江苏省南京市南师附中2019~2020学年第二学期期末调研试题高二数学试题
江苏省南京市2019-2020学年高二第二学期期末数学达标测试试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．3y x =B ．1ln|x |y = C ．sin y x = D ．||2x y =2．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和小于}，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．14．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为( ) A ．0.85 B ．0.819 2C ．0.8D ．0.755．数列中，则，则A ．B ．C ．D ．6．如图，CD ，BE 分别是边长为4的等边ABC ∆的中线，圆O 是ABC ∆的内切圆，线段OB 与圆O 交于点F .在ABC ∆中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A 3πB ．18π C 3π D 3π 7．(2)(3)1i i i++=+（ ）A ．5B ．5iC ．6D ．6i22A ．54B ．52C ．5D ．109．已知二项式2(*)nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-10．设a ，b ，c 都为正数，那么，用反证法证明“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（ ） A ．这三个数都不大于2 B ．这三个数都不小于2 C ．这三个数至少有一个不大于2 D ．这三个数都小于211．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，且(1)0f -=，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有'()()x f x f x ⋅>成立，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,0)(1,)B ．(1,0)(0,1)-C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(,1)(1,)-∞-+∞12．给出以下四个说法：①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程0.212ˆy x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是()A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③二、填空题：本题共4小题13．若指数函数()y f x =的图象过点(2,4)-，则(3)f =__________. 14．已知111()123f n n=++++.经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______. 15．在ABC 中，已知1tan 2tan tan A B A-=，则cos(2)A B -的值为________. 16．已知()()321233f x x mx m x =++++在R 上不是．．单调增函数，那么实数m 的取值范围是____．17．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另外15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另外30人比较粗心. （I ）试根据上述数据完成22⨯列联表：（II ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.18．已知().（1）当时,判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为,求的值；（3）若在上恒成立，试求的取值范围.19．（6分）四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中. (1)若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法? (2)恰有一个空盒的放法共有多少种? 20．（6分）已知(1(nx m +是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含x 项的系数为84.(1)求,m n 的值； (2)求(()11nxx +-的展开式中有理项的系数和.21．（6分）已知过点(),0P a 的直线l 的参数方程是312x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试问是否存在实数a ，使得6PA PB +=且4AB =？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由.22．（8分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为160人、120人、n 人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表队有6人.（1）求n 的值；（2）把到前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖.求a 或b 没有上台抽奖的概率.（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[]0,1之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
南京市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题含解析
南京市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-【答案】A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f(x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．若()()()6620126111112x a a x a x a x ⎛⎫= ++-+⎭-+⎪⎝+-，i a ∈R ，i =0，1，2，3，…，6，则()0166a a a a +++的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，采用赋值法，令2x =得0123664a a a a a +++++=，再将原式化为()613122x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦根据二项式定理的相关运算，求得6164a =，从而求解出正确答案． 【详解】在()()()6620126111112x a a x a x a x ⎛⎫= ++-+⎭-+⎪⎝+-中，令2x =得0123664a a a a a +++++=，由()6611311222x x ⎛⎫⎡⎤+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得6164a =，故()01661a a a a +++=．故答案选C ． 【点睛】本题考查二项式定理的知识及其相关运算，考查考生的灵活转化能力、分析问题和解决问题的能力． 3．设()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数，当()0,x ∈+∞时，()()20xf x f x -'>，则不等式()()()242019201920f x x f +-+-<的解集为（ ）A ．(),2021-∞-B ．()()2021,20192019,2017----C ．()2021,2017--D ．()(),20192019,2017-∞---【答案】B 【解析】 【分析】 设()()2f x F x x=，计算()0F x '>，变换得到()()20192F x F +<-，根据函数()F x 的单调性和奇偶性得到20192x +<，解得答案. 【详解】由题意()()()200xf x f x x '->>，得()()220x f x xf x '->，进而得到()()2420x f x xf x x'->，令()()2f x F x x =， 则()()()2420x f x xf x F x x'-'=>，()()224f F --=，()()()2201920192019f x F x x ++=+. 由()()()242019201920f x x f +-+-<，得()()()22019242019f x f x +-<+， 即()()20192F x F +<-.当()0,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x ∴在()0,∞+上是增函数. 函数()f x 是偶函数，()()2f x F x x∴=也是偶函数，且()F x 在(),0-∞上是减函数， 20192x ∴+<，解得20212017x -<<-，又20190x +≠，即2019x ≠-，()()2021,20192019,2017x ∴∈----.故选：B . 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数()()2f x F x x =，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.4．函数()f x =的最大值为（ ）A ．5 BC ．1D ．2【答案】B 【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数()f x 的最大值.详解：由柯西不等式得222(12)+≥，≤=即x=65时取最大值） 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设a b c d ,,,均为实数，则 22222()()()a b c d ac bd ≥+++，其中等号当且仅当ad bc =时成立.5．在一个6×6的表格中放3颗完全相同的白棋和3颗完全相同的黑棋，若这6颗棋子不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 A ．14400种 B ．518400种C ．720种D ．20种【答案】A 【解析】根据题意，在6×6的棋盘中，第一颗棋子有6×6种放法，由于任意两颗棋子不在同一行且不在同一列，则第二颗棋子有5×5种放法，第三颗棋子有4×4种放法，第四颗棋子有3×3种放法，第五颗棋子有2×2种放法，第六颗棋子有1种放法， 又由于3颗黑子是相同的，3颗白子之间也是相同的，故6颗棋子不同的排列方法种数为664433221144003333A A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种； 故选A.点睛：在排列组合问题中，遇见元素相同的排列时，一般可以将两个元素看作不同元素，排列结束后除以相同元素的全排列即可，比如有两个元素相同即除以22A ，如三个元素相同即除以33A .6．设a R ∈，函数32()(3)f x x ax a x =-++的导函数是()f x '，若()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（ ） A ．3y x =-B ．2y x =-C ．3y x =D ．2y x =【答案】C 【解析】 【分析】先由求导公式求出()f x '，根据偶函数的性质求出a ，然后利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程． 【详解】()2()323f x x ax a '=-++，因为()f x '是偶函数，所以()()f x f x ''-=，即()()()22323323x ax a x ax a -+++=-++ 解得0a =，所以3()3f x x x =+，2()33f x x '=+， 则(0)3k f '==，所以切线方程为3y x = 故选C 【点睛】本题主要考查利用导函数求曲线上一点的切线方程，属于基础题．7．已知函数()(ln )()xe f x k x x k R x=-+∈，如果函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是 A ．