反比例函数几何性质

反比例函数的几何性质
【考点训练】反比例函数系数k的几何意义-1
一、选择题（共5小题）
1．（2013•牡丹江）如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（）
A．B．C．D．
2．（2013•淄博）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（）
A．B．C．D．3．（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（）
A．B．C．D．
4．（2013•宜昌）如图，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，横坐标为1，过点B 分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（）
A．1B．2C．3D．4
5．（2013•内江）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）
6．（2013•永州）如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为_________．
7．（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点
P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1=_________，S n=_________．（用含n的代数式表示）
8．（2013•张家界）如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△P AB的面积是_________．
三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）
9．（2009•湘西州）在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小．（1）求k的取值范围；
（2）在曲线上取一点A，分别向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为6，求k的值．
10．（2010•江津区）如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．
（1）求k和b的值；
（2）若一次函数y=ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．
【考点训练】反比例函数系数k的几何意义-1
参考答案与试题解析
1．（2013•牡丹江）如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（）
A．B．C．D．
解答：解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C．则四边形ABOC是矩形，
∴S△ABO=S△AOC=1，
∴|k|=S矩形ABCO=S△ABO+S△AOC=2，
∴k=2或k=﹣2．
又∵函数图象位于第一象限，
∴k＞0，
∴k=2．则反比函数解析式为．
故选C．
2．（2013•淄博）如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（）
A．B．C．D．
解答：解：作PE⊥x轴，PF⊥y轴，如图，
∵点P为矩形AOBC对角线的交点，
∴矩形OEPF的面积=矩形AOBC的面积=×4=1，
∴|k|=1，
而k＞0，
∴k=1，
∴过P点的反比例函数的解析式为y=．
故选C．
3．（2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（）
A．B．C．D．
解答：解：A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：
xy=3，
B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：3，
C、根据反比例函数系数k的几何意义，以及梯形面积求法可得
出：
阴影部分面积为：3+（1+3）×2﹣﹣=4，
D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：×1×6=3，
阴影部分面积最大的是4．
故选：C．
4．（2013•宜昌）如图，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，横坐标为1，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，则矩形OABC的面积为（）
A．1 B．2C．3D．4
解答：解：∵点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，∴故矩形OABC的面积S=|k|=2．故选B．
5．（2013•内江）如图，反比例函数（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值
为（）
A．1 B．2 C．3D．4
解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，
解得：k=3．
故选C．
二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）
6．（2013•永州）如图，两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象分别是C1和C2，
设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为1．
解答：解：∵P A⊥x轴于点A，交C 2于点B，
∴S△POA=×4=2，S△BOA=×2=1，
∴S△POB=2﹣1=1．
故答案为1．
7．（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、
P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐
标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的
垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、
S n，则S1=4，S n=．（用含n的代数式表示）
分析：求出P1、P2、P3、P4…的纵坐标，从而可计算出S1、S2、S3、S4…的高，进而求出S1、S2、S3、S4…，从而得出S n的值．
解：当x=2时，P1的纵坐标为4，
当x=4时，P2的纵坐标为2，
当x=6时，P3的纵坐标为，
当x=8时，P4的纵坐标为1，
当x=10时，P5的纵坐标为：，
则S1=2×（4﹣2）=4=2[﹣]；S2=2×（2﹣）=2×=2[﹣]；S3=2×（﹣1）=2×=2[﹣]；Sn=2[﹣]=；
故答案为：4，．
8．（2013•张家界）如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，
若点P是y轴上任意一点，则△P AB的面积是．
解：∵把x=2分别代入、，得y=1、y=﹣．
∴A（2，1），B（2，﹣），
∴AB=1﹣（﹣）=．
∵P为y轴上的任意一点，
∴点P到直线x=2的距离为2，
∴△PAB的面积=AB×2=AB=．故答案是：．
三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）
9．（2009•湘西州）在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小．
（1）求k的取值范围；
（2）在曲线上取一点A，分别向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，
若四边形ABOC面积为6，求k的值．
考点：反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义．
分析：（1）直接根据反比例函数的性质求解即可，k＞0；（2）直接根据k的几何意义可知：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，所以|k|=6，而k＞0，
则k=6．
解答：解：（1）∵y的值随x的增大而减小，∴k＞0．
（2）由于点A在双曲线上，则S=|k|=6，
而k＞0，所以k=6．
点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，
做此类题一定要正确理解k的几何意义．
10．（2010•江津区）如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作
AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．
（1）求k和b的值；
（2）若一次函数y=ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．
考点：反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求一次函数解析式．
专题：压轴题；数形结合；待定系数法．
分析：（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x=4代入，即可求出b的值；
（2）把点A的坐标代入y=ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．
解答：解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A
（4，b），
∴OB×AB=2，
×4×b=2，
∴AB=b=1，
∴A（4，1），
∴k=xy=4，
∴反比例函数的解析式为y=，
即k=4，b=1．
（2）∵A（4，1）在一次函数y=ax﹣3的图象上，
∴1=4a﹣3，
∴a=1．
∴这个一次函数的解析式为y=x﹣3．
点评：本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
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