数值计算方法上机实习题

数值计算方法上机实习题
1． 设⎰+=1
05dx x
x I n
n ， （1） 由递推公式n
I I n n 1
51+
-=-，从I 0=0.1824, 0=0.1823I 出发，计算20I ； （2） 20=0I ，20=10000I , 用n
I I n n 51
5111+-
=--，计算0I ；
（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。

答：第一个算法可得出
e 0=|I 0−I 0
∗| e n =|I n −I n ∗|=5n |e 0|
易知第一个算法每一步计算都把误差放大了5倍，n 次计算后更是放大了5n 倍，可靠性低。

第二个算法可得出
e n =|I n −I n ∗| e 0=(15
)n
|e n |
可以看出第二个算法每一步计算就把误差缩小5倍，n 次后缩小了5n 倍，可靠性高。

2． 求方程0210=-+x e x
的近似根，要求41105-+⨯<-k k x x ，并比较计算量。

（1） 在[0，1]上用二分法；
计算根与步数程序：
fplot(@(x) exp(x)+10*x-2,[0,1]); grid on; syms x;
f=exp(x)+10*x-2; [root,n]=EFF3(f,0,1);
fprintf('root=%6.8f ,n=%d \n',root,n);
计算结果显示：
root=0.09057617 ,n=11
（2） 取初值00=x ，并用迭代10
21
x k e x -=+；
（3） 加速迭代的结果;
（4） 取初值00 x ，并用牛顿迭代法；
（5）分析绝对误差。

答：可以看到，在同一精度下，二分法运算了11次，题设迭代算式下运算了4次，加速迭代下运算了2次，牛顿迭代下运算了2次。

因不动点迭代法和二分法都是线性收敛的，但二分法压缩系数比题设迭代方法大，收敛速度较慢。

加速迭代速度是超线性收敛，牛顿法是二阶，收敛速度快。

3．钢水包使用次数多以后，钢包的容积增大，数据如下：
试从中找出使用次数和容积之间的关系，计算均方差。

（用
ax b
y
c x
+
=
+
拟合）
构造函数子程序：
function delta=delta1(f,x,y)
a=f(1);
b=f(2);
c=f(3);
delta=0;
for k=1:15
delta=delta+((x(k)+c)*y(k)-(a*x(k)+b))^2;
end
计算结果显示：
拟合出的方程为:(x+-0.7110)y=11.2657x+-15.5024
均方差为:0.33165089
总结：
指标选择，因题设方程为非线性的，要转化为线性方程故需提指标为：
其驻点方程为:计算结果显示：
4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----------------=410100141010014101101410010141001014A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=625250b ，b x =A
分析下列迭代法的收敛性，并求42
110-+≤-k k x x 的近似解及相应的迭代次数。

（2） GAUSS-SEIDEL 迭代；
5．用逆幂迭代法求⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111123136A 最接近于11的特征值和特征向量，准确到3
10-。

6．用经典R-K 方法求解初值问题
（1）⎩⎨⎧-+-='++-='x x y y y x y y y sin 2cos 22sin 22212211
，]10,0[∈x ，
⎩⎨
⎧==3
)0(2
)0(21y y ；
（2）⎩⎨⎧-+-='++-='x x y y y x y y y sin 999cos 999999998sin 22212
211
，]10,0[∈x ，
⎩⎨
⎧==3)0(2
)0(2
1y y 。

和精确解⎩⎨⎧+=+=--x
e x y x
e x y x
x cos 2)(sin 2)(21比较，进行误差分析得到结论，图形显示精确解和数值解。

计算结果显示：
(1)Ode 23的题1
(2)Ode 3的题2
(3)Ode 45的题1
(4)Ode 45的题2
7．用有限差分法求解边值问题（h=0.1），并图形显示。

⎩⎨
⎧==-=+-''1
)1()1(0
)1(2y y y x y .。