高一数学人教b版必修4双基限时练30 半角的正弦、余弦和正切 含解析
高中数学 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.2 半角的正弦余弦和正切课后导练 新人教B版必修4
3.2.2 半角的正弦余弦和正切课后导练基础达标1.若sin2α=2524,则2cos （4π-α）的值为（ ） A.51 B.57 C.±51 D.±57 解析：2cos(4π-α)=2(cos 4πcos α+sin 4π·sin α)=cos α+sin α,由于sin2α=2524,可利用(cos α+sin α)2=1+sin2α=2549. 又∵sin2α=2524>23,故2k π+3π<2α<2k π+32π.从而k π+6π<α<k π+3π(k∈Z ),即α终边在第一象限或第三象限.∴cos α+sin α=±57. 答案：D2.若θθtan 2tan 1+-=1,则θθ2sin 1cos +2的值为（ ） A.3 B.-3 C.-2 D.-21 解析：由已知解得tan θ=-21, ∴cos θθθθθθθθcos sin 2cos sin sin cos 2sin 12cos 2222++-=+ 1411411tan 2tan 1tan 122-+-=++-=θθθ=3. 答案：A3.已知θ是第三象限角，若sin 4θ+cos 4θ=97,那么sin2θ等于（ ） A.332 B.332- C.32 D.32- 解析：将原式配方得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=97,于是1-21sin 22θ=97, ∴sin 22θ=94.由已知,θ在第三象限,故θ∈(2k π+π,2k π+23π),从而2θ∈(4k π+2π,4k π+3π),故2θ在第一、二象限，所以sin2θ=32.答案：C4.若21cos 1sin =+αα,则sin α+cos α的值是（ ） A.57 B.58 C.1 D.1529 解析：由21cos 1sin =+αα,① 得21)cos 1)(cos 1()cos 1(sin =-+-αααα，整理得ααsin cos 1-=21.② 由①得ααsin cos 1+=2.③ ②+③得25sin 2=α,得sin α=54. 又由①得cos α=2sin α-1=2×54-1=53， 故sin α+cos α=54+53=57. 答案：A5.若sin2α=41,且α∈(4π,2π),则cos α-sin α的值是（ ） A.23 B.43 C.23- D.43- 解析：∵(cos α-sin α)2=1-sin ２α=1-41=43, ∴|cos α-sin α|=23.由α∈(4π,2π),知cos α<sin α，∴cos α-sin α=23-. 答案：C6.如果|cos θ|=51,25π<θ<3π,则sin 2θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析：∵25π<θ<3π,45π<2θ<23π，∴cos θ=51-.于是sin 2θ=5152cos 1-=--θ. 答案：C7.(2005上海高考,13) 若cos α=53且α∈(0,2π),则tan 2α=__________. 解析:∵α∈(0,2π),∴2α∈(0,4π).∴tan 2α=21531531cos 1cos 1=+-=+-αα. 答案:21 8.函数f(x)=cosx-sin 2x-cos2x+47的最大值是_________. 解析：f(x)=cosx-(1-cos 2x)-(2cos 2x-1)+47=-cos 2x+cosx+47=-(cosx-21)2+2. 当且仅当cosx=21时,f(x)取最大值2. 答案：2综合运用 9.sin12π-sin 125π+2sin 8πcos 8π=_______________. 解析：原式=sin 12π-sin 125π+2sin 8πcos 8π=sin 12π-sin 125π+sin 4π =sin 12π-cos 12π+sin 4π=2sin(12π-4π)+sin 4π =-2sin6π+sin 4π=2222+-=0. 答案：010.已知0<α<β<2π,sin α与sin β是方程x 2-(2cos40°)x+cos 240°-21=0的两根,则cos(2α-β)=_______.解析：∵Δ=2cos 240°-4cos 240°+2=2sin 240°, ∴x=22cos40°±22sin40°. ∴x 1=sin45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°,x 2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°.又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)=426-. 答案：426- 11.已知cos(α+4π)=53,2π≤α<23π,求cos(２α+4π)的值.解：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π=22(cos2α-sin2α). ∵43π≤α+4π<47π,cos(α+4π)>0,由此知23π<α+4π<47π. ∴sin(α+4π)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--πα,从而有 cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4π) =2×(54-)×53=2524-. sin ２α=-cos(2α+2π)=1-2cos 2(α+4π)=1-2×（53）2=257. ∴cos(2α+4π)=22×(2572524--)=50231-. 拓展探究12.在△ABC 中,求证：tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 证明：∵A、B 、C 是△ABC 的三个内角，∴A+B+C =π. 从而有2C A +=2π-2B . 左边=tan 2B (tan 2A +tan 2C )+tan 2A ·tan 2C =tan 2B ·tan（2A +2C )(1-tan 2A ·tan 2C )+tan 2A tan 2C =tan 2B tan(2π-2B )(1-tan 2A tan 2C )+tan 2A tan 2C =1-tan 2A tan 2C +tan 2A tan 2C =1=右边. ∴等式成立.。
高中数学人教B版必修4：课时跟踪检测(二十七) 半角的正弦、余弦和正切 Word版含答案
课时跟踪检测（二十七） 半角的正弦、余弦和正切层级一 学业水平达标1．已知cos θ＝－14(－180°<θ<－90°)，则cos θ2＝( )A ．－64B.64C ．－38D. 38解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<θ2<－45°.又cos θ＝－14，所以cos θ2＝1＋cos θ2＝ 1－142＝64，故选B. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( ) A ．3 B ．－3 C. 13D ．－13解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13，故选D. 3．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α解析：选B ∵α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，∴sin α<0，cos α>0，则1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－ sin 2α＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.4．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝( ) A. 89 B.1718C ．－89D ．－23解析：选C ∵sin α＋cos α＝13，平方可得1＋sin 2α＝19，可得sin 2α＝－89.2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－89. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2 C ．2π，1D ．2π， 2解析：选A ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋ ⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴该函数的最小正周期为π，最大值为1. 