二倍角与半角的正弦、余弦和正切
倍角公式和半角公式口诀
倍角公式和半角公式口诀倍角公式口诀：正弦二倍，正负取决；余弦二倍，正负不同；正切二倍，正负相同；余切二倍，正负取决。
半角公式口诀：正弦半角，加减号；余弦半角，加减号；正切半角，加减号；余切半角，加减号。
正文：在三角函数中，倍角公式和半角公式是非常重要的公式之一。
它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行计算和推导。
下面我们将分别介绍倍角公式和半角公式的口诀，并举例说明其应用。
倍角公式口诀是一种简单易记的口诀，可以帮助我们快速记忆倍角公式的变化规律。
首先我们来看倍角公式口诀：正弦二倍，正负取决；余弦二倍，正负不同；正切二倍，正负相同；余切二倍，正负取决。
这个口诀告诉我们，在倍角公式中，正弦和余切的正负取决于原角的正负，而余弦和正切的正负则与原角的正负相反。
这个口诀的记忆方式非常简单直观，让人很容易就能记住倍角公式的正负变化规律。
接下来我们通过一个具体的例子来说明倍角公式的应用。
假设我们需要计算sin(2x)的值，其中x是一个已知的角度。
根据倍角公式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，我们可以利用已知角度x的正弦值和余弦值来求得sin(2x)的值，而无需直接求解sin(2x)的正弦值。
这样一来，我们可以大大简化计算的复杂度，提高计算效率。
接下来我们来看半角公式口诀：正弦半角，加减号；余弦半角，加减号；正切半角，加减号；余切半角，加减号。
这个口诀告诉我们，在半角公式中，正弦、余弦、正切和余切的正负变化规律。
根据这个口诀，我们可以很容易地记住半角公式的正负变化规律，从而在实际计算中更加得心应手。
接下来我们通过一个具体的例子来说明半角公式的应用。
假设我们需要计算sin(x/2)的值，其中x是一个已知的角度。
根据半角公式sin(x/2) = ±√[(1-cos(x))/2]，我们可以利用已知角度x的余弦值来求得sin(x/2)的值，而无需直接求解sin(x/2)的正弦值。
5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切(2)教案
5.5两倍角与半角的正弦、余弦和正切（2）教案教学目的：1、掌握半角的正弦、余弦、正切公式，能根据2α所在象限正确选择公式中的正、负号； 2、会根据具体情况灵活运用公式。
用半角的正切公式时，往往选用αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan ；教学重点：半角公式的应用教学过程： （一）、引入 一、（设置情境）气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。
这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，那么“半角与倍角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？本节课我们就通过二倍角公式来研究半角的正弦、余弦和正切。
二、（双基回顾）αααcos sin 22sin =； ααα22sin cos 2cos -=； ααα2tan 1tan 22tan -=（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出2tan,2cos,2sinααα的表达式？探索研究证明：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=二、概念或定理或公式教学（推导）在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的1、在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得：2sin 21cos 2α-=α∴2cos 12sin 2α-=α2、在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得：12cos 2cos 2-α=α∴2cos 12cos 2α+=α3、以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2开方得：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半。
alevel数学 二倍角公式
alevel数学二倍角公式
二倍角公式是在三角学中常用的公式之一，它可以用来简化和转换三角函数表达式。
二倍角公式有多种形式，包括正弦、余弦和正切的形式。
以下是常见的二倍角公式：
1. 正弦的二倍角公式：
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
2. 余弦的二倍角公式：
cos(2θ) = cos²(θ) sin²(θ) = 2cos²(θ) 1 = 1 2sin²(θ)。
3. 正切的二倍角公式：
tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 tan²(θ))。
这些公式可以通过三角函数的定义和三角恒等式的推导得到。
二倍角公式在解决三角函数的复杂表达式、证明恒等式以及求解三
角方程等问题时非常有用。
除了上述的基本形式外，二倍角公式还可以推广到其他三角函数的组合，比如余切、正割和余割等。
这些公式在解决复杂的三角函数问题时起着重要的作用。
此外，二倍角公式还可以与其他三角函数的和差角公式、半角公式等结合使用，从而进一步简化和转换三角函数表达式，解决各种与三角函数相关的数学问题。
总之，二倍角公式是解决三角函数相关问题时的重要工具，熟练掌握和灵活运用二倍角公式可以帮助我们更好地理解和运用三角函数的性质，解决各种数学问题。
常用三角函数公式及口诀
常用三角函数公式及口诀常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
三角函数的二倍角与半角公式
三角函数的二倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，涉及到角度与三角比的关系。
在求解三角函数值时，常常用到二倍角与半角的公式。
本文将介绍三角函数的二倍角与半角公式，以及它们的应用。
