2015年北京东城高三一模数学(文科)试题及答案
北京市东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试数学(文)试卷及答案
北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（文科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题。
（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合{}22|<<-∈=x R x A ，{}034|2≥+-∈=x x R x B ，则=⋂B A （ ）A. ]1,2(-B. ()1,2-C. ()2,2-D. ()),3[2,∞+⋃∞-2. 已知复数i a z 21+=，i z 212-=，若21z z 是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A. 2-B. 1C. 2D. 43. “3π=x ”是“21cos =x ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为55=s ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A. 11≤kB. 10≤kC. 9≤kD. 8≤k5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是（ ）A. 24cmB. 212cmC. 2248cm +D. 232244cm ++6. 已知()a x x f x ++=2||2有唯一的零点，则实数a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D. 07. 如图，直线2-=x y 与圆03422=+-+x y x 及抛物线x y 82=依次交于A 、B 、C 、D 四点，则=+||||CD AB （ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题。
数学_2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷(文科)(含答案)
2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合A＝{x∈R|−3<x<2}，B＝{x∈R|x2−4x+3≥0}，则A∩B＝（）A (−3, 1]B (−3, 1)C [1, 2)D (−∞, 2)∪[3, +∞)2. 已知复数z1＝a+2i，z2＝1−2i，若z1z2是纯虚数，则实数a的值为（）A −2B 1C 2D 43. “α=π3”是“cosα=12”的（）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. 如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s＝55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A k≤11B k≤10C k≤9D k≤85. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A 4cm2B 12cm2C 8+4√2cm2D 4+4√2+2√3cm26. 已知f(x)＝2|x|+x2+a有唯一的零点，则实数a的值为（）A −3B −2C −1D 07. 已知直线y＝x−2与圆x2+y2−4x+3＝0及抛物线y2＝8x的四个交点从上到下依次为A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|＝（）A 12B 14C 16D 188. 已知f(x)={x 2−4x+3,x≤0−x2−2x+3,x>0，不等式f(x+a)>f(2a−x)在[a, a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A (−∞, −2)B (−∞, 0)C (0, 2)D (−2, 0)二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 不等式组{x −y +1≥0x +y ≥1x ≤1表示的平面区域的面积为________．10. 设平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, y)，若a →⊥b →，则|2a →−b →|＝________．11. 在等差数列{a n }中，a 1=3，a 4=2，则a 4+a 7+...a 3n+1等于________．12. 直线x −√3y −4=0被圆(x −2)2+y 2=4截得的弦长为________．13. 已知0<x <π，且sin2x =−725，则sin(π4−x)的值为________． 14. 已知数集A ＝{a 1, a 2, a 3, a 4, a 5}(0≤a 1<a 2<a 3<a 4<a 5)具有性质p ：对任意i ，j ∈Z ，其中1≤i ≤j ≤5，均有(a j −a i )∈A ，若a 5＝60，则a 3＝________．三、解答题．（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n −1(n ＝1, 2,…)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n+1＝a n +b n (n ＝1, 2,…)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．16. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，满足c ＝1，cosBsinC −(a −sinB)cosC ＝0．（1）求C 的大小；（2）求a 2+b 2的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值．17. 如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 点移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(Ⅰ)求证：BC ⊥A 1D ；(Ⅱ)求证：平面A 1CD ⊥平面A 1BC ；(Ⅲ)若AB ＝10，BC ＝6，求三棱锥A 1−BCD 的体积．18. 设a ∈R ，已知函数f(x)＝ax 3−3x 2．(Ⅰ)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对任意的x ∈[1, 3]，有f(x)+f′(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．19. 已知椭圆W:x 22m+10+y 2m 2−2=1的左焦点为F(m, 0)，过点M(−3, 0)作一条斜率大于0的直线l 与W 交于不同的两点A 、B ，延长BF 交W 于点C ．(Ⅰ)求椭圆W 的离心率；(Ⅱ)求证：点A 与点C 关于x 轴对称．20. 已知定义在(1, +∞)上的函数f(x)＝x −lnx −2，g(x)＝xlnx +x ．（1）求证：f(x)存在唯一的零点，且零点属于(3, 4)；（2）若k∈Z，且g(x)>k(x−1)对任意的x>1恒成立，求k的最大值．2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）答案1. A2. D3. B4. B5. D6. C7. B8. A9. 110. 511. n(5−n)212. 