(]0,1 B ．(],1-∞ C ．(],e -∞ D ．[),e +∞【答案】C 【解析】分析：求函数()f x 的导函数，并化简整理，结合函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点进行讨论即可.详解：函数()f x 的定义域为(0, +∞)∴()()()22111x x x x e kx xe e f x k x x x ---⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭①当0k ≤时，0x e kx ->恒成立，令()'0fx >，则1x >，即()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减， 则()f x 在1x =处取得极小值，符合题意； ②当0k >时，1x =时'0f x，又函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，∴()f x 在1x =处取得极值.从而0x e kx ->或0x e kx -<恒成立， 构造函数()(),xh x e g x kx ==，()x h x e '=，设()g x kx =与()xh x e =相切的切点为()00,x x e，则切线方程为()000x x y ee x x -=-，因为切线过原点，则()00000xx e e x -=-，解得01x=，则切点为()1,e 此时k e =. 由图可知：要使0x e kx ->恒成立，则k e ≤. 综上所述：(],k e ∈-∞. 故选：C.点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．8．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件=A {两次掷的玩具底面图案不相同}，B ={两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则()P B A =（ ） A ．712B ．512C ．12D ．1112【答案】C【解析】 【分析】利用条件概率公式得到答案. 【详解】336()1616P AB +== 412()11616P A =-=()()1()2P AB P B A P A ==故答案选C 【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力. 9．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数【答案】D 【解析】 【分析】将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-z 的虚部为1-，A 错误；z ，B 错误；1z i =+，C 错误；()2212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题. 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9C ．18D ．27【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .∵23109a a a ++=∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()272a a S ⨯+==故选D.11．已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作垂直于实轴的弦PQ ，若12PF Q π∠=，则C 的离心率e 为（ ）A 1 BC 1D 2+【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到关于a,c 的齐次式，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】由双曲线的通径公式可得22b PF a=，由12PFQ π∠=结合双曲线的对称性可知1PFQ △是等腰直角三角形， 由直角三角形的性质有：212PF F F =，即：22b c a =，据此有：222c a ac -=，2210e e --=，解得：1e =双曲线中1e >，故C 的离心率e 1. 本题选择C 选项. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 12．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ） A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤． C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥【答案】C 【解析】试题分析：2121'()2(ln )2(ln )2a f x x x a x x x x -=-+⋅=-，当2120a x e-<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，同理当212a x e->时，()f x 单调递增，212121()()2a a f x f ee a --==-+最小，显然不等式212a e a ->有正数解（如1a =，（当然可以证明0a >时，21102a e a --+≤）），即存在0a >，使()0f x <最小，因此C 错误．考点：存在性量词与全称量词，导数与函数的最值、函数的单调性． 二、填空题：本题共4小题13．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-，其中0x >，若a 与b 共线，则yx的最小值为__________．【答案】【解析】 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵()1,a x =， (),2b x y =-，其中0x >，且a 与b 共线 ∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴222y x xx x x+==+≥2x x =即x 时取等号∴yx的最小值为. 【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目. 14．若不等式321032a a x x -+<有且只有1个正整数解，则实数a 的取值范围是______. 【答案】()6,+∞ 【解析】 【分析】令()32132a a f x x x =-+（0x >），求出()()21f x ax ax ax x '=-=-，由导数研究函数()f x 的单调性，可得唯一的正整数解是什么，从而得出a 的范围． 【详解】 令()32132a a f x x x =-+（0x >），则()()21f x ax ax ax x '=-=-. 当0a <时，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >； 所以()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，不合题意，舍去； 当0a =时，有10<，显然不成立；当0a >时，由()0f x '>得1x >；由()0f x '<得01x <<； 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，依题意，需()()110,3284210,32a a f a a f ⎧=-+<⎪⎪⎨⎪=-+≥⎪⎩解得6a >，故实数a 的取值范围是()6,+∞. 【点睛】本题考查不等式的正整数解，实质考查用导数研究函数的单调性．掌握用导数研究函数单调性的方法是解题关键．15．已知函数()212sin f x x =-在点,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线为l ，则直线l 、曲线()f x 以及y 轴所围成的区域的面积为__________．【答案】21162π-【解析】 【分析】先利用二倍角公式化简函数f （x ）的解析式，利用导数求出该点的斜率，然后求出切点的坐标，得出切线的方程，最后根据定积分即可求出直线l 、曲线f （x ）以及y 轴所围成的区域的面积． 【详解】∵f （x ）=1﹣2sin 2x=cos （2x ），f （4π）=0，∴切点坐标为了（4π，0）． 又f′（x ）=﹣2sin2x ．∴f′（4π）=﹣2， 切线的斜率 k=﹣2，∵切线方程为：y=﹣2（x ﹣4π）， 即y=﹣2x +2π， 所以直线l 、曲线f （x ）以及y 轴所围成的区域的面积为：24240011(2cos 2)(sin 2)|222162x x dx x x x πππππ-+-=-+-=-⎰. 故答案为：21162π-．【点睛】（1）本题主要考查定积分的计算，考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用定积分求曲边梯形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 图中阴影部分的面积S=12[()()]baf x f x dx -⎰.16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.【答案】()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年江苏省南京市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
2019-2020学年江苏省南京市数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知向量(2,1)a =--r ，(3,2)b =r ，则2a b =-r r （ ） A ．(6,4)-- B ．(5,6)--C ．(8,5)--D ．(7,6)--【答案】C 【解析】 【分析】由已知向量的坐标运算直接求得2a b -r r 的坐标．【详解】∵向量a =r（-2，﹣1），b =r（3，2），∴2(2,1)2(3,2)(8,5)a b -=---=--r r.故选C. 【点睛】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题. 2．下列命题中正确的是（ ） A ．1y x x=+的最小值是2 B ．2y =的最小值是2C ．()4230y x x x =-->的最大值是2-D ．()4230y x x x=-->的最小值是2-【答案】C 【解析】 因为A.1y x x=+的最小值是2，只有x>0成立。
B.2y =的最小值是2 ，取不到最小值。
C.()4230y x x x =-->的最大值是2-D.()4230y x x x=-->的最小值是2-，不成立。