6．若sin θ2＋2cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ2＝－2，则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43.答案：437．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π68．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋cos 2x ＋12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期为π.答案：π 9．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. 证明：∵左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．10．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值． 解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.层级二 应试能力达标1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A. 12B. 12或不存在C ．2D ．2或不存在解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，则tan α2不存在；当cos α2≠0时，则tan α2＝12.2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b . 3．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34，θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62 B ．－62C ．－22D.22 解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0.∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12.∴sin θ＋cos θ＝－22. 5．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.解析：sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝cos 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案：－346．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________．解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B ) ＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32 127．化简：cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－tan α2·(1＋cos α)1－cos α(0<α<π)．解：∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α.又∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2， ∴原式＝－sin α－sin α2sin2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝－22sin α2cosα2⎪⎪⎪⎪sin α2. ∵0<α<π，∴0<α2<π2，∴sin α2>0.∴原式＝－22cos α2.8．已知cos 2θ＝725，π2<θ<π， (1)求tan θ的值． (2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解：(1)因为cos 2θ＝725， 所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725，所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725，解得tan θ＝±34，因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34.(2)2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ，因为π2<θ<π，tan θ＝－34，所以sin θ＝35，cos θ＝－45，所以2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ＝1－45＋35－45＋35＝－4.。
高中数学新人教B版必修4课堂测试 半角的正弦、余弦和正切
课时跟踪检测（二十七） 半角的正弦、余弦和正切层级一 学业水平达标1．已知cos θ＝－14(－180°<θ<－90°)，则cos θ2＝( )A ．－64B.64C ．－38D. 38解析：选B 因为－180°<θ<－90°，所以－90°<θ2<－45°.又cos θ＝－14，所以cos θ2＝1＋cos θ2＝ 1－142＝64，故选B. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( ) A ．3 B ．－3 C. 13D ．－13解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45， 所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13，故选D. 3．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α解析：选B ∵α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，∴sin α<0，cos α>0， 则1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－ sin 2α＝|cos α|－|sin α| ＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.4．已知sin α＋cos α＝13，则2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝( ) A. 89 B.1718C ．－89D ．－23解析：选C ∵sin α＋cos α＝13，平方可得1＋sin 2α＝19，可得sin 2α＝－89.2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝－89. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2 C ．2π，1D ．2π， 2解析：选A ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋ ⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴该函数的最小正周期为π，最大值为1. 6．若sin θ2＋2cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ2＝－2，则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43.答案：437．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：∵3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π68．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋cos 2x ＋12＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期为π. 答案：π9．求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α. 证明：∵左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．10．