2√313. −4514. 3015.(I)因为S n＝2a n−1(n＝1, 2,…)，则S n−1＝2a n−1−1(n＝2, 3,…)，所以当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，整理得a n＝2a n−1，由S n＝2a n−1，令n＝1，得a1＝2a1−1，解得a1＝1．所以{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得a n=2n−1(II)因为a n=2n−1，由b n+1＝a n+b n(n＝1, 2,…)，得b n+1−b n=2n−1，由累加得b n＝b1+(b2−b1)+(b3−b2)+...+(b n−b n−1)=2+1−2n−11−2=2n−1+1,(n≥2)，当n＝1时也满足，所以b n=2n−1+1．16. cosBsinC−(a−sinB)cosC＝0，即有sinBcosC+cosBsinC＝acosC，即sin(B+C)＝acosC，即sinA＝acosC．由正弦定理可知：asinA =csinC=1cosC，由于c＝1，则sinC＝cosC，即tanC＝1，C是三角形内角，∴ C=π4．由余弦定理可知：c2＝a2+b2−2abcosC，得1＝a2+b2−√2ab，又ab≤a 2+b22，∴ (1−√22)(a2+b2)≤1，即a2+b2≤2+√2．当且仅当a＝b即A＝B=3π8时，a2+b2取到最大值为2+√2．17.(I)证明：因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O⊥平面BCD．又BC⊂平面BCD，所以BC⊥A1O．又BC⊥CO，CO∩A1O＝O，CO⊂平面A1CD，A1O⊂平面A1CD，所以BC⊥平面A1CD．又A1D⊂平面A1CD，所以BC⊥A1D．(II)证明：因为矩形ABCD，所以A1D⊥A1B．由(I)知BC⊥A1D．又BC∩A1B＝B，BC⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．又A1D⊂平面A1CD，所以平面A1BC⊥平面A1CD．(III)因为A1D⊥平面A1BC，所以A1D⊥A1C．因为CD＝10，A1D＝6，所以A1C＝8．所以V A1−BCD =V D−A1BC=13×12×6×8×6=48．18.(I)当a＝1时，f(x)＝x3−3x2，则f′(x)＝3x2−6x，由f′(x)>0，得x<0，或x>2，由f′(x)<0，得0<x<2，所以f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)，单调递减区间为(0, 2)．(II)依题意，对∀x∈[1, 3]，ax3−3x2+3ax2−6x≤0，这等价于，不等式a≤3x 2+6xx3+3x2=3x+6x2+3x对x∈[1, 3]恒成立．令ℎ(x)=3x+6x2+3x(x∈[1,3])，则ℎ(x)=3(x 2+4x+6)(x2+3x)2=−3[(x+2)2+2](x2+3x)2<0，所以ℎ(x)在区间[1, 3]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为ℎ(3)=56．所以a ≤56，即实数a 的取值范围为(−∞,56]． 19.(I)由题意(2m +10)−(m 2−2)＝m 2(m <0)，解得m ＝−2．所以椭圆W:x 26+y 22=1． 离心率e =ca =2√6=√63．(II)设直线l 的方程为y ＝k(x +3)．联立{y =k(x +3)x 26+y 22=1得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6＝0．由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知△＝(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k 2，x 1x 2=27k 2−61+3k 2，y 1＝k(x 1+3)，y 2＝k(x 2+3)． 因为F(−2, 0)，设点A 关于x 轴的对称点为C′，则C′(x 1, −y 1)， 所以FC ′→=(x 1+2,−y 1)，FB →=(x 2+2,y 2)．又因为(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)＝(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)＝k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[54k 2−121+3k 2+−90k 21+3k 2+12]=k(54k 2−12−90k 2+12+36k 2)1+3k 2=0，所以B ，F ，C′共线，从而C 与C′重合，故点A 与点C 关于x 轴对称．20. 证明：令f(x)＝0，得：x −2＝lnx ，画出函数y ＝x −2，y ＝lnx 的图象，如图示：∴ f(x)存在唯一的零点，又f(3)＝1−ln3<0，f(4)＝2−ln4＝2(1−ln2)>0，∴ 零点属于(3, 4)；由g(x)>k(x −1)对任意的x >1恒成立，得：k <xlnx+xx−1，(x >1)，令ℎ(x)=xlnx+xx−1，(x >1)，则ℎ′(x)=x−lnx−2(x−1)2=f(x)(x−1)2，设f(x0)＝0，则由（1）得：3<x0<4，∴ ℎ(x)在(1, x0)递减，在(x0, +∞)递增，而3<ℎ(3)=31n3+32<4，83<ℎ(4)=41n4+43<4，∴ ℎ(x0)<4，∴ k的最大值是3．。
数学_2015年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2015年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|−1≤x ≤2}，B ＝{x|x <−3, 或x >4}，那么A ∩(∁U B)＝（ ）A {x|−1≤x ≤4}B {x|−3≤x ≤2}C {x|−1≤x ≤2}D {x|−3≤x ≤4} 2. 复数a+i2−i 为纯虚数，则实数a ＝（ ） A −2 B −12 C 2 D 123. 在区间[0, 2]上随机取一个实数x ，若事件“3x −m <0”发生的概率为16，则实数m ＝（ ）A 1B 12C 13D 164. 已知点M 的极坐标为(5,2π3)，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为( )A (−5√32,−52) B (−5√32,52) C (52,5√32) D (−52,5√32) 5. “x <1”是“log 12x >0”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件6. 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）A A 62×A 54种B A 62×54种C C 62×A 54种D C 62×54种7. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为（ ）A 16 B √26 C √36 D 128. 已知函数f(x)＝2mx 2−2(4−m)x +1，g(x)＝mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A (0, 2) B (0, 8) C (2, 8) D (−∞, 0)二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝8，S 4＝12，则{a n }的公差d ＝________． 