流体力学 无量纲方程
流体力学实验思考题解答
流体力学实验思考题解答（一）流体静力学实验1、 同一静止液体内的测压管水头线是根什么线？ 答：测压管水头指γpZ +，即静水力学实验仪显示的测压管液面至基准面的垂直高度。
测压管水头线指测压管液面的连线。
从表1.1的实测数据或实验直接观察可知，同一静止液面的测压管水头线是一根水平线。
2、 当0<B p 时，试根据记录数据确定水箱的真空区域。
答：以当00<p 时，第2次B 点量测数据（表1.1）为例，此时06.0<-=cm p Bγ，相应容器的真空区域包括以下3三部分：（1）过测压管2液面作一水平面，由等压面原理知，相对测压管2及水箱内的水体而言，该水平面为等压面，均为大气压强，故该平面以上由密封的水、气所占的空间区域，均为真空区域。
（2）同理，过箱顶小杯的液面作一水平面，测压管4中该平面以上的水体亦为真空区域。
（3）在测压管5中，自水面向下深度为0∇-∇=H AP γ的一段水注亦为真空区。
这段高度与测压管2液面低于水箱液面的高度相等，亦与测压管4液面高于小水杯液面高度相等，均为0∇-∇=H AP γ。
3、 若再备一根直尺，试采用另外最简便的方法测定0γ。
答：最简单的方法，是用直尺分别测量水箱内通大气情况下，管5油水界面至水面和油水界面至油面的垂直高度w h 和o h ，由式o o w w h h γγ=，从而求得o γ。
4、 如测压管太细，对测压管液面的读数将有何影响？答：设被测液体为水，测压管太细，测压管液面因毛细现象而升高，造成测量误差，毛细高度由下式计算式中，σ为表面张力系数；γ为液体的容重；d 为测压管的内径；h 为毛细升高。
常温（C t ︒=20）的水，mm dyn /28.7=σ或m N /073.0=σ，3/98.0mm dyn =γ。
水与玻璃的浸润角θ很小，可认为0.1cos =θ。
于是有一般说来，当玻璃测压管的内径大于10mm 时，毛细影响可略而不计。
另外，当水质不洁时，σ减小，毛细高度亦较净水小；当采用有机玻璃作测压管时，浸润角θ较大，其h 较普通玻璃管小。
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S 方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用N-S方程表示。
流体力学实验思考题解答
流体力学实验思考题解答（一）流体静力学实验1、 同一静止液体内的测压管水头线是根什么线？ 答：测压管水头指γpZ +，即静水力学实验仪显示的测压管液面至基准面的垂直高度。
测压管水头线指测压管液面的连线。
从表1.1的实测数据或实验直接观察可知，同一静止液面的测压管水头线是一根水平线。
2、 当0<B p 时，试根据记录数据确定水箱的真空区域。
答：以当00<p 时，第2次B 点量测数据（表1.1）为例，此时06.0<-=cm p Bγ，相应容器的真空区域包括以下3三部分：（1）过测压管2液面作一水平面，由等压面原理知，相对测压管2及水箱内的水体而言，该水平面为等压面，均为大气压强，故该平面以上由密封的水、气所占的空间区域，均为真空区域。
（2）同理，过箱顶小杯的液面作一水平面，测压管4中该平面以上的水体亦为真空区域。
（3）在测压管5中，自水面向下深度为0∇-∇=H AP γ的一段水注亦为真空区。
这段高度与测压管2液面低于水箱液面的高度相等，亦与测压管4液面高于小水杯液面高度相等，均为0∇-∇=H AP γ。
3、 若再备一根直尺，试采用另外最简便的方法测定0γ。
答：最简单的方法，是用直尺分别测量水箱内通大气情况下，管5油水界面至水面和油水界面至油面的垂直高度w h 和o h ，由式o o w w h h γγ=，从而求得o γ。
4、 如测压管太细，对测压管液面的读数将有何影响？答：设被测液体为水，测压管太细，测压管液面因毛细现象而升高，造成测量误差，毛细高度由下式计算γθσd h cos 4=式中，σ为表面张力系数；γ为液体的容重；d 为测压管的内径；h 为毛细升高。
常温（C t ︒=20）的水，mm dyn /28.7=σ或m N /073.0=σ，3/98.0mm dyn =γ。
水与玻璃的浸润角θ很小，可认为0.1cos =θ。
于是有dh 7.29=()mm d h 单位均为、 一般说来，当玻璃测压管的内径大于10mm 时，毛细影响可略而不计。
流体力学第五章 量纲分析和相似理论
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
1. 物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。
2. 物理量的单位：物理量的度量标准。
基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无 任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲，可由基本量 导出的量纲为导出量纲。
SI制中的基本量纲：
dim m = M , dim l = L , dim t = T ，dim θ=Θ
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
boussinesq假设下的无量纲化热力学方程
boussinesq假设下的无量纲化热力学方程热力学是研究能量转化和传递的学科，而无量纲化是一种将物理量转化为无单位的方法，以便更好地研究和比较不同系统之间的行为。
在流体力学中，Boussinesq假设是一种常用的假设，用于描述流体的温度和密度之间的关系。
在这篇文章中，我们将讨论Boussinesq假设下的无量纲化热力学方程。
首先，让我们来了解一下Boussinesq假设。
Boussinesq假设是基于以下观察：在流体的温度变化范围内，密度的变化可以忽略不计。
