二倍角的正弦余弦和正切公式练习题
2020-2021人教A版数学必修4：3.1 第32课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)
＝sin88s0i°nc2o0s°80°＝116·ssiinn12600°°＝116.
13．(13分)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1134，且0<β<α<2π.
(1)求tan2α的值．
(2)求β. 解：(1)由cosα＝17，0<α<π2，
得sinα＝ 1－cos2α＝
1－172＝4
7
3 .
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．sin22°30′cos22°30′等于( A )
2 A. 4 C. 2
2 B. 2 D．1
2．已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝( A )
A．－2245
B．－1225
12
24
C.25
D.25
解析：∵sinα＝
3 5
且α为第二象限角，∴cosα＝－
4．已知sinα＝ 55，则sin4α－cos4α的值为( A )
A．－35
B．－15
1
3
C.5
D.5
解析：sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－(cos2α－ sin2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－35.
5. 2－sin22＋cos4的值是( D )
1 2
sin22θ，又cos2θ＝－34，∴sin22θ＝1－cos22θ＝176.
∴原式＝1－12sin22θ＝1－12×176＝2352.
π 11．函数f(x)＝sin22x－4π的最小正周期是 2 .
解析：f(x)＝1－cos24x－π2＝12－12sin4x， ∴T＝24π＝2π.
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤)
二倍角的正弦、余弦、正切公式(学生)
卓越个性化教案GFJW0901典型例题题型3：二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）直接利用公式（无条件）化简求值1=( )A．sin4cos4+B．sin4cos4--C．sin4D．cos42．设212tan13cos66,,21tan13a b c===+则有（）A.a b c>>B.a b c<<C.a c b<<D.b c a<<3．函数221tan21tan2xyx-=+的最小正周期是( )A．4πB．2πC．πD．2π4、cos10cos80sin20⋅=.5．求值：001001cos20sin10(tan5tan5)2sin20-+--6.sin124cos 2-的值．（二）带条件的题型化简求值7．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A .1925B .1625C .1425D .7258．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724-9、已知32,244x k k ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则co s 2x 的值是 （ ） A 、725-B 、2425-C 、2425D 、72510、已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是 （ ） A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π- 11．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。
12、若tan2α=，则tan α= ；sin 2cos2αα-= .13．已知sin cos 22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 。
14、已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则sin x 的值为 （ ）A 、45B 、45-C 、35-D 、15、已知12sin 41342x x πππ⎛⎫⎛⎫+=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则式子cos 2cos 4xx π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A 、1013-B 、2413C 、513D 、1213-16．已知,135)4sin(,40=-<<x x ππ求)4cos(2cos x x+π的值。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
5 2 12 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) 13 13
2
sin4 sin[ (2 )] 2 sin2 cos2 2
5 12 120 2 ( ) 13 13 169
理解公式的推导方法
S(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
C(α+β)
作 商
T(α+β) β＝α
T2α
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作业
教材P137面习题3.1 A组14、15、
18、19（2）（4）题
tan 2的值.
例5. 已知 tan 2, 求 sin 2 , cos 2 ,
tan 2的值.