10. 曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为________．11. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60∘，AB ＝2AC ＝8，过C 作△ABC 外接圆的切线CD ，BD ⊥CD 于D ，BD 与外接圆交于点E ，则DE ＝________．12. 已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．13. 已知函数f(x)是R 上的减函数，且y ＝f(x −2)的图象关于点(2, 0)成中心对称．若u ，v 满足不等式组{f(u)+f(v −1)≤0f(u −v −1)≥0，则u 2+v 2的最小值为________12 ．14. 已知x ∈R ，定义：A(x)表示不小于x 的最小整数．如A(√3)=2，A(−1.2)＝−1．若A(2x +1)＝3，则x 的取值范围是________；若x >0且A （2x ⋅A(x)）＝5，则x 的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15. 在△ABC 中，b ＝2，cosC =34，△ABC 的面积为√74．(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求sin2A 值．16. 某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：[75, 80),[80, 85),[85, 90),[90, 95),[95, 100]．规定90分及其以上为合格． (Ⅰ)求图中a 的值(Ⅱ)根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；(Ⅲ)若三个人参加交通法规考试，用X 表示这三人中考试合格的人数，求X 的分布列与数学期望．17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝PA ＝BC ＝2．D ，E 分别为AB ，AC 的中点，过DE 的平面与PB ，PC 相交于点M ，N （M 与P ，B 不重合，N 与P ，C 不重合）．(Ⅰ)求证：MN // BC；(Ⅱ)求直线AC与平面PBC所成角的大小；(Ⅲ)若直线EM与直线AP所成角的余弦值3√14时，求MC的长．14+lnx，a∈R．18. 已知函数f(x)＝x+ax(Ⅰ)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(Ⅱ)若f(x)在区间(1, 2)上单调递增，求a的取值范围；(Ⅲ)讨论函数g(x)＝f′(x)−x的零点个数．19. 在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点(1, 0)的距离与它到直线x＝−1的距离相等．(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程；(Ⅱ)设动直线l:y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝−1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．20. 在无穷数列{a n}中，a1＝1，对于任意n∈N∗，都有a n∈N∗，且a n<a n+1．设集合A m ＝{n|a n≤m, m∈N∗}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．(Ⅰ)设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；(Ⅱ)设a n＝3n−1(n∈N∗)，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和；(Ⅲ)设a n＝3n−2(n∈N∗)，求数列{a n}的伴随数列{b n}前n项和S n．2015年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. D3. A4. D5. B6. D7. A8. B9. −110. 211. 212. √5−1213. 1214. (12, 1],(1, 54]15. （1）△ABC中，∵ b＝2，cosC=34，∴ sinC=√74，∴ △ABC的面积为√74=12ab⋅sinC=12a⋅2⋅√74．a＝（1）（2）由余弦定理可得c2＝a2+b2−2ab⋅cosC＝1+4−3＝2，∴ c=√2．再由正弦定理可得asinA =csinC，即1sinA=√2√74，∴ sinA=√148．由于a不是最大边，故A为锐角，故cosA=5√28，∴ sin2A＝2sinAcosA＝2×√148⋅5√28=5√716．16. （I）由直方图知．(0.01+0.02+0.06+0.07+a)×5＝（1）解得a＝0.(04)（2）设事件A为“某名学员交通考试合格”．由直方图知，P(A)＝(0.06+0.02)×5＝0.(4)(III)以题意得出X的取值为0，1，2，（3）P(X＝0)＝(1−0.4)3＝0.2(16)P(X＝1)=C31×0.4×(0.6)2＝0.4(32)P(X＝2)=C32×(0.4)2×(0.6)＝0.2(88)P(X＝3)=C33×(0.4)3＝0.06(4)所以X的分布列为E(X)＝0×0.216+1×0.432×2×0.288+3×0.064＝1.(2) 17. （1）证明：∵ D，E分别为AB，AC的中点；∴ DE // BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴ DE // 平面PBC，平面DENM∩平面PBC＝MN；∴ DE // MN；∴ MN // BC；（2）如图，在平面PAB内作BZ // PA，则根据：PA ⊥底面ABC ，及AB ⊥BC 即知，BC ，BA ，BZ 两两垂直；∴ 以B 为坐标原点，BC ，BA ，BZ 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则： B(0, 0, 0)，C(2, 0, 0)，A(0, 2, 0)，P(0, 2, 2)； ∴ BC →=(2,0,0),BP →=(0,2,2)，AC →=(2,−2,0)； 设平面PBC 的法向量为n →=(x 1,y 1,z 1)； 则由{n →⋅BC →=0n →⋅BP →=0得： {2x 1=02y 1+2z 1=0 ，令z 1＝1，得x 1＝0，y 1＝−1； ∴ n →=(0,−1,1)；设直线AC 和平面PBC 所成角为α，则： sinα=|cos <AC →,n →>|=|AC →⋅n→|AC →||n →||=22√2⋅√2=12； 又α∈[0,π2]； ∴ α=π6；即直线AC 和平面PBC 所成角为π6；(Ⅲ)设M(0, y, z)，M 在棱PB 上，则：BM →=λBP →,(0<λ<1)； ∴ (0, y, z)＝λ(0, 2, 2)；∴ M(0, 2λ, 2λ)，E(1, 1, 0)；∴ EM →=(−1,2λ−1,2λ),AP →=(0,0,2)； 因为直线EM 与直线AP 所成角的余弦值3√1414； 设直线EM 和直线AP 所成角为θ； 所以cosθ=|EM →⋅AP →|EM →||AP →||=4λ√8λ2−4λ+2⋅2=3√1414； ∴ 8λ2−18λ+9＝0； 解得λ=34，或λ=32（舍去）；∴ M(0, 32,32 )；∴ MC=√4+94+94=√342．