正弦余弦正切二倍角公式及变形升降幂公式(完全版)
二倍角的正弦余弦正切公式
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2
2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in
2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为 的2倍，将 α 作为 的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2
）6（
3
2）
6
6.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
C.2
B. −
C.−
D.
）
A.
B.
C.
D.
例：在△ABC中， = ， = ，求( + )的值.
解法一：在△ABC中， 由 = ， < < ，得 = − = .
∴ = ( + ) = −
综上：二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
正弦
公式
公式的逆用
简记
=
① =
② =
③ =
∴ ( + ) = [( + )] = −(+) =
课后作业：
1.求下列各式的值:
（1）
（2） −
（3）
−
2.求下列各式的值：
（1）
3.已知( − ) =
（1）若 = 求x的值
.
（2）设函数() = ∙ ，求()的最大值.
11.已知( − ) = ，且是锐角，则( − ) 、 ( − ) 、 ( − )分别等于多少？
12.若( + ) = ( < < )，则 等于多少？
3.升幂和降幂公式：
人教A版数学必修4课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
三角函数及变形公式
三角函数及变形公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。
商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例，体现了 二倍角公式是和角公式的特例， 二倍角公式是和角公式的特例 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样，反 二倍角公式与和角、 二倍角公式与和角 差角公式一样， 映的都是如何用单角α的三角函数值表示 映的都是如何用单角 的三角函数值表示 复角（ 的三角函数值， 复角（和、差、倍）的三角函数值，结合 前面学习到的同角三角函数关系式和诱导 公式可以解决三角函数中有关的求值、 公式可以解决三角函数中有关的求值、化 简和证明问题。 简和证明问题。
化简 sin 50 (1 + 3 tan10 )
o o
cos10o + 3 sin 10o o 解： 原式 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10 o sin 80 = =1 o cos10
［例2］若270°＜α＜360°， 化简：
1 1 + 2 2
求值
1 1 + cos 2α 2 2
（1）cos80°cos40°cos20° （2）sin10°sin30°sin50°sin70°
例3
1+sin2 −cos2 θ θ 求 ： 证 = tanθ 1+sin2 +cos2 θ θ
2
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明： 证明：左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
同样对于正切也有这样的结论
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
题型一 给角求值——自主完成 求下列各式的值：
(1)cos1π2cos51π2； (2)cos1π2－sin1π2cos1π2＋sin1π2； (3)12－cos2π8； (4)1－tanπ21π2；
tan12 (5)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
解析：(1)原式＝cos1π2sin1π2＝12×2sin1π2cos1π2＝21sinπ6＝41.
2.12 sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18 C.116 D.12
解析：原式＝41×2sin 15°cos 15°＝14×sin 30°＝81. 答案：B
3．计算 1－2sin222.5°的结果等于( )
1
2
3
3
A.2 B. 2 C. 3 D. 2
解析：1－2sin222.5°＝cos
跟踪训练 1 (1)已知 sinπ6＋θ＝ 32，则 sin2θ－π6＝(
)
A．－79
B．－59
5 C.9
7 D.9
(2)已知 sinπ4－x＝153，0<x<π4，则 cos 2x＝________.
解析：(1)∵sinπ6＋θ＝ 32， ∴sin2θ－6π＝sin2θ＋π3－π2 ＝－cos2θ＋π3＝－1－2sin2π6＋θ＝－95. (2)因为 x∈0，π4，所以π4－x∈0，π4， 又因为 sin4π－x＝153，所以 cosπ4－x＝1123， 所以 cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x ＝2×153×1123＝112609.
