两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
高考数学复习考点知识讲解课件20 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
2 cos(45°－ 15°) ＝
2×
3 2
＝
6 2.
(3)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10°
＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°
＝4sins3in02°－0°10°＝4.
— 返回 —
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用， 如 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
— 20 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
角度 2：辅助角公式的运用 【例 2】 化简：(1)sin1π2－ 3cos1π2； (2)cos15°＋sin15°； (3)sin110°－sin830°； (4)3 15sinx＋3 5cosx.
— 18 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
[解析]
(1)a ＝
3 2
cos29°－
1 2
sin29°＝
sin(60°－
29°)
＝
sin31°，
b
＝
1－c2os66°＝
2sin16° 2sin2233°＝ sin33°， c ＝ 1＋2tatann1261°6°＝ 1＋cocssoi1ns62211°66°°＝ 2sin16°cos16°＝ sin32°， 显 然
— 7—
(新教材) 高三总复习•数学
2．已知 cosα＝－45，α∈π，32π，则 sinα＋π4等于( C )
A．－
2 10
B．
2 10
两角和与差的正、余弦公式、正切公式、二倍角公式
1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为 ． 【答案】43-【分析】222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】35【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，∴cos （π+α）=－cos α=x r -=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513-且α∈（0，π2），β∈（π2-，0），则sin α= ．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】3365【分析】∵α∈（0，π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π）， 又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=21cos ()αβ--=45，cos β=21sin β-=1213，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π6）的最大值是 ．【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】234+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅+12cos x ）=322sin x +12sin x cos x =()31cos 24x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+34， ∵0≤x ≤π2，∴-π3≤2x -π3≤2π3，∴max y =12+34=234+. 5.已知过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），则tan （α+β）=________．【考点】平面的法向量． 【答案】1【分析】∵过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），∴－1－3tan β=0，12-tan α=－1．∴1tan 3β=-，tan α=2． ∴tan （α+β）=12tan tan 3111tan tan 123αβαβ-+==-+⨯，故答案为1． 6.在ABC △中，已知BC =8，AC =5，三角形面积为12，则cos2C = ．【考点】三角形面积公式，二倍角公式的应用． 【答案】725【分析】∵已知BC =8，AC =5，三角形面积为12， ∴12⋅BC ⋅AC sin C =12,∴sin C =35,∴cos2C =122sin C -=1-2×925=725. 7.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()()sin f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波()()11sin f x x ϕ=+与()()22sin f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求21ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个是()1sin f x A x =，从 A 类波中再找出两个不同的波()()23,f x f x ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后()()()1230f x f x f x ++=，并说明理由．（3）在()2n n n ∈N,≥个“A 类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明． 【考点】两角和与差的正弦函数；归纳推理．【解】（1）()()()()1212sin sin f x f x x x ϕϕ+=+++ =1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ+++，振幅是221212(cos cos )(sin sin )ϕϕϕϕ+++=()1222cos ϕϕ+-，则()1222cos ϕϕ+-=1，即()121cos 2ϕϕ-=-，所以122π2π,3k k ϕϕ-=±∈Z ． （2）设()()21sin f x A x ϕ=+，()()32sin f x A x ϕ=+， 则()()()()()12312sin sin sin f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=()()1212sin 1cos cos cos sin sin 0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立， 则121cos cos 0ϕϕ++=且12sin sin 0ϕϕ+=， 即有：21cos cos 1ϕϕ=--且21sin sin ϕϕ=-，消去2ϕ可解得11cos 2ϕ=-， 若取12π3ϕ=，可取24π3ϕ=（或22π3ϕ=-等），此时，()22πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()34πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（或()32πsin 3f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭等）， 则()()()1231313sin sin cos sin cos 02222f x f x f x A x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+-++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以是平波．