故选C3．已知奇函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，若123a f log ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2log (sin )7b f π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()0.30.2c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数性质()()f x f x -=-，将a 转化成()11222log 3log 3log 3a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用单调性比较函数值大小，先比较自变量的大小，再根据增函数，即可比较函数值的大小关系. 【详解】根据题意，()f x 为奇函数，则()11222log 3log 3log 3a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由0.322log (sin)00.21log 37π<<<<，又由()f x 在(,)-∞+∞上是增函数， 则有b c a <<， 故选：D. 【点睛】比较指数值或对数值时可以跟1或0进行比较再排列出大小顺序. 4．区间[0，5]上任意取一个实数x ，则满足x ∈[0，1]的概率为 A ．15B ．45C ．56D ．14【答案】A 【解析】 【分析】利用几何概型求解即可. 【详解】由几何概型的概率公式得满足x ∈[0，1]的概率为10155-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+【答案】D【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D. 6．设离散型随机变量X 的分布列如右图，则()2E X =的充要条件是（ ）X1 2 3P1p 2p 3pA ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p == 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由题设及数学期望的公式可得123131231232p p p p p p p p ++=⎧⇔=⎨++=⎩，则2EX =的充要条件是13p p =．应选答案B ．7．已知函数1,0,()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，2()414g x x x λ=-++，若关于x 的方程[()]f g x λ=有6个不相等的实数解，则实数λ的取值范围是（ ） A ．2(0,)5B ．2(0,)3C ．21(,)52D ．12(,)23【答案】A 【解析】令g(x)=t,则方程f(t)=λ的解有3个，由图象可得，0<λ<1.且三个解分别为1231,1,10t t t λλλ=--=-+=，则224141,4141x x x x λλλλ-++=---++=-+，241410x x λλ-++=，均有两个不相等的实根，则△1>0,且△2>0,且△3>0，即16−4(2+5λ)>0且16−4(2+3λ)>0,解得205λ<<， 当0<λ<25时,△3=16−4(1+4λ−10λ)>0即3−4λ+10λ>0恒成立， 故λ的取值范围为(0,25).故选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．8．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B C 1 D 1【答案】A 【解析】 【分析】利用点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点()0,A c ，且A 在椭圆上，得b c =，即得椭圆C 的离心率；【详解】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上， 即22b c =，∴c b =，∴椭圆C 的离心率e ===． 故选A ． 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．9．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p =（ ）A ．110B ．215 C ．16 D ．15【答案】B 【解析】试题分析：记“系统A 发生故障、系统B 发生故障”分别为事件A 、B ，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件C ，则119()()()()()(1)(1)8840P C P A P B P A P B p p =+=-⋅+-=，解得215p =，故选B ． 考点：对立事件与独立事件的概率． 10．已知函数()212ln 2f x x ax x =+-，则“43a >”是“对任意121,[,2]3x x ∈，且12x x ≠，都有( )1212()()0f x f x x x ->-成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】对任意121,,23x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立， 则函数在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()221'0x ax f x x +-=≥在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2210x ax +-≥在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，2112x a x x x-∴≥=-，由函数的单调性可得：在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上max 11181333x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭, 即842,33a a ≥≥， 原问题转化为考查“43a >”是“43x ≥”的关系，很明显可得： “43a >”是“对任意121,,23x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立”充分不必要条件. 本题选择A 选项.11．如图所示，阴影部分的面积为（）A．12B．1 C．23D．76【答案】B【解析】如图所示x轴与函数2y x x=-围成的面积为12S S S=+112232110002232221111111[0()]()()323261111115()()843232326S x x dx x x dx x xS x x dx x x=--=-+=-+=-+==-=-=⨯-⨯-+=⎰⎰⎰,因此12151,66S S S=+=+=故选B.12．函数234xy x=-+的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】324x x=+，如图，由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，则球的表面积为________________．【答案】【解析】试题分析：设平面截球所得球的小圆半径为,则,由解得，所以球的表面积.考点：球的表面积．【名师点睛】球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是一个圆面，如果截面过球心，则截面圆半径等于球半径，如果截面圆不过球心，则截面圆半径小于球半径，设截面圆半径为，球半径为，球心到截面圆距离为，则．在圆中也有类似的性质．解题时注意应用．14．已知x 、y 满足约束条件1022010x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，若目标函数()()20z a x y a =++>的最大值为13，则实数a =______. 【答案】1 【解析】 【分析】在平面直角坐标系内,画出不等式组所表示的平面区域.平移直线()=2y a x z -++,找到使直线()=2y a x z -++在纵轴上的截距最大时,所经过的点坐标,把这个点的坐标代入目标函数解析式中，可以求出a 的值. 【详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域如下图所示：平移直线()=2y a x z -++,∵0a >，所以当直线经过点A 时, 直线()=2y a x z -++在纵轴上的截距最大,解方程组：03(3,4)2204x y x A x y y -+==⎧⎧⇒∴⎨⎨--==⎩⎩,把点()3,4A 的坐标,代入目标函数中，()13234a =+⋅+,解得1a =.故答案为：1 【点睛】本题考查了已知目标函数的最值求参数问题,正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键. 15．直线l 为曲线ln y x =，(0,1)x ∈的一条切线，若直线l 与抛物线2()1f x x =+相切于点(,())t f t ，且(,1)t n n ∈+，n ∈N ，则n 的值为________.【答案】1 【解析】 【分析】分别根据两曲线设出切线方程，消去其中一个变量，转换为函数零点问题 【详解】设切线l 与曲线ln y x =的切点为()(),ln ,0,1m m m ∈，则切线l 的方程为()1ln y m x m m-=- 又直线l 是抛物线2()1f x x =+的切线，故切线l 的方程为()()212y t t x t -+=-12t m ∴=且2ln 11m t -=-+，消去m 得21ln 112t t-=-+，即()2ln 220t t -+=，12t >设()()21ln 22,2g x x x x =-+>，则()21122x g x x x x-'=-=令()0g x =，则12x =222x =-()g x ∴在122⎛ ⎝⎭，上递增，此时102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，122⎛ ⎝⎭，上无零点；()g x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递减，可得()10g >，()20g <()1,2x ∴∈时，()0g x =有解，即()1,2t ∈时符合题意，故1n =【点睛】本题考察利用导数研究函数的单调性，利用导数求切线方程及零点存在性定理的应用。
江苏省南京师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期数学期末模拟试卷
2019-2020学年度第二学期模拟试卷高二年级数学考试时间：120分钟 满分150分一、 单项选择题（本大题共9小题，每小题5分）1．设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(>1)= ，则P(-1<<0)= （ ）A ．B.1- C ．1-2 D ．2.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 ( )A ．57.2,3.6B ．57.2,56.4C ．62.8,63.6D ．62.8,3.63．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线//b 平面α，则直线//b 直线a ” ．结论显然是错误的，这是因为（ ）A ．大前提错误B ．推理形式错误C ．小前提错误D ．非以上错误4. 在一次射击训练中，某战士向标靶射击两次，命题p 表示“第一次射击击中标靶”；命题q 表示“第二次射击击中标靶”,则()()p q ⌝∨⌝表示的命题为( )A. 两次射击恰有一次未击中标靶 B ．两次射击至少有一次未击中标靶 C. 两次射击均未击中标靶 D ．两次射击至多有一次未击中标靶 5. 有以下命题： ①命题“使”的否定是“,x R ∀∈ 210x x ++≥”．②椭圆的离心率为e ，则e 越接近于1，椭圆越扁；e 越接近于0，椭圆越圆.③不是奇函数的函数的图像不关于原点对称 其中，错误．．的命题的个数是( ) A. 3B. 2C. 1D. 06. 据预测中国未来10年期间的年均通货膨胀率(物价平均水平的上涨幅度)为10%,已知某种商品，它的价格P (单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系: ()20(110%)tP t P =+其中0P 为0t =时的物价,已知10t =时，价格上涨的变化率．．．为51111()ln 1010()单位：元/年则(2)P =( )元 A ．1110 B ．2210 C ．1111ln 10 D ． 1122ln 107.在二项式(12)nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则n ＝( ) A ．6 B ．8 C ．7或9 D ．10 8.设函数1,0()log (2),0a ax x f x x x --≤⎧=⎨+>⎩ 若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a的取值范围为1111A. (,)[1,)B. [,1)C. (0,)D. (0,)(1,)2222-∞⋃+∞⋃+∞9.“2log (23)1x -<”是“48x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）10．设点F 、直线l 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点、右准线，点P 是椭圆C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，椭圆C 的离心率为e ，则d ＞2PF 的充分不必要条件有( ) A ．e ∈(0，12) B ．e ∈(18，14) C ．e ∈(14，12) D ．