18. （1）函数f(x)＝x+ax+lnx(x>0)，f′(x)＝1−ax2+1x=x2+x−ax2，f(x)在x＝1处取得极小值，即有f′(1)＝0，解得a＝2，经检验，a＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值．则有a＝2；（2）f′(x)＝1−ax2+1x=x2+x−ax2，x>0，f(x)在区间(1, 2)上单调递增，即为f′(x)≥0在区间(1, 2)上恒成立，即a≤x2+x在区间(1, 2)上恒成立，由x2+x∈(2, 6)，则a≤2；(Ⅲ)g(x)＝f′(x)−x＝1−ax2+1x−x，x>0，令g(x)＝0，则a＝−x3+x2+x，令ℎ(x)＝−x3+x2+x，x>0，则ℎ′(x)＝−3x2+2x+1＝−(3x+1)(x−1)，当x∈(0, 1)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1)递增；当x∈(1, +∞)，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1, +∞)递减．即有ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝1，则当a>1时，函数g(x)无零点；当a＝1或a≤0时，函数g(x)有一个零点；当0<a<1时，函数g(x)有两个零点．19. （1）设动点E的坐标为(x, y)，由抛物线定义知，动点E的轨迹是以(1, 0)为焦点，x＝−1为准线的抛物线，∴ 动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b(k≠0)，由{y2=4xy=kx+b，消去x得：ky2−4y+4b＝（0）∵ 直线l与抛物线相切，∴ △＝16−16kb＝0，即b=1k．∴ 直线l的方程为y＝kx+1k．令x＝−1，得y=−k+1k，∴ Q(−1, −k+1k)，设切点坐标P(x 0, y 0)，则ky 02−4y 0+4k=0，解得：P(1k2,2k)，设M(m, 0)，则MQ →⋅MP →=(1k 2−m)(−1−m)+2k (−k +1k ) =−1k 2+m −m k 2+m 2+2k 2−2 =(m −1)(1k 2−m −2)． 当m ＝1时，MQ →⋅MP →=0．∴ 以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点M(1, 0)．20. （I ）由{a n }伴随数列{b n }的定义可得前5项为1，1，1，2，（3） (II)由a n ＝3n−1≤m ，可得n ≤1+log 3m ，m ∈N ∗， ∴ 当1≤m ≤2时，m ∈N ∗，b 1＝b 2＝1；当3≤m ≤8时，m ∈N ∗，b 3＝b 4＝...＝b 8＝2； 当9≤m ≤20时，m ∈N ∗，b 9＝b 10＝ (3)∴ 数列{a n }的伴随数列{b n }的前20项和＝1×2+2×6+3×12＝50； (III)由a n ＝3n −2≤m ，解得n ≤m+23，∵ 不等式a n ≤m 成立的最大值为b m ，∴ b 1＝b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝b 6＝2，…，b 3n−2+b 3n−1+b 3n ＝t(t ∈N ∗)， ∴ 当n ＝3t −2时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+(t−1)2(t −1)+t =3t 2−t 2=16(n +1)(n +2)；当n ＝3t −1时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+(t−1)2(t −1)+2t =3t 2+t 2=16(n +1)(n +2)；当n ＝3t 时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+t 2×t =3(t 2+t)2=16n(n +3)．∴ S n ={(n+1)(n+2)6,(n =3t −23t −1)n(n+3)6,(n =3t)(t ∈N ∗)．。
北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学
北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学（理）试题 命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =A.}5,4,3{B.}6,5,4{C.}63/{≤<x xD. }63/{<≤x x2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是 A ． ），（11 B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于A. 1B.53C. 2D. 3 4.”1“>x 是”1“2>x 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知角α的终边经过点53cos 且)4,(-=-αm P ，则m 的值为 A. 3 B. -3 C. 3± D. 5第Ⅱ卷二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11. 已知命题022,:0200≤++∈∃x x R x P ，那么该命题的否定是_____________.12. 已知53),sin ,2(=∈αππα，则)4tan(πα+=_____________． 13. 若等比数列}{n a 满足40,205342=+=+a a a a ，，则公比=q _________；前n 项和=n S _______________________.14．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的 部分图象如图所示，则ω=______________；ϕ=____________________.15. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=232121022x x x x x f ，，，）（，则)3(f =_______________,函数的的值域是 .16. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数)(x f 的图像恰好通过)(*∈N n n 个整点，则称函数)(x f 为n 阶整点函数，有下列函数：① xx f 2sin )(= ② 3)(x x g = ③ x x h )31()(= ④x x ln )(=ϕ其中，是一阶整点函数的是_____________________.东城区普通校2014-2015学年第一学期联考试卷答案高三数学（理科）命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月第Ⅰ卷三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5答案 B D C A A第Ⅱ卷四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．。
【真题】2015-2016年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(文科)与答案
