多元线性回归方程的建立
第四章多元线性回归方程
多元回归模型 三变量线性回归模型 多元线性回归模型的若干假定 多元线性回归模型的估计与假设检验
一、多元回归模型
多元回归模型(Multiple Regression Model)：
包含多个解释变量的回归模型。 多元指有多种因素（即变量）对因变量有影响。
实际上，许多回归模型都是多元回归模型， 因为很少有经济现象能够仅用一个解释变 量能解释清楚。
Y ：进口量；X1:个人消费支出； X2:进口价格/国内价格
美国对酒精饮料的需求
为了解释美国对酒精饮料的需求， T.McGuinness根据20年的年数据得到下 面结果： Y=-0.0140.354X1+0.0018X2+0.657X3+0.0059X4 se=(0.012)(0.2688)(0.0005)(0.266)(0.0034) t=(-1.16)(1.32)(3.39)(2.47)(1.73) R2=0.689
如果p< ， 则p/2</2，
t0落入拒绝域， 应拒绝H0
p／2 ／2 ／2 p／2
0
-t／2
拒绝H0
t／2 t0
拒绝H0
bj
接受H0
P值检验法准则
当P 值小于显著性水平时，系数在显著性 水平下是显著的 当P 值大于显著性水平时，系数在显著性 水平下是不显著的。
解释
p-value： 确切的（或观测的）显著性水平 p-value：零假设H0 被拒绝的最低显著性水 平 在使用上更简单,不用查临界值表
事件，如果该 事件在一次抽 样中就出现， 说明假设H0值 得怀疑，应当 拒绝H0
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
多元线性回归模型过程
多元线性回归模型过程
多元线性回归是一种常用的回归分析模型，它可以用来分析两个或多个自变量之间的线性关系。
下面介绍多元线性回归模型的过程：
一、建立模型
1、观察原始数据：首先要收集需要分析的原始数据，从数据中观察现象背后
的规律来获取有效信息；
2、定义自变量与因变量：根据原始数据形成假设，确定要分析的自变量和因
变量，从而确定要分析的模型；
3、归纳回归方程式：运用最小二乘法解决回归方程，归纳出多元线性回归模型；
二、检验模型
1、显著性检验：检验所选变量是否对因变量有显著影响；
2、线性有效性检验：检验多元线性回归模型的线性有效性，确定拟合数据的完整性；
3、自相关性检验：检验各个自变量间的线性关系是否存在自相关现象；
4、影响因素较差检验：检验因变量的预测值与实际值之间的相对关系；
三、参数估计
1、极大似然估计：根据已建立的多元线性回归模型，可以运用极大似然估计，得出模型中未知参数的点估计值；
2、大致估计：利用已经进行检验的多元线性回归模型，对模型参数进行大致
估计，求出平均偏差平方根，从而估计模型的精确度；
四、分析模型
1、确定因子影响：根据已建立多元线性回归模型，可以求出每个自变量的系数，从而确定影响因变量的主要因素；
2、决定系数：可以利用模型求出每个自变量的决定系数，从而求得因变量对自变量的百分比影响；
3、对因变量施加假设：多元线性回归模型可以根据模型参数影响程度和数据情况，在每个自变量上施加多种假设，以确定模型最合理的假设；
4、模型检验：根据已建立的多元线性回归模型，可以运用张量分析，根据模型的指标，检验模型的被解释力水平，判断模型的有效性。
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
多元线性回归
回归分析中两个或两个以上的自变量
01 概念
03 估计方法
目录
02 公式 04 相关的软件
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相 联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合 实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用往受到多个因素的影响，因此，一般要进行多元回归分析，我们把包括两个或两个以 上自变量的回归称为多元线性回归 。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般 在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
谢谢观看
估计方法
1.普通最小二乘法 普通最小二乘法(Ordinary Least Square, OLS)通过最小化误差的平方和寻找最佳函数。通过矩阵运算求 解系数矩阵： 2.广义最小二乘法 广义最小二乘法(Generalized Least Square)是普通最小二乘法的拓展，它允许在误差项存在异方差或自 相关，或二者皆有时获得有效的系数估计值。公式如右， 图1..广义最小二乘法公式 其中，Ω是残差项的协方差矩阵。
相关的软件