2 tan sin 一般地： 2 1 tan2 2 1 tan cos 2 2 1 tan
万能公式 2 tan tan 2 2 1 tan
公式中角有什么特点？
cos 1 sin
2 2
cos2 cos sin
2 2
(1 sin ) sin
2 2
公式左端的角是右端 角的二倍
1 2 sin
2
灵活运用公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2 2 1 2sin 2 2cos 1
两倍角的正弦、余弦、 正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
二倍角的三角函数练习(包含答案)
一、选择题1．已知cos（α+β）=，cos（a﹣β）=﹣，则cosαcosβ的值为（）A．0B．C．0或D．0或考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先用两角和公式的余弦函数对题设中的等式展开后，两式相加即可求得cosαcosβ的值．解答：解：依题意可知，两式相加得2cosαcosβ=0，∴cosαcosβ=0，故选A．点评：本题主要考查了两角和公式的余弦函数．考查了学生对基础知识的理解和应用．2．如果，那么等于（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：由两角和与差的正弦函数公式化简原式，变形得到一个比例式，然后把所求的式子利用同角三角函数的关系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．解答：解：由==，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msinαcosβ﹣mcosαsinβ移项合并得cosαsinβ（n+m）=sinαcosβ（m﹣n），变形得=，则===．故选A点评：本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出其联系点，然后利用整体代入的思想解决数学问题．3．已知α，β，γ均为锐角，且tanα=，tanβ=，，则α，β，γ的和为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：先根据两角和的正切公式利用tanα和tanβ的值求得tan（α+β）的值，进而利用两角和的正切公式求得tan （α+β+γ）的值，进而根据α，β，γ的范围确定α，β，γ的和．解答：解：tan（α+β）==tan（α+β+γ）==1由α，β，γ都为锐角及各自取值，知0＜α，β，γ＜，即α+β+γ也是锐角，故α+β+γ=．故选B点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．4．在△ABC中，C＞90°，E=sinC，F=sinA+sinB，G=cosA+cosB，则E，F，G之间的大小关系为（）A．G＞F＞E B．E＞F＞G C．F＞E＞G D．F＞G＞E考点：三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：把F和G利用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简后，做差得到大小；利用正弦定理和三角形的两边之和大于第三边判断F和E的大小，即可得到三者之间的大小关系．解答：解：因为F=sinA+sinB=2sin cos=2cos cos；G=cosA+cosB=2cos cos=2sin cos；由180°＞C＞90°得到45°＜＜90°，根据正弦、余弦函数的图象得到sin＞cos，所以G﹣F=2cos（sin﹣cos）＞0即G＞F；根据正弦定理得到=，因为a+b＞c，所以sinA+sinB＞sinC即F＞E；所以E，F，G之间的大小关系为G＞F＞E故选A点评：解此题的方法是利用正弦定理和做差法比较大小，要求学生灵活运用三角函数的和差化积公式及诱导公式化简求值．5．化简：的值为（）B．t an2x C．﹣tanx D．c otxA．tan考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：把原式的分子和分母根据两角和的正弦、余弦函数公式进行化简后合并，再根据同角三角函数间的基本关系化简可得值．解答：解：原式=═=﹣tanx故选C点评：此题是一道基础题，要求学生掌握两角和与差的正弦、余弦函数的公式，以及会利用同角三角函数间的基本关系．6．若A，B为锐角三角形的两个锐角，则tanAtanB的值（）A．不大于1 B．小于1 C．等于1 D．大于1考点：正切函数的值域．专题：计算题．分析：直接利用锐角三角形的性质，确定sinA＞cosB，利用切化弦化简tanAtanB，即可得到选项．解答：解：因为三角形是锐角三角形，所以A+B＞；即：，所以sinA＞cosB，同理sinB ＞cosA，tanAtanB=＞1故选D点评：本题是基础题，考查锐角三角形的性质，切化弦的应用，考查计算能力，常考题型．二、填空题7．（2008•浙江）若，则cos2θ=．考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．解答：解：由可知，，而．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．8．若cosαcosβ=，则sinαsinβ的取值范围是______．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：设x=sinαsinβ，利用两角和与差的正弦函数公式分别化简cos（α+β）与cos（α﹣β），将cosαcosβ的值代入，利用余弦函数的值域列出不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为sinαsinβ的取值范围．解答：解：∵cosαcosβ=，设sinαsinβ=x，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣x，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+x，∴﹣1≤﹣x≤1，﹣1≤+x≤1，解得：﹣≤x≤，则sinαsinβ的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三、解答题9．在△ABC中，∠B=60°，且tanAtanC=2+，求角A，C的度数．考点：解三角形．专题：计算题．分析：根据B的值，进而确定A+C的值，进而利用两角和与差的正切函数公式求得tanA+tanC的值，进而联立求得tanA和tanC的值，进而求得A和C．