1. 二倍角公式在三角函数中，二倍角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的二倍角的三角函数值的公式。
我们用角θ 表示已知角，角2θ 表示其二倍角。
接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式。
1.1 正弦的二倍角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其二倍角2θ 的正弦值可以表示为：sin 2θ = 2sin θ cos θ这个公式表明，求解正弦的二倍角可以通过利用已知角的正弦、余弦和两者之积来计算。
1.2 余弦的二倍角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其二倍角2θ 的余弦值可以表示为：cos 2θ = cos² θ - sin² θ这个公式可以改写为：cos 2θ = 2cos² θ - 1 = 1 - 2sin² θ根据这个公式，我们可以通过已知角的余弦、正弦和两者之积来求解余弦的二倍角值。
1.3 正切的二倍角公式已知角θ 的正切值为tan θ，其二倍角2θ 的正切值可以表示为：tan 2θ = (2tan θ)/(1 - tan² θ)这个公式表明，正切的二倍角可以通过已知角的正切值来计算。
2. 半角公式半角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的一半角的三角函数值的公式。
接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的半角公式。
2.1 正弦的半角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其半角θ/2 的正弦值可以表示为：sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)在这个公式中，正负号取决于角的象限。
2.2 余弦的半角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其半角θ/2 的余弦值可以表示为：cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2)同样地，正负号取决于角的象限。
高一寒假第六讲：二倍角与半角的正弦,余弦和正切xsb
高一寒假第六讲：二倍角与半角的正弦、余弦和正切【知识梳理】1、二倍角公式： αααc o s s i n 22s i n =；)(2αSααα22sin cos 2cos -=；)(2αCααα2tan1tan 22tan -=；)(2αT降幂公式：1cos 22cos 2-=αα αα2sin 212cos -=)(2αC ' 升幂公式：22cos 1sin22cos 1cos 22αααα-=+=2、半角公式：α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan,2cos 12cos,2cos 12sin3、万能公式：2tan12tan2tan ,2tan12tan1cos ,2tan12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）； （2）三角比名互化(切割化弦)； （3）公式变形使用（ta n ta n αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±；（4）三角比次数的降升(降幂公式：21c o s 2c o s 2αα+=，21c o s 2s in 2αα-=与升幂公式：21c o s 22c o s αα+=，21c o s 22sin αα-=)；【方法总结】 三角比的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！第二看三角比的名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.（5）式子结构的转化(对角、三角比名称、式子结构化同) ； （6）常值变换主要指“1”的变换（221sinc o s x x =+22se cta nta n c o t x x x x=-=⋅ta ns in 42ππ===）（7）正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内在联系――“知一求二”，若sin cos x x t ±=，则sin cos x x =212t -±，特别提醒：[2,2]t ∈-．【例题精讲】例1、不用计算器，求下列各式的值（1）15cos 15sin ； （2）8sin8cos22ππ-； （3）5.22tan 15.22tan 22-； （4）75sin 212-．变式练习：求下列各式的值（１）)125cos125)(sin125cos 125(sin ππππ-+ （２）2sin2cos44αα-（３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例2、已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值例3、已知π<α<π2，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71-，求2α + β【辅助角公式】()22s in c o s s in a x b x ab x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由2222s in ,c o s b a a ba bθθ==++ ,ta n b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用.变式练习：已知α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0求证：α＋2β＝2π例4、 已知sin α - cos α = 21，π<α<π2，求2tanα和tan α的值例5、已知cos α - cos β = 21，sin α - sin β = 31-，求sin(α + β)的值变式练习：已知12c o s (),s in (),923ααββ-=--=且,022ππαπβ<<<<，求c o s ()αβ+的值。
高中数学-必修二6.2.2二倍角公式-知识点
1、熟记二倍角公式及其常用变形.