SPSS（Statistical Package for the Social Science）－－社会科学统计软件包是世界著名的统计分析 软件之一。20世纪60年代末，美国斯坦福大学的三位研究生研制开发了最早的统计分析软件SPSS，同时成立了 SPSS公司，并于1975年在芝加哥组建了SPSS总部。20世纪80年代以前，SPSS统计软件主要应用于企事业单位。 1984年SPSS总部首先推出了世界第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS微机系列产品的开发方向， 从而确立了个人用户市场第一的地位。同时SPSS公司推行本土化策略，已推出9个语种版本。SPSS/PC+的推出， 极大地扩充了它的应用范围，使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域，世界上许多有影 响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价与称 赞。已经在国内逐渐流行起来。它使用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据方法的功能，使用对话框展 示出各种功能选择项，只要掌握一定的Windows操作技能，粗通统计分析原理，就可以使用该软件为特定的科研 工作服务。
多元线性回归模型原理
多元线性回归模型原理Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、β2、..、βn表示模型的参数，ε表示误差项。
通过对数据进行拟合，即最小化误差平方和，可以估计出模型的参数。
多元线性回归模型的原理是基于最小二乘法，即通过最小化残差平方和来估计参数的值。
残差是指模型预测值与真实值之间的差异，最小二乘法的目标是找到一组参数，使得所有数据点的残差平方和最小。
通过求解最小二乘估计，可以得到模型的参数估计值。
为了评估模型的拟合程度，可以使用各种统计指标，例如R方值、调整R方值、标准误差等。
R方值表示模型解释因变量方差的比例，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。
调整R方值考虑了模型中自变量的个数和样本量之间的关系，可以更准确地评估模型的拟合程度。
标准误差表示模型预测值与真实值之间的标准差，可以用于评估模型的预测精度。
在建立多元线性回归模型之前，需要进行一些前提条件的检查，例如线性关系、多重共线性、异方差性和自变量的独立性。
线性关系假设要求自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过散点图、相关系数等方法来检验。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计的不稳定性，可以使用方差膨胀因子等指标来检测。
异方差性指的是残差的方差不恒定，可以通过残差图、方差齐性检验等方法来检验。
自变量的独立性要求自变量之间不存在严重的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法来检验。
当满足前提条件之后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。
最小二乘法可以通过不同的方法来求解，例如解析解和数值优化方法。
解析解通过最小化误差平方和的一阶导数为零来求解参数的闭式解。
数值优化方法通过迭代来求解参数的数值估计。
除了最小二乘法，还有其他方法可以用于估计多元线性回归模型的参数，例如岭回归和lasso回归等。
岭回归和lasso回归是一种正则化方法，可以对模型进行约束，可以有效地避免过拟合问题。
(完整版)多元线性回归模型公式
二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个(多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。
因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。
（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y 受k 个自变量k x x x ,...,,21的影响，其n 组观测值为（ka a a a x x x y ,...,,,21）,n a ,...,2,1=。
那么，多元线性回归模型的结构形式为：a ka k a a a x x x y εββββ+++++=...22110（3。
2。
11)式中:k βββ,...,1,0为待定参数； a ε为随机变量。
如果k b b b ,...,,10分别为k ββββ...,,,210的拟合值，则回归方程为ŷ=k k x b x b x b b ++++...22110（3。
