数值计算方法上机实习题

数值计算方法上机实习题

1． 设⎰+=1

05dx x

x I n

n ， （1） 由递推公式n

I I n n 1

51+

-=-，从I 0=0.1824, 0=0.1823I 出发，计算20I ； （2） 20=0I ，20=10000I , 用n

I I n n 51

5111+-

=--，计算0I ；

（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 答：第一个算法可得出

e 0=|I 0−I 0

∗| e n =|I n −I n ∗|=5n |e 0|

易知第一个算法每一步计算都把误差放大了5倍，n 次计算后更是放大了5n 倍，可靠性低。 第二个算法可得出

e n =|I n −I n ∗| e 0=(15

)n

|e n |

可以看出第二个算法每一步计算就把误差缩小5倍，n 次后缩小了5n 倍，可靠性高。

2． 求方程0210=-+x e x

的近似根，要求41105-+⨯<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法；

计算根与步数程序：

fplot(@(x) exp(x)+10*x-2,[0,1]); grid on; syms x;

f=exp(x)+10*x-2; [root,n]=EFF3(f,0,1);

fprintf('root=%6.8f ,n=%d \n',root,n);

计算结果显示：

root=0.09057617 ,n=11

（2） 取初值00=x ，并用迭代10

21

x k e x -=+；

（3） 加速迭代的结果;

（4） 取初值00 x ，并用牛顿迭代法；

（5）分析绝对误差。

答：可以看到，在同一精度下，二分法运算了11次，题设迭代算式下运算了4次，加速迭代下运算了2次，牛顿迭代下运算了2次。因不动点迭代法和二分法都是线性收敛的，但二分法压缩系数比题设迭代方法大，收敛速度较慢。加速迭代速度是超线性收敛，牛顿法是二阶，收敛速度快。

3．钢水包使用次数多以后，钢包的容积增大，数据如下：

试从中找出使用次数和容积之间的关系，计算均方差。（用

ax b

y

c x

+

=

+

拟合）

构造函数子程序：

function delta=delta1(f,x,y)

a=f(1);

b=f(2);

c=f(3);

delta=0;

for k=1:15

delta=delta+((x(k)+c)*y(k)-(a*x(k)+b))^2;

end

计算结果显示：

拟合出的方程为:(x+-0.7110)y=11.2657x+-15.5024

均方差为:0.33165089

总结：

指标选择，因题设方程为非线性的，要转化为线性方程故需提指标为：

其驻点方程为:计算结果显示：

4．设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛----------------=410100141010014101101410010141001014A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=625250b ，b x =A

分析下列迭代法的收敛性，并求42

110-+≤-k k x x 的近似解及相应的迭代次数。

（2） GAUSS-SEIDEL 迭代；

5．用逆幂迭代法求⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=111123136A 最接近于11的特征值和特征向量，准确到3

10-。

6．用经典R-K 方法求解初值问题

（1）⎩⎨⎧-+-='++-='x x y y y x y y y sin 2cos 22sin 22212211

，]10,0[∈x ，

⎩⎨

⎧==3

)0(2

)0(21y y ；

（2）⎩⎨⎧-+-='++-='x x y y y x y y y sin 999cos 999999998sin 22212

211

，]10,0[∈x ，

⎩⎨

⎧==3)0(2

)0(2

1y y 。 和精确解⎩⎨⎧+=+=--x

e x y x

e x y x

x cos 2)(sin 2)(21比较，进行误差分析得到结论，图形显示精确解和数值解。

计算结果显示：

(1)Ode 23的题1

(2)Ode 3的题2

(3)Ode 45的题1

(4)Ode 45的题2

7．用有限差分法求解边值问题（h=0.1），并图形显示。

⎩⎨

⎧==-=+-''1

)1()1(0

)1(2y y y x y .