e ∈(12，1) 11、甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1,σ 12)，N(μ2,σ 22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( ) A. 甲类水果的平均质量为0.4 kgB. 甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99 12、关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．函数yf x x 有且只有1个零点．B ．2x =是()f x 的极大值点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．已知随机变量X 服从正态分布N(10，2σ)，σ＞0，且P(X ≤16)＝0.76，则P(4＜X ≤10)的值为 ．14.如图，在矩形ABCD 中， AB ＝3， AD ＝4，圆M 为△BCD 的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________15. 有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为__________16. 某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 元. 三、解答题：（共70 分）17.为了了解高二年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少?18.已知的二项展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1.（1）求二项展开式中各项系数的和；（2）求二项展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.(2)设ξ表示这名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求ξ的分布列与数学期望.21.已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y＝f(x−1)是偶函数．2（1）求f（x）的解析式；（2）已知t<2，g（x）=[f（x）- x2-13].|x|,求函数g(x)d [t,2]上的最大值和最小值（3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．22.近些年随着我国国民消费水平的升级,汽车产品已经逐渐进入千家万户,但是我国的城市发展水平并不能与汽车保有量增速形成平衡,城市交通问题越发突出,因此各大城市相继出现了购车限号上牌的政策某城市采用摇号买车的限号上牌方式，申请人提供申请,经审查合格.后，确认申请编码为有效编码，这时候就可以凭借申请编码参加每月-次的摇号.假设该城市有20万人参加摇号,每个月有2万个名额,每个月摇上的人退出摇号,没有摇.上的人继续下个月摇号.(1)平均每个人摇上号需要多长时间?(2)如果每个月都有2万人补充进摇号队伍，以每个人进入摇号的月份算第一个月，他摇到号的月份设为随机变量X.(i)证明:{P(X=n)}(n∈N+ ,1≤n≤35)为等比数列;(i)假设该项政策连续实施36个月，小王是第一个月就参加摇号的人,记小王参.加摇号的次数为Y,试求Y 的数学期望(精确到0.01).参考数据:0.934=0. 028, 0. 935=0.025.高二数学期末模拟参考答案01-05 DDABD 06-09 BBDA 10 BC 11 ABC 12 AD 填空题13. 0.26 14. 116 15.31016. 36800 17.（1）由频率分布直方图能求出第二小组的频率，由频率=得到样本容量=频数容量（2）由频率分布直方图能估计该学校高一学生的达标率．第二小组频数第二小组频率(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为2+4+17+15+9+34=0.08, 又因为频率=频数容量，所以样本容量=第二小组频数第二小组频率=120.08=150 (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为： 2+4+17+15+9+317+15+9+3×100%=88% 18. 解：（1）解得n=8（2）法一：写出二项展开式的所有项， 观察比较即得系数最大的项为由二项式系数的性质知二项式系数最大的项为法二：设的系数最大则r 是偶数时系数为正，可知，r 取2，4，6. 又由，得，r=6，展开式中系数最大的项为二项式系数最大的项为19.20.21.)是偶函数,所以二次函数f(x)= x2+bx+c的对称轴方程为x=−12，故b=1.(1)因为函数y=f(x−12又因为二次函数f(x)= x2+bx+c的图象过点(1,13)，所以1+b+c=13，故c=11.因此,f(x)的解析式为f(x)= x2+x+11.(2)由题意可得g(x)=(x−2)⋅|x|,当x⩽0时,g(x)=− (x−1)2 +1,当x >0时,g (x )= (x −1)2−1， 由此可知g (x )在[t ,2]上的最大值 g (x )max=g (2)=0.当1⩽t <2,g (x )min=g (t )=t 2−2t . 当1−√2⩽t <1,g (x )min=g (1)=−1. 当t <1−√2,g (x )min=g (t )=−t 2+2t . (3)如果函数y =f (x )的图象上存在符合要求的点，设为P (m , n 2)，其中m 为正整数,n 为自然数,则m 2+m +11=n 2， 从而4n 2−(2m +1)2 =43， 即[2n +(2m +1)][2n −(2m +1)]=43.注意到43是质数,且2n +(2m +1)>2n −(2m +1),2n +(2m +1)>0，所以有[2n +(2m +1)=432n −(2m +1)=1,解得m =10 n =11..因此,函数y =f (x )的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121).22.(1)设每个人摇上号的时间为个月，则ξ=1.2.3…10 且P （ξ=1）=220=110P （ξ=2）=（1-110）∗19=110P （ξ=3）=（1-110）∗（1−19）* 18=110….P （ξ=10）=（1-110）∗（1−19）*…（1-12)* 11=110所以E （ξ）=110∗（1+2+3+⋯+10）=112=5.5即平均每个人摇上号需要时间为5.5个月（2）（I ）每个月的摇号中恰有110的概率援上 则有P （X=a ）=（1−110）x−1*110= 110*(910）x−1所以P （X=a ）≠0,且p(xn+1)p(x=n)=110∗910）x 110∗910）x−1 =910故{p(x=n)}n ∈N +1<n ≤35)为等比数列(ii)由(i)可知，当n ≤35时,P(X=n)=P （Y=n ）=(910)33故Y 的数学期望为。
2019-2020学年江苏省南京市数学高二(下)期末达标测试试题含解析
2019-2020学年江苏省南京市数学高二(下)期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．179︒是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B 【解析】 【分析】利用象限角的定义直接求解，即可得到答案． 【详解】由题意，1791801︒︒︒=-，所以179︒表示第二象限角，故选B ． 【点睛】本题主要考查了角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．2．某地区一次联考的数学成绩X 近似地服从正态分布2(85,)N σ，已知(122)0.96P X ≤=，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩小于48分的样本个数大约为（ ） A ．4 B ．6C ．94D ．96【答案】A 【解析】分析：根据正态分布的意义可得(122)0.04,(48)0.04P X P X >=<=即可得出结论.详解：由题可得：(122)0.04,P X >=又对称轴为85，故(48)0.04P X <=，故成绩小于48分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.点睛：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题关键是要知道(48)0.04P X <=.3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．2B ．4C ．442+D ．642+【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积. 【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱， 所以其体积为121222⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征. 4．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤【答案】C 【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C ． 5．已知函数()f x '是偶函数()f x （x ∈R 且0x ≠）的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使不等式()0f x <成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,2)(0,2)-∞-U B ．(2,0)(0,2)-U C ．(2,0)(2,)-+∞U D ．(,2)(2,)-∞-+∞U【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()()f x g x x=，利用导数得到，()g x 在(0,)+∞是增函数，再根据()f x 为偶函数，根据(2)0f -=，解得()0f x <的解集． 【详解】 解：令()()f x g x x=， 2()()()xf x f x g x x '-∴'=，0x Q >时，()()0xf x f x '-<， 0x ∴>时，()0g x '<，()g x ∴在(0,)+∞上是减函数，()f x Q 是偶函数(2)(2)0f f -==∴ g ∴（2）(2)02f ==，当02x <<，()g x g >（2）0=，即()0f x >，当2x >时，()g x g <（2）0=，即()0f x <，()f x Q 是偶函数， ∴当2x <-，()0f x <，故不等式()0f x <的解集是(,2)(2,)-∞-+∞U ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决，属于中档题．6．复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】2(1)1z i i i i i =+=+=-+，故对应的点在第二象限.7．已知()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中0a >，若13945a =-，则a 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】根据()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及13945a =-，即可求得a 的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-， 又由()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-，所以()()()2151501215[(1)(1)]111a x a a x a x a x --++-=+-+-+⋅⋅⋅+-， 其中0a >，由13945a =-，可得：1321315[(1)]945a C a =-⋅-+=-，即2105(1)945a -+=-，即2(1)9a +=，解得2a =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 8．已知复数312z i=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．3655i + B ．3655i - C ．1255i - D ．1255i + 【答案】B 【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，再由共轭复数的概念得答案. 详解：Q ()()()31233612121255i z i i i i +===+--+， ∴3655z i =-. 故选：B.点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.9．设函数21223,0()1log ,0x x f x x x -⎧+≤=⎨->⎩，若()4f a =，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．18C ．12或18D ．116【答案】B 【解析】分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.详解：因为()4f a =，所以2121log 423400a a a a 或--=⎧+=⎧⎨⎨>≤⎩⎩所以11182800a a a a a ⎧⎧==⎪⎪∴=⎨⎨⎪⎪≤>⎩⎩或 选B.点睛：求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10．若复数z满足22i1iz-=+，其中i为虚数单位，则z=A．1i-B．1i+C．1i-+D．1i--【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算法则化简21i+，由此可得到复数z【详解】由题可得22(1)2(1)11(1)(1)2i iii i i--===-++-；∴22i=111iz i z i -=-⇒=++；故答案选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算法则，属于基础题。