2.12)式中:0b 为常数；k b b b ,...,,21称为偏回归系数。
偏回归系数i b （k i ,...,2,1=）的意义是，当其他自变量j x （i j ≠）都固定时,自变量i x 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。
根据最小二乘法原理，i β（k i ,...,2,1,0=）的估计值i b （k i ,...,2,1,0=）应该使()[]min (2)12211012→++++-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∑∑==∧n a ka k a a a na a a xb x b x b b y y y Q （3。
2.13)有求极值的必要条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛--=∂∂∑∑=∧=∧n a ja a a jn a a a k j x y y b Q y y b Q 110),...,2,1(0202（3.2.14） 将方程组(3。
2.14）式展开整理后得： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===================na a ka k n a ka n a ka a n a ka a n a ka n a aa k n a ka a n a a n a a a na a na aa k n a ka a n a a a n a a n a a na ak n a ka n a a n a a y x b x b x x b x x b x y x b x x b x b x x b x yx b x x b x x b x b x y b x b x b x nb 11221211101121221221121012111121211121011112121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()( （3.2。
回归方程是如何建立的？
回归方程是如何建立的？一、回归分析的基本概念回归分析是一种常用的统计工具，用于探究变量之间的关系以及预测未来的趋势。
它通过建立数学模型，研究自变量与因变量之间的函数关系，从而实现对未知数据的预测。
回归方程便是其中最为重要的数学模型，它描述了自变量与因变量之间的关系，并可以据此进行预测和解释。
二、回归方程的建立过程1. 数据收集与整理在建立回归方程之前，首先需要收集相关的数据。
这些数据应当全面、真实地反映自变量和因变量之间的关系，以确保回归分析结果的准确性和可靠性。
之后，需要对数据进行整理和清洗，排除异常值、缺失值等干扰因素，使得数据具备一定的可靠性和精确性。
2. 变量选择与处理在建立回归方程时，需要明确自变量和因变量。
在选择自变量时，应根据实际问题和研究目的进行合理的选择，避免自变量之间的相关性过高，以免产生多重共线性问题。
同时，还可以进行变量的处理，如变量变换、指标构建等，以充分利用数据的信息。
3. 建立回归模型在选择好自变量和因变量之后，可以根据实际问题和数据情况选择适合的回归模型。
常见的回归模型有线性回归、多元线性回归、非线性回归等。
线性回归是最简单和常用的回归模型，它可以通过最小二乘估计法来估计模型参数，进而得到回归方程。
4. 模型评估与拟合完成回归模型的建立后，需要对模型进行评估和拟合。
通过检验回归模型的显著性、解释度和拟合度，可以评判回归模型的合理性和可靠性。
常用的模型评估指标有残差分析、决定系数、方差分析等。
三、回归方程的应用和限制1. 应用范围回归方程可以应用于各个领域，如经济学、社会学、医学等。
它可以用于预测未来的趋势和变化，为决策提供科学依据。
同时，回归方程还可以用于解释因果关系和探究变量之间的关系。
2. 限制与注意事项在应用回归方程时，需要注意以下几个问题。
首先，回归方程是基于当前数据建立的，对于未来数据的预测存在一定的不确定性。
其次，回归方程建立的前提是自变量和因变量之间存在一定的相关性，如果相关性较弱，则回归分析的结果可能不够可靠。
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多元线性回归方程的建立
建立多元线性回归方程，实际上是对多元线性模型（2-2-4）进行估计，寻求估计式（2-2-3）的过程。
与一元线性回归分析相同，其基本思想是根据最小二乘原理，求解使全部观测值与回归值的残差平方和达到最小值。
由于残差平方和
（2-2-5）
是的非负二次式，所以它的最小值一定存在。
根据极值原理，当Q取得极值时，应满足
由（2-2-5）式，即满足
（2-2-6）(2-2-6）式称为正规方程组。
它可以化为以下形式
（2-2-7）如果用A表示上述方程组的系数矩阵可以看出A是对称矩阵。