这意味着流体的密度可以近似为常数，从而简化了热力学方程的描述。
在Boussinesq假设下，我们可以将流体的密度表示为一个常数加上一个小的扰动，即ρ = ρ0 + ρ'，其中ρ0是常数，ρ'是小的扰动。
接下来，我们将对热力学方程进行无量纲化处理。
为了无量纲化方程，我们需要引入一些无量纲参数。
首先，我们引入无量纲温度θ，定义为θ = (T - T0) / ΔT，其中T是流体的温度，T0是参考温度，ΔT是温度变化范围。
然后，我们引入无量纲长度x，定义为x = X / L，其中X是流体的位置，L是参考长度。
最后，我们引入无量纲时间τ，定义为τ = t / τ0，其中t是时间，τ0是参考时间。
通过引入这些无量纲参数，我们可以将热力学方程进行无量纲化处理。
首先，我们考虑质量守恒方程。
根据Boussinesq假设，密度的变化可以忽略不计，因此质量守恒方程可以写为：∇·(ρu) = 0其中∇是梯度算子，u是流体的速度。
将密度表示为ρ = ρ0 + ρ'，并将速度表示为u = U + u'，其中U是参考速度，u'是小的扰动。
然后，我们将质量守恒方程进行无量纲化处理，得到：∇·(ρ0U + ρ'U + ρ'u') = 0接下来，我们考虑动量守恒方程。
根据Boussinesq假设，密度的变化可以忽略不计，因此动量守恒方程可以写为：ρ(u·∇)u = -∇p + μ∇^2u + ρ0g其中p是压力，μ是动力粘度，g是重力加速度。
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl
Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
2伯努利方程5简单情况下的ns方程的准确解3第一节流体力学的模型实验和相似概念第二节相似判据第三节无量纲方程第四节特征无量纲数第五节量纲分析和定理主要内容第三章相似原理与量纲分析4实验数据的简化处理设计实验的基本要求理论流体力学第一二章实验流体力学普通实验数值实验5第一节流体力学的模型实验和相似概念流体力学实验
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
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方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
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几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
u ＝ U u’
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析
二维定常不可压缩N-S 方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S（Navier-Strokes）方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S 方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S 方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量量，共有18个应力分量X 轴的运动微分方程：(2.1)最后导出沿x 轴的(2.2) (2.3)(2.4)纲量，对于封闭环境内的流动， 当雷诺数小于 2300时的流动为层流， 能用N-S方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用 N-S 方程表示。
流体力学各无量纲数定义
雷诺数：对于不同的流场，雷诺数可以有很多表达方式。
这些表达方式一般都包括流体性质（密度、黏度）再加上流体速度和一个特征长度或者特征尺寸。
这个尺寸一般是根据习惯定义的。
比如说半径和直径对于球型和圆形并没有本质不同，但是习惯上只用其中一个。
对于管内流动和在流场中的球体，通常使用直径作为特征尺寸。
对于表面流动，通常使用长度。
管内流场对于在管内的流动,雷诺数定义为:式中:(ρ假如雷诺数的体积流率固定，则雷诺数与密度（ρ）、速度的开方（）成正比；与管径（Ｄ）和黏度（ｕ）成反比假如雷诺数的质量流率（即是可以稳定流动）固定，则雷诺数与管径（Ｄ）、黏度（ｕ）成反比；与√速度（）成正比；与密度（ρ）无关平板流对于在两个宽板(板宽远大于两板之间距离)之间的流动,特征长度为两倍的两板之间距离。
流体中的物体对于流体中的物体的雷诺数,经常用Rep表示。
用雷诺数可以研究物体周围的流动情况，是否有漩涡分离，还可以研究沉降速度。
流体中的球对于在流体中的球，特征长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远处流体的速度，密度和黏度都是流体的性质。
在这种情况下，层流只存在于Re=0.1或者以下。
在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从斯托克斯定律。
搅拌槽对于一个圆柱形的搅拌槽，中间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋转物体的直径。
速度是ND,N是转速(周/秒)。
雷诺数表达为:对于流过平板的边界层，实验可以确认，当流过一定长度后,层流变得不稳定形成湍流。
对于不同的尺度和不同的流体，这种不稳定性都会发生。
一般来说，当, 这里x是从平板的前边缘开始的距离,流速是边界层以外的自由流场速度。
一般管道流雷诺数＜2100为层流(又可称作黏滞流动、线流)状态，大于4000为湍流(又可称作紊流、扰流)状态，2100～4000为过渡流状态。
