欧拉法计算公式．我们知道微分方程的解是平面上的一族积分曲线，这族曲线中过点的积分曲线就是初值问题式(4.1)的解．欧拉法的几何意义是，过点引斜率为的积分曲线的切线，此切线与直线的交点为，再过点引以为斜率的切线与直线的交点为，依此类推，从出发，作以为斜率的切线，此切线与直线交点为．于是便得到过点的一条折线，见图4.1．过的积分曲线则用此折线来代替．因此，这种方法亦称折线法．图4.1例：用欧拉法求微分方程[]2',(0)1,0.1,0,1x y y y h y 区间为=-==欧拉法流程图如下:欧拉法程序如下： clear;clc;x1=0; x2=1; h=0.1; x0=0; y0=1;N=(x2-x1)/h;%要计算的次数 x(1)=x0; y(1)=y0; for n=1:Nx(n+1)=x(n)+h;y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n)); end X=x Y=y2改进欧拉法求微分方程方法说明由于欧拉法采用矩形公式计算积分产生较大截断误差．改进欧拉法(又称改进折线法)是采取梯形公式来计算式(4.3)右端积分，则有（5.1）在式(5.1)右端取，舍去余项，则得将作为的近似值．在式(5.1)右端再取，舍去余项，则得将作为的近似值．一般地，在式(5.1)右端取，舍去余项．则得(5.2)将作为的近似值．式(5.2)为改进欧拉法计算公式．流程图如下：例：用改进欧拉法求微分方程[] 2',(0)1,0.1,0,1xy y y hy区间为=-==改进欧拉法程序如下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=0.1;x0=0;y0=1;p(1)=0;N=(x2-x1)/h;x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:Nx(n+1)=x(n)+h;y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1));y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1))/2;endX=xY=y3斐波那契法求极值方法说明斐波那契法原理类似于黄金分割法，只是搜索区间的缩短率不再采用黄金分割数0.618。
改进Euler法
y0 ?
h 6
(
K1
?
2K2 ? 2K3 ?
K4)
n ? N ? 1; N
x1 ? x0, y1 ? y0
n? N?
Y
结束
输出 x1,y1
例题4
例4 求(3阶、4阶R ? K公式 )解初值问题 (步长 h ? 0.1)
? ?
y??
?
y?
2x y
?? y(0) ? 1
(0 ? x ? 1)
解 f (x, y) ? y ? 2x / y
f ( x , y( x ))dx ?
xn
2
f ( x n , y( x n )) ? f ( x n?1, y( x n?1 )) ? O(h3 )
?
yn?1 ?
yn ?
h 2
[
f
(
x
n
,
yn
)
?
f ( x n? 1 , yn? 1 )]
梯形格式
梯形格式是显式 Euler 格式与隐式 Euler 格式的 算术平均
平均化形式：
? y p ? yn ? hf ( xn , yn )
? ?? yc ? yn ? hf ( x n?1, y p )
? ? yn?1 ?
?
1 2
(
y
p
?
yc )
?? y( x0 ) ? y0
? 改进 Euler 方法计算框图 开始
输入 x0 , y0 , h, b
n?1
x1 ? x0 ? h
K 2 ? f ( xn ? ph , yn ? phK1 ) ? f ( xn , yn ) ? phf x ( xn , yn ) ? phK1 f y ( xn , yn ) ? O(h2 ) ? y ?( x n ) ? phy ??( x n ) ? O ( h 2 )
改进欧拉公式的计算步骤计算步骤求解常微分方程公式计算步骤
改进欧拉公式的计算步骤计算步骤求解常微分方程公式计算步骤欧拉公式是数学中的一个重要公式，可以通过以下步骤进行改进的计算：1.确定要计算的欧拉公式的参数：欧拉公式表达式为e^(ix) =cos(x) + i·sin(x)，其中i是虚数单位，x是角度或弧度。
2.根据要计算的具体角度或弧度，将x代入欧拉公式中。
3.计算cos(x)和sin(x)的值：根据输入的角度或弧度，使用三角函数表或计算器来求解cos(x)和sin(x)的数值。
4.将cos(x)和sin(x)的值代入欧拉公式：将步骤3中计算得到的cos(x)和sin(x)的数值代入欧拉公式中。
5.求解e^(ix)的值：根据欧拉公式，将cos(x)和sin(x)的数值代入，计算e^(ix)的数值。
6.得到最终的结果：最终的计算结果即为e^(ix)的数值。
对于求解常微分方程的公式，以下是一般的计算步骤：1.确定常微分方程的类型和阶数：常微分方程可以是一阶或高阶的。
确定方程中的未知函数以及其导数的阶数。
2.将常微分方程转化为标准形式：对于高阶方程，可以将其转化为一系列一阶方程的组合。
简化方程的形式，将其转化为常微分方程的标准形式。
3.确定初始条件：对于一阶常微分方程，需要提供一个初始条件，即未知函数在某个特定点的值。
对于高阶方程，需要提供多个初始条件。
4.选择合适的数值解法或解析解法：根据方程的性质和复杂度，选择适合的数值解法（例如欧拉法、龙格-库塔法等）或解析解法（例如分离变量法、变量可分离的方程等）。
5.进行数值计算或解析求解：根据选择的方法，进行数值计算或解析求解。
对于数值解法，将方程离散化，并进行迭代计算。
对于解析解法，根据方程的性质和求解技巧，进行代数计算。
6.验证和分析解的结果：对求解得到的结果进行检验和分析，确保它们满足初始条件和方程的性质。
在需要的情况下，对结果进行进一步的数值模拟和分析。
欧拉公式的改进
精度低 精度低, 计算量大 计算量大 多一个初值, 可能影响精度
Can’t you givethink me a formula Do OK, you Well, callyet mewithout greedy… let’s with all the advantages any it possible? make it of the disadvantages? possible.
最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
y i +1 K1 K2 K3 K4 = = = = = yi + h ( K1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ) 6 f ( xi , yi ) h f ( xi + h , y + K1 ) i 2 2 f ( xi + h , yi + h K2 ) 2 2 f ( x i + h, yi + hK 3 )
Step 2: 将 K2 代入第1式，得到
yi +1 = yi + h 1 y( xi ) + 2[ y( xi ) + phy( xi ) + O( h2 )] = yi + (1 + 2 )h y( xi ) + 2 ph2 y( xi ) + O( h3 )
§2 Runge-Kutta Method
Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较
yi +1 = yi + (1 + 2 )h y( xi ) + 2 ph2 y( xi ) + O(h3 )