（3）()1sin f x A x =，()22πsin f x A x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()34πsin f x A x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…， ()()21πsin n n f x A x n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这n 个波叠加后是平波．8. (4分)已知sin α=3cos α，则cos 21sin 2αα=+ ________．【参考答案】 12-【测量目标】 运算能力/能根据法则准确的进行运算和变形. 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦.【试题分析】 由已知先求tan α，因为sin α=3cos α，所以tan α=3，把所求的式子中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，即可求值:222222cos 2cos sin 1tan 1911sin 2cos 2sin cos +sin 12tan tan 1692ααααααααααα---====-++++++.9.若tan （α－π4）=14，则tan α=______． 【参考答案】 53【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【考点】 两角和与差的正切函数.【试题分析】 ∵tan （α－π4）=14， ∴πtan tan4π1tan tan4αα-+=tan 11tan αα-+=14，解得tan α=53．故答案为53． 10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 4B =. (1)求2sin 2cos2A CB ++的值； (2)若3b =，求ABC △面积的最大值. 【考点】余弦定理，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)因为3cos 4B =,所以7sin 4B =, 又22π1sin 2cos2sin cos cos 2sin cos (1cos )222A CB B B B B B B +-+=+=+- =73113724488+⨯⨯+=. (2)由已知可得：2223cos 24a cb B ac +-==, 又因为3b =，所以22332a c ac +-=, 又因为223322a c ac ac +=+≥， 所以6ac ≤，当且仅当6a c ==时，ac 取得最大值.此时11737sin 62244ABC S ac B ==⨯⨯=△. 所以△ABC 的面积的最大值为374. 11.已知1sin 4θ=，则sin 2()4θπ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦__________. 【答案】78-【分析】27sin 2()cos 212sin 48θθθπ⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦.12. 已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan2α=_______________. 【答案】247-【分析】因为α为第二象限的角，又sin α=35，所以cos α=45-，tan α=sin cos αα=34-，tan2α=22tan 1tan αα-=247-.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 13.若△ABC 的内角A 满足sin2A =23，则sin A +cos A 等于（ ） A.153 B.153- C.53 D.53-【答案】A 【分析】∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin2A =23，即2sin A cos A =23，∴0＜A ＜π2, 2(sin cos )A A +=53，sin A +cos A =153，故选A. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 14.已知sin θ+cos θ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是___________. 【答案】725-【分析】由已知sin θ+cos θ=15①，2sin θcos θ= 2425-，又π2≤θ≤3π4，∴cos θ＜0，sin θ＞0. 2(cos sin )θθ-=4925，则sin θ－cos θ=75②，由①②知cos2θ=22cossin θθ-=725-. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.15.已知0＜α＜π2，sin α=45.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求tan(α－5π4)的值.【解】∵0＜α＜π2，sin α=45，∴cos α=35，tan α=43.（1）22sin sin2cos cos2αααα++=222sin2sin cos2cos sinααααα+-=22tan2tan2tanααα+-=2244()23342()3+⨯-=20；（2）tan(α－5π4)=tan11tanαα-+=413413-+=17.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.16.已知x∈(π2-,0)，cos x=45，tan2x=（）A.724B.724- C.247D.247-【答案】D【分析】sin x=35-，tan x=34-，tan2x=22tan1tanxx-=247-，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.17.cos20cos351sin20︒︒-︒=（）A.1B. 2C.2D.3【答案】C【分析】cos20cos351sin20︒︒-︒=22cos10sin10cos35(cos10sin10)︒-︒︒︒-︒=cos10sin10cos35︒+︒︒=2sin55cos35︒︒=2，故选C.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.18.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c =62，则a、b、c大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC. c＜b＜aD. a＜c＜b【答案】D【分析】由题意知，a =2sin59°，b =2sin61°，c =2sin60°，所以a＜c＜b，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.19.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=_____________.【答案】3【分析】tan60°= tan(20°+40°)=tan20+tan401tan20tan40︒︒-︒︒=3，∴3－3tan20°tan40°=tan20°+tan40°，移向即可得结果为3. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 20.已知sin2θ+cos 2θ=233，那么sin θ =______,cos2θ =___________. 【答案】13，79【分析】2(sin cos )22θθ+=1+ sin θ=43，sin θ=13，cos2θ=1－22sin θ=79. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 21.若1tan 1tan αα+-=2008，则1cos 2α+tan2α=_______________.【答案】2008【分析】1cos 2α+tan2α=1sin 2cos 2cos 2ααα+=1sin 2cos 2αα+=222(cos +sin )cos sin αααα-= cos +sin cos sin αααα-=1+tan 1tan αα-=2008.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 22.计算：sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=________.【答案】2+3【分析】sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=sin80cos15sin15cos10︒︒︒︒=cos15sin15︒︒=2+3．【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.23．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;(2)22sin 20cos 50︒+︒+sin20°cos50°.【解】原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°=sin 6cos 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒=1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒=1sin 24cos 24cos 484cos6︒︒︒︒=1sin 48cos 488cos6︒︒︒=1sin 9616cos6︒︒=1cos616cos6︒︒=116; (2)原式＝1cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-︒+︒++︒-︒ ＝1+111(cos100cos 40)sin 70224︒-︒+︒-=31sin 70sin 30sin 7042-︒⋅︒+︒=34.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 24.已知tan α、tan β是方程2x -5x +6=0的两个实根，求22sin ()αβ+-3sin ()αβ+cos ()αβ++2cos ()αβ+的值． 【解】由韦达定理得tan α+tan β=5，tan α·tan β=6，所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=－1.原式=[22sin ()αβ+－3sin(α+β)cos(α+β)+2cos ()αβ+]/[22sin ()cos ()αβαβ+++]=222tan ()3tan()1tan ()1αβαβαβ+-++++=213(1)111⨯-⨯-++=3.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式、知识要点:1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) sin(：z 二I')=⑵cos(.二I )=(3) tan(.二I )=2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 2：= (2) cos2：=⑶tan 2:=3. 常用的公式变形(1) tan a 土tan E =tan(a ±E)(1 干tana tan E)；2 1 cos2: 21 -cos2:(2) cos ： =,sin ：=；2 2(3) 1 sin2：-(sin：：、" cos： )2,1-sin2： - (sin ： - cos： )2,sin 二里cos： = . 2sin(: —).44. 辅助角公式函数f (x) = asin x+ bcosx (a ,内常数)，可以化为f (x) = l廿十^ sin( )』占+ b cos(*e 其中甲(8)可由a,b的值唯一确定.两个技巧一(1)一一一握角一、…携角技互二…(2) 一一化简技一巧二切化霎L…一一'：1'：一一的代换笠一.…一一【双基自测】(人教A版教材习题改编)下列各式的值为1的是()4sin 2上A.3 .右tan a =3,则-- 2—=().2 2__Q 2 tan 22.50o o2cos 衫 T B . 1 -2sin 75 C. ~-一2 & 5° D. sin15 cos152. sin 68°sin 67°—sin23°cos68°=( )A. 一岂经乎D. 1cos :■A. 2 B . 3 C . 4 D . 64 .已知sin a 2贝U cos(兀一A. D.5.1设sin(—+8)=-，贝U sin 26 =()4 3A. D.6. tan200 +tan40° + 后tan200 tan400 =r 5 , ，-.、 2 …7.右tan(—+ot)= —，则tan a =t 4 5考点一三角函数式的化简与求值［例1］求值：①cos15：-sin150；②sin50°(1 + T3tan100).cos15 sin15x 二［例2］已知函数f （x） =2sin（一一一）, x 匚R .3 6，-5一：■■:: 10 6 ,（1）求f （宇）的值；⑵设a, E e件一'，f （3。
高中数学复习：两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
1 cos 2α
1 cos 2α
(2)cos2α=⑧
2
,sin2α=⑨
2
;
(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
教材研读 栏目索引
知识拓展
(1)降幂公式:cos2α=1 cos 2α ,sin2α=1 cos 2α .
2
2
(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
(3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
(4)辅助角公式:asin x+bcos x= a2 b2 sin(x+φ)
其中sin
φ
b ,cos φ a2 b2
a a2 b2
.
教材研读 栏目索引
教材研读 栏目索引
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)存在实数α,β使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立. ( √ ) (2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B的大小不确定. ( ✕ )
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=① sin αcos β±cos αsin β , cos(α±β)=② cos αcos β∓sin αsin β ,
tan α tan β
tan(α±β)=③ 1 tan α tan β .
