人教版九年级下册数学27.2.3相似三角形应用举例
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人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例优秀教学案例
2.引导学生运用相似三角形的性质进行分析和计算，鼓励他们分享解题思路和方法。
3.教师巡回指导，对学生的解题过程进行观察和评价，及时给予指导和鼓励。
4.邀请小组代表分享他们的讨论结果和解题过程，引导其他学生进行学习和借鉴。
（四）总结归纳
1.引导学生回顾本节课所学习的内容，总结相似三角形的性质和应用方法。
1.培养学生对数学学科的兴趣，使他们愿意主动学习数学，提高他们的数学素养。
2.培养学生勇于探究、积极思考的学习精神，使他们养成良好的学习习惯。
3.使学生认识到数学在现实生活中的重要性，培养他们运用数学知识解决实际问题的意识。
4.通过对本节课的学习，使学生感受到数学的乐趣，提高他们的学习积极性。
三、教学策略
2.鼓励学生对自己的学习过程进行评价，发现优点和不足，提高自我认知。
3.组织学生进行互评，让他们在评价中互相学习，共同进步。
4.教师对学生的学习情况进行总结性评价，关注学生的成长和进步，给予肯定和鼓励。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一幅图片，图片中包含两个相似的三角形，引导学生观察并思考这两个三角形的相似性质。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的性质，并掌握其在解决实际问题中的应用方法。
2.能够通过具体实例，将实际问题转化为数学问题，并运用相似三角形的性质进行解答。
3.熟练运用相似三角形的性质进行证明和计算，提高解题能力。
4.了解相似三角形在现实生活中的应用，感受数学与生活的紧密联系。
（二）过程与方法
人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例优秀教学案例
一、案例背景
本节内容是“人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例”，是在学生已经掌握了相似三角形的性质和判定方法的基础上进行学习的。通过本节课的学习，使学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
3.教师巡回指导，对学生的解题过程进行观察和评价，及时给予指导和鼓励。
4.邀请小组代表分享他们的讨论结果和解题过程，引导其他学生进行学习和借鉴。
（四）总结归纳
1.引导学生回顾本节课所学习的内容，总结相似三角形的性质和应用方法。
1.培养学生对数学学科的兴趣，使他们愿意主动学习数学，提高他们的数学素养。
2.培养学生勇于探究、积极思考的学习精神，使他们养成良好的学习习惯。
3.使学生认识到数学在现实生活中的重要性，培养他们运用数学知识解决实际问题的意识。
4.通过对本节课的学习，使学生感受到数学的乐趣，提高他们的学习积极性。
三、教学策略
2.鼓励学生对自己的学习过程进行评价，发现优点和不足，提高自我认知。
3.组织学生进行互评，让他们在评价中互相学习，共同进步。
4.教师对学生的学习情况进行总结性评价，关注学生的成长和进步，给予肯定和鼓励。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一幅图片，图片中包含两个相似的三角形，引导学生观察并思考这两个三角形的相似性质。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的性质，并掌握其在解决实际问题中的应用方法。
2.能够通过具体实例，将实际问题转化为数学问题，并运用相似三角形的性质进行解答。
3.熟练运用相似三角形的性质进行证明和计算，提高解题能力。
4.了解相似三角形在现实生活中的应用，感受数学与生活的紧密联系。
（二）过程与方法
人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例优秀教学案例
一、案例背景
本节内容是“人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例”，是在学生已经掌握了相似三角形的性质和判定方法的基础上进行学习的。通过本节课的学习，使学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
人教版九年级下册数学27.2.3：相似三角形的应用 举例 测量(金字塔高度、河宽)问题 课件 (共12张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》教学设计1
人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》教学设计1一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》一节，是在学生学习了相似三角形的性质和判定之后，进一步探讨相似三角形在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解相似三角形在实际生活中的重要性，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形的性质和判定，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在解决实际问题时，往往缺乏将数学知识与实际问题相结合的能力。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生将所学知识应用于实际问题，提高他们的数学应用能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.增强学生对数学学科的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形在实际问题中的应用。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，运用相似三角形的性质和判定解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究相似三角形在实际问题中的应用。