2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣44．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=05．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=；b=．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；，S k成等比数列，求正整数k的值．（II）若a3，a k+116．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.0018．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k 1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴m=3，故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣4【解答】解：+=（﹣1，2+x）．﹣=（3，2﹣x），∵+与﹣平行，∴3（2+x）+（2﹣x）=0，解得x=﹣4．4．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+1=2（x﹣1）．∴2x﹣y﹣3=0．故选：A．5．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．④是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B．6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sin2α﹣cos2α=1，化为=，∴=或，k∈Z．当k=0时，可得α=或．∴“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”必要不充分条件，7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．【解答】解：由题意，执行程序框图，有x=5不满足条件x≤0，有x=x﹣2=3不满足条件x≤0，有x=x﹣2=1不满足条件x≤0，有x=x﹣2=﹣1满足条件x≤0，此时经相应关系式计算得y=，检验4个选项，有A，y=（﹣1）3=﹣1，不正确．B，y=3×（﹣1）=﹣3，C，y=3﹣1=，D，y==﹣．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]【解答】解：若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a﹣x2=﹣（x+1）⇔a=x2﹣x﹣1在区间[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣x﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=1时，g（x）取最小值﹣1，当x=2时，函数取最大值1，故a∈[﹣1，1]，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=1；b=5．【解答】解：由题意可得S=acsinB=×a×4×=2，解得a=1，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2acsinB，=1+32﹣2×1×4×=25，解得b=5．故答案为：1；5．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是25．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，∴对应的学生人数是100×=25．故答案为：25．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S==6，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==4，故答案为：4．13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为64dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．【解答】解：可设A i纸张的长度为y i，i=0，1， (8)由A4纸的宽度为2dm，且纸张的幅宽和长度的比例关系都为，可得y4=2，由题意可得y0=2•24=32，即有A0纸的面积为32×2=64dm2；由A0，A1，A2，…，A8纸9张纸的面积构成一个以64为首项，为公比的等比数列，可得这9张纸的面积之和为=dm2．故答案为：64，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若a3，a k，S k成等比数列，求正整数k的值．+1【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意知a2+a3=10，即2a1+3d=10，由a1=2，解得d=2．所以a n=2+2（n﹣1）=2n，即a n=2n，n∈N*．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．又a3=2×3=6，a k+1=2（k+1），由已知可得，即（2k+2）2=6（k2+k），整理得k2﹣k﹣2=0，k∈N*．解得k=﹣1（舍去）或k=2．故k=2．…（13分）16．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由表格可知，f（x）的周期，所以．又由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinx=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=．由sinx∈[﹣1，1]，所以当时，g（x）有最大值；当sinx=﹣1时，g（x）有最小值﹣3．…（13分）17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.00【解答】（共13分）（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为．解：即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=．…（13分）18．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE．又因为AE⊥DE，CD∩DE=D，所以AE⊥平面CDE．又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE．…（7分）（Ⅱ）在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE．设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，则．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB．又FM∥CD，所以FM∥AB．因为CD=3AB，所以FM=AB．所以四边形ABMF是平行四边形．所以AF∥BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣e x，f′（x）=1﹣e x．当x=0时，y=﹣1，又f′（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）由f（x）=x﹣ae x，得f′（x）=1﹣ae x．