2021年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题(1)

2021年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题 1．已知集合()()(){}22,211A x y x y =-+-≤，(){},211B x y x y a =-+-≤，A B ⊆．则实数a 的取值范围是__________．2．若不全相等的三个实数a 、b 、c 满足3333a b c abc ++=，则a b c ++=__________． 3．已知a 、b 为实数．若二次函数()2f x x ax b =++满足()()()()010ff f f ==，且()()01f f ≠，则()2f 的值为__________．4．若小张每天的睡眠时间在69~小时之间随机均匀分布，则小张连续两天平均睡眠时间不少于7小时的概率为__________． 5．已知函数()21log 2a f x ax x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在区间[]1,2内的值恒正．则实数a 的取值范围是__________．6．已知复数1z 、2z 满足1220z z +=，221216z z +=．则3312z z +的最小值为__________．7．设正四面体的棱长为O 为球心作球，球面与正四面体四个面相交所成曲线的总长度为4π．则球O 的半径为__________．8．在86⨯的方格表中，每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一，若每个22⨯的子方格表包含每种颜色的格均为一，称此染法为“均衡”的．则所有不同的均衡的染法有__________种．二、解答题9．已知函数()()2,f x ax bxa b +=-∈R ．（1）若对于任意的x ∈R ，均有()1f x ≤，证明：a ≤（2）当1b >时，证明：对于任意的[]0,1x ∈，()1f x ≤成立的充分必要条件为1b a -≤≤10．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,1P 在椭圆22:163x y C +=上，不经过坐标原点O的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为D ，直线OD 的斜率为1．记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，证明：12k k 为定值．11．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“Z 扩展”．已知数列1，2，3第一次Z 扩展后得到数列1，3，2，5，3；第二次Z 扩展后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3；……设第n 次Z 扩展后所得数列1，1x ，2x ，…，m x ，3，并记1213n m a x x x =+++++．（1）求1a 、2a 、3a 的值；（2）若2n n b a =-，证明：{}n b 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式．12．如图，在圆内接四边形ABCD 中，边BA 、CD 的延长线交于点P ，1O 、2O 分别为ABC △、DBC △的内心，直线1BO 与2CO 交于点H ．证明：12PH O O ⊥．131=的实数解．14．某台函数计算器上有一个显示屏和两个操作键．若按一下第一个操作键，则将原显示屏上的数变为2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）；若按一下第二个操作键，则将原显示屏上的数变为41x +．称按一下任意一个操作键为一次操作．现在显示屏上的数为1．问：（1）是否可以经过有限次操作，显示屏上出现整数2000？说明理由． （2）小于2000的整数中有多少个数可以经过有限次操作在显示屏上出现？ 15．设数列{}n a 满足11a =，23a =，()123,3n n n a a a n n --+=-∈≥Z ． 是否存在正整数n ，使得20162n a ，（20162n a 且20172n a ）？若存在，求出最小的正整数n 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．)2⎡+∞⎣【解析】 【详解】作图可知，若A B ⊆，则0a >，且点()2,1到直线230x y a +--=的距离不小于1，12a ≥⇒≥+)2a ⎡∈++∞⎣．2．0 【解析】 【详解】注意到，()()3332223a b c ab a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()()()()222102a b c a b b c c a =++-+-+-=． 因为a 、b 、c 不全相等，所以，()()()2220a b b c c a -+-+-≠．故0a b c ++=． 3．3 【解析】 【详解】易知，()0f b =，()11f a b =++均为方程()0f x =的根． 则()()()2112x ax b x b x a b a a b ++≡--++⇒=---，()112b b a b a =++⇒=-，()023b f =⇒=． 4．79【解析】 【详解】设小张连续两天睡眠的时间分别为x 、y [](),6,9x y ∈小时．将可能出现的事件记作(),x y ，其对应坐标平面中正方形ABCD 的边及其内的点． 小张连续两天平均睡眠时间不少于7小时，即14x y +≥，(),x y 对应五边形EBCDF 边及其内的点，如图．因此，所求事件的概率为271199AEFABCDSS -=-=正方形． 5．153(,)(,)282⋃+∞ 【解析】解:因为函数21()log ()2a f x ax x =-+（01a a >≠且）在[1,2]上恒正，则说明不等式恒成立，则对于底数a 分情况讨论，a>1,0<a<1，分别讨论单调性得到最值，求解参数的范围． 6．3520 【解析】 【详解】注意到，332212121122z z z z z z z z +=+-+()()22222212121212313120202222z z z z z z z z =+-+≥+-+3520=． ①而当221216z z +=，1220z z+=，即110z =+，210z =-时，式①等号成立． 因此，3312z z +的最小值为3520．7【解析】 【详解】设球O的半径为R ．若正四面体一个面截球如图，则小圆周长为π，小圆半径为12又球心到四面体的面的距离为1，故R == 若正四面体一个面截球如图，记D 为AC 的中点．依题意，知弧AB 的长为π3． 设小圆1O 的半径为r ．则1π3AO B r∠=．又12π3BO C ∠=，1O D =()1111ππ236AO D BO C AO B r∠=∠-∠=-，故ππcos 36r ⎛⎫-=⎪⎝⎭． ①令()ππcos 36f r r r ⎛⎫=--⎪⎝⎭．则()22πππsin 0636f r r r r ⎛⎫=--+> ⎪'⎝⎭． 因此，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，且最多有一个零点．而()20f =，于是，方程①有唯一解2．从而，R =综上，球O 8．1896 【解析】 【详解】 均衡染法如图．