甘肃省兰州一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)

甘肃省兰州一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知a<b<c，则下列说法正确的是()A. ac2<bc2B. 1a >1bC. 1c−a<1c−bD. a2<b22.已知在等差数列{a n}中，a3=5，a11=21，则S15的值为()A. 225B. 196C. 256D. 1693.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosAcosB =ba=√2，则该三角形的形状是()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形4.已知实数x，y满足约束条件{3x−y−3≤0x−2y+4≥03x+4y+12≥0，则z=2x−y的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 55.等差数列{a n}中，已知a1=13，a2+a5=4，a n=31，则n为()A. 50B. 49C. 48D. 476.等比数列{a n}各项均为正数，a3a8+a4a7=18，则A. 20B. 36C. 9D. 1527.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n，其中n∈N∗，则a1+a2+⋯+a6=()A. 15B. 31C. 63D. 1278.设A，B，C为△ABC的内角，则“A<B”是“cosA>cosB”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知关于x的不等式ax2−x+b>0的解集是(−1,−12)，则ab的值是()A. 2B. 12C. −1D. 110.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则角A为()A. 30°B. 45°C. 120°D. 150°11.已知a>0，b>0，若不等式3a +1b≥ma+3b恒成立，则m的最大值为()A. 9B. 12C. 18D. 2412.一个三角形的两个内角为45°和30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为()A. 2√6B. 3√6C. 2√2D. 3√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，若B=45°，C=60°，a=2(√3+1)，则S△ABC=________．14.已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y+1的最小值为______ ．15.关于x的方程x2−(2a−1)x+a2−2=0至少有一个非负实根的充要条件的a的取值范围是__________．16.已知圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，则该圆过点(3,5)的最短弦长为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求和：S n=x+x2+x3+⋯+x n．18.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求角B；(2)若b=√13，a+c=4，求边a．19.已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+(−1)n(3n+1)．(1)求证：数列{a n+(−1)n n}是等比数列；(2)求数列{a n}的前10项和S10．20.已知p：x2−7x+10<0，q：x2−4mx+3m2<0，其中m>0．(1)若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；(2)若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21.桑基鱼塘是一种农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成池埂(阴影部分所示)，用来种植桑树，鱼塘周围的池埂宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a:b= 1:2．(1)试用x，y表示S;(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少?22.已知数列{a n}满足a1=14，(1−a n)a n+1=14.令b n=a n−12．(Ⅰ)求证：数列{1b n}为等差数列；(Ⅱ)求证：a2a1+a3a2+⋯+a n+1a n<n+34．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析： 【分析】本题主要考查不等式性质及其大小比较，属于基础题． 利用不等式性质和特殊值法求解即可． 【解答】解：A. c =0时不成立； B . a <0，b >0时不成立；C . ∵a <b <c ，∴c −a >c −b >0， ∴1c−a<1c−b.因此正确；D . 取a =−3，b =−2时不成立． 故选C ．2.答案：A解析： 【分析】本题考查的是等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于容易题． 由题意建立方程组，即可得到a 1和d ，即可得到S 15． 【解答】 解：设公差为d ，由题意，{a 3=a 1+2d =5a 11=a 1+10d =21，得{a 1=1d =2, 所以S 15=15×1+15×142×2=225，故选A ．3.答案：A解析：因为cosAcosB =ba ，由正弦定理得cosAcosB =sinBsinA ， 所以sin2A =sin2B ．由ba =√2，可知a ≠b ，所以A ≠B ．又A ，B ∈(0,π)，所以2A =180°−2B ，即A +B =90°，所以C =90°，于是△ABC 是直角三角形，故选A ．