二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
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课件4：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
解析 (1)原式＝12sin15°cos15°＝41sin30°＝18.
(2)cos215°－sin215°＝cos30°＝
3 2.
答案 (1)C (2)B
例2
求证：33－ ＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
证明：∵左边＝33－＋44ccooss
2A＋2cos22A－1 2A＋2cos22A－1
＝11－＋ccooss 22AA2＝22csoins22AA2＝(tan2A)2 ＝tan4A＝右边，
∴33－＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
规律总结 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边
式子中角间的倍角关系.先用倍角公式统一角，再用同角三角函数 基本关系式等完成证明．
3 2.
跟踪训练 3 证明：(1)sin 2α＝1＋2tatnanα2α； (2)cos 2α＝11－＋ttaann22αα .
证明：(1)左边＝sin
2α＝2sin
αcos
α＝2sin
αcos 1
α
＝c2ossi2nα＋αcsoisn2αα＝1＋2tatnanα2α＝右边．
(2)左边＝cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－1 sin2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα
4.已知 cosx－π4＝102，则 sin 2x＝ －2245 .
解析 sin 2x＝cos2π－2x ＝cos2x－π2 ＝cos 2x－π4 ＝2cos2x－π4－1 ＝2× 1022－1 ＝－2245.
5.已知 tan(π4＋α)＝2，则 tan2α＝________.
解析 ∵tan(π4＋α)＝11＋ －ttaannαα＝2，∴tanα＝13， ∴tan2α＝1－2tatannα2α＝43.
数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( − ) = +
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
θ＝
cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2 θ＝ cos2 θ1－csions22 θθ＝cos2 θ(1－tan2 θ)＝左边．
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明
1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手， 左边
证明一边等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0， 右边
＝1；(3)分析法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等 式成立的条件．
(1)sin 2π4·cos 2π4·cos 1π2；
(2)1－2sin2 750°；
(3)tan
1π2－tan1
π. 12
解：(1)原式＝122sin
π 24cos
π 24·cos
1π2＝12sin
1π2·cos
1π2＝142sin
1π2·cos
π 12
＝14sin
π6＝18.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝
1＋cos（2A＋2B）
(1)证明：左边＝
2
＝
1－cos（2A－2B）
2
＝
cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）
2
＝
12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin
2Asin 2B)＝
cos 2Acos 2B＝右边，
所以原式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ1－cossi2nθ2
cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)
例6
4
在△ ABC 中， cos A 5
tan 2 A 2B 的值.
， tan B 2 ，求
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系？
解：在△ ABC 中，由 cos A
4
，0
5
A π ，得
2
3
4
sin A 1 cos 2 A 1 ，
5
2
tan tan
2 tan
tan 2 tan
.
2
1 tan tan 1 tan
2
推导
二倍角的余弦公式有三种表达情势：
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2
2
推导
余弦公式，有下面的等价变情势：
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2sin
2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
2
2
2
=±
2
1+
2
2
sin 与 cos 的符号由角
24 4
tan 2 A tan 2 B
44
7 3
tan 2 A 2 B
24 4 117 .
1 tan 2 A tan 2 B
1
7 3
，
解法 2：
4
在△ ABC 中，
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
又∵2α∈0，π2，β∈π2，π，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π.
[规律方法] 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出 角．其中确定角的范围是关键的一步．
【活学活用3】 已知tan α＝17，sin β＝ 1100，且α，β为锐角，求α
＋2β的值． 解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，
类型一 给角求值问题 【例1】 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatnan125105°0°； (4)sin110°－cos 130°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[思路探索] 利用倍角公式或公式变形求值即可．
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10° ＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
【活学活用1】 求下列各式的值：
(1)tan 15°＋csoins 1155°°；
(2)tan 20°＋4sin 20°的值．
解 (1)原式＝csoins 1155°°＋csoins 1155°°＝sisni2n1155°＋°cocsos1251°5°
＝sin
1 15°cos
15°＝2sin
2 15°cos
θ 2
＝
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
1 tan tan
2
思考：当 时，
你能推导出哪些恒等式呢？ zxxk
二倍角公式
在公式S，C ,T中，令＝
就得到下列当结果
sin 2 2sin cos (S2 )
cos2 cos2 sin2 tan 2 2 tan
1 tan2
(C2 ) (T2 )
公式推广
cos 2 cos 2 sin 2 中 cos2 sin 2 1,易得：
特别强调：tan 2＝1－2ttaann2 仅当
k , k , k Z时成立2 Nhomakorabea4
例1、不查表，求下列各式的值
1、sin15cos15
2、 cos2 sin 2
8
8
3、
2 tan 22.5 1 tan 2 22.5
4、 1 2sin 2 75
例2、
已知：sin 12 , ( , )
二倍角的正弦余弦正切
复习引入
• 复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin( ) sin cos cos sin , ( R, R) (S )
cos( ) cos cos sin sin ,( R, R) (C )
tan( ) tan tan , (, , k , k Z ) (T )
13
2
求sin2，cos2 , tan2的值
例3
求证：1 sin2 - cos2 ＝tan 1 sin2 cos2
试试身手！
1.已知：tan＝3 求：sin2－cos2的值
答案：7/5
2.求函数y sin4 x cos x的周期。
课堂小结
●理解二倍角公式，领会二倍的相对意 义 ●运用公式求解，证明 ●特别注意公式的逆向使用，和公式变 形。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
练习 1：2sin 15°cos 15°＝________.