2019-2020学年南京市数学高二第二学期期末达标检测试题含解析
2019-2020学年南京市数学高二第二学期期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i(1i)1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-【答案】A 【解析】 由题意可得：()2111111222221ii z i i i i --===-=--+， 则1122z i =-+，据此可得，z 的虚部为12. 本题选择A 选项.2．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、 二辩、三辩、 四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（ ） A ．14种 B ．16种 C ．20种 D ．24种【答案】D 【解析】五人选四人有455C =种选择方法，分类讨论： 若所选四人为甲乙丙丁，有22224A A ⨯=种； 若所选四人为甲乙丙戊，有1122228C C A ⨯⨯=种； 若所选四人为甲乙丁戊，有1122228C C A ⨯⨯=种；若所选四人为甲丙丁戊，有122C =种； 若所选四人为乙丙丁戊，有122C =种； 由加法原理：不同组队方式有4882224++++=种.3．设x ，y 满足约束条件2411x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．1【答案】B 【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出可行解域，在可行解域内，平行移动直线y x z =-，直至当直线在纵轴上的截距最大时，求出此时所经过点的坐标，代入目标函数中求出z 的最小值. 【详解】在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图：在可行解域内，平行移动直线y x z =-，当直线经过点A 时，直线在纵轴上的截距最大，点A 是直线1x =和直线122y x =-+的交点，解得13(1,)322x A y =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，min 31122z ∴=-=-，故本题选B.【点睛】本题考查了线性规划求目标函数最小值问题，正确画出可行解域是解题的关键.4．2021年起，新高考科目设置采用“312++”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的问题，某校抽取了部分男、女学生调查选科意向，制作出如右图等高条形图，现给出下列结论： ①样本中的女生更倾向于选历史； ②样本中的男生更倾向于选物理； ③样本中的男生和女生数量一样多；④样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量. 根据两幅条形图的信息，可以判断上述结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】分析条形图，第一幅图从性别方面看选物理历史的人数的多少，第二幅图从选物理历史的人数上观察男女人数的多少， 【详解】由图2知样本中的男生数量多于女生数量，由图1有物理意愿的学生数量多于有历史意愿的学生数量，样本中的男生更倾向物理，女生也更倾向物理，所以②④正确， 故选：B. 【点睛】本题考查条形图的认识，只要分清楚条形图中不同的颜色代表的意义即可判别．5．正项等比数列{}n a 中，2018201620172a a a =+，若2116m n a a a =，则41m n +的最小值等于（ ） A ．1 B ．35C ．136D ．32【答案】D 【解析】分析：先求公比，再得m,n 关系式，最后根据基本不等式求最值.详解：因为2018201620172a a a =+，所以2202q q q q =+>∴=Q ， 因为2116m n a a a =，所以211211216246m n a a m n m n -+-=∴+-=∴+=， 因此414114143()(5)(5),6662m n n m n m m n m n m n m n ++=+=++≥+⋅= 当且仅当24m n ==时取等号 选点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6．设集合{2,1,0,1,2}A =--,{1,0,1}B =-,22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C 中元素的个数为( ) A ．11 B ．9C ．6D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得出：x 从1-,0,1任选一个；或者x 从2-,2任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果． 【详解】解：根据条件得：x 从1-,0,1任选一个,y 从而1-,0,1任选一个,有9种选法；2x =-或2时,0y = ,有两种选法；共11种选法；∴C 中元素有11个．故选A ． 【点睛】本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型. 7．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数()f x 1()x D ∈和偶函数()g x 2()x D ∈,使得函数()()f x g x 12()x D D ∈I 是偶函数； 命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数, 但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =0()x D ∈处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值. 那么真命题的个数是 ( )． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】对于命题1，取()()0f x g x ==，x ∈R ，满足题意； 对于命题2，取()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞，满足题意； 对于命题3，取2()()f x g x x ==-，x ∈R ，满足题意； 即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是3.本题选择D 选项.8．以下说法中正确个数是（ ）①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；<成立，只需证22<；③用数学归纳法证明2231111n n a a a a a a++-+++++=-L （1a ≠，n ∈+N ，在验证1n =成立时，左边所得项为21a a ++；④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可。
江苏省南京市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题含解析
江苏省南京市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,2]-C ．[1,2]-D ．[2,5] 2．设()1122031a 3,1,242-==-=⎰b x dx c ln ,则（ ） A ．a<b 〈c B ．b<a<c C ．c 〈a 〈b D ．c<b 〈a3．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为( )A ．90B ．60C ．120D ．1104．已知随机变量ξ服从正态分布()22018,(0)N σσ>，则(2018)P ξ<等于（ ） A ．11009 B ．12018 C ．14 D ．125．已知a ，b ，()0,c ∈+∞，则下列三个数1a b +，4b c +，9c a +（ ） A ．都大于4B ．至少有一个不大于4C ．都小于4D ．至少有一个不小于46．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．在数列|{}n a 中，()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭由此归纳出{}n a 的通项公式 B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B 是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒ 7．命题:10p x ->；命题2:60q x x --<.若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则实数x 的取值范围是（ ）A ．13x <<B ．21x -<≤或3x ≥C ．21x -<<或3x ≥D ．21x -<<或3x >8．5(12)(2)x x --的展开式中，3x 的系数是（ ）A ．160B ．-120C ．40D ．-2009．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线()20,N σ的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．123σσσ<<B ．132σσσ<<C ．213σσσ<<D ．321σσσ<<10．岳阳高铁站1B 进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（ ）种A ．24B ．36C ．42D ．6011．下列说法错误的是( )A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程0.2 0.8y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.2个单位D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小12．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ）A ．3iB ．3i -C ．3D ．3-二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有________种.14．随机变量ξ的分布列如下： ξ1- 0 1 Pa 13 c 若()3E ξ=，则()D ξ=__________. 15．