4.答案：B解析： 【分析】本题考查利用简单线性规划求最值，属于中档题目． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图：由图象可知当目标函数z =2x −y 过点B(0,−3)时z 取得最大值，最大值为3． 故选B ．5.答案：D解析：解：在等差数列{a n }中，设公差为d ， 由a 2+a 5=4，得2a 1+5d =4，又∵a 1=13，∴2×13+5d =4，解得d =23． 则a n =13+23(n −1)=23n −13．由a n =31，得23n −13=31，解得n =47．故选：D．由已知求出等差数列的公差，得到通项公式，再由a n=31求得n值．本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．6.答案：A解析：【分析】本题考查等比数列的性质及对数的运算，由已知得a3a8+a4a7=18，从而，由此能求出结果．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a3a8+a4a7=18，∴a3a8=a4a7=9，∴则．故选A．7.答案：C解析：【分析】根据题意得数列为等比数列，进而即可得结果．【解答】解：由已知数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，所以S n=2n−1，故S6=26−1=63．故选C．8.答案：C解析：【分析】利用余弦函数的单调性和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，以及充分条件和必要条件的应用，利用余弦函数的单调性是解决本题的关键．【解答】解：在三角形中，0<A 、B <π． 因为y =cosx 在(0,π)上为单调减函数， 所以若A <B ，则cosA >cosB ． 若cosA >cosB ，则A <B ．所以，A <B 是cosA >cosB 的充要条件． 故选：C ．9.答案：A解析： 【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a ，b 即可． 【解答】解：因为关于x 的不等式ax 2−x +b >0的解集是(−1,−12)， 所以−1,−12是方程ax 2−x +b >0的两个根， 所以−1+(−12)=1a ，(−1)×(−12)=ba ， 解得ab =2，即a b 的值为2， 故选A ．10.答案：C解析：解：cosA =b 2+c 2−a 22bc=−bc 2bc=−12，解得A =120°． 故选：C ．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：B解析： 【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 变形利用基本不等式即可得出． 【解答】解：∵a >0，b >0，不等式3a +1b ≥ma+3b 恒成立，∴m≤[(a+3b)(3a +1b)]min．∵(a+3b)(3a +1b)=6+9ba+ab≥6+2√9ba⋅ab=12，当且仅当a=3b时取等号．∴m的最大值为12．故选：B．12.答案：C解析：【分析】本题考查正弦定理，根据题意利用正弦定理即可求得结果．【解答】解：设45°角所对的边长为a，30°角所对的边长为b，则由正弦定理得asin45∘=bsin30∘，即，解得b=2√2．故选C．13.答案：6+2√3解析：【分析】本题考查正弦定理和面积公式，根据正弦定理解出b，再由面积公式求解即可．【解答】解：∵△ABC中，B=45°，C=60°，∴A=75°，所以，，又∵a=2(√3+1)，由正弦定理asinA =bsinB，得b=asinBsinA =2(√3+1)×√22√6+√24=4，．故答案为6+2√3．14.答案：2√6−2解析：解：∵正实数x ，y 满足xy +2x +y =4， ∴y =4−2x x+1>0，解得0<x <2．则x +y +1=x +4−2x x+1+1=x +1+6x+1−2≥2√(x +1)⋅6x+1−2=2√6−2，当且仅当x =√6−1时取等号．∴x +y +1的最小值为2√6−2． 故答案为：2√6−2．变形利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．15.答案：[−√2,94]解析： 【分析】本题主要考查根据充要条件求参数的取值范围，属于基础题． 根据充要条件分析出判别式和韦达定理满足的条件． 【解答】解：由已知：若这个方程没有实根或者只有负实根，则Δ=(2a −1)2−4(a 2−2)<0或{2a −1<0Δ=(2a−1)2−4(a 2−2)≥0a 2−2>0，解得：a <−√2或a >94，则至少有一个非负实根时a 的取值范围是[−√2,94]， 故答案为[−√2,94]．16.答案：4√6解析：解：根据题意，圆的方程为x 2+y 2−6x −8y =0，其标准方程为(x −3)2+(y −4)2=25， 其圆心为(3,4)，半径为5，设P 为(3,5)，圆心为M ，则|PM |=1，分析可得当过点P(3,5)的直线与连接P 与圆心的直线垂直时，弦最短，则弦长l =2×√r 2−|MP|2=4√6，故答案为：4√6．根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，分析可得其圆心与半径，设P 为(3,5)，圆心为M ，分析可得当过点P(3,5)的直线与连接P 与圆心的直线垂直时，弦最短，结合点到直线的距离公式分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，关键是分析弦长最短时直线与圆的关系，属于中档题． 17.答案：解：当x =0时，S n =0；当x =1时，S n =n ；当x ≠0且x ≠1时，S n =x(1−x n )1−x =x−x n +11−x ．解析：本题考查等比数列的求和．在利用等比数列求和公式的时候，要注意公比不能为0和1，公比为0和1的时候，看作常数列，直接求和．