当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增；当x=a时，f（a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）≤0，当x=1时，f（1）=1﹣ae＞0，所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；当a＞0时，令f'（x）=0，得x=﹣lna．f（x）与f'（x）在区间（﹣∞，+∞）上的情况如下：若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，则有f（﹣lna）=0，即﹣lna﹣a e﹣lna=0．解得．综上所述，当a≤0或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；（Ⅲ）曲线f（x）=x﹣ae x与曲线g（x）=x3最多有3个交点．20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由椭圆过点，则．又，故．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，由解得或故，．…（8分）②k1+k2为定值，且k1+k2=0．设直线的方程为．由消y ，得x 2+2mx +2m 2﹣4=0．当△=4m 2﹣8m 2+16＞0，即﹣2＜m ＜2时，直线与椭圆交于两点． 设A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2m ，．又，，故=．又，，所以（y 1﹣1）（x 2﹣2）+（y 2﹣1）（x 1﹣2）==x 1x 2+（m ﹣2）（x 1+x 2）﹣4（m ﹣1）=2m 2﹣4+（m ﹣2）（﹣2m ）﹣4（m ﹣1）=0． 故k 1+k 2=0．…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学
北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学（理）试题 命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =A.}5,4,3{B.}6,5,4{C.}63/{≤<x xD. }63/{<≤x x2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是 A ． ），（11 B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于A. 1B.53C. 2D. 3 4.”1“>x 是”1“2>x 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知角α的终边经过点53cos 且)4,(-=-αm P ，则m 的值为 A. 3 B. -3 C. 3± D. 5第Ⅱ卷二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11. 已知命题022,:0200≤++∈∃x x R x P ，那么该命题的否定是_____________.12. 已知53),sin ,2(=∈αππα，则)4tan(πα+=_____________． 13. 若等比数列}{n a 满足40,205342=+=+a a a a ，，则公比=q _________； 前n 项和=n S _______________________.14．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的 部分图象如图所示，则ω=______________；ϕ=____________________.15. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=232121022x x x x x f ，，，）（，则)3(f =_______________,函数的的值域是 .16. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数)(x f 的图像恰好通过)(*∈N n n 个整点，则称函数)(x f 为n 阶整点函数，有下列函数：① xx f 2sin )(= ② 3)(x x g = ③ x x h )31()(= ④x x ln )(=ϕ其中，是一阶整点函数的是_____________________.东城区普通校2014-2015学年第一学期联考试卷答案高三数学（理科）命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月第Ⅰ卷三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5答案 B D C A A第Ⅱ卷四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．。
2015-2016东城区第一学期期末数学文科答案定稿
东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1） C （2）C （3）D （4）A （5）B （6）B （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）54（10）1 5 （11）25 （12）4（13）（14） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意知2310a a +=，即12+310a d =，由12a = ，解得2d =.所以22(1)2n a n n =+-=，即2n a n = ,n *∈N . ………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2(22)2n n nS n n +==+，所以2k S k k =+. 又3236a =⨯=，12(1)k a k +=+，由已知可得213k k a a S +=，即22(22)6()k k k +=+，整理得 220k k --=，*k ∈N . 解得1k =-（舍去）或2k =.故2k =. ………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由表格可知，()f x 的周期()22T ππ=--=π， 所以22ωπ==π. 又由()sin 201ϕ⨯+=，且02ϕ<<π，所以2ϕπ=. 所以()sin(2)cos 22f x x x π=+=. ………………………………6分 （Ⅱ）2()()2sin cos 22sin 12sin 2sin g x f x x x x x x =+=+=-+2132(sin )22x =--+. 由sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 2x =时，()g x 有最大值32； 当sin 1x =-时，()g x 有最小值3-. ………………………………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，第3组的频率为300.300100=. 即①处的数据为35，②处的数据为0.300. ………………………………3分（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生,所以利用分层抽样,在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人；第4组:206260⨯=人；第5组:106160⨯=人. 