高二数学等差数列的前n项和公式PPT精品课件
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4221等差数列的前n项和公式课件共45张PPT
知识点二 等差数列的前 n 项和公式 1．等差数列{an}的前 n 项和公式
已知量 首项 a1、末项 an 与项数 n
求和公式
na1＋an Sn＝___与项数 n
Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
2.两个公式的关系：把 an＝a1＋(n－1)d 代入 Sn＝na12＋an中，就可以得到 Sn ＝____n_a_1_＋__n__n_2－__1_d_______
1．已知 Sn 求 an 利用 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2， 可由数列的前 n 项和 Sn 求得数列的通项公式 an. 解题过程通常分为四步：第一步，令 n＝1 得 a1；第二步，令 n≥2 得 an；第三步， 在第二步求得的 an 的表达式中取 n＝1，判断其值是否等于 a1；第四步，写出数列 的通项公式(若第三步中 n＝1 时，an 的表达式的值不等于 a1，则数列的通项公式一 定要分段表示)．
解：(1)因为 Sn＝2n2－30n，所以当 n＝1 时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当 n＝1 时上式成立， 所以 an＝4n－32. (2)由 an＝4n－32，得 an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以 an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列．
(3)方法一：设等差数列的首项为 a1，公差为 d， 则 S5＝5a1＋5×25－1d＝24， 得 5a1＋10d＝24，a1＋2d＝254. ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×254＝458. 方法二：由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
4.2.2等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
Sn 1 2 (n 1) n
Sn a1 a2 an1 an
Sn n (n 1) 2 1
Sn an an1 a2 a1
两式相加得 ,2Sn (1 n) n
(1 n) n Sn 2
两式相加得 ,2Sn n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
第四章 数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
2024/11/9
情景引入
?!!
heihei… 看你还嚣
张
好好学习 天天向上
1+2+3+4+…+100=
高有放个高不我高要去斯空学加斯停可啦斯动的，，前法，下不！，来! 你罚算！你来客！不动这你完！再，气么在这！
小case啦！
5050
xixi
探究新知
S50
50 (7 101) 2
2700
(2)若a3 a15 40, 求S17.
(3)若a1
2,
a2
5 2
, 求S10.
S17
17(a1 2
7 )
17(a3 2
a15 )
340
S10
10 2
10 9 2
1 2
85 2
(4)若a1
1 2
,d
1 6
,
Sn
5, 求n.
Sn
n 2
n(n 1) 2
d
10a1
45d
310
①
20 19 S20 20a1 2 d 20a1 190d 1220
②
联立①②解得 a1 4,d 6.
前n项和Sn
4n
n(n
1) 6 2
3n 2
2.3.1等差数列前N项和的公式PPT课件
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
解得 n1=9, n２=－3(舍去) 因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和 是54.
公式练习：学案例1
• 1、何时选择求和公式一？ • 何时选择求和公式二？ • 2、等差数列的前n项和的函数特征是什
么？
跟踪训练
例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且
m<100}的元素个数, 并求这些元素的和. 解: 由7n<100得 n<100／7, n 14 2 .
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
高斯
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，
n，…的前100项的和。
下一页
问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
n2
1 2
n , ,它的首
项与公差分别是什么?
4.2.2等差数列的前n项和公式的性质课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
12
3
4
S9 6 S12 10
探究新知
三、等差数列前n项和的性质
Sn ,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和.
性质2 : ① a1 an Sn ; b1 bn Tn
析 : Sn
n(a1 an ) , 2
Tn
n(b1 bn ) 2
② ak S2k 1 . bk T2k 1
析 : ak 2ak a1 a2k1 S2k1 . bk 2bk b1 b2k 1 T2k 1
解 :当n 2时,an Sn Sn1 4n2 n 3 [4(n 1)2 (n 1) 3] 8n 3
当n 1时, a1 S1 4 1 3 8 81 3,
数列{an}的通项公式为an
8, n 1 8n 3, n
2
探究新知
三、等差数列前n项和的性质
Sn为等差数列{an }的前n项和. 性质1: Sk , S2k Sk , S3k S2k ,成等差数列(k Z ) a1 ak , ak1 a2k , a2k1 a3k ,
②
联立①②解得a1 4,d 6.
前n项和Sn
4n
n(n
1) 6 2
3n 2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题讲授
[例1]若等差数列{an }的前10项和为310, 前20项和为1220,
求该数列的前n项和Sn .
(法2)解 :
S10
(a1
a10 ) 10 2
310,
a1
a10
62,
①
S20
(a1
a20 ) 20 2
②等差中项法：an1 an1 2an (n 2) {an}为等差数列
③通项法：an pn q( p, q为常数) {an}为等差数列
4.2.2等差数列的前n项和公式(第一课时)课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
( n 1) n
2
( n 1)
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{a n}的首项a1, 公差为d, 那么该等差
数列的前n项和公式为
n(a1 an )
Sn
2
(a1 an ) S n
=
2
n
(a1 an )
是等差数列
2
{an }的前n项的平均数
101
101
101
101
（2 99）（3 98） （50 51）
（1 100）
50对
100
（100 1） 5050
2
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ①
前100项的和的问题.