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a >0，ω>0)的最大值为2.x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R|f (x )＝0}中的任意两个元素，|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求a ，ω的值；(2)若f (α)＝23，求sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4α的值． 解：(1) f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3 sin(2ωx ＋φ)，其中tan φ＝3a. 由题意知a 2＋3＝2，a >0，则a ＝1.f (x )的最小正周期为π，则2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由f (α)＝23知2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝23，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝13. 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4α＝sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫4α＋2π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫4α＋2π3＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 层级二 应试能力达标1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A. 12 B. 12或不存在C ．2D ．2或不存在解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，得4sin α2cos α2＝2cos 2 α2，当cos α2＝0时，则tan α2不存在；当cos α2≠0时，则tan α2＝12.2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2tan 13°1＋tan 213°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a解析：选C a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∴a <c <b . 3．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 解析：选C 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34，θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62 B ．－62C ．－22D.22 解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴2θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0.∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12.∴sin θ＋cos θ＝－22. 5．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.解析：sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝cos 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案：－346．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________． 解析：∵A ＋B ＝2π3，∴cos 2A ＋cos 2B ＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B ) ＝1＋cos2π3cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.答案：32 127．化简：cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－tan α2·(1＋cos α)1－cos α(0<α<π)．解：∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴(1＋cos α)tan α2＝sin α.又∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2， ∴原式＝－sin α－sin α2sin2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝－22sin α2cosα2⎪⎪⎪⎪sin α2. ∵0<α<π，∴0<α2<π2，∴sin α2>0.∴原式＝－22cos α2.8．已知函数f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若π4＜α＜π2，且f (α)＝－5213，求sin 2α的值．解：(1)因为f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x ，所以f (x )＝sin 2x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期是π. (2)f (α)＝－5213，即2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－5213， sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－513. 因为π4＜α＜π2，所以3π4＜2α＋π4＜5π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－1213， 所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π4－π4 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4－22cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫－513－22×⎝⎛⎭⎫－1213＝7226.。
高中数学必修4课后限时训练29 半角的正弦、余弦和正切
高中数学必修4课后限时训练29 半角的正弦、余弦和正切题组1：基础巩固一、选择题1．cos θ＝－15，5π2<θ<3π，则sin θ2＝( ) A ．105B ．－105C ．155D ．－155答案：D解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2， ∴θ2是第三象限角， ∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 2．下列各式中，值等于12的是( ) A ．cos45°cos15°＋sin45°sin15° B ．cos 2π12－sin 2π12 C ．tan22.5°1－tan 222.5°D ．1＋cos π32答案：C解析：tan22.5°1－tan 222.5°＝2tan22.5°2(1－tan 222.5°)＝12tan45°＝12. 3．已知2sin θ＝1＋cos θ，则cot θ2的值为( ) A ．2 B ．12C ．12或0 D ．2或0 答案：D 解析：2sin θ＝2cos 2θ2， ∴2cos θ2⎝⎛⎭⎫2sin θ2－cos θ2＝0， ∴cos θ2＝0或2sin θ2－cos θ2＝0，∴cot θ2＝0或2. 4．化简：sin2x ·⎝⎛⎭⎫1＋tan x ·tan x 2结果应为( ) A ．2sin x B ．2cos xC ．2sin2x －2sin xD ．tan x答案：A解析：∵1＋tan x ·tan x 2＝1＋tan x ·1－cos x sin x＝1＋1－cos x cos x ＝1cos x， ∴原式＝sin2x ·1cos x ＝2sin x cos x ·1cos x ＝2sin x .5．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2＝( ) A ．－12 B ．12C ．2D ．－2答案：A解析：解法一：∵cos α＝－45，α是第三象限角， ∴sin α＝－35，tan α2＝1－cos αsin α＝1＋45－35＝－3， ∴1＋tan α21－tan α2＝1－31＋3＝－12. 