设集合{}1,2,3,5A =，{}1,B t =，若B A ⊆，则t 的所有可能的取值构成的集合是_______； 16．在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且1MN =，若，()32MN AD BC ⋅-=，则AB CD ⋅的值为________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图所示：在底面为直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=︒，SA ⊥面ABCD ，E 、F 分别为SA 、SC 的中点.如果2AB BC ==，1AD =，SB 与底面ABCD 成60︒角.（1）求异面直线EF 与CD 所成角的大小（用反三角形式表示）；（2）求点D 到平面SBC 的距离.18．证明下列不等式.（1）当1a >时，求证：2110a a a ---+>；（2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：2322a b +≥+.19．（6分）已知函数()sin f x a x x =-在0x =处的导数为0.（1）求a 的值和(||)f x 的最大值；（2）若实数13m >，对任意[0,]2x π∈，不等式()(3cos 2)f x m x x ≥-恒成立，求m 的取值范围. 20．（6分）已知集合{0,1,2}M =，函数()y f x =的定义域为{1,2,3,4}D =，值域为A .（1）若A M =，求不同的函数()y f x =的个数；（2）若A M ⊆，（ⅰ）求不同的函数()y f x =的个数；（ⅱ）若满足(1)(2)(3)(4)4f f f f +++=，求不同的函数()y f x =的个数.21．（6分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的所有棱长都为1，求点A 到平面1A BD 的距离.22．（8分）已知关于x 的方程x 2+kx +k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】【分析】函数()f x 在2x =时取得最大值4,在5x =或1-时得()5f x =-,结合二次函数()f x 图象性质可得m 的取值范围.【详解】二次函数()24f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线. 最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-.结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[]1,2-．故选:C ．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质,考查数形结合思想的应用,属于中档题.2．D【解析】分析：先对a,b,c,进行化简，然后进行比较即可. 详解：31033111()|,ln 24322a b x x c ==-==，又 22111ln 2ln 1,,234e c a b a b<=⇒<==⇒>故c b a <<，故选D.点睛：考查对指数幂的化简运算，定积分计算，比较大小则通常进行估算值的大小，属于中档题. 3．D【解析】【分析】用所有的选法共有310C 减去没有任何一名女生入选的组队方案数35C ，即得结果【详解】所有的选法共有310C 种其中没有任何一名女生入选的组队方案数为：35C故至少有一名女生入选的组队方案数为3310512010110C C -=-= 故选D【点睛】本题主要考的是排列，组合及简单计数问题，考查组合的运用，处理“至少有一名”类问题，宜选用间接法，是一道基础题。
南京市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题含解析
南京市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞ C ．()2,4- D ．(][),24,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y+的最小值,进而求解即可. 【详解】由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.2．已知集合{}{}1,2,3,4,5,5,8,9A B ==，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（ ） A ．8 B ．12 C ．14D ．15【答案】C 【解析】分析：根据解元素的特征可将其分类为：集合中有5和没有5两类进行分析即可.详解：第一类：当集合中无元素5：11428C C =种，第二类：当集合中有元素5：1142+6C C =种，故一共有14种，选C点睛：本题考查了分类分步计数原理，要做到分类不遗漏，分步不重叠是解题关键. 3．2只猫把5只老鼠捉光,不同的捉法有( )种. A ．25B ．52C ．25CD ．25A【解析】分析：利用乘法分步计数原理解决即可.详解：由于每只猫捉老鼠的数目不限，因此每一只老鼠都可能被这2只猫中其中一只捉住，由分步乘法计数原理，得共有不同的捉法有52种. 故选：B.点睛：(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．4．已知直线:0l x y m --=经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，若6AB =，则p 的值为（ ） A ．12B ．32C ．1D ．2【答案】B 【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为(,0)2p，则由题意，得2p m =①．又由20{2x y m y px --==，得222()0x p m x m -++=，所以222[2()]46AB p m m =+-=②，由①②得32p =，故选B ． 考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式． 5．已知是函数的导函数，将和的图象画在同一个平面直角坐标系中，不可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 根据的正负与单调性间的关系，即可逐项判断出结果.因为是函数的导数，时，函数单调递增；时，函数单调递减；A 中，直线对应，曲线对应时，能满足题意；B 中，轴上方曲线对应，轴下方曲线对应，能满足题意；C 中，轴上方曲线对应，轴下方曲线对应，能满足题意； D 中，无论轴上方曲线或轴下方曲线，对应时，都应该是单调函数，但图中是两个不单调的函数，显然D 不满足题意. 故选D 【点睛】本题主要考查函数与导函数图像之间的关系，熟记导函数与导数间的关系即可，属于常考题型. 6．A 、B 、C 、D 、E 、F 六名同学站成一排照相，其中A 、B 两人相邻的不同排法数是（ ） A ．720种 B ．360种 C ．240种 D ．120种【答案】C 【解析】 【分析】先把A 、B 两人捆绑在一起，然后再与其余四人全排列即可求出A 、B 两人相邻的不同排法数. 【详解】首先把把A 、B 两人捆绑在一起，有22212A =⨯=种不同的排法，最后与其余四人全排列有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种不同的排法，根据分步计算原理，A 、B 两人相邻的不同排法数是52521202240A A =⨯=，故本题选C.【点睛】本题考查了全排列和分步计算原理，运用捆绑法是解题的关键.7．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84【答案】A 【解析】由正态分布的特征得(0)P ξ≤＝1(4)10.840.16P ξ-≤=-=，选A. 8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a = A ．19B ．19-C ．13D ．13-【解析】设公比为q,则22411111111109,99a a q a q a q a q a q a ++=+⇒==∴=，选A. 9．一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是，则该物体在时的瞬时速度是 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度。
南京市名校2019-2020学年数学高二下期末监测试题含解析
南京市名校2019-2020学年数学高二下期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．直线23y x =--与曲线2194x xy -=的公共点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】分析：由于已知曲线函数中含有绝对值符号， 将x 以0为分界进行分类讨论，当x≥0时，曲线为焦点在y 轴上的双曲线，当x<0时，曲线为焦点在y 轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数，详解：当x ≥0时，方程2194x x y -=化为22194y x -=；当x<0时，2194x xy -=化为22194y x +=，所以曲线2194x xy -=是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形，结合图像可知，直线23y x =--与曲线2194x xy -=的公共点的个数为2故答案选B点晴：本题主要考查了学生对直线与圆锥曲线相交的掌握情况，熟练掌握椭圆，双曲线的区别，然后利用数形结合即可解决本题2．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(85,115)内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.1C ．0.125D ．0.5【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可得到所求概率． 【详解】由题意得，区间()85,115关于100μ=对称， 所以()1(85115)1150.1252P P ξξ-<<≥==，即该生成绩高于115的概率为0.125．本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所给区间用已知区间表示，并根据曲线的对称性进行求解，考查数形结合的应用，属于基础题．3．已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】分析：由复数的运算，化简得到z ，由实部与虚部的和为1，可求得a 的值． 详解：因为2iz ai =+所以2222221ai i ai a iz a i i i ++-+====-- 因为复数z 的实部与虚部和为1 即()21a +-= 所以3a = 所以选D点睛：本题考查了复数的基本运算和概念，考查了计算能力，是基础题．4．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）附表：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828则下列选项正确的是（ ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响分析：根据列联表中数据利用公式求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论. 详解：根据卡方公式求得()223081281020101218K -==⨯⨯⨯，27.89710.828K <<Q ，∴该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.5．设sin a xdx π=⎰，则二项式8(展开式的常数项是（ ） A ．1120B ．140C ．-140D ．-1120【答案】A 【解析】 【详解】分析：利用微积分基本定理求得2a =，先求出二项式8⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式的常数项. 详解：由题意()00sin cos |2a xdx x ππ==-=⎰，∴二项式为8⎛⎝，设展开式中第r 项为1r T +，(()88418812rrr r r r r r T C C x ---+⎛∴==-⋅⋅ ⎝， 令40-=r ，解得4r =，代入得展开式中可得常数项为()4448121120C -⋅=，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6．