解答：解：∵∠B=60°且A+B+C=180°，∴A+C=120°，∴tan（A+C）=．由tanAtanC=2+，∴tanA+tanC=3+，∴tanA，tanC可看作方程x2﹣（3+）x+（2+）=0的两根．解方程得x1=1，x2=2+．当tanA=1，tanC=2+时，A=45°，C=75°．当tanC=1，tanA=2+时，A=75°，C=45°．点评：本题主要考查了解三角形问题，两角和与差的正切函数．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．10．若已知方程x2﹣（tanθ+cotθ）x+1=0有两个实根，且其中一个根是2﹣，求cos4θ的值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：利用方程的根，结合判别式确定sin22θ≤1，通过两个根求出另一个根，推出sin2θ的值，然后求出cos4θ的值．解答：解：∵方程x2﹣（tanθ+cotθ）2x+1=0有两个实根，∴△=（tanθ+cotθ）2﹣4==，即sin22θ≤1．设另一个根为m，则由根与系数的关系可得，（2﹣）m=1，于是，故tanθ+cotθ=4，即，∴sin2θ=（满足sin22θ≤1）．∴cos4θ=1﹣2sin22θ=．点评：本题考查三角函数的化简求值，考查二次方程根的问题，二倍角公式的应用，考查计算能力．11．已知函数y=，求函数的最大值及对应自变量x的集合．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数y=，然后求出最大值，及其相应的x 值．解答：解：==，y取最大值，只需，即，∴当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．点评：本题考查三角函数的最值，二倍角公式的应用，同时利用两角和的正弦函数化简是本题解题的关键，本题考查计算能力，是基础题．12．如图，在某点B处测得建筑物AE的项点A的仰角为θ，沿B前进30米至C点处测得顶点A的仰角为2θ，再继续前进10米至D点，测得顶点A的仰角为4θ，求θ的大小及建筑物AE的高．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：由题意及仰角的定义画出图形，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系及三角形求解即可．解答：解：由已知BC=30米，CD=10米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，∴BC=BE﹣CE=AE（cotθ﹣cot2θ）．同理可得：CD=AE（cot2θ﹣cot4θ）．∴即而cotθ﹣cot2θ==．同理可得cot2θ﹣cot4θ=．∴==2cos2θ=∴cos2θ=，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，∴AE=（米）．点评：此题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，还考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式．。
二倍角的三角函数练习(含答案)
系化简后，将变形得到的比例式整体代入可求出值．
解答： 解：由
=
= ，得：nsinαcosβ+ncosαsinβ=msin αcosβ﹣ mcosαsinβ
移项合并得 cosαsinβ（ n+m）=sin αcosβ（ m﹣ n），变形得
=
，
则
=
=
=
．
故选 A 点评： 本题的解题思路是运用和与差的正弦函数公式和同角三角函数的基本关系把已知和所求的式子化简后找出
4．在 △ABC 中， C＞ 90°， E=sinC ， F=sinA+sinB ， G=cosA+cosB ，则 E， F， G 之间的大小关系为（
）
A ．G＞ F＞ E
B． E＞ F＞ G
C． F＞ E＞ G
D ．F＞ G＞ E
考点 ： 三角函数的积化和差公式；同角三角函数基本关系的运用．
专题 ： 综合题．
（ α+β+γ）的值，进而根据 α， β，γ的范围确定 α， β， γ的和．
解答： 解： tan（ α+β） =
=
tan（ α+β+γ）=
=1
由 α， β， γ都为锐角及各自取值，知 0＜ α， β， γ＜ ，
即 α+β+γ也是锐角，故 α+β+γ= ．
故选 B 点评： 本题主要考查了两角和与差的正切函数，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
，则 cos2θ=
．
考点 ： 诱导公式的作用；二倍角的余弦． 分析： 由 sin（α+ ） =cosα及 cos2α=2cos2α﹣ 1 解之即可．
解答： 解：由
可知，
22版新教材高中数学A版必修第一册练习--第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式基础过关练题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题 1.(2020河南信阳高一下期末)求值:cos 2π12sin 2π12= ( ) A.1 B.12 C.116D.-122.(cos π12-sin π12)(cos π12+sin π12)的值为 ( )A.-√32 B.-12C.12D.√323.(2020浙江嘉兴高一下期末)计算:2tan30°1-tan 230°= ( ) A.√33B.√3-1C.√3D.√3+14.(2019福建福州八县(市)协作校高一上期末联考)下列各式中与√1-sin4相等的是 ( ) A.sin 2-cos 2 B.cos 2-sin 2 C.cos 2 D.-cos 25.(2020浙江宁波高一下期末)sin 2π12= ( ) A.2-√34B.2+√34C.34D.146.(多选)(2020山东潍坊安丘实验中学高一下期中)下列各式中,值为√32的是 ( ) A.2sin 15°cos 15° B.1-2sin 215° C.sin 215°+cos 215° D.3tan 15°1-tan 215°题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题 7.(2020福建泉州高一下期末)若sin α=13,则cos 2α= ( ) A.2√29B.79C.-79D.±4√298.(2020福建南平高一下期末)已知cos α=13,则cos(π+2α)的值为 ( ) A.-89B.-79C.89D.799.(2020天津河西高一上期末)已知cos α=35,α∈(-π2,0),则sin 2α= .10.