解法二：∵α是第三象限角，cos α＝－45， ∴sin α＝－35. ∴1＋tan α21－tan a 2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2 ＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝ 1－35－45＝－12. 6．函数y ＝cos 2(x ＋π4)，x ∈R ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数答案：A解析：y ＝cos 2(x ＋π4)＝12＋12cos(2x ＋π2)＝12－12sin2x ，x ∈R . ∴函数y ＝cos 2(x ＋π4)是奇函数． 二、填空题7．已知sin α2＋cos α2＝－35，且5π2<α<3π，则cot α4的值为________． 答案：1－52解析：由sin α2＋cos α2＝－35，得sin α＝45， ⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝1－sin α＝1－45＝15. ∵5π2<α<3π，∴5π4<α2<3π2，5π8<α4<3π4. ∴sin α2<cos α2.∴sin α2－cos α2＝－15. 再由已知得cos α2＝－15， ∴cot α4＝－1＋cos α21－cos α2＝－1－551＋55＝1－52. 8．若f (α)＝12cot α－sin α2cos α21－2cos 2α2，那么f ⎝⎛⎭⎫π12的值为________． 答案：3解析：原式＝12cot α＋12tan α＝tan 2α＋12tan α＝1tan2α， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝1tan π6＝ 3. 三、解答题9．化简：(1＋sin α＋cos α)(sin α2－cos α2)2＋2cos α(0<α<π)． 解析：∵0<α<π， ∴0<α2<π2， ∴原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)(sin α2－cos α2)2·2cos 2α2＝2cos α2(cos α2＋sin α2)(sin α2－cos α2)2cos α2＝sin 2α2－cos 2α2＝－cos α. 题组2：能力提升一、选择题1．设a ＝22(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°·cos38°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′，d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a 、b 、c 、d 的大小关系为( )A ．a >b >d >cB ．b >a >d >cC ．d >a >b >cD ．c >a >d >b答案：B解析：a ＝sin56°cos45°－cos56°sin45°＝sin(56°－45°)＝sin11°＝cos79°，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°＝sin40°(－sin38°)＋cos40°cos38°＝cos(40°＋38°)＝cos78°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′＝cos81°， d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1) ＝12[cos80°－(2cos 250°－1)] ＝12(cos80°＋cos80°)＝cos80°， ∴b >a >d >c ，故选B.2．若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ＝( ) A ．35 B ．45C ．74D ．34答案：D解析：本题考查了三角恒等变换以及倍半角公式．由θ∈[π4，π2]可得2θ∈[π2，π]， cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18， sin θ＝1－cos2θ2＝34. 3．已知θ为第二象限的角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2的值为( ) A ．－35 B ．±35C ．22D ．±45答案：B解析：由25sin 2θ＋sin θ－24＝0，得(25sin θ－24)·(sin θ＋1)＝0，∴sin θ＝2425或sin θ＝－1.又∵θ为第二象限的角，∴sin θ＝2425，且θ2是第一象限角或第三象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，cos θ2＝±1＋cos θ2＝±35. 4．若tan θ＋12＋tan θ＝13，则cos2θ1＋sin2θ的值为( ) A ．3 B ．－3C ．－2D ．－12答案：A解析：由条件得tan θ＝－12， ∴cos2θ1＋sin2θ＝(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ)(sin θ＋cos θ)2＝1－tan θ1＋tan θ＝3. 二、填空题5．函数y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2(x －1)cos π2x 的最小正周期是________． 答案：2解析：y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2(x －1)cos π2x＝cos ⎝⎛⎭⎫π2x －π2·cos π2x ＝sin π2x ·cos π2x ＝12sinπx ， ∴最小正周期T ＝2.6．设向量a ＝(cos α，12)的模为22，则cos2α的值为________． 答案：－12解析：由已知，得cos 2α＋14＝12，∴cos 2α＝14. ∴cos2α＝2cos 2α－1＝－12. 三、解答题7．已知θ为钝角，且cos ⎝⎛⎭⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝18，求tan θ的值．解析：由条件可知cos2θ＝14，又2θ∈(π，2π)， ∴sin2θ＝－154，∴tan θ＝sin2θ1＋cos2θ＝－155. 8．求证：cos 2αcot α2－tan α2＝14sin2α. 解析：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αcos α12sin α ＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边． ∴等式成立．。
3.2.2半角的正弦、余弦和正切课件人教新课标B版
二.课堂探究 半角公式
cos2α＝ 1－2sin2α
cos2α＝2cos2 1
sin2
1
cos2
2
降幂扩角公式 cos2 1 cos2
(以 代替 )
2
sin 2 1 cos
2
cos2 1 cos
2
2
2
2
sin 1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos
5.化简 2sin 2 • cos2 等于（） 1 cos 2 cos 2
A. tan
B.tan 2 C.1
6.函数y 2sin2 ( x) 1是（）
D. 1 2
4
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数
2
2
7.若A为三角形的一个内角， 则 1 cos A 1 cos A可化简为（）
2
3 sin 2x 5
2 3 sin 2x 2 cos 2x 3
4sin(2x ) 3
(1)令2x
6
2k
(k Z)
x k (k Z )
6
2
f (x)取得最大值时 x的集合为 x
x
3
k
,
3
k
z
(2)
f
( x)单调递增区间是
k
6
, k
3
,
k
z
三.课堂小结
1．理清倍角与半角的相对关系，相互转化， 熟记半角公式．
2
1－a D.－ 2
2.已知 cos θ＝79，且 270°＜θ＜360°，则 cosθ2的值为(
数学人教b版高一必修4：3.1.2、3两角和与差的正弦两角和与差的正切作业含解析