2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示实际问题，提高学生的空间想象能力。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.注重个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到有效的训练和提高。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生运用相似三角形知识解决。
2.准备多媒体课件，展示实际问题及解题过程。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如建筑物的设计、尺子测量等，引导学生思考这些实际问题与数学知识的联系。
从而引出本节课的主题——相似三角形在实际问题中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示一个实际问题：在同一平面内，有两座建筑物，一座高度为30米，另一座高度为18米。
请问，在离这两座建筑物等距离的地点，如何测量出两座建筑物的高度比？教师引导学生分析问题，并提出解决方法：利用相似三角形。
人教版九年级数学下册(教案)：27.2.3相似三角形应用举例
1.结合生活实际，设计更多有趣的ห้องสมุดไป่ตู้例，提高学生对知识点的兴趣；
2.加强课堂互动，关注学生的参与度，引导学生独立思考；
3.在实践活动和小组讨论中，明确主题，提高讨论效率；
4.注重教学方法的多样性，提高课堂效果。
在今后的教学中，我会根据今天的反思，不断调整和优化教学方法，以期提高学生的学习效果。
a.使用多媒体或实物模型，直观展示相似三角形的形成过程，帮助学生理解性质。
b.在讲解几何证明时，引导学生关注三角形角度和边长的关系，逐步引导学生发现相似三角形的特征。
c.创设多样化的实际问题情境，让学生通过小组讨论、动手实践等方式，学会如何在实际问题中建立相似三角形的模型，并解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形应用举例》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量无法直接到达的高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形在实际测量中的应用奥秘。
2.利用相似三角形测距离：通过实例，引导学生学会利用相似三角形的比例关系求解实际距离。
3.相似三角形在几何证明中的应用：结合教材中的例题，让学生熟练掌握相似三角形在几何证明中的运用。
4.实际问题中的应用：结合生活实际，设计一些与相似三角形相关的问题，培养学生学以致用的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，让学生在实践中体会数学的应用价值，提高数学建模的核心素养。
2.强化学生对相似三角形性质的理解和应用，培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提升空间想象力和几何直观核心素养。
2.加强课堂互动，关注学生的参与度，引导学生独立思考；
3.在实践活动和小组讨论中，明确主题，提高讨论效率；
4.注重教学方法的多样性，提高课堂效果。
在今后的教学中，我会根据今天的反思，不断调整和优化教学方法，以期提高学生的学习效果。
a.使用多媒体或实物模型，直观展示相似三角形的形成过程，帮助学生理解性质。
b.在讲解几何证明时，引导学生关注三角形角度和边长的关系，逐步引导学生发现相似三角形的特征。
c.创设多样化的实际问题情境，让学生通过小组讨论、动手实践等方式，学会如何在实际问题中建立相似三角形的模型，并解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形应用举例》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量无法直接到达的高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形在实际测量中的应用奥秘。
2.利用相似三角形测距离：通过实例，引导学生学会利用相似三角形的比例关系求解实际距离。
3.相似三角形在几何证明中的应用：结合教材中的例题，让学生熟练掌握相似三角形在几何证明中的运用。
4.实际问题中的应用：结合生活实际，设计一些与相似三角形相关的问题，培养学生学以致用的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，让学生在实践中体会数学的应用价值，提高数学建模的核心素养。
2.强化学生对相似三角形性质的理解和应用，培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提升空间想象力和几何直观核心素养。
人教版九年级下册数学课件：27.2.3相似三角形应用举例
A
C
B
D
E
利用三角形相似可以解决一些不能 直接测量的物体的长度的问题
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西北 四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据考证， 为建成大金字塔，共动用了１０万人花了２０年时间.原高 １４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,塔顶端被 风化吹蚀.所以高度有所降低 。
1.2m
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
知识要点
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度， 通常用“在同一时刻物高与影长成正比 例”的原理解决。
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
P
例题
求河宽?