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人. ………………………………6分 （Ⅲ）设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，第4组的2位同学为1B ，2B ，第5组的1位同学为1C ，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为: 12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A C ，31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A C ，12(,)B B ，11(,)B C ，21(,)B C .其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有: 11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，11(,)B C ，21(,)B C ，12(,)B B 9种可能.所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P =93155=. ………………………13分 （18）（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. 又因为AE DE ⊥，CDDE D =,所以AE ⊥平面CDE .又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . ………………………………7分（Ⅱ）在线段DE 上存在一点F ,且13EF ED =，使AF 平面BCE .设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =. 过点F 作FMCD 交CE 于M ，则13FM CD =.因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以CDAB .又FM CD ，所以FMAB .因为3CD AB =，所以FM AB =. 所以四边形ABMF 是平行四边形. 所以AFBM .又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ， 所以AF平面BCE . ………………………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，()e xf x x =-，()1e xf x '=-.当0x =时，1y =-，又(0)0f '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =-. ………………………………4分（Ⅱ）由()e xf x x a =-，得()1e xf x a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增.当x a =时，()e (1e )0a af a a a a =-=-≤，当1x =时，(1)1e >0f a =-，所以当0a ≤时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点； …………………8分 当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =-.()f x 与()f x '在区间(,)-∞+∞上的情况如下：ABCED FM若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，则有(ln )0f a -=，即ln ln e0aa a ---=.解得1ea =.综上所述，当0a ≤或1ea =时，曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点. …………………12分 （Ⅲ）曲线()e xfx x a =-与曲线3()g x x =最多有3个交点. …………………14分（20）（共14分）解：(Ⅰ)由椭圆过点(0，则b =又a b += 故a =所以椭圆C 的方程为12822=+y x . ………………………………4分(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是1:2l y x =由2212182y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，或220.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故2121--=k ，2122-=k . ………………………………8分 ②21k k + 为定值，且021=+k k . 设直线的方程为m x y +=21. 由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ，得042222=-++m mx x . 当0168422>+-=∆m m ，即22<<-m 时，直线与椭圆交于两点.设),(11y x A .),(22y x B ,则122x x m +=-，42221-=m x x .又21111--=x y k ，21222--=x y k ， 故2121221121--+--=+x y x y k k =)2)(2()2)(1()2)(1(211221----+--x x x y x y . 又m x y +=1121，m x y +=2221， 所以)2)(1()2)(1(1221--+--x y x y )2)(121()2)(121(1221--++--+=x m x x m x)1(4))(2(2121--+-+=m x x m x x 0)1(4)2)(2(422=----+-=m m m m .故021=+k k . ………………………………14分。
2015年北京市高考数学试卷(文科)(解析版)
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为（ ）
7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90
B．100
C．180
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（
2．（5 分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1
B．（x+1）2+（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）2=2
D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
【考点】J1：圆的标准方程． 菁优网版 权所有
【专题】11：计算题；5B：直线与圆． 【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程． 【解答】解：由题意知圆半径 r= ， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 故选：D． 【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
19．（13 分）设函数 f（x）= ﹣klnx，k＞0． （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点．
20．（14 分）已知椭圆 C：x2+3y2=3，过点 D（1，0）且不过点 E（2，1）的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M．
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2015年北京东城高三一模数学（文科）试题及答案