练习 2：cos2α2－sin2α2＝________.
练习 3：1－2tatnan22α2α＝________.
2tan α 1－tan2α 练习：1.12 2.cos α 3.tan 4α
二、二倍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α3是α6的 二倍角等等．又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…，2αn ＝2×2nα＋1等等．
∴tan α<0，tan β<0.
∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1－3 43＝ 3，
∵α，β∈－π2，π2，且 tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈－π2，0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－23π.
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
利用二倍角公式化简与证明
已已知tatann2β2＝β＝tanta2αn＋2α＋co1s2α求.求证证：：cos 2α－2c
cos 2α－2cos 2β＝1.
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
(2)当 α＝kπ＋2π，(k∈Z)时，tan α 的值不存在，
这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin3π≠2sinπ6.
(4)公式的逆用变形
升幂公式：
1＋cos α＝________，1－cos α＝________，
1±sin 2α＝________
练习 2：cos2α2－sin2α2＝________.
练习 3：1－2tatnan22α2α＝________.
2tan α 1－tan2α 练习：1.12 2.cos α 3.tan 4α
二、二倍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α3是α6的 二倍角等等．又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…，2αn ＝2×2nα＋1等等．
∴tan α<0，tan β<0.
∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1－3 43＝ 3，
∵α，β∈－π2，π2，且 tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈－π2，0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－23π.
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
利用二倍角公式化简与证明
已已知tatann2β2＝β＝tanta2αn＋2α＋co1s2α求.求证证：：cos 2α－2c
cos 2α－2cos 2β＝1.
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
(2)当 α＝kπ＋2π，(k∈Z)时，tan α 的值不存在，
这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin3π≠2sinπ6.
(4)公式的逆用变形
升幂公式：
1＋cos α＝________，1－cos α＝________，
1±sin 2α＝________
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cos2α＝2cos2α－1
1 2sin2 a
探究（二）：二倍角公式的变形 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦式， sin2 a，cos2 a 与cos2α的关系分别如何？
sin2 1 cos 2
2
cos2 1 cos 2
2
3.13 二倍角的正弦、余弦、正切公式
巨野县第一中学
谷卫丽
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是 什么？
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
探究（一）：二倍角基本公式
思考3：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos
2
1 1
tan 2 tan2
sin
2
2 tan 1 tan2
理论迁移
例1
已知
sin 2 5
13
，4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4 的值.
练一练 (1)sin 22.50 cos 22.50;
(2) cos2
sin2 ;
8
8
(3)
1
2 Biblioteka tan150 tan2 150
;
(4)1 2sin2 750.
【例 2】在 ABC 中， cos A 4 ， tan B 2 ，求 5
tan(2A 2B) 的值；
已知 tan 2 1 , 求 tan 的值
3
解：
tan
2
2 tan 1 tan2
1 3
由此得 tan2 6 tan 1 0
解得 tan 2 5 或 tan 2 5
例3 化简 (sin 2x cos 2x 1)(sin 2x cos 2x 1)
sin 4x
tanx
思考？
求cos 20cos 40cos80的值.
作业：
P135练习：2，3，4，5.
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式 都是恒等式，特别地，当β＝α时，这 三个公式分别变为什么？
sin2α＝2sinαcosα；
.
cos2α＝cos2α－sin2α；
tan
2
2 tan 1 tan2
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍 角的余弦公式还可作哪些变形？
1 2sin2 a
探究（二）：二倍角公式的变形 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦式， sin2 a，cos2 a 与cos2α的关系分别如何？
sin2 1 cos 2
2
cos2 1 cos 2
2
3.13 二倍角的正弦、余弦、正切公式
巨野县第一中学
谷卫丽
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是 什么？
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
探究（一）：二倍角基本公式
思考3：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos
2
1 1
tan 2 tan2
sin
2
2 tan 1 tan2
理论迁移
例1
已知
sin 2 5
13
，4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4 的值.
练一练 (1)sin 22.50 cos 22.50;
(2) cos2
sin2 ;
8
8
(3)
1
2 Biblioteka tan150 tan2 150
;
(4)1 2sin2 750.
【例 2】在 ABC 中， cos A 4 ， tan B 2 ，求 5
tan(2A 2B) 的值；
已知 tan 2 1 , 求 tan 的值
3
解：
tan
2
2 tan 1 tan2
1 3
由此得 tan2 6 tan 1 0
解得 tan 2 5 或 tan 2 5
例3 化简 (sin 2x cos 2x 1)(sin 2x cos 2x 1)
sin 4x
tanx
思考？
求cos 20cos 40cos80的值.
作业：
P135练习：2，3，4，5.
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式 都是恒等式，特别地，当β＝α时，这 三个公式分别变为什么？
sin2α＝2sinαcosα；
.
cos2α＝cos2α－sin2α；
tan
2
2 tan 1 tan2
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍 角的余弦公式还可作哪些变形？