45m
60m QR
b
90m
a
S
T
分析：∵∠PQR=∠PST= 90°
∠P=∠P
∴ △PQR ∽△PST
∴ PQ QR ∴ PQ 60
2.4m
C
A 5m
E
┏ 0.8m
D
10m
？
┏ B
5. 在同一时刻物体的高度与它的影长成正 比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹 竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么 高楼的高度是多少米？
6. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定 一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确 定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米， DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
PQ QS ST
PQ 45 90
得 PQ=90
知识要点
测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造 相似三角形求解。
C
B
D
E
利用三角形相似可以解决一些不能 直接测量的物体的长度的问题
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西北 四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据考证， 为建成大金字塔，共动用了１０万人花了２０年时间.原高 １４６．５９米，但由于经过几千年的风吹雨打,塔顶端被 风化吹蚀.所以高度有所降低 。
1.2m
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
知识要点
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度， 通常用“在同一时刻物高与影长成正比 例”的原理解决。
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
P
例题
求河宽?
45m
60m QR
b
90m
a
S
T
分析：∵∠PQR=∠PST= 90°
∠P=∠P
∴ △PQR ∽△PST
∴ PQ QR ∴ PQ 60
2.4m
C
A 5m
E
┏ 0.8m
D
10m
？
┏ B
5. 在同一时刻物体的高度与它的影长成正 比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹 竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么 高楼的高度是多少米？
6. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定 一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确 定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米， DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
PQ QS ST
PQ 45 90
得 PQ=90
知识要点
测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造 相似三角形求解。
九年级数学下册相似三角形27.2.3相似三角形应用举例课件(新版)新人教版
1.观察者眼睛的位置称为 视点 ,由视点出发的线称为 视线 ;在 进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做 仰角 . 2.如图是小明在同一地点观察左、右并排的两棵大树AB和CD的 F 示意图,根据图中的条件回答下列问题:视点是点 ,视线 是 FA , FC ,仰角分别是 ∠AFH ,∠CFK .
解析
������������ 1 .5
关闭
������������
������������
答案
1
3
4
5
3.如图,A,B两处被池塘隔开,在AB外取一点C,连接AC,BC,在AC上取 点M,使AM=3MC.作MN∥AB交BC于点N,量得MN=3.8 m,则AB的长 为 .
关闭
△CMN∽△CAB,
������������ ������������
关闭
A
答案
1
2
3
4
5
2.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根 长为1.5 m的标杆DF,如图所示,量出DF的影子EF的长度为1 m,再 量出旗杆AC的影子BC的长度为6 m,那么旗杆AC的高度为( ) A.6 m B.7 m C.8.5 m D.9 m
关闭
易证△ABC∽△DEF, 所以������������ = ������������ , 即6 = 1, D AC=9 m. 所以
=
������������ ������������
= ,AB=4MN=4× 3.8=15.2(m).
1 4
关闭
15.2 m
解析 答案
1
2
3
4
5
4.
如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从点 A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4 m,BP=2.1 m,PD=12 m,则该古城墙CD的高度是 m.
解析
������������ 1 .5
关闭
������������
������������
答案
1
3
4
5
3.如图,A,B两处被池塘隔开,在AB外取一点C,连接AC,BC,在AC上取 点M,使AM=3MC.作MN∥AB交BC于点N,量得MN=3.8 m,则AB的长 为 .
关闭
△CMN∽△CAB,
������������ ������������
关闭
A
答案
1
2
3
4
5
2.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根 长为1.5 m的标杆DF,如图所示,量出DF的影子EF的长度为1 m,再 量出旗杆AC的影子BC的长度为6 m,那么旗杆AC的高度为( ) A.6 m B.7 m C.8.5 m D.9 m
关闭
易证△ABC∽△DEF, 所以������������ = ������������ , 即6 = 1, D AC=9 m. 所以
=
������������ ������������
= ,AB=4MN=4× 3.8=15.2(m).
1 4
关闭
15.2 m
解析 答案
1
2
3
4
5
4.
如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜,光线从点 A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4 m,BP=2.1 m,PD=12 m,则该古城墙CD的高度是 m.
人教版九年级数学下册课件：27.2.3 相似三角形应用举例
P
Q Rb
aห้องสมุดไป่ตู้
S
T
解：∵∠PQR=∠PST=90 ，∠P=∠P
∴△PQR~△PST。∴ PQ QR PS ST
即
PQ = QR ， PQ 60 PQ QS ST PQ 45 90 PQ 90=（PQ+45） 60 解得：PQ=9（ 0 m） 因此，河宽大约为90m
数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方 法：
例4：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰 勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子 的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相 似三角形，来测量金字塔的高度。
如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为 3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO
B
E
O
A(F)
D
例题
B
??