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）
高三数学 （文科）
本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项）
（1）在复平面内，复数12i z =-对应的点的坐标为
（A ）(1,2) （B ）(2,1)
（C ） (1,2)- （D ）(2,1)-
（2）双曲线2
21
4x y -=的渐近线方程为
（A ）
12y x =± （B ）3y x =± （C ）2y x =± （D ）5y x =±
（3）记函数)(x f 的导函数为)(x f '，若()f x 对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为
1y x =-+，则
（A ）0()=2f x '
（B ）0()=1f x ' （C ）0)(0='x f （D ）0()=1f x '-
（4）已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异
面直线，则p 是q 的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（5）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，则事件“310x -<”发生
的概率为
（A ）1
2 （B ）13
（C ）1
4
（D ）16
（6）执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为4，
则图中判断框内①处应填
（A ）2 （B ）3
（C ）4 （D ）5
（7）设集合
1,(,) 1.x y D x y x y ⎧⎫+≥⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-≤⎩⎪⎪⎩⎭，则下列命题中正确的是 （A ）(,)x y ∀D ∈，20x y -≤
（B ）(,)x y ∀D ∈，22x y +≥- （C ）(,)x y ∀D ∈，2x ≥ （D ）(,)x y ∃D ∈，1y ≤-
（8）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的学生，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的学生，下星期一会有30%改选A 种菜．用
n a ，n b 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数，若1300a =，则+1n a 与n a 的关系可以表示为
（A ）111502n n a a +=+ （B ）112003n n a a +=+
（C ）113005n n a a +=+ （D ）121805n n a a +=+
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知集合{}1A =，{}1,21B m =--，若A ≠⊂B ，则实数m 的值为 ．
（10）将函数
()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移6π个单位后所得图象对应的解析式为 ．
（11）在矩形ABCD 中，AB =(1,3)-，(,2)AC k =-，则实数k = ．
（12）已知函数()f x 的对应关系如下表所示,数列{}n a 满足1
3a =，1()n n a f a +=,则4a = ，
2015a = ． x
1 2 3 ()f x
3
2 1 （13）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=．当[0x ∈，1]时，
()2f x x =.若在区间[2-，3]上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．
（14）C 是曲线
21(10)y x x =--≤≤上一点，CD 垂直于y 轴，D 是垂足，点A 的坐标是1,0-（）．设CAO θ∠=(其中O 表示原点)，将AC CD +表示成关于θ的函数()f θ，则()f θ= ，()f θ的最大值为 ．
三、解答题（共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题共13分）
下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).
甲组
乙组 9
0 9 x 2
1 5 y 8 7
4 2 4 已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8.
（Ⅰ）求x ，y 的值； （Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．
（16）（本小题共13分）
在△ABC 中，sin 3cos 2A A +=．
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）现给出三个条件：①2a =； ②45B =；③3c b =．
试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC 的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) ．
（17）（本小题共14分）
如图甲，⊙O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，且CBA ∠3DAB π
=∠=．沿直径AB 将半圆ACB 所在平面折起，使两
个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）．F 为BC 的中点，E 为AO 的
中点．
（Ⅰ）求证 ：CB DE ⊥；
（Ⅱ）求三棱锥C BOD -的体积；
（Ⅲ）在劣弧BD 上是否存在一点G ，使得FG ∥平面ACD ？若存
在，试确定点G 的位置；
若不存在，请说明理由．
（18）（本小题共14分） 已知1x =是函数()2ln b f x
x x x
=+
+的一个极值点． （Ⅰ）求实数b 的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调递减区间； （Ⅲ）设函数3()()g x f x x
=-
，试问过点2（，5）可作多少条直线与曲线()y g x =相切？请说明理由．
（19）（本小题共13分）
图乙
已知椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，M 为椭圆上任意一点且△12MF F 的周长等于6．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 4x =：有公共点时，求△
12MF F 面积的最大值．
（20）（本小题共13分）
已知等差数列{}n a 中错误！未找到引用源。
，1
5a =，2474a a =，数列{}n b 前n 项和为n S ,且2(1)n n S b =-n *∈N （）.
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列
,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，求{}n c 错误！未找到引用源。
的前n 项和n T ； （Ⅲ）把数列{}n a 和{}n b 的公共项从小到大排成新数列{}n d ,试写出1d ，2d ，并证明{}n d 为等比数列．。