下列函数中既是奇函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（ ）A ．y ＝22x x --B ．y ＝x 2+1C ．y ＝x13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．y ＝1x【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可得到符合题意的函数． 【详解】对于A ，y ＝f （x ）＝2x ﹣2﹣x 定义域为R ，且f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数，当x ＜0时，由y ＝2x ，y ＝﹣2﹣x 递增，可得在区间（﹣∞，0）上f （x ）单调递增，故A 正确； y ＝f （x ）＝x 2+1满足f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数，故B 不满足条件； y ＝f （x ）＝（13）|x|满足f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数，故C 不满足题意； y 1x=为奇函数，且在区间（﹣∞，0）上f （x ）单调递减，故D 不满足题意． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，考查判断能力，属于基础题．7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两曲线的一个公共点，且1260F PF ︒∠=，若椭圆离心率12e =，则双曲线2C 的离心率2e =（ ）A B C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得1e ，2e 的关系，计算可得所求值． 【详解】设1||PF s =，2||PF t =，P 为第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-，在三角形12F PF 中，1260F PF ∠=︒，可得22222222242cos6022()c s t st a m am a m am a m =+-︒=++++---， 即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即为2212134e e +=，由1e =2e =，故选B ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p q ≠，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[15,)+∞B ．[6,)+∞C ．(6,15]D ．(15,)+∞【答案】A 【解析】 分析：首先，由()()11f p f q p q+-+-的几何意义，得到直线的斜率，然后得到函数图象上在区间()1,2内任意两点连线的斜率大于1，从而得到()211af x x x =->+'在()1,2内恒成立，分离参数后，转化成2231a x x >++在()1,2内恒成立，从而求解得到a 的取值范围.详解：Q()()11f p f q p q+-+-的几何意义为：表示点()()1,1p f p ++与点()()1,1q f q ++连线的斜率，Q 实数p ，q 在区间()0,1，故1p +和1q +在区间()1,2内，不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，∴函数图象上在区间()1,2内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在()1,2内恒成立，由函数的定义域知1x >-，()211af x x x ∴=->+'在()1,2内恒成立， 即2231a x x >++在()1,2内恒成立，由于二次函数2231y x x =++在()1,2上是单调增函数，故2x =时，2231y x x =++在()1,2上取最大值为15，15a ∴≥.故选：A.点睛：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题.9．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ） A ．3 B ．22C ．12D ．3 【答案】A 【解析】分析：利用椭圆定义2PEF ∆的周长为12PE 2a PF EF +-+，结合三点共线时，1PE PF -的最小值为1EF -，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：2PEF ∆的周长为2212PE PE 2PF EF a PF EF ++=+-+21212a PE 2a 2a 4b EF PF EF EF =++-≥+-==，∴213e 1142c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 10．如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()g x kx m =+ (0)m >，则函数()()()F x g x f x =-（ ）A ．有极小值，没有极大值B ．有极大值，没有极小值C ．至少有两个极小值和一个极大值D ．至少有一个极小值和两个极大值【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，讨论直线y kx =与曲线()y f x =在切点两侧()f x 的导数与k 的大小关系，从而得出()F x 的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论． 【详解】如图，由图像可知，直线y kx =与曲线()y f x =切于a ，b ， 将直线向下平移到与曲线()y f x =相切，设切点为c ，当x a <时，()f x 单调递增，所以有'()0f x >且()()f x f a k ''>=．对于()()()F x g x f x =-=()kx m f x +-，有()()0F x k f x ''=-<，所以()F x 在x a <时单调递减；当a x c <<时，()f x 单调递减，所以有'()0f x <且()()f x f a k ''<=．有()()0F x k f x ''=->，所以()F x 在a x c <<时单调递增； 所以x a =是()F x 的极小值点．同样的方法可以得到x b =是()F x 的极小值点，x c =是()F x 的极大值点． 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于中档题． 11．定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列{}n a u u v 是以()11,3a =u v 为首项，公差()1,0d =v 的等差向量列.若向量n a u u v与非零向量()()*1,n n n b x x n +=∈N u u v ）垂直，则101=x x （ ） A ．44800729B ．4480243C ．44800729-D ．4480243-【答案】D 【解析】 【分析】先根据等差数列通项公式得向量n a u u r，再根据向量垂直得递推关系，最后根据累乘法求结果.【详解】由题意得1(1)(1,3)(1)(1,0)(,3)n a a n d n n =+-=+-=u u r u r u r， 因为向量n a u u r与非零向量()()*1,n n n b x x n +=∈N u r ）垂直，所以11033n n n n nx nx x x ++=∴=-+ 因此10109219819814480=()()()333243x x x x x x x x =⋅⋅⋅--⋅⋅-=-L L 故选：D 【点睛】本题考查等差数列通项公式、向量垂直坐标表示以及累乘法，考查综合分析求解能力，属中档题.12．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·PF PF =A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得122PF PF -=①,又01212260F F c F PF ==∠=,由余弦定理2221212128PF PF PF PF F F +-==②，由①2-②得124PF PF =，故选B ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．21(21)x dx +=⎰_______.【答案】4 【解析】分析：利用微积分基本定理直接求解即可. 详解：()()()()122222212211 4.1x dx x x⎰+=+=+-+=即答案为4.点睛：本题考查微积分基本定理的应用，属基础题.14．在我校2017年高二某大型考试中，理科数学成绩2~90)(0)N ξσσ（，＞，统计结果显示60120)0.8P ξ≤≤=（ .假设我校参加此次考试的理科同学共有2000人，那么估计此次考试中我校成绩高于120分的人数是___________. 【答案】200 【解析】∵月考中理科数学成绩2900N ξσσ～（，）（＞），统计结果显示601200.8Pξ≤≤=（）， ∴估计此次考试中，我校成绩高于120分的有()110.820002002⨯-⨯=人． 点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.15．已知向量(2,,3)a λ=r，(4,2,)b μ=-r（λ，μ为实数），若向量a r，b r共线，则λμ+的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量a r，b r共线，结合两向量的坐标，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】因为量(2,,3)a λ=r，(4,2,)b μ=-r 共线，所以存在实数t ，使得a tb =rr ， 则有2423tt t λμ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得：16λμ=-⎧⎨=⎩，因此5λμ+=. 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查由空间向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.16．已知函数()()()2111x x x f x e x ⎧->-⎪=⎨≤-⎪⎩，，，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围为__________.【答案】1,2e ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】作出函数f （x ）的图象，设f （a ）=f （b ）=t ，根据否定，转化为关于t 的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可． 【详解】作出函数f （x ）的图象如图：设f （a ）=f （b ）=t ，则0＜t≤1e，∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，则f（a）=e a=t，f（b）=2b﹣1=t，则a=lnt，b=12（t+1），则a﹣2b=lnt﹣t﹣1，设g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤1e，函数的导数g′（t）=1t﹣1=1tt-，则当0＜t≤1e时g′（t）＞0，此时函数g（t）为增函数，∴g（t）≤g（1e）=ln1e﹣1e﹣1=﹣1e﹣2，即实数a﹣2b的取值范围为（﹣∞，﹣1e﹣2]，故答案为：（﹣∞，﹣1e﹣2]．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，ABCD是正方形，O是该正方体的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点.（1）求证：//PA平面BDE；（2）求证：BD⊥平面PAC.【答案】证明见解析．