则有
（2-2-8）
式中X是多元线性回归模型中数据的结构矩阵，是结构矩阵X的转置矩阵。
(2-2-7)式右端常数项也可用矩阵D来表示
即
因此(2-2-7)式可写成
Ab=D （2-2-10）
或
（2-2-11）
如果A满秩（即A的行列式）那么A的逆矩阵A-1存在，则由(2-10)式和(2-11)式得的最小二乘估计为
（2-2-12）
也就是多元线性回归方程的回归系数。
为了计算方便往往并不先求，再求b，而是通过解线性方程组(2-2-7)来求b。
(2-2-7)是一个有p+1个未知量的线性方程组，它的第一个方程可化为
（2-2-13）
式中
（2-2-14）
将（2-2-13）式代入（2-2-7）式中的其余各方程，得
（2-2-15）
其中
（2-2-16）将方程组（2-2-15）式用矩阵表示，则有
Lb=F （2-2-17）
其中
于是
b=L-1F （2-2-18）
因此求解多元线性回归方程的系数可由（2-2-16）式先求出L，然后将其代回（2-2-17）式中求解。
求b时，可用克莱姆法则求解，也可通过高斯变换求解。
如果把b直接代入（2-2-18）式，由于要先求出L的逆矩阵，因而相对复杂一些。
例2-2-1 表2-2-1为某地区土壤内含植物可给态磷(y)与土壤内所含无机磷浓度(x1)、土壤内溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有机磷浓度(x2)以及土壤内溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有机磷(x3)的观察数据。
求y 对x1, x2, x3的线性回归方程。
表2-2-1 土壤含磷情况观察数据
计算如下：
由(2-2-16)式
代入(2-2-15)式得
（2-2-19）若用克莱姆法则解上述方程组，则其解为
（2-2-20）
其中
计算得
b1=，b2=，b3=
回归方程为
应用克莱姆法则求解线性方程组计算量偏大，下面介绍更实用的方法——高斯消去法和消去变换。
多项式回归
标签：c
2009-07-04 14:52 6443人阅读评论(0) 收藏举报在上一节所介绍的非线性回归分析，首先要求我们对回归方程的函数模型做出判断。
虽然在一些特定的情况下我们可以比较容易地做到这一点,但是在许多实际问题上常常会令我们不知所措。
根据高等数学知识我们知道，任何曲线可以近似地用多项式表示，所以在这种情况下我们可以用多项式进行逼近，即多项式回归分析。
一、多项式回归方法
假设变量y与x的关系为p次多项式，且在x i处对y的随机误
差 (i=1,2,…,n)服从正态分布N(0,)，则
令
x i1=x i, x i2=x i2，…，x ip=x i p
则上述非线性的多项式模型就转化为多元线性模型，即
这样我们就可以用前面介绍的多元线性回归分析的方法来解决上述
问题了。
其系数矩阵、结构矩阵、常数项矩阵分别为
(2-4-11)
(2-4-12)
(2-4-13)
回归方程系数的最小二乘估计为
(2-4-14)
需要说明的是，在多项式回归分析中，检验b j是否显著，实质上就是判断x的j次项x j对y是否有显著影响。
对于多元多项式回归问题，也可以化为多元线性回归问题来解决。
例如，对于
(2-4-15)令x i1=Z i1, x i2=Z i2, x i3=Z i12, x i4=Z i1Z i2, x i5=Z i22
则(2-4-15)式转化为
转化后就可以按照多元线性回归分析的方法解决了。
下面我们通过一个实例来进一步说明多项式回归分析方法。
一、应用举例
例2-4-2 某种合金中的主要成分为元素A和B，试验发现这两种元素之和与合金膨胀系数之间有一定的数量关系，试根据表2-4-3给出的试验数据找出y与x之间的回归关系。
表2-4-3 例2-4-2试验数据
首先画出散点图（图2-4-3）。
从散点图可以看出，y与x的关系可以用一个二次多项式来描述：
i=1,2,3…,13
图2-4-3 例2-4-2的散点图
令
x i1=x i,x i2=x i2,
则
现在我们就可以用本篇第二章介绍的方法求出的最小二乘估计。
由表2-4-3给出的数据，求出
由（2-2-16）式
由此可列出二元线性方程组
将这个方程组写成矩阵形式，并通过初等变换求b1,b2和系数矩阵L 的逆矩阵L-1:
于是
b1=
b2=
b0=+ =
因此
下面对回归方程作显著性检验：
由（2-2-43）式
S回=
由（2-2-42）式
S总=
S残=L yy- S回=
将上述结果代入表2-2-2中制成方差分析表如下：
表2-4-4 方差分析表
查F检验表，F0。
01（2，10）=, F>(2 ,10)，说明回归方程是高度显著的。
下面对回归系数作显著性检验
由前面的计算结果可知：
b1= b2=
c11= c22= 10-3
由（2-2-54）式
由（2-2-53）式
检验结果说明的x一次及二次项对y都有显著影响。