教材研读 栏目索引
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
tan α tan β
(3)公式tan(α+β)=1 tan α tan β 可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立. ( ✕ ) (4)存在实数α,使tan 2α=2tan α. ( √ ) (5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( √ ) 答案 (1)√ (2)✕ (3)✕ (4)√ (5)√
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式演习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦.余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin _αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦.余弦.正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用.变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2,sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cosα)2,sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ,b 为常数),可以化为f (α)＝a2＋b2sin(α＋φ),个中tan φ＝ba一.选择题1．给出如下四个命题①对于随意率性的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立;②消失实数α,β,使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的前提是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ;④不消失无限多个α和β,使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 个中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ） A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时,函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ）A ．最大值为1,最小值为－1B ．最大值为1,最小值为21- C ．最大值为2,最小值为－2 D ．最大值为2,最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（ ） A ．21B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556 C ．5665 D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43B ．83 C ．81 D ．417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ个中为雷同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与 8．α.β.γ都是锐角,γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于（ ）A ．3πB ．4πC ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根,则p.q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ） A ．412--a aB ．－412--a a C ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中,90C >,则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不克不及肯定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ） A ．41B ．23 C ．21D ．43 二.填空题（每小题4分,共16分,将答案填在横线上） 13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα,则βα22cos cos -的值为.14．在△ABC 中,33tan tan tan =++C B A ,C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=. 15．若),24cos()24sin(θθ-=+则)60tan( +θ=.16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值规模是. 三.解答题（本大题共74分,17—21题每题12分,22题14分）17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根,求)2tan(αβ-的值. 19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α,β∈（0,π）且71tan ,21)tan(-==-ββα,求βα-2的值. 21．证实：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角知足：A+C=2B,B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式演习题参考答案一.1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二.13．m 14．3π15．32--16．]214,214[-三.17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ,3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左 =-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°,A+C=120°,设2CA -=α知A=60°+α, C=60°－α,22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A ．。
两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式1.两角和的正弦公式：设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，则它们的和角C的正弦为sinC。
根据三角函数的定义，有sinA = a/c和sinB = b/c，其中a、b、c分别为三角形ABC的对边、邻边和斜边。
根据正弦公式，sinC = c/c =1、所以，两角和的正弦公式为sin(A + B) = sinC = 12.两角和的余弦公式：设角A和角B的余弦分别为cosA和cosB，则它们的和角C的余弦为cosC。
根据三角函数的定义，有cosA = b/c和cosB = a/c。
根据余弦公式，cosC = cos(A + B) = cos(AcosB - BsinA) = cosAcosB + sinAsinB = (b/c)(a/c) + (a/c)(b/c) = 2ab/c²。
3.两角和的正切公式：设角A和角B的正切分别为tanA和tanB，则它们的和角C的正切为tanC。
根据三角函数的定义，有tanA = a/b和tanB = b/a。
根据正切公式，tanC = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB) = (a/b + b/a) / (1 - (a/b)(b/a)) = (a² + b²) / (ab - ab) = a² + b² / ab。
4.两角差的正弦公式：设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，则它们的差角C的正弦为sinC。
根据三角函数的定义，有sinA = a/c和sinB = b/c。
根据差角公式，sinC = sin(A - B) = sin(AcosB + BsinA) = sinAcosB - cosAsinB = a/c(b/c) - (b/c)(a/c) = 2a b/c²。
5.两角差的余弦公式：设角A和角B的余弦分别为cosA和cosB，则它们的差角C的余弦为cosC。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式讲义 高三数学一轮专题复习
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝ ；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝ ；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝ ；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝ ；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝ ；(6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝ .2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝ ，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.( )(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( )教材改编题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12 2．若将sin x －3cos x 写成2sin(x －φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ .3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为 ．题型一 两角和与差的三角函数公式例1 (1)计算：cos 55°＋sin 25°cos 60°cos 25°等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12(2)(2023·青岛模拟)已知tan α＝1＋m ，tan β＝m ，且α＋β＝π4，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0或－3 D ．0或1听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1 (1)(2023·茂名模拟)已知0<α<π2，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝26，则sin α1＋tan α的值为( ) A.41451 B.21413 C.41751 D.21713(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin β，则( ) A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－1题型二 两角和与差的公式逆用与辅助角公式 例2 (1)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53(2)(2022·浙江)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝ ，cos 2β＝ .听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2 (1)(2022·咸阳模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝33，则sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3等于( ) A ．1 B ．－1 C.233D.3 (2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．题型三 角的变换问题例3 (1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22(2)已知α，β为锐角，sin α＝31010，cos(α＋β)＝－55.则sin(2α＋β)的值为 ． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等． 跟踪训练3 (1)(2023·青岛质检)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. (2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习
一、知识要点：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)():sin()sin cos cos cos S αβαβαβαβ±±=±；
(2)():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ±±=； (3)()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ
±±±=. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)(2):sin 22sin cos S αααα=α；
(2)2222(2):cos2cos
sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-； (3)(2)22tan :tan 21tan T αααα
=-. 3．常用的公式变形
(1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±； (2)221cos 21cos 2cos ,sin 22
αααα+-==；
(3)221sin 2(sin cos ),1sin 2(sin cos )αααααα+=+-=-,sin cos )4π
ααα±=±.
4．函数()sin cos (,f x a x b x a b =+为常数),可以化为())),f x x x ϕθ=+=-其中()ϕθ可由,a b 的值唯一确定．
两个技巧
(1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．
【双基自测】
1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14
的是( )． A ．22cos 112π- B ．20
12sin 75- C.0
202tan 22.51tan 22.5- D ．00sin15cos15 2．0000
sin 68sin 67sin 23cos68-=( )
A ．2- B.2．1
3．(2011·福建)若tan 3,α=则2sin 2cos αα
=( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
4．已知2sin ,3
α=则cos(2)πα-=( )．
A ．．19- C.195．(2011·辽宁)设1sin(),43
πθ+=则sin 2θ= ( )． A ．79- B ．19- C.19 D.79
6．0000tan 20tan 4020tan 40++=________.