双基达标(限时20分钟)1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝()．A．sin(2α＋β) B．sin βC．cos(2α＋β) D．cos β解析原式＝cos[](α＋β)－α＝cos β，故选D.答案 D2．计算sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是()．A.32 B.12C．－32D．－12解析原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12，故选B.答案 B3．若α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值为()．A.12B．1C.32D．2解析(1－tan α)(1－tan β)＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)①∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan 34π(1－tan αtan β)＝tan αtan β－1，∴①式＝2，故选D.答案 D4．已知tan α＝2，tan β＝3，α、β均为锐角，则α＋β的值是________．解析因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1，又α、β是锐角，0<α＋β<π，所以由tan(α＋β)＝－1得α＋β＝3 4π.答案3π45．如果cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值是________．解析 由cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π知sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θcos π4－sin θsin π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－713＝－7226.答案 －72266．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β， 并用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值． 解 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β， ∴等式成立．于是，sin 220°＋sin 80°·sin 40° ＝sin 220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220° ＝sin 260°＝34.综合提高 (限时25分钟)7．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝ ( )．A ．0B ．0或2425 C.2425D ．0或－2425解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425.故选C. 答案 C8．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为 ( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析 由sin A sin B <cos A cos B ⇒cos A cos B －sin A sin B >0⇒cos(A ＋B )>0⇒cos C <0⇒C 是钝角，故选D.答案 D9．计算：sin 75°·sin 15°＝________. 解析 sin 75°sin 15°＝cos 15°cos 75° ＝cos(45°－30°)·cos(45°＋30°)＝(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)(cos 45°cos 30°－ sin 45°sin 30°)＝(cos 45°cos 30°)2－(sin 45°sin 30°)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22×322－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×122＝14.答案 1410．已知在锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，则tan Atan B ＝________. 解析 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇔tan Atan B ＝2.答案 211.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝ 1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.由此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.12．(创新拓展)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(1)若sin x ＝45，求函数f (x )的值； (2)求函数f (x )的值域． 解 (1)∵sin x ＝45，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴cos x ＝－35，f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝453＋35.(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π，∴π3≤x－π6≤5π6，12≤sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π6≤1，∴函数f(x)的值域为[1,2]．。
【高中教育】最新高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-2半角的正弦余弦和正切课后训练新人教B版必修4
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-2半角的正弦余弦和正切课后训练新人教B版必修4______年______月______日____________________部门1．tan 15°＋cot 15°等于( ) A ．2 B ． C ．4 D ．234332．设α∈(π，2π)，则等于( )1cos π2α+(+)A ．B ．sin 2αcos2αC ．D ．sin2α-cos2α-3．若，则sin α＋cos α的值是( )sin 11cos 2αα=+A ．B ．C ．1D ．758529154．若sin 2α＝，且α∈，则cos α－sin α的值是( )14ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．3234 C ． D ．32-34-5．( )1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++A ．tan 2θB ．cot 4θC ．tan 4θD ．cot 2θ6．已知α为三角形的内角，sin α＝，则________.35cot2α=7．若＜α＜2π，且cos α＝，则的值是________．3π2141111cos22222α++ 8．已知0°＜α＜β＜90°，sin α与sin β是方程x2－(cos 40°)x＋cos240°－＝0的两根，则cos(2α－β)＝________.2129．已知，α∈，求2sin2α＋tan α－－1的值．ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan α10．(20xx·北京模拟)已知函数f(x)＝sin 2x －2sin2x.3(1)求的值；π6f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)若x∈，求f(x)的最大值和最小值．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦参考答案1．解析：原式＝＝2－＋2＋＝4.1cos30sin30sin301cos30-︒︒+︒-︒33答案：C2．解析：∵α∈(π，2π)，∴∈，∴.2απ,π2⎛⎫⎪⎝⎭sin 02α> ∴.1cos π1cos =sin sin 2222αααα+(+)-==答案：A3．解析：由，①sin 11cos 2αα=+得，整理得.②sin (1cos )1(1cos )(1cos )2αααα-=+-1cos 1sin 2αα-=由①得.③1cos 2sin αα+= ②＋③得，解得sin α＝.25sin 2α=45又由①得cos α＝2sin α－1＝2×－1＝.4535故sin α＋cos α＝.437555+= 答案：A4．解析：∵(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝1－＝，1434∴|cos α－sin α|＝.