(2020浙江宁波高一下期末)已知α为锐角,且sin α2+cos α2=2√105,则sin α= ,tan 2α= .题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用11.(2020浙江温州新力量联盟高一下期末联考)已知tan (π4+A)=-3,则sin2Asin2A+cos 2A = ( ) A.35 B.-35C.45D.-4512.求证:cos 2(A +B )-sin 2(A -B )=cos 2A cos 2B.13.已知函数f (x )=2cos (x -π6),x ∈R . (1)求f (π)的值; (2)若f (α+2π3)=65,α∈(-π2,0),求f (2α)的值.能力提升练题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题 1.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末,)若tan π12·cos 5π12=sin 5π12-m sin π12,则实数m 的值为( )A.2√3B.√3C.2D.3 2.(2020北师大附中高一上期末,)计算√3cos10°-1sin170°的结果是( )A.-4B.-2C.2D.43.(2020辽宁沈阳东北育才学校高一下期中,)cos π5·cos 2π5= .4.()sin 50°(1+√3tan 10°)的值为 .5.()4cos 50°-tan 40°= .题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题 6.(2020山东潍坊高一下期末,)已知cos (θ-π4)=7√210,则sin 2θ= ( )A.-2425 B.-1225 C.1225D.24257.(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一下期中,)对于锐角α,若sin (α-π12)=35,则cos (2α+π3)=( )A.2425 B.38 C.√28D.-24258.(2020北京交大附中高一下期末,)已知cos 2α=13,则cos 2(π2+α)-2cos 2(π-α)的值为 .9.(2020福建厦门高一下期末,)等腰三角形顶角的余弦值为513,则一个底角的正切值为 .10.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)若9-cos2θcosθ+1=4,则(sin θ)2 015+(cos θ)2 016的值为 .11.(2020四川雅安高一上期末,)已知α,β为锐角,sin α=17,cos(α+β)=35.(1)求sin (2α-π2)的值; (2)求cos β的值.题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用 12.(2020山东潍坊诸城高一下期中,)若cos2αsin(α-π4)=-√22,则cos α+sin α= ( )A.2B.1C.12 D.-1213.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)已知a =1+tan 16°1-tan 16°,b =cos 330°,c =√1+cos 58°2,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c14.(2020天津南开中学高一上期末,)设0≤x <2π,且√1-sin2x =sin x -cos x ,则 ( )A.0≤x ≤π4B.π4≤x ≤5π4C.π4≤x ≤7π4 D.π2≤x ≤3π215.(多选)(2020河北石家庄二中实验学校高一上期末,)已知0<θ<π4,若sin 2θ=m ,cos 2θ=n ,且m ≠n ,则下列选项中与tan (π4-θ)恒相等的为 ( ) A.n1+m B.m1+n C.1-nm D.1-m n16.(2020北京东城高一上期末,)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,45),将角α的终边绕原点逆时针旋转π4后得到角β.(1)求tan α的值;(2)求cos(α+β)的值.17.(2019浙江衢州五校高一期末联考,)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上.(1)求cos(2α+π4)的值;(2)已知α∈(0,π2),sin(β+π4)=√1010,-π2<β<0,求α-β的值.答案全解全析基础过关练1.C cos 2π12sin 2π12=14sin 2π6=116,故选C . 2.D 原式=cos 2π12-sin 2π12=cos π6=√32. 3.C 2tan30°1-tan 230°=tan 60°=√3,故选C .4.A √1-sin4=√(cos2-sin2)2=|cos 2-sin 2|,又2弧度角的终边在第二象限, ∴sin 2>0,cos 2<0,∴√1-sin4=sin 2-cos 2,故选A . 5.A sin2π12=1-cos π62=1-√322=2-√34,故选A .6.BD A 不符合,2sin 15°cos 15°=sin 30°=12;B 符合,1-2sin 215°=cos 30°=√32;C 不符合,sin 215°+cos 215°=1;D 符合,3tan 15°1-tan 215°=32·2tan 15°1-tan 215°=32·tan 30°=√32.故选BD . 7.B ∵sin α=13,∴cos 2α=1-2sin 2α=1-2×19=79.故选B . 8.D cos(π+2α)=-cos 2α=1-2cos 2α=1-2×(13)2=79.故选D .9.答案 -2425解析 因为cos α=35,α∈(-π2,0),所以sin α=-45,故sin 2α=2sin αcos α=-2425. 10.答案 35;247解析 因为sin α2+cos α2=2√105, 所以sin 2α2+2sin α2cos α2+cos 2α2=(2√105)2=85,所以1+sin α=85,所以sin α=35.因为α为锐角,所以cos α=√1-sin 2α=45,所以tan α=sinαcosα=34, 所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=2×341-(34)2=247.11.C 由tan (π4+A)=-3得tan π4+tanA1-tan π4tanA=-3,即1+tanA1-tanA =-3,解得tan A =2,因为sin2Asin2A+cos 2A =2sinAcosA2sinAcosA+cos 2A =2sinA2sinA+cosA =2tanA2tanA+1,所以sin2Asin2A+cos 2A =2×22×2+1=45.