7．若2tan(),45
πα+=则tan α=t________. 考向一 三角函数式的化简与求值
[例1] 求值：①00
00cos15sin15cos15sin15
-+；②00sin 50(1). [例2] 已知函数()2sin(),36
x f x x R π=-∈.
(1)求5()4f π的值；(2)设106,0,,(3),(32),22135f f ππαβαβπ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦
求cos()αβ+的值． 练习：
1．(1)已知3sin ,(,),52πααπ=∈
则cos 2)4
απα=+________. (2)(2012·济南模拟)已知α
为锐角，cos 5α=则tan(2)4πα+=( ) A ．3- B ．17- C ．43
- D ．7- 2．已知41,(0,),sin ,tan(),253
παβααβ∈=-=-求cos β的值． 考向二 三角函数的求角问题
[例3] 已知113cos ,cos(),714ααβ=-=且0＜β＜α＜2
π，求β. 练习：
1．已知,(,),22
ππαβ∈-且tan ,tan αβ
是方程240x ++=的两个根，求αβ+的值． 2．(2011·南昌月考)已知11tan(),tan ,27αββ-=
=-且,(0,),αβπ∈α，β∈(0，π)，求2αβ-的值． 3．已知锐角,αβ
满足sin αβ==求：①αβ-的值；②αβ+的值． 考向三 三角函数公式的逆用与变形应用
[例4] (2013·德州一模)
已知函数2()2cos 2
x f x x =. (1)求函数()f x 的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且1(),33f πα-
=求cos 21cos 2sin 2ααα
+-的值． 练习： 1．(1)(2012·赣州模拟)
已知sin()cos 6π
αα++=则sin()3
πα+的值为( )
A. 45
B.35
C.2
D.5 (2)若3,4
παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 考向四 角的变换
[例5] (1)(2012·温州模拟)若sin cos 3,tan()2,sin cos αααβαα
+=-=-则tan(2)βα-=_______. (2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若4cos(),65πα+=则sin(2)12
πα+=________． 练习：
1．设21tan(),tan(),544παββ+=-=则tan()4
πα+=( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16
2．已知0＜β＜2π＜α＜,π且12cos(),sin(),2925
βααβ-=--=求cos()αβ+的值． 考向五 三角函数的综合应用
【例4】►(2010·北京)已知函数2
()2cos 2sin f x x x =+. (1)求()3
f π
的值；(2)求()f x 的最大值和最小值． 【训练4】 已知函数()2sin()cos f x x x π=-.
(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[,]62
ππ-上的最大值和最小值． 作业：
1．(2012·南昌二模)已知cos()63x π
-=-则cos cos()3
x x π+-的值是( )
A ．． C ．1- D ．1±
2． (2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足1sin ,2α=那么sin()sin()44
ππαα+-=( ) A. 14 B ．14- C.12 D ．12
-
3． (2012·东北三校联考)设,αβ都是锐角，且3cos ),5ααβ=
+=则cos β=( )
4．已知α为第二象限角，sin cos 3
αα+=则cos2α=( )
A ．．
5．已知sin()sin 32
π
παα++=-<α<0，求cos α的值． 6．求值：①000000sin 7sin8cos15cos 7sin8sin15+-；②00
02cos10sin 20sin 70
-；③000cos 20cos 40cos80． 7．已知：0<α<2π<β<4,cos()45
ππβ-=. (1)求sin 2β的值；(2)求cos()4π
α+的值．
8．已知,αβ都是锐角，且45cos ,cos(),513
ααβ=+=-求cos β的值． 9．(2012·衡阳模拟) 函数()cos()sin(),22x
x f x x R π=-+-∈.
(1)求()f x 的最小正周期；(2)若()(0,),52f παα=∈求tan()4
πα+的值．
10．(2012·北京西城区期末)已知函数2()sin cos ,[,]2f x x x x x π
π=+∈.
(1)求()f x 的零点；(2)求()f x 的最大值和最小值．
11．已知
3335
(,),(0,),cos(),sin(),
44445413
πππππ
αβαβ
∈∈-=+=求sin()
αβ
+的值．
12．已知
1 tan()2,tan
42
π
αβ
+==．
①求tan2α的值；②求sin()2sin cos
2sin sin cos()
αβαβ
αβαβ
+-
++
的值．。