18.答案：解：(1)根据正弦定理得：b 2a+c =sinB 2sinA+sinC ，又cosB cosC =−b 2a+c ，所以cosB cosC =−sinB 2sinA+sinC ，所以−sinBcosC =2sinAcosB +cosBsinC ，整理得：2sinAcosB +sin(B +C)=0，又A +B +C =π，即B +C =π−A ，则sin(B +C)=sin(π−A)=sinA ，所以2sinAcosB +sinA =0，又sinA ≠0，所以cosB =−12，又0°<B <180°，所以B =120°；(2)根据余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即a 2+c 2+ac =b 2，又b =√13，a +c =4，所以(a +c)2−ac =13，得ac =3，由a +c =4、ac =3得，{a =1c =3或{a =3c =1， 所以a =1或a =3．解析：(1)利用正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin A 不为0，得到cos B 的值，由B 为三角形的内角求出B ；(2)利用余弦定理表示出关于a 与c 的关系式，再由条件联立方程求出a 、c 的值即可．本题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及整体代换求值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19.答案：解：(1)因为a n+1=2a n +(−1)n (3n +1)，所以a n+1+(−1)n+1(n+1)a n +(−1)n n =2a n +(−1)n (3n+1)−(−1)n (n+1)a n +(−1)n n =2[a n +(−1)n n]a n +(−1)n n =2，又a 1−1=3−1=2，所以数列{a n +(−1)n n}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)得a n +(−1)n n =2×2n−1=2n ，故a n =2n −(−1)n n ，所以S 10=(2+22+⋯+210)+(1−2)+(3−4)+⋯+(9−10)=2(1−210)1−2−5=211−7=2041．解析：本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．(1)利用已知条件，通过等比数列的定义转化求解即可．(2)求出数列的通项公式，然后求解数列前10项的和．20.答案：解：(1)由x 2−7x +10<0，解得2<x <5，所以p ：2<x <5；又x 2−4mx +3m 2<0，因为m >0，解得m <x <3m ，所以q ：m <x <3m ．当m =4时，q ：4<x <12，又p ∧q 为真，p ，q 都为真，所以取交集，得4<x <5， 故x 的取值范围为(4,5)；(2)由¬q 是¬p 的充分不必要条件，即¬q ⇒¬p ，¬p ⇏¬q ，其逆否命题为p ⇒q ，q ⇏p ，由(1)p ：2<x <5，q ：m <x <3m ，所以{m ≤23m ≥5m >0(等号不能同时取)，即：53≤m ≤2．故实数m 的取值范围是[53,2]．解析：本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，是一道中档题．(1)分别解出关于p ，q 的不等式，根据p ∧q 为真，p ，q 都为真，求出x 的范围即可；(2)由¬q 是¬p 的充分不必要条件，即¬q ⇒¬p ，¬p ⇏¬q ，其逆否命题为p ⇒q ，q ⇏p ，求出m 的范围即可．21.答案：解：(1)由题可得，xy =1800，b =2a ，则y =a +b +6=3a +6，S =(x −4)a +(x −6)b =(3x −16)a=(3x −16)×y −63 =1832−6x −163y(x >6,y >6,xy =1800)．(2)方法一 S =1832−6x −163y ≤1832−2√6x ×163y =1832−480=1352， 当且仅当6x =163y ，即x =40，y =45时，S 取得最大值1352．方法二 S =1832−6x −163×1800x=1832−(6x +9600x )≤1832−2√6x ×9600x =1832−480=1352，当且仅当6x =9600x ，即x =40，y =45时，S 取得最大值1352．解析：求出函数的解析式，利用基本不等式求最值即可．22.答案：解：(1)已知数列满足关系式：(1−a n )a n+1=14.，所以：1−a n =14a n+1， 则：a n −1=−14a n+1， 所以：a n −12=12−14a n+1=2a n+1−14a n+1=2(a n+1−12)4a n+1则：1a n −12=2a n+1a n+1−12=2a n+1−1+1a n+1−12=2+1a n+1−12由于：b n =a n −12所以：b n+1=a n+1−121b n+1−1b n =−2(常数) 所以：数列{1b n }是等差数列． (2)由(1)得：1a n −12=1a 1−12−2(n −1) 整理得：a n =12(n n+1)所以：a n+1a n =1+1n(n+2)=1+12(1n −1n+2) S n =a 2a 1+a 3a 2+⋯+a n+1a n=(1+1+⋯+1)+12(1−13+12−14+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=n+12(1+12−1n+1−1n+2)=n+12(32−1n+1−1n+2)<n+34．解析：(1)根据已知条件对关系式进行恒等变换，会进一步利用定义证明数列是等差数列．(2)利用(1)的结论，进一步求出数列的通项公式，对关系式进行恒等变换，最后利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：递推关系式的恒等变换，利用定义法证明数列是等差数列，裂项相消法的应用．属于中等题型．。