故选C .12.证明 左边=1+cos (2A+2B )2-1-cos (2A -2B )2=cos (2A+2B )+cos (2A -2B )2=12(cos 2A cos 2B -sin 2A sin 2B +cos 2A ·cos 2B +sin 2A sin 2B )=cos 2A cos 2B =右边, ∴等式成立.13.解析 (1)f (π)=2cos (π-π6) =-2cos π6 =-2×√32=-√3. (2)因为f (α+2π3)=2cos (α+π2)=-2sin α=65,所以sin α=-35. 又α∈(-π2,0),所以cos α=√1-sin 2α=√1-(-35)2=45,所以sin 2α=2sin αcos α=2×(-35)×45=-2425, cos 2α=2cos 2α-1=2×(45)2-1=725.所以f (2α)=2cos (2α-π6) =2cos 2αcos π6+2sin 2αsin π6 =2×725×√32+2×(-2425)×12=7√3-2425. 能力提升练1.A 由tan π12cos 5π12=sin 5π12-m sin π12,得m sin π12cos π12=sin 5π12cos π12-cos 5π12·sin π12, 因此12m sin π6=sin (5π12-π12)=sin π3, 则14m =√32,即m =2√3,故选A . 2.A√3cos10°-1sin170°=√3cos10°-1sin (180°-10°)=√3cos10°-1sin10° =√3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2(√32sin10°-12cos10°)sin10°cos10°=2sin (10°-30°)sin10°cos10°=-2sin20°12×2sin10°cos10°=-4sin20°sin20°=-4.故选A .3.答案 14解析 cos π5·cos 2π5 =2sin π5·cos π5·cos2π52sinπ5=sin 2π5·cos2π52sinπ5=2sin2π5·cos 2π54sinπ5=sin4π54sin π5=14.解题模板 对于给角求值问题,通常先考虑式子中三角函数的名称,以及三角函数式的运算结构,从中找出解题的突破口,如本题中的运算结构是余弦的乘积形式,且角具有倍数关系,故可将分子、分母同乘最小角的正弦值,连续运用二倍角公式求解. 4.答案 1解析 原式=sin 50°(1+√3sin10°cos10°)=sin 50°·cos10°+√3sin10°cos10°=2sin 50°·sin30°cos10°+cos30°sin10°cos10°=2cos40°sin40°cos10°=sin80°cos10°=1.5.答案 √3解析 4cos 50°-tan 40° =4sin40°cos40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=2cos10°-sin40°cos40°=2cos (40°-30°)-sin40°cos40°=2cos40°cos30°+2sin40°sin30°-sin40°cos40°=√3cos40°cos40°=√3.6.D 因为cos (θ-π4)=7√210, 所以sin 2θ=cos (2θ-π2)=cos [2(θ-π4)]=2cos 2(θ-π4)-1=2×4950-1=2425.故选D .7. D 由α为锐角,得-π12<α-π12<5π12,因为sin (α-π12)=35,所以cos (α-π12)=45,所以cos (2α+π3)=cos [2(α-π12)+π2]=-sin [2(α-π12)]=-2sin (α-π12)·cos (α-π12)=-2×35×45=-2425,故选D . 解题模板 在解决已知一个三角函数值求其他三角函数值的问题中,常用已知角表示未知角,如本题中的“2α+π3=2(α-π12)+π2”,由此利用相关公式解题,必要时可采用换元法(令θ=α-π12),找到未知角与已知角的关系. 8.答案 -1解析 ∵cos 2α=cos 2α-sin 2α=13,且sin 2α+cos 2α=1,∴sin 2α=13,cos 2α=23, ∴cos 2(π2+α)-2cos 2(π-α)=sin 2α-2cos 2α=13-2×23=-1.9.答案 32解析 设等腰三角形的顶角为A ,一个底角为B ,则B 与A2互余, 因为等腰三角形顶角的余弦值为513,所以cos A =513,所以0<A <π2,所以A2∈(0,π4),所以2cos 2A2-1=513, 所以2cos 2A 2=1813,因为A2∈(0,π4), 所以cos A2=√913=√13=sin B ,则sin A2=√13=cos B , 所以tan B =√132√13=32.10.答案 1 解析 ∵9-cos2θcosθ+1=10-2cos 2θcosθ+1=4,∴cos 2θ+2cos θ-3=0,解得cos θ=1或cos θ=-3(舍去), ∴sin 2θ=1-cos 2θ=0,即sin θ=0, ∴(sin θ)2 015+(cos θ)2 016=0+1=1.11.解析 (1)sin (2α-π2)=-cos 2α=2sin 2α-1=-4749. (2)∵α为锐角,sin α=17,∴cos α=√1-sin 2α=4√37. 易知α+β∈(0,π),且cos(α+β)=35, ∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=45. ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =35×4√37+45×17=4+12√335. 12.C ∵cos2αsin(α-π4)=-√22,∴cos 2α=-√22sin (α-π4) =-√22(sinαcos π4-cosαsin π4) =-√22(√22sinα-√22cosα) =12(cos α-sin α),∵sin (α-π4)=√22sin α-√22cos α≠0, ∴cos α-sin α≠0,又cos 2α=cos 2α-sin 2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α),∴(cos α+sin α)(cos α-sin α)=12(cos α-sin α),即cos α+sin α=12.故选C . 