03
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求
这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问
题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
问题3： 你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？
将上述方法推广到一般，可以得到:
当n是偶数时，有 a1 an a2 an 1 a n a n ，
26(14.5 32)
∴ S 26
604.5.
2
目标检测 检验效果
2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的 和是－100 ?
04
解：
由已知条件可得,a1 1,d 3 ( 1) 2.
2
( n 1)
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{a n}的首项a1, 公差为d, 那么该等差
数列的前n项和公式为
n(a1 an )
Sn
2
(a1 an ) S n
=
2
n
(a1 an )
是等差数列
2
{an }的前n项的平均数
101
101
101
101
（2 99）（3 98） （50 51）
（1 100）
50对
100
（100 1） 5050
2
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ①
前100项的和的问题.
03
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求
这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问
题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.
03
新知探究一：等差数列的前n项和公式
问题3： 你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？
将上述方法推广到一般，可以得到:
当n是偶数时，有 a1 an a2 an 1 a n a n ，
26(14.5 32)
∴ S 26
604.5.
2
目标检测 检验效果
2. 等差数列－1, －3, －5, ‧‧‧的前多少项的 和是－100 ?
04
解：
由已知条件可得,a1 1,d 3 ( 1) 2.
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
4.2.2等差数列的前项和公式性质课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
例1
已知等差数列{an }的前 n 项和为 S n ，且 S 10 ＝310，S 20＝1
Sn
转化为 等差数列
n
nn－1
Sn
d
(方法四)由 S n ＝na1＋
d，得 ＝a1＋(n －1) ，
n
2
2
220，求 S 30.
Sn
d
∴ n 是以 a1 为首项， 为公差的等差数列，
2
S 10 S 20 S 30
2和之比时，一般利用 公式
am 2n 1 S 2 m 1
进行转化 .
an 2m 1 T2 n 1
S偶 an1
性质四 若等差数列的项数为2n，则S2n nan an1 ，S偶 S奇 nd，
.
S奇
an
S
n
若等差数列的项数为2n 1，则S2n1 2n 1an1，S偶 S奇 an1， 偶
220，求 S 30.
特别注意：不是 S10 , S 20 , S30等差
(方法二)∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20 也成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
即 2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，
∴S30＝2 730.
例1
220，求 S 30.
解：(方法一)设数列{an}的公差为 d，
1
10a1＋ ×10×9×d＝310，
2
由已知，得
1
20a1＋2×20×19×d＝1 220，
a1＝4，
解得
d＝6.
1
∴S30＝30×4＋ ×30×29×6＝2 730.
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
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汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
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高斯算法的高明之处在于他发现这 100个数可以分为50组，第一个数与最后 一个数一组，第二个数与倒数第二个数 一组，第三个数与倒数第三个数一 组，…，每组数的和均相等，都等于101， 50个101就等于5050了.高斯算法将加法 问题转化为推导
有以下等式
a 1 [ a 1 ( n 1 ) d ] ( a 1 d ) [ a 1 ( n 2 ) d ]
( a 1 2 d ) [ a 1 ( n 3 ) d ] ，
问题是一共有多少个 a 1 [a 1 (n 1 )d ]， 似乎与 n的奇偶有关.
这个思路似乎进行不下去了.
等差数列的前n项和公式
一.新课引入
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多 放一支，最上面一层放100支.这个V形架上 共放着多少支铅笔？
播放课件
一个堆放小球的V形架
问题就是 “1 2 3 4 1 0 ?”
这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非
常高明，回忆他是怎样算的？
于是得到了两个公式：Sn
n(a1an)和 2
Snn1an(n21)d
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项n和公式，
这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差
数列前 n项和的两个公式.
3.公式的应用 例1.求和： （1） 1 1 0 9 0 1 9 9 0 9 8 7 6 ； 4
15
思路二： 上面的等式其实就是
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ，
为回避个数问题，做一个改写
S n a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n ，
S n a n a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 1 ，
（2）2 4 6 8 ( 2 n 4 （)结果用 n表示）
例2.等差数列 2,4,6,中前多少项的和是9900？
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
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2021/02/25
a 问题：设等差数列an的首项为 1 ，公差为d，
S n a 1 a 2 a 3 a n ?
思路一：
a 运用基本量思想，将各项用 1 和 d表示，得
S n a 1 (a 1 d ) (a 1 2 d ) (a 3 d ) [a 1 (n 2 )d ] [a 1 (n 1 )d ]
两式左右分别相加，得
2Sn(a1an)(a2an 1)(a3an2) (an2a3)(an 1a2)(ana1)
2Snn(a1an)
于是有：Sn
n(a1an).这就是倒序相加法. 2
思路三：
受思路二的启发，重新调整思路一，可得
2 S n n [ a 1 a 1 ( n 1 ) d ] ，
于是 Snn1an(n21)d.