由α∈，知cos α＜sin α，∴cos α－sin α＝.32ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭32- 答案：C5．解析：由，得sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+tan 4θ＝，sin81cos81cos8sin8θθθθ-=+所以＝tan 4θ.1sin8cos81sin8cos8θθθθ+-=++答案：C6．解析：由条件，得cos α＝，45±则或.411cos 5cot 332sin 5ααα±+===13 答案：3或137．解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.又cos α＝，3π23π42α14∴.1+cos 10cos 224αα=-=- ∴＝.1111cos22222α++1110cos cos cos 22224ααα+==-=答案：1048．解析：由已知得Δ＝2cos240°－4cos240°＋2＝2sin240°， ∴x ＝cos 40°±sin 40°.2222∴x1＝sin 45°cos 40°＋cos 45°sin 40°＝sin 85°，x2＝sin 45°cos 40°－cos 45°sin 40°＝sin 5°.又由0°＜α＜β＜90°， 知β＝85°，α＝5°，∴cos(2α－β)＝cos(－75°)＝cos 75° ＝cos(45°＋30°)＝.624- 答案：624- 9．解：∵，ππ1sin 2sin 2444αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴，ππ12sin 2cos 2442αα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即.∴.π1sin 422α⎛⎫+= ⎪⎝⎭1cos 42α＝而2sin2α＋tan α－－1＝－cos 2α＋＝.1tan α22sin cos sin cos αααα-2cos2tan2αα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∵α∈，∴2α∈.ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭∴cos 2α＝，1cos4322α+-=- tan 2α＝.1cos431cos43αα--=-+∴，23253cos2tan22233αα⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪-+=--+= ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 即2sin2α＋tan α－－1的值为.1tan α53210．解：(1)＝.π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭2ππ313sin 2sin 213624-=-⨯= (2)f(x)＝sin 2x ＋cos 2x －1＝2－1.3πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为x∈，所以，ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ5π2666x -≤+≤ 所以≤≤1，12-πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以f(x)的最大值为1，最小值为－2.。
数学人教B版必修4课后导练：3.2.2半角的正弦余弦和正
课后导练基础达标1.若sin2α=2524,则2cos （4π-α）的值为（ ） A.51 B.57 C.±51 D.±57 解析：2cos(4π-α)=2(cos 4πcosα+sin 4π·sinα)=cosα+sinα,由于sin2α=2524,可利用(cosα+sinα)2=1+sin2α=2549. 又∵sin2α=2524>23,故2kπ+3π<2α<2kπ+32π.从而kπ+6π<α<kπ+3π(k ∈Z ),即α终边在第一象限或第三象限.∴cosα+sinα=±57. 答案：D2.若θθtan 2tan 1+-=1,则θθ2sin 1cos +2的值为（ ） A.3 B.-3 C.-2 D.-21 解析：由已知解得tanθ=-21, ∴cos θθθθθθθθcos sin 2cos sin sin cos 2sin 12cos 2222++-=+ 1411411tan 2tan 1tan 122-+-=++-=θθθ=3. 答案：A3.已知θ是第三象限角，若sin 4θ+cos 4θ=97,那么sin2θ等于（ ） A.332 B.332- C.32 D.32- 解析：将原式配方得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=97,于是1-21sin 22θ=97, ∴sin 22θ=94.由已知,θ在第三象限,故θ∈(2kπ+π,2kπ+23π),从而2θ∈(4kπ+2π,4kπ+3π),故2θ在第一、二象限，所以sin2θ=32. 答案：C4.若21cos 1sin =+αα,则sinα+cosα的值是（ ） A.57 B.58 C.1 D.1529 解析：由21cos 1sin =+αα,① 得21)cos 1)(cos 1()cos 1(sin =-+-αααα，整理得ααsin cos 1-=21.② 由①得ααsin cos 1+=2.③ ②+③得25sin 2=α,得sinα=54. 又由①得cosα=2sinα-1=2×54-1=53， 故sinα+cosα=54+53=57. 答案：A5.若sin2α=41,且α∈(4π,2π),则cosα-sinα的值是（ ） A.23 B.43 C.23- D.43- 解析：∵(cosα-sinα)2=1-sin ２α=1-41=43, ∴|cosα-sinα|=23.由α∈(4π,2π),知cosα<sinα，∴cosα-sinα=23-. 答案：C6.如果|cosθ|=51,25π<θ<3π,则sin 2θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析：∵25π<θ<3π,45π<2θ<23π，∴cosθ=51-.于是sin 2θ=5152cos 1-=--θ. 答案：C7.(2005上海高考,13) 若cosα=53且α∈(0,2π),则tan 2α=__________. 解析:∵α∈(0,2π),∴2α∈(0,4π).∴tan 2α=21531531cos 1cos 1=+-=+-αα. 答案:21 8.函数f(x)=cosx-sin 2x-cos2x+47的最大值是_________. 解析：f(x)=cosx-(1-cos 2x)-(2cos 2x-1)+47=-cos 2x+cosx+47=-(cosx-21)2+2. 当且仅当cosx=21时,f(x)取最大值2. 答案：2综合运用 9.sin12π-sin 125π+2sin 8πcos 8π=_______________. 解析：原式=sin 12π-sin 125π+2sin 8πcos 8π=sin 12π-sin 125π+sin 4π =sin 12π-cos 12π+sin 4π=2sin(12π-4π)+sin 4π =-2sin6π+sin 4π=2222+-=0. 答案：010.已知0<α<β<2π,sinα与sinβ是方程x 2-(2cos40°)x+cos 240°-21=0的两根,则cos(2α-β)=_______.解析：∵Δ=2cos 240°-4cos 240°+2=2sin 240°,∴x=22cos40°±22sin40°. ∴x 1=sin45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°,x 2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°.又由0°<α<β<90°,知β=85°,α=5°,∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)=426-. 答案：426- 11.已知cos(α+4π)=53,2π≤α<23π,求cos(２α+4π)的值.解：cos(2α+4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4π=22(cos2α-sin2α). ∵43π≤α+4π<47π,cos(α+4π)>0,由此知23π<α+4π<47π. ∴sin(α+4π)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--πα,从而有 cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4π) =2×(54-)×53=2524-. sin ２α=-cos(2α+2π)=1-2cos 2(α+4π)=1-2×（53）2=257. ∴cos(2α+4π)=22×(2572524--)=50231-. 拓展探究12.在△ABC 中,求证：tan 2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 证明：∵A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，∴A+B+C=π. 从而有2C A +=2π-2B . 左边=tan 2B (tan 2A +tan 2C )+tan 2A ·tan 2C =tan 2B ·tan （2A +2C )(1-tan 2A ·tan 2C )+tan 2A tan 2C =tan 2B tan(2π-2B )(1-tan 2A tan 2C )+tan 2A tan 2C =1-tan 2A tan 2C +tan 2A tan 2C =1=右边. ∴等式成立.。