13.C 因为tan 45°=1,所以a =1+tan16°1-tan16°=tan45°+tan16°1-tan45°tan16°=tan 61°>tan 45°=1.b =cos 330°=cos(-30°+360°)=cos 30°.c =√1+cos58°2=√1+2cos 229°-12=√2cos 229°2=cos 29°.由y =cos x 的单调性可知1>cos 29°>cos 30°,所以tan 61°>tan 45°>cos 29°>cos 30°, 即a >c >b ,故选C . 14.B 依题意得√1-sin2x =√(sinx -cosx )2=|sin x -cos x |=sin x -cos x , ∴{0≤x <2π,sinx -cosx ≥0, 解得π4≤x ≤5π4.故选B .15.AD tan (π4-θ)=1-tanθ1+tanθ=cosθ-sinθcosθ+sinθ=(cosθ-sinθ)2cos 2θ-sin 2θ=1-2sinθcosθcos 2θ-sin 2θ=1-sin2θcos2θ=cos2θ1+sin2θ, ∴tan (π4-θ)=1-m n =n 1+m ,即A,D 符合. 选项B 中,m 1+n =sin2θ1+cos2θ=2sinθcosθ2cos 2θ=tan θ,选项B 不符合.同理选项C 不符合.故选AD .16.解析 (1)∵角α的顶点与坐标原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,45),∴tan α=45-35=-43.(2)由题意得β=α+π4.易得cos α=-35,sin α=45,∴sin 2α=2sin αcos α=-2425,cos 2α=2cos 2α-1=-725. ∴cos(α+β)=cos (2α+π4)=cos 2αcos π4-sin 2αsin π4=√22(cos 2α-sin 2α)=17√250. 17.解析 (1)依题意知tan α=2.cos (2α+π4)=√22(cos 2α-sin 2α)=√22·cos 2α-sin 2α-2sinαcosαcos 2α+sin 2α=√22·1-tan 2α-2tanα1+tan 2α =√22×1-4-41+4=-7√210.(2)∵α∈(0,π2),∴sin α=2√55,cos α=√55. ∵-π2<β<0,∴-π4<β+π4<π4,∵sin (β+π4)=√1010,∴cos (β+π4)=3√1010, ∴cos [α-(β+π4)]=cos αcos (β+π4)+sin αsin (β+π4)=√55×3√1010+2√55×√1010=√22. ∵α∈(0,π2),β+π4∈(-π4,π4),∴α-(β+π4)∈(-π4,3π4), ∴α-(β+π4)=π4,∴α-β=π2.。
必修四二倍角的正弦、余弦、正切公式(附答案)
二倍角的正弦、余弦、正切公式[学习目标] 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式的推导(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案 ∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos α，sin 2α2cos α＝sin α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α；(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2； (4)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2. 二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2也称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2也称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．思考 函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的最小正周期是 ． 答案 π解析 ∵f (x )＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1) ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.题型一 利用倍角公式化简求值例1 求下列各式的值． (1)cos π12cos 512π； (2)13－23cos 215°. 解 (1)原式＝cos π12·sin π12＝12sin π6＝14. (2)原式＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30° ＝－36. 跟踪训练1 求下列各式的值．(1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°. 解 (1)cos 72°cos 36°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4. 题型二 三角函数式的化简或证明例2 求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4 A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ)＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝2sin θ2cos θ＝tan θ. 题型三 利用二倍角公式给值求值例3 已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值． 解 ∵(π4＋α)＋(π4－α)＝π2， ∴sin(π4－α)＝cos(π4＋α)． ∵sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16， ∴2sin(π4＋α)cos(π4＋α)＝13， ∴sin(π2＋2α)＝13，∴cos 2α＝13. 又∵α∈(π2，π)，∴2α∈(π，2π)． ∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－223， ∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429. 跟踪训练3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.