若第一个22⨯的子方格表中四个格分别染A 、B 、C 、D 色，则第三列上面两个格只能染A 、C 色．若第三列第一个格染C 色，则第三列第二个格染A 色，然后，第三行第二个格只能染B 色，第三行第一个格只能染A 色，第三行第三个格只能染C 色，……依此类推，在均衡的染法中，每列（或每行）中仅有两色交错出现，且其相邻的两列（或行）中另两色交错出现． 当每列中两色交错出现时，第一列选两色，然后每列选首色，共有2842C 种染法；当每行中两色交错出现时，类似地，有2642C 种染法．又重复的情形有4424A =种，故不同的染法数为28264422241896C C +-=．9．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【详解】（1）因为()1f x ≤恒成立，所以，()222max 112244a a a a f x f a b b b b b ⎛⎫==⋅-⋅≤⇒≤ ⎪⎝⎭．又0b >，故24a b a ≤⇒≤ （2）必要性：对于任意的[]0,1x ∈，()1f x ≤．则()11f ≥-，即1a b ≥-．又1b >()0,1．从而，1f a ≤⇒≤因此，1b a -≤≤ 充分性：由1b >，且1b a -≤≤[]0,1x ∈，有()()()22111f x ax bx b x bx bx x x x =-≥--=--≥-≥-．又())222111f x ax bx bx =-≤-=--+≤，故()1f x ≤．10．见解析 【解析】 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ．则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭． 依题意有1OD k =．故1212x x y y +=+． ①由点A 、B 在椭圆上得2211163x y +=，2222163x y +=()22221212121202063x x y y x x y y --⇒+=⇒-+-=． ②联立式①、②解得12132y y x -+=，12232y y x -=． 由2211163x y +=，得()()2212221121231382243y y y y y y y -++=⇒+=+． 故()()()()()()121212121212121112224y y y y y y k k x x x x x x ---++==---++()()()()()1212121222121212121211122242310244y y y y y y y y y y y y y y y y y y -++-++===--++-++-++（定值）． 11．432nn a =⨯+【解析】 【详解】设01x =，13m x +=，1m n i i a x +==∑．则()111110334m mm n iii im n i i i a x x x x xx a +++++====++=--=-∑∑∑．由11325314a =++++=，得213438a a =-=，3234110a a =-=．于是，112363n n n n b a a b ++=-=-=．又1120b =≠，故{}n b 为等比数列，且43nn b =⨯． 从而，432nn a =⨯+．12．见解析 【解析】 【详解】如图，设直线12O O 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，联结1O C 、2O B ．由1O 为ABC 的内心知()1111809022BO C ABC ACB BAC ∠=︒-∠+∠=︒-∠． 类似地，21902BO C BDC ∠=︒-∠． 又BAC BDC ∠=∠，故12BO C BO C B ∠=∠⇒、1O 、2O 、C 四点共圆，122EO B O CB O CF ⇒∠=∠=∠，211FO C O BC O BA ∠=∠=∠．则1122PEF EO B ABO FO C O CF PFE PE PF PEF ∠=∠+∠=∠+∠=∠⇒=⇒为等腰三角形．又H 为PBC ∠、PCB ∠的平分线交点，于是，H 为PBC 的内心． 从而，PH EF ⊥，即12PH O O ⊥． 13．38x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【解析】 【详解】令A =B =则3362A B x +=-，12AB x =-． 令t A B =+．注意到，()()3333A B A B AB A B +=+++．则()()3312620t x t x ----=，即()()21620t t t x -++-=．又221362628t t x t x ⎛⎫⎛⎫++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当38x =时，1t A B =+==． 故2620t t x ++->．于是，对任意的38x ≥，有2620t t x ++->．从而，1t =． 综上，原方程的实数解构成的集合为38x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．14．（1）见解析；（2）233 【解析】 【详解】 （1）不可能．将数化成二进制．则按第一个操作键表示将显示屏上的数的最后一位去掉；按第二个操作键表示将显示屏上的数后面加上01．当初始数为1时，经过以上两种操作后得到的数没有两个1相邻，而2000化成二进制为()211111010000，其中有两个1相邻，从而，显示屏上不可能出现整数2000．（2）若先进行第二种操作，后进行第一种操作，则相当于在原数后加一个0．故任意一个二进制中没有两个1相邻的数均可以经过有限次操作可得．于是，在显示屏上可以出现小于2000的整数的个数等价于不大于()210101010101，且没有两个1相邻的自然数的个数．又含有()06k k ≤≤个1且不大于()210101010101的自然数有12kk C -个，从而，满足条件的自然数个数为111458*********++++++=． 15．201332⨯ 【解析】 【详解】存在无穷多个正数n ，使得20162n a ，且最小的正整数n 为201332⨯．若2a m ，则记()2v m a =．因此，()()()222v mn v m v n =+，且()()(){}222min ,v m n v m v n +≥． 若()()22v m v n ≠，则()()(){}222min ,v m n v m v n +=．由()12123mod2n n n n n a a a a a ----=-≡-，知{}n a 在模2意义下是周期为3的周期数列． 因此，当3n 时，()20n v a =．令()31n k k =≥．显然，3322n nn a ⎛⎫⎛⎛⎪=- ⎪⎝⎭⎝⎭⎭((33399k kk k k a ⎛⎫⎫⎪⇒=-=+--⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎭ ()2121211022945k i i i ik k i C -+++-⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦=⨯⨯∑．又()()()()()()212211222322113i i i kk kk i C kC v C v k i v a v k ++-+=⇒≥≥⇒=+． 故()232016k v a =当且仅当()232016v k +=，即()22013v k =． 因此，20162n a 当且仅当201332n m =⨯，其中，(),21m =．综上，最小的正整数n 为201332⨯．。