高中数学 双基限时练30 新人教B版必修4
双基限时练(三十)基 础 强 化1．已知sin θ＝35，且π2<θ<3π2，则cos θ2的值为( )A.1010 B.31010C ．±1010D ．±31010解析 ∵sin θ＝35>0，π2<θ<3π2，∴θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. ∴cos θ＝－45，∴cos θ2＝1＋cos θ2＝1010. 答案 A2．下列各式中，值为12的是( )A ．sin15°cos15°B ．2cos 2π12－1 C. 1＋cos30°2D.tan22.5°1－tan 222.5°解析tan22.5°1－tan 222.5°＝12tan45°＝12.故选D. 答案 D3．已知2sin θ＝1＋cos θ，则cot θ2的值为( )A. 2B.12C.12或0 D. 2或0解析 当cos θ＝－1时，经检验满足2sin θ＝1＋cos θ， ∴sin θ＝0，cot θ2＝sin θ1－cos θ＝0；当cos θ≠－1时，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝12.∴cot θ2＝2.故选D.答案 D4．若θ是第二象限的角，且cos θ2<0，则1－sin θsin θ2－cosθ2的值是( )A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析 θ是第二象限的角，且cos θ2<0，∴2k π＋54π<θ2<2k π＋32π，k ∈Z .∴cos θ2>sin θ2.1－sin θsin θ2－cosθ2＝cos2θ2－2sin θ2cos θ2＋sin 2θ2sin θ2－cosθ2＝cos θ2－sinθ2sin θ2－cosθ2＝－1，故选A.答案 A5．化简1＋cos2αtan α2－cotα2，其结果为( )A ．－12sin2αB.12sin2α C ．－2sin2αD. 2sin2α解析 原式＝1＋cos2αsin α2cos α2－cos α2sinα2＝2cos 2α²sin α2cosα2sin 2α2－cos2α2＝cos 2α²sin α－cos α＝－12sin2α.答案 A6．化简cos π4＋x －sin π4＋xcos π4＋x ＋sin π4＋x的结果为( )A ．tan x2B ．tan2xC ．cot xD ．－tan x解析 原式＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝tan(－x )＝－tan x .答案 D7．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos α－π2的结果为________．解析 ∵－3π<α<－5π2，∴－3π2<α2<－5π4，1－cos α－π 2＝1＋cos α2＝－cos α2. 答案 －cos α28．已知sin α＝－817，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则 sin α2＝__________，cos α2＝________，tan α2＝________.解析 ∵π<α<3π2，∴cos α＝－1517.∴π2<α2<3π4，∴sin α2＝ 1－cos α2＝41717. cos α2＝－1＋cos α2＝－1717. tan α2＝sinα2cosα2＝－4.答案41717 －1717－4 能 力 提 升9．函数y ＝3sin x ²cos x ＋3cos 2x －32的最大值为______．解析 y ＝32sin2x ＋3²1＋cos2x 2－32＝32sin2x ＋32cos2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴y 的最大值为 3.答案 310．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π.求： (1) tan θ；(2) 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.解析 (1)由tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22， 解得tan θ＝2或tan θ＝－22. ∵π<2θ<2π，则π2<θ<π，∴tan θ＝－22.(2)原式＝1＋cos θ－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，∴原式＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝3＋2 2.11．已知m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，0∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8的值． 解析 |m ＋n |＝ cos θ－sin θ＋2 2＋ cos θ＋sin θ 2＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋12＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝825， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝725.∵θ∈(π，2π)， ∴θ2＋π8∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，9π8. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝－ 1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π42＝－1＋7252＝－45.12．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋α2＋23cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋α2－3，α为常数．(1)求函数f (x )的周期；(2)若0≤α≤π时，求使函数f (x )为偶函数的α值． 解析 (1)f (x )＝sin(2x ＋α)＋3[cos(2x ＋α)＋1]－ 3 ＝sin(2x ＋α)＋3cos(2x ＋α) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋α＋π3.∴f (x )的周期T ＝2π2＝π.(2)要使函数f (x )为偶函数，只需α＋π3＝k π＋π2，(k ∈Z )，即α＝k π＋π6，(k ∈Z )．∵0≤α≤π，∴α＝π6.品 味 高 考13．已知sin2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23解析 ∵sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝23， ∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1－232＝16.答案 A。
数学必修4人教B版课后导练：3-2-2半角的正弦余弦和正切(含解析)
基础达标
1.若sin2α= ,则 cos（ -α）的值为（）
A. B. C.± D.±
解析： cos( -α)= (cos cosα+sin ·sinα)=cosα+sinα,由于sin2α= ,可利用(cosα+sinα)2=1+sin2α= .