合理配凑、巧用倍角公式求解例4 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值． 分析 添加“sin π11”及系数2，创造条件，注意重复使用倍角公式． 解 原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11 ＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π1124sin π11 ＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π1124sin π11＝sinπ1125sin π11＝132.1.12sin π12cos π12的值等于( ) A.14 B.18 C.116D.122．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.323.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan 2α B ．tan α C ．1 D.124．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝ . 5．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.一、选择题 1．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－2472．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.233．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－125．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459 D ．－2596．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.155二、填空题7．2sin 222.5°－1＝ .8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝ . 10．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是 ． 三、解答题11．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．12．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.13．求值：sin 2α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α.当堂检测答案1.答案 B解析 原式＝14sin π6＝18. 2．答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.答案 A解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 4．答案 －2425解析 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos 2[(x －π4)]＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425. 5．解 ∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.课时精练答案一、选择题1．答案 D解析 cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D. 2．答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos[2⎝⎛⎭⎫α＋π4]2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A. 3．答案 B解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 4．答案 A解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.5．答案 A解析 设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为π－2θ. ∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23. ∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459.6．答案 C解析 ∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. ∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0. ∵sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155. 二、填空题7．答案 －22解析 原式＝－cos 45°＝－22. 8．答案 116解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 9．答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2 ＝tan θ2＝3. 10．答案 2解析 ∵f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 三、解答题11．解 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 12．解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0， ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 13．解 原式＝1－cos 2α2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α2＋ 1－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α2＝32－12cos 2α－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α ＝32－12cos 2α－cos 2π3·cos 2α ＝32－12cos 2α＋12cos 2α＝32.。