（1）正弦：sin2α=2sinαcosα。常用变形：①sinα=2sin cos ；②(sinα±cosα)2=1±sin2α。
（2）余弦：cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α。常用变形-降幂公式：①cos2α= ，②sin2α= 。
5、积化和差公式（容易由两角和或差的正/余弦公式反向推导得出）
sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]
6、和差化积公式：
（3）正切：tan2α= 。
2、题型：给角求值。典例：求sin10°sin50°sin70°。方法：变形，凑配，逆用公式。原式=cos80°cos40°cos20°= = （分子连续逆用正弦二倍角公= ；②cos = ；③tan = = = 。
4、万能公式：sinα= ，cosα= ，tanα= 。
①sinα+sinβ=2sin cos
②sinα-sinβ=2cos sin
③cosα+cosβ=2cos cos
④cosα-cosβ=-2sin sin
★记忆口诀：①角的顺序都是α，β， ， ；②公式的左边：一加二减，三加四减。③三角函数名：赛赛赛口；赛赛口赛；口口口口；口口赛赛。④第4个公式，有负号。
二倍角与半角的正弦、余弦和正切
+ sin( )] sin( )] + cos( )] ) cos( )]
， 代入得： 2 2 1 1 sin cos [sin( ) sin( )] (sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ sin sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2
cos
2
2 tan 2 cos 2
sin
sin
sin
2 tan 1 tan
2 , cos
2
2 , tan 2
2 tan 1 tan
2
2
2
2
sin 证：1） 2 sin 2 cos2 1 tan 2 2 2 2 cos2 sin 2 1 tan 2 cos 2 2 2 2） cos 1 sin 2 cos2 1 tan 2 2 2 2 2 sin cos 2 tan sin 2 2 2 3） tan cos cos2 sin 2 1 tan 2 2 2 2
tan tan 2 tan tan 2 (T2 ) 1 tan tan 1 tan 2
2
因为 sin cos 1 ，所以公式 (C 2 ) 可以变形为
二倍角与半角的正弦余弦和正切ppt课件
∴原等式成立
例4、求证：tan tan 2 tan 2
4 4 tan tan
4 4
tan
4
4
1
tan
4
tan
4
tan
2
1
tan
4
cot
4
2 tan 2 右边
∴原等式成立
例5、化简：(1) 1 sin10；
1 sin 10
解： 1 sin 10 sin 2 5 cos2 5 2sin 5cos5
ex4、 设等腰三角形底角的正弦值为3，
5
求其顶角的正弦、 余弦和正切值．
ex5、 已知sin 2 4，求sin4 cos4 ．
5
ex6、求证：1 sin 4 cos4 cot2 1 sin 4 cos4
2
24
三、例题与练习
例1、若cos 4 (0 )，求sin 2、cos2、tan 2.
5
2
解：cos 4，0 sin 3
5
2
5
sin 2 2sin cos 2 3 4 24
5 5 25
cos 2 2cos2 1 2 ( 4)2 1 7
5
25
24
tan 2
sin 2 cos 2
2sin x 2
sin
cos x
x 2
2 cos
x 2
8 5
2
2
cos x 4 25
cos x 2cos2 x 1 7 2 25
例7、 若2 3是方程x2 (tan cot )x 1 0的一个根， 求 sin 2和cos4．
解： x1 x2 1 另一根为2 3
tan cot 4
二倍角和半角公式
二倍角和半角公式二倍角公式和半角公式是初中数学中的重要知识点，它们在三角函数、平面几何和解析几何等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二倍角公式和半角公式的定义、推导和应用。
一、二倍角公式二倍角公式是指将一个角的角度加倍后所得到的角的正弦、余弦、正切值与原角的正弦、余弦、正切值之间的关系。
具体来说，设角A的正弦、余弦、正切值分别为sinA、cosA、tanA，则角2A的正弦、余弦、正切值分别为：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A - sin²Atan2A = 2tanA / (1 - tan²A)这些公式可以通过三角函数的定义和三角恒等式的推导得到。
例如，sin2A可以表示为sin(A+A)，然后利用三角函数的和差公式和倍角公式推导出来。
二倍角公式在解三角函数方程、证明三角恒等式和计算三角函数值等方面都有重要的应用。