E
2m
O
201m
B′C′=__________？
其中
A
B
C
A′
B′
C′
因为△ABC∽△A′B′C′，
所以 AB AB
BC BC
,
所 以BC
B C AB AB
125 10
6
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东 南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０ 多米。据考证，为建成大金字塔，共动用了１０万 人花了２０年时间.原高１４６．５９米，但由于经 过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高度有所 降低 。
楼高为48米
2.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在 河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每 隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15 米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线 杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵 树之间还有三棵树，则河宽为 22.5米 米．
Q Rb
aห้องสมุดไป่ตู้
S
T
解：∵∠PQR=∠PST=90 ，∠P=∠P
∴△PQR~△PST。∴ PQ QR PS ST
即
PQ = QR ， PQ 60 PQ QS ST PQ 45 90 PQ 90=（PQ+45） 60 解得：PQ=9（ 0 m） 因此，河宽大约为90m
数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方 法：
例4：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰 勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子 的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相 似三角形，来测量金字塔的高度。
如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为 3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO
B
E
O
A(F)
D
例题
B
??
E
2m
O
201m
B′C′=__________？
其中
A
B
C
A′
B′
C′
因为△ABC∽△A′B′C′，
所以 AB AB
BC BC
,
所 以BC
B C AB AB
125 10
6
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东 南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０ 多米。据考证，为建成大金字塔，共动用了１０万 人花了２０年时间.原高１４６．５９米，但由于经 过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高度有所 降低 。
楼高为48米
2.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在 河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每 隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15 米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线 杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵 树之间还有三棵树，则河宽为 22.5米 米．
27.2.3相似三角形应用举例教学设计2023—2024学年人教版数学九年级下册
-学生作业分析：我将仔细分析学生的作业，了解他们在应用相似三角形知识时遇到的困难和错误。这有助于我发现学生对于相似三角形性质和判定方法的理解程度，以及他们在实际问题解决中的运用能力。
-学生反馈调查：我将设计一份简短的调查问卷，向学生询问他们对相似三角形应用学习的看法。了解他们对课程内容的掌握程度，以及他们在学习过程中遇到的挑战和困惑。
教学方法与手段
教学方法：
1.引导发现法：通过提出问题，引导学生发现相似三角形的性质和判定方法，激发学生的思考和探究兴趣。
2.案例分析法：提供丰富的实际问题案例，让学生运用相似三角形知识进行分析、建模和计算，培养学生的实际问题解决能力。
3.小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作交流，让学生在解决问题的过程中互相学习、互相启发，共同提高。
-提供个性化辅导：针对学生在学习相似三角形过程中遇到的具体困难，我将提供个性化的辅导。根据学生的需求，我将给予个别指导，帮助其克服困难，提高学习效果。
-增加实际问题练习：为了提高学生将相似三角形知识应用于实际问题的能力，我计划增加更多的实际问题练习。这些问题将涵盖不同领域的应用，以激发学生的学习兴趣并提高他们的应用能力。
-促进学生互动：在教学中，我将鼓励学生之间的互动和合作。通过小组讨论和问题解决活动，学生可以互相学习、交流思路，并共同解决问题。这有助于提高学生的理解程度和解决问题的能力。
解决办法：1.通过讲解和举例，让学生充分理解和掌握相似三角形的性质及判定方法。2.提供丰富的实际问题，引导学生运用相似三角形知识进行分析、建模和计算。3.分组讨论和合作交流，让学生在解决问题的过程中互相学习、互相启发，共同提高。4.用多媒体课件或实物模型辅助教学，增强学生的直观想象能力，降低理解难度。5.针对学生的不同需求，给予个别辅导和指导，帮助其克服困难，提高学习效果。
-学生反馈调查：我将设计一份简短的调查问卷，向学生询问他们对相似三角形应用学习的看法。了解他们对课程内容的掌握程度，以及他们在学习过程中遇到的挑战和困惑。
教学方法与手段
教学方法：
1.引导发现法：通过提出问题，引导学生发现相似三角形的性质和判定方法，激发学生的思考和探究兴趣。