又∵sin2α= > ,故2kπ+ <2α<2kπ+ .从而kπ+ <α<kπ+ (k∈Z),即α终边在第一象限或第三象限.
又由①得cosα=2sinα-1=2× -1= ，
故sinα+cosα= + = .
答案：A
5.若sin2α= ,且α∈( , ),则cosα-sinα的值是（）
A. B. C. D.
解析：∵(cosα-sinα)2=1-sin２α=1- = ,
∴|cosα-sinα|= .由α∈( , ),知cosα<sinα，∴cosα-sinα= .
∴cosα+sinα=± .
答案：D
2.若 =1,则 的值为（）
A.3B.-3C.-2D.-
解析：由已知解得tanθ=- ,
∴ cos
=3.
答案：A
3.已知θ是第三象限角，若sin4θ+cos4θ= ,那么sin2θ等于（）
A. B. C. D.
解析：将原式配方得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ= ,于是1- sin22θ= ,
∴等式成立.
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∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)= .
答案：
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双基限时练(三十)
基 础 强 化
1．已知sinθ＝35，且π2<θ<3π2，则cosθ2的值为( )
A.1010 B.31010
C．±1010 D．±31010
解析 ∵sinθ＝35>0，π2<θ<3π2，
∴θ∈π2，π，∴θ2∈π4，π2.
∴cosθ＝－45，∴cosθ2＝ 1＋cosθ2＝1010.
答案 A
2．下列各式中，值为12的是( )
A．sin15°cos15° B．2cos2π12－1
C. 1＋cos30°2 D.tan22.5°1－tan222.5°
解析 tan22.5°1－tan222.5°＝12tan45°＝12.故选D.
答案 D
3．已知2sinθ＝1＋cosθ，则cotθ2的值为( )
A. 2 B.12
C.12或0 D. 2或0
解析 当cosθ＝－1时，经检验满足2sinθ＝1＋cosθ，
∴sinθ＝0，cotθ2＝sinθ1－cosθ＝0；
当cosθ≠－1时，tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝12.
∴cotθ2＝2.故选D.
答案 D
4．若θ是第二象限的角，且cosθ2<0，则1－sinθsinθ2－cosθ2的值是( )
A．－1 B.12
C．1 D．2
解析 θ是第二象限的角，且cosθ2<0，
∴2kπ＋54π<θ2<2kπ＋
3
2
π，k∈Z.
∴cosθ2>sinθ2.
1－sinθ
sinθ2－cosθ2＝cos2θ2－2sinθ2cosθ2＋sin2θ2sinθ2－cos
θ
2
＝cosθ2－sinθ2sinθ2－cosθ2＝－1，故选A.
答案 A
5．化简1＋cos2αtanα2－cotα2，其结果为( )
A．－12sin2α B.12sin2α
C．－2sin2α D. 2sin2α
解析 原式＝1＋cos2αsinα2cosα2－cosα2sinα2＝2cos2α·sinα2cosα2sin2α2－cos2α2
＝cos2α·sinα－cosα＝－12sin2α.
答案 A
6．化简cosπ4＋x－sinπ4＋xcosπ4＋x＋sinπ4＋x的结果为( )
A．tanx2 B．tan2x
C．cotx D．－tanx
解析 原式＝1－tanπ4＋x1＋tanπ4＋x＝tan(－x)＝－tanx.
答案 D
7．设－3π<α<－5π2，则化简1－cosα－π2的结果为________．
解析 ∵－3π<α<－5π2，∴－3π2<α2<－5π4，
1－cosα－π2＝ 1＋cosα
2＝－cosα2
.
答案 －cosα2
8．已知sinα＝－817，且α∈π，3π2，则 sinα2＝__________，cosα2＝
________，tanα2＝________.
解析 ∵π<α<3π2，∴cosα＝－1517.