例如，如果要求sin2x = 1/2的解，可以利用sin2x = 2sinxcosx和sin²x + cos²x = 1两个公式得到sinx = 1/2或sinx = -1/2，然后再根据sinx的周期性和对称性得到所有解。
二、半角公式半角公式是指将一个角的角度减半后所得到的角的正弦、余弦、正切值与原角的正弦、余弦、正切值之间的关系。
具体来说，设角A 的正弦、余弦、正切值分别为sinA、cosA、tanA，则角A/2的正弦、余弦、正切值分别为：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]这些公式可以通过二倍角公式和三角函数的定义推导得到。
例如，sin(A/2)可以表示为sin(A/2 + A/2)，然后利用三角函数的和差公式和二倍角公式推导出来。
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sin2
2sin cos ； 2
2
cos2cos sin ；
22tan 21tan
2
cos22cos 1 2cos2
12sin
1cos2
2 2
1cos2
sin 2
1cos
sin
2
2
，1cos
cos
2
2
，1cos tan
2
1cos
万能公式：
22tan
21
tan 2
，2
21tan 2cos
1tan 2
，2
2tan
2tan 1tan 2
辅助角公式：
)cos()sin(cos sin 2222ϕϕ-+=++=+x b a x b a x b x
例如：sin α±cos α＝2sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛±4πα＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛±4πα． ππsin15cos15 2
sin 8
8
2
2tan 22.5
1tan 22.5
22sin 75
5555
cos sin
cos
sin
12
12
12
12 （2）4
cos sin 2
2
1
11tan
1
tan
（4）2
1
2cos cos2
3，求sin2cos2的值
5,,13
2
，求sin2,cos2,tan2的值
1cos sin 1cos sin
1cos sin 1cos sin
变式练习：求证：2
1sin 4cos4
1sin 4cos4
2tan 1tan
222sin 50sin 190cos 320(答案需要积化和差公式1tan 311tan
，求sin2的值
()2
cos 02
θθπ=<<，求cos2θ的值sin50sin70的值。
tan70cos103tan 201
234
cos cos
cos cos
9
999
的值等于= 【课堂小练】 5
7
2
2
，则1sin 1sin 等于（ 2cos 2
B. 2cos
2
C. 2sin
2 D. 2sin
2
22
sin 2cos 4的值等于（ ）
sin2 B. cos2 C. 3cos 2 D. 3cos 2
sin6cos24sin78cos48的值为 （ ）
1
16
C.
51 2，则sin
4
x的值等于
5
4134，求
cos2
cos
4
若没有给出限定符号的条件，则三角比的值应取正、负值，其详细变化见下表：
2sin
2
cos
2
tan
2
第一、三象限- - 第一、三象限- - 第二、四象限- + 第二、四象限- +
sin1cos tan
21cos sin ，表明tan
2
与sin的符号相同，知与cos，可求tan
2
，用起来非常
要理解并掌握二倍角公式及其推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值与恒等式的证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化为特殊而来的，要注重这种数学的基本思想方法，学会怎样去发现数学规律
1 3，且,2，则sin
2
cos
2
tan
2
2
1tan2230'
2tan2230'
= 、如果tan2，那么cot2
、已知已知
51
sin
2
x，则sin2
4
x的值等于
2cos2
12sin ②2cos2
1
2cos ③22cos2cos sin ④22
1tan 2cos
1
tan 2
中恒成立个 C 、3个 D 、4个 cos 2，则sin2等于（ ）
1 B 、
2 C 、-1 D 、-2 2
cos cos
5
5
的值等于 （ ） B 、12 C 247
D 、247
、已知α是第三象限角，并且24
25
，则tan 2的值为（343 D 、 -3
4
5
sin cos
4505402
2
5
，求sin 和tan
2
的值
）已知3cos ,,05
2
，求tan
2
的值
35
，是第二象限角，求cos
,sin
,tan
2
2
2
的值
、证明恒等式：
2cos 1
sin 24
cot
tan
2
2
1
sin
446
，求sin4的值
2 cos
3，求
1cos2
cot tan
22
的值。