2.案例分析法：提供丰富的实际问题案例，让学生运用相似三角形知识进行分析、建模和计算，培养学生的实际问题解决能力。
3.小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作交流，让学生在解决问题的过程中互相学习、互相启发，共同提高。
-提供个性化辅导：针对学生在学习相似三角形过程中遇到的具体困难，我将提供个性化的辅导。根据学生的需求，我将给予个别指导，帮助其克服困难，提高学习效果。
-增加实际问题练习：为了提高学生将相似三角形知识应用于实际问题的能力，我计划增加更多的实际问题练习。这些问题将涵盖不同领域的应用，以激发学生的学习兴趣并提高他们的应用能力。
-促进学生互动：在教学中，我将鼓励学生之间的互动和合作。通过小组讨论和问题解决活动，学生可以互相学习、交流思路，并共同解决问题。这有助于提高学生的理解程度和解决问题的能力。
解决办法：1.通过讲解和举例，让学生充分理解和掌握相似三角形的性质及判定方法。2.提供丰富的实际问题，引导学生运用相似三角形知识进行分析、建模和计算。3.分组讨论和合作交流，让学生在解决问题的过程中互相学习、互相启发，共同提高。4.用多媒体课件或实物模型辅助教学，增强学生的直观想象能力，降低理解难度。5.针对学生的不同需求，给予个别辅导和指导，帮助其克服困难，提高学习效果。
27.2.3 相似三角形应用举例 人教版数学九年级下册课时2课件(29张)
A．一种 C．三种
B．两种 D．四种
对接中考
对接中考
2.(2020·上海中考)《九章算术》中记载了一种测量井深的 方法．如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口的木杆 BD， 从木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测得 AB =1.6米，BD =1米，BE =0.2米， 那么井深 AC 为 7 米．
课堂导入
怎样测量河宽呢？
新知探究
知识点1：利用相似三角形测量宽度
例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个
目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS
与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的 点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b P
由题意知 CP =40 cm，PQ =8 cm， ∴ CQ =CP - PQ =32 cm.
NQ MP
本题源自《教材帮》
随堂练习
NQ MP
本题源自《教材帮》
课堂小结
X型 利 用 相 似 测 量 宽 度
A型
对接中考
1.(2020·玉林中考)一个三角形木架三边长分别是 75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长 为 60 cm 和 120 cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另 一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有( )
本题源自《教材帮》
跟踪训练
本题源自《教材帮》
跟踪训练 2.如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以 看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点， 使得 CD//AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15m，ED=3 m， 则 A、B 两点间的距离为 20 m.
人教数学九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例(共18张PPT)
D
C
AO
B
自主探究2
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸 选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的 直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ．
1. 在实际生活中, 当我们面对不能直接测量 物体的高度和宽度时. 可以把它们转化为有关 相似三角形的数学模型,利用对应边的比相等 来达到求解的目的!
2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型.
课后作业
必做题：教科书第43页习题27.2 第 10 ，11题． 选做题：教科书第44页习题27.2 第 14题．
为 3 m，同时测得一栋楼的影长为 90 m，这栋楼的高度
是多少？
解：设这栋楼的高度为 x m，因为在同一时刻物高
与影长的比相等，所以依题意有
1.8 3
=
x 90
，
解得 x=54（m）．
所以这栋楼的高度是 54 m．
2. 如图，小明为测量一铁塔的高度，他在自
己与铁塔间的地面上平放一面镜子，并在镜子 上做了一个标记O，然后他看着镜子来回移动， 直至看到铁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标 记重合，这时，他测得AO=3米，OB=27米，又 知他身高CA=1.75米，请你帮他算出铁塔DB的 高度。
P
Q Rb
S
Ta
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴ △PQR∽△PST．
∴
PQ PS
=
QR ST
，
即
C
AO
B
自主探究2
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸 选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的 直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ．
1. 在实际生活中, 当我们面对不能直接测量 物体的高度和宽度时. 可以把它们转化为有关 相似三角形的数学模型,利用对应边的比相等 来达到求解的目的!
2. 能掌握并应用一些简单的相似三角形模型.