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Chapter3.2相似判据的求法
暂时考虑不可压黏性流体的运动简单情况
2
1dV F p V dt νρ
=-∇+∇r
r r
对于原型流动，考虑运动方程在z 方向的分量方程。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2112211221
12111
111111*********z w y w x w z p g z w w y w v x w u t w ∂∂∂∂∂∂μ∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρ
以上方程反映实际流场的动力性质和过程。
模型流场，同样遵循牛顿运动定律，同样有：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2222222222
22222
222222222222222z w y w x w z p g z w w y w v x w u t w ∂∂∂∂∂∂μ∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρ
上式则反映实验流场的动力性质和过程。
将以上相似系数代入方程，则变为：
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++--=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+++211221122112121111111
11111112
111z w y w x w c c c z p c c g c c z w w y w v x w u c c c t w c c c l v l g l v
t
v ∂∂∂∂∂∂μ∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρμρρρρ
考虑到实际流场所遵循的运动方程，只有满足：
2
2
l
v l
g l
v t
v c c c c c c c c c c c c c μρρρρ=
=
==
时，以上方程才能成立。
模型流场中其运动方程的各项（各动力学变量）跟原型流场相比较必须成相同的常数比例，它是动力相似的充分必要条件； 对上式稍作变换，各项同除以
l
v c c c /2ρ，最后可得：
1,1,1,12
2====ρμρc c c c c c c c c c c c c l v v
p v l g t v l
就是两流场相似时，各相似常数必须满足的关系式。
进一步可以得到：
2
2
2211112
2222111222
21121222111,,,μρμρρρu l u l u p u p l g u l g u u t l u t l ====
而它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
其中:
St
tu l
≡斯特劳哈尔数Re ≡νlu 雷诺数
Eu u p
≡∆2
ρ欧拉数Fr gl u ≡2
弗雷德数
对于所考虑的问题，只要以上四个无量纲数在两种流场中是相同的，那么原型和模型流场相似，则两方程应反映同一事实。
可见，利用无量纲数作为动力相似判据，比方程分析法要简单的多。
另外，对特定的流动，作为动力相似判据的无量纲数可能会更少。
例3-2-1：假定满足几何、运动相似，试求质量力仅为重力的理想流体运动的相似判据。
p F dt V d ∇-=ρ1 p g dt V d ∇-=ρ1
z p
g z w w y w v x
w u t w ∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρ--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ St tu
l ≡Fr gl u ≡2Eu u p
≡∆2ρ
Ch3.3
二、无量纲方程
在粘性流体中引进无量纲量：
U w w U v v U u u /,/,/='='='
0/ρρρ='
20/U p p ρ=')/(U L t t =' （注意：特征时间、特征压力是非独立的）
L z z L y y L x x /,/;/='='='
U u u /∆='∆20/U p p ρ∆='∆L x x /∆='∆
g w z p z w w y w v x w u t w -∇+-=+++21ν∂∂ρ∂∂∂∂∂∂∂∂
将方程中的各物理量表示为特征量与无量纲量的乘积
g
w L
U z p L U z w w L UU y w v L UU x w u L UU t w U L U -'∇'+'''-='''+'''+'''+''2
2200)1(1/ν∂∂ρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂其中，2
2
222
22
z y x '
∂∂+'∂∂+'∂∂=∇'
整理后得：
22/1U gL w UL z p z w w y w v x w u t w -'∇'+'''-='''+'''+'''+''ν
∂∂ρ∂∂∂∂∂∂∂∂
定义特征无量纲数
ν/Re UL ≡gL U Fr /2
= Fr w z p z w w y w v x w u t w 1Re 112
-'∇'+'''-='''+'''+'''+''∂∂ρ∂∂∂∂∂∂∂∂
无量纲方程
g w z p z w w y w v x w u t w -∇+-=+++21ν∂∂ρ∂∂∂∂∂∂∂∂
而采用无量纲方程，具有如下优点： （1）与单位制无关；
（2）可以比较相对大小或相对重要性； （3）流场相似判据：对应的无量纲数相等。