【解析】试题分析：（1）要证PA与平面EBD平行，而过PA的平面PAC与平面EBD的交线为EO，因此只要证//PA EO即可，这可由中位线定理得证；（2）要证BD垂直于平面PAC，就是要证BD与平面PAC内两条相交直线垂直，正方形中对角线BD 与AC 是垂直的，因此只要再证BD PO ⊥，这由线面垂直的性质或定义可得．试题解析：证明：（1）连接EO ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴O 为AC 的中点，∵E 是PC 的中点，∴OE 是APC ∆的中位线.∴//EO PA ，∵EO ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴//PA 平面BDE.（2）∵PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PO BD ⊥，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥，∵PO AC O ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .考点：线面平行与线面垂直的判断． 18．已知函数.[来源:学科网] （1）当时，解不等式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：（1）当1a =时，()21f x x x =-+-，根据绝对值的几何意义按1x <，12x ≤≤，2x >分类讨论得到：()231112232x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，然后分区间解不等式1232x x <⎧⎨-+≤⎩或1212x ≤≤⎧⎨≤⎩或2232x x >⎧⎨-≤⎩，得到的范围分别为112x ≤<或12x ≤≤或522x <≤，所以15,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）根据绝对值不等式的性质：a b a b -≤+，()()222x x a x x a a -+-≥---=-，则由()2f x ≥，转化为22a -≥，所以22a -≥或22a -≤-，则4a ≥或0a ≤。
南京市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题含解析
南京市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若实数，x y 满足条件1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x =+的最小值为A ．13B ．12C ．34D ．1【答案】B【解析】分析：作出约束条件的平面区域，易知z=1y x +的几何意义是点A （x ，y ）与点D （﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得． 详解：由题意作实数x ，y 满足条件1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩的平面区域如下，z=1y x +的几何意义是点P （x ，y ）与点D （﹣1，0），连线的直线的斜率，由1x y x=⎧⎨=⎩，解得A （1，1） 故当P 在A 时，z=1y x +有最小值， z=1y x +=12．故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查线性规划和斜率的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)2121y y x x --表示两点1122(,),(,)x y x y 所在直线的斜率. 2．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元【答案】C【解析】【分析】 由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=， 样本点的中心的坐标为()2,22， 代入ˆˆa yb x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得 6.56948(y =⨯+=万元)．故选：C ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．3．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1 6.5PF =，则2PF 等于（ ）． A ．0.5B ．12.5C ．4或10D ．0.5或12.5 【答案】D【解析】由230x y +=，可得23y x =-， 又由题意得双曲线的渐近线方程为2y x a =±， ∴223a = ∴3a =， 根据双曲线的定义可得126PF PF -=， ∴20.5PF =或212.5PF =．经检验知20.5PF =或212.5PF =都满足题意．选D ．点睛：此类问题的特点是已知双曲线上一点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离，实质上是考查双曲线定义的应用．解题时比较容易忽视对求得的结果进行验证，实际上，双曲线右支上的点到左焦点的最小距离为c a +，到右焦点的最小距离为c a -．同样双曲线左支上的点到右焦点的最小距离是c a +，到左焦点的最小距离是c a -．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A 1B 成60°角的异面直线一一列出，即得答案．【详解】在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A 1B 异面且夹角成60°的直线有：AD 1，AC ，D 1B 1，B 1C ，共4条．故选B ．【点睛】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题． 5．在三棱锥P-ABC 中，PB BC =，3PA AC ==，2PC =，若过AB 的平面α将三棱锥P-ABC 分为体积相等的两部分，则棱PA 与平面α所成角的正弦值为（ ）A ．13B ．23C ．23D ．23【解析】【分析】由题构建图像，由PA AC =，PB BC =想到取PC 中点构建平面ABD ，易证得PC ⊥平面ABD ，所以PA 与平面α所成角即为PAD ∠，利用正弦函数定义，得答案.【详解】如图所示，取PC 中点为D 连接AD ，BD ，因为过AB 的平面α将三棱锥P-ABC 分为体积相等的两部分，所以α即为平面ABD ；又因为PA AC =，所以PC AD ⊥，又PB BC =，所以PC BD ⊥，且AD BD D =I ，所以PC ⊥平面ABD ，所以PA 与平面α所成角即为PAD ∠，因为2PC =，所以1PD =， 所以1sin 3PD PAD PA ∠==． 故选：A【点睛】本题考查立体几何中求线面角，应优先作图，找到或证明到线面垂直，即可表示线面角，属于较难题. 6．下列关于回归分析的说法中，正确结论的个数为（） （1）回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点中(),x y ； （2）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精度越高；（3）残差平方和越小的模型，拟合效果越好；（4）用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】利用回归分析的相关知识逐一判断即可回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点中(),x y ，故（1）正确 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精度越高，故（2）错误残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故（3）正确用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好，故（4）正确所以正确结论的个数为3故选：B【点睛】本题考查的是回归分析的相关知识，较简单.7．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=u u u r u u u u r ，0PQ AM ⋅=u u u r u u u u r ，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ= 【答案】D【解析】分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程． 详解：把点P 的极坐标π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标为3（，）， 故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ，化为极坐标方程为1sin ρθ=，故选D ．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题． 9．已知集合{}1,2,3,4,{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B ⋂=（ ） A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}【答案】D【解析】因为集合B 中，x∈A，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.10．下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递减的函数是（ ）A ．2x y =B ．y x =C ．y x =D ．21y x =-+ 【答案】D【解析】【分析】由奇函数和偶函数图象的对称性，根据2x y =的图象和y x =的定义域便可判断出,A B 错误，而由y x =的单调性便可判断选项C 错误，从而得出D 正确．【详解】A 选项：根据2x y =的图象知该函数非奇非偶，可知A 错误；B 选项：y x =的定义域为[)0,+∞，知该函数非奇非偶，可知B 错误；C 选项：()0,x ∈+∞时，y x x ==为增函数，不符合题意，可知C 错误；D 选项：()2211x x -+=+，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在()0,∞+上单调递减，可知D 正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于基础题．11．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现【答案】C【解析】【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置．【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,L ，由于22441936,452025==，2244201945<<，所以故2019是第45行的倒数第4个数，所以数字2019的位置为（45,42）．故选C ．【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．（2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．12．函数21()3ln 42f x x x x =-+的递增区间为（ ） A ．(0,1)，(3,)+∞B ．(1,3)C ．(,1)-∞，(3,)+∞D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】分析：直接对函数求导，令导函数大于0，即可求得增区间.详解：()()()13340x x f x x x x--=-+=>'，013x x ⇒<或，∴ 增区间为()()013+∞，，，. 故答案为A.点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，需要注意的是函数的单调区间一定是函数的定义域的子集，因此求函数的单调区间一般下，先求定义域；或者直接求导，在定义域内求单调区间.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则+a b 的最大值为 ．【答案】4【解析】构造如图所示长方体，长方体的长、宽、高分别为，则，，，，所以。