课后作业
必做题：教科书第43页习题27.2 第 10 ，11题． 选做题：教科书第44页习题27.2 第 14题．
为 3 m，同时测得一栋楼的影长为 90 m，这栋楼的高度
是多少？
解：设这栋楼的高度为 x m，因为在同一时刻物高
与影长的比相等，所以依题意有
1.8 3
=
x 90
，
解得 x=54（m）．
所以这栋楼的高度是 54 m．
2. 如图，小明为测量一铁塔的高度，他在自
己与铁塔间的地面上平放一面镜子，并在镜子 上做了一个标记O，然后他看着镜子来回移动， 直至看到铁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标 记重合，这时，他测得AO=3米，OB=27米，又 知他身高CA=1.75米，请你帮他算出铁塔DB的 高度。
P
Q Rb
S
Ta
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴ △PQR∽△PST．
∴
PQ PS
=
QR ST
，
即
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导入新课
图片引入
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高 大的物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河
——亚马逊河
利用相似三角形可以解决一些不能直 接测量的物体的高度及两物之间的距 离问题.
讲授新课
一 利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利 用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根 木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量 金字塔的高度.
B
C
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E， ∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m， ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例， ∴ EA : ED=1 : 1.2， ∴ AE = 8 m， ∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)， ∴ 学校旗杆的高度为 10 m. A D E B C
例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3m，测 得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠怎样测出 AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. OA 的长？ BO OA ∴ ，
EF
FD
OA EF 201 2 ∴ BO FD 3
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画 出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K. 视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似 地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区 域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往 前走就根本看不到 C 点了.
5. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬 纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调 整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米， 到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度. A
A. 米
二 利用相似三角形测量宽度
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直 的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂 P 直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知 测得QS = 45 m，ST = 90 m， QR = 60 m，请根据这些数据， 计算河宽 PQ. R b Q S T
C B
E
F
D G
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
DE EF . 则 DC CA
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
0.5 0.25 ， ∴ 20 CA
解得：AC = 10， 故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答：旗杆的高度为 11.5 m. C B
三 利用相似解决有遮挡物问题
例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人 估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树 的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的 树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了?
当堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得 教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高 度应为 ( A) A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 (A) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m
a
解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P，
PQ QR ∴△PQR∽△PST. ∴ ， PS ST PQ 60 PQ QR ， 即 ， PQ 45 90 PQ QS ST
PQ×90 = (PQ+45)×60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m.
P
还有其他构造相似三角 形求河宽的方法吗？
课堂小结
利用相似三角形测量高度
相似三角形的应用 举例
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题
3. 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在 可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m，AD ＝15m，ED=3 m，则 A、B 两点间的距离为 20 m.
A
B
C
E
D
4. 如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看 到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC＝ 20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S 到平 面镜的距离 SA 的长度为 12 cm .
=134 (m). 因此金字塔的高度为 134 m.
归纳： 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在 同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
练一练 1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE， 测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即 可，则下面能用来求AB长的等 式是 (C ) A．AB EF B． AB DE DE BC EF BC AB AC AB BC C． D． DE DF DE EF
B
E 平面镜 A
┐ F
┐ O
△ABO∽△AEF
OB OA = EF AF
OA ·EF OB = AF
测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以 用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
试一试： 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的 示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出 发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处， 已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那 么该古城墙的高度是 ( B)
第二十七章
相
似
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量 的物体的高度和宽度. (重点) 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化 为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决 问题的能力. (难点)
A
E
F
D G
6. 如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影 长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面 长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗 杆的高度． A
D
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
EH AH ∴△AEH∽△CEK. ∴ ， EK CK EH 8 1.6 6.4 . 即 EH 5 12 1.6 10.4
由此可知，如果观察者继续前进， 解得 EH=8. 当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树 的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
B
120m
60m C D 50m
E
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
AB 120 AB BD ∴ ，即 ， 50 60 EC DC
解得 AB = 100. A
因此，两岸间的大 致距离为 100 m.
B 120m D
60m C 50m E
归纳： 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度， 常构造相似三角形求解.
60m Q 45m R
b T
S
90m
a
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C， 使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线 确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米， 求两岸间的大致距离 AB． A
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 8 米． 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是______
想一想： 还可以有其他测量方法吗？