C2α cos 2α＝_1_－__2_s_in_2_α____ 利用c_o_s_2α_＋__s_i_n_2α_＝__1 cos 2α＝_2_c_o_s_2α_－__1____ 消去 sin2α 或 cos2α
10、微专题：二倍角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册
【学生版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；s in 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】 题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80° 【提示】； 【答案】； 【解析】；【说明】 题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】； 【答案】；【解析】方法1、方法2、例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A ．2 B ．－2 C. 12D ．－12【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2； （2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ；【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tanα的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－7252、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.233、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．4、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为 ． 7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为 ． 8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【教师版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin2sin cos2ααα=2S α 余弦 222cos2cos sin 2cos 1αααα=-=-=212sin α- 2C α 正切22tan tan 21tan ααα=-2T α二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.（2）配方变形公式：1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；1±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；【典例】 题型1、给角求值例1、求值：cos 20°cos 40°cos 80°【提示】注意：角“20°、40°、80°”成“二倍”关系； 【答案】18；【解析】原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝sin 20°8sin 20°＝18；【说明】本题属于：给角求值问题；对于给角求值问题，一般有两类：（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式； 题型2、给值求值例2、（1）已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于_______ 【提示】注意：角“⎝⎛⎭⎫π4－x ”与角“2x ”之间关系； 【答案】725；【解析】方法1、因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， 所以sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 方法2、由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(s in x －cos x )＝－35，所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825， 所以sin 2x ＝725；例2、（2）若sin θ＋3cos θ＝0，则cos 2θ＋sin 2θ＝( )A ．2B ．－2 C. 12D ．－12【提示】注意：角“θ”与“2θ”之间二倍关系，以及“齐次”式的特点； 【答案】D ；【解析】由sin θ＋3cos θ＝0得tan θ＝－3，所以cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋2sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θcos 2θ＋2sin θcos θcos 2θcos 2θcos 2θ＋sin 2θcos 2θ＝1＋2tan θ1＋tan 2θ＝－510＝－12，故选D ； 【说明】本题属于：给值求值问题；解决给值求值问题的方法：（1）给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． （2）注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 题型3、化简与证明例3、（1）化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2； （2）求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【提示】注意：灵活运用与应用公式的变形；【解析】（1）sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2＝sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin x sinx2cos x cosx 2＝2sin x cos x2cos x· cos x cos x 2＋sin x sin x 2cos x cos x 2＝sin x ·cosx2cos x cosx 2＝tan x ；（2）证明：因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ；【说明】任意角的三角比的化简方法：三角比的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”“弦化切”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等． 题型4、二倍角公式推导思路的拓展┄┄三倍角公式例4、（1）试用sin θ 表示sin3θ；（2）试用cos θ 表示cos3θ；（2）试用sin θ 表示sin3θ； 【解析】（1）3sin33sin 4sin θθθ=-；（2）3cos34cos 3cos θθθ=-；【说明】理解二倍角公式的推导思路；并从推导过程进行拓展（问题：如何记忆三倍角公式） 【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比 公式简记 正弦 sin 2α＝2sin_α_cos_αS 2α 余弦 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α C 2α 正切tan 2α＝2tan α1－tan 2αT 2α【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S 2α和C 2α，α∈R ，但是在使用T 2α时，要保证分母1－tan 2α≠0且tan α有意义，即α≠π4＋k π且α≠－π4＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)．当α＝π4＋k π及α＝－π4＋k π(k ∈Z)时，tan 2α的值不存在；当α＝π2＋k π(k ∈Z)时，tan α的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2α，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α＝tan(π＋2k π)＝0. （3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．（4）一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式．例如，sin 3αcos 3α＝12sin 6α.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B. 15 C ．－15 D ．－725【答案】D ；【解析】因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. 2、若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23【答案】C ；【解析】因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.3、若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．【答案】 2 012；【解析】1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 0124、等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．【答案】459【解析】设A ，B 分别是等腰△ABC 的顶角和底角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 5、设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________. 【答案】17250；【解析】∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425， cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π4＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝22×1725＝17250. 6、sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，则cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值为 ．【答案】2413；【解析】0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4.又∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213. 又cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.7、sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝16，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 4x 的值为 ． 【答案】427；【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝16，∴cos 2x ＝13.∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2x ∈(π，2π)，∴sin 2x ＝－223. ∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝－2 2.∴tan 4x ＝2tan 2x1－tan 22x ＝－421－8＝427.8、已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π12＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ 【答案】79；【解析】sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ－π12＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π12＝79. 9、已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求：sin2α，cos 2α，tan 2α的值．【解析】方法1、由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0.∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－179.ta n 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 方法2、：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αc os α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2 ＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 10、求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】原式变形为1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，(*) 而(*)式右边＝tan 2θ(1＋cos 4θ＋sin 4θ) ＝sin 2θcos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ＝sin 4θ＋1－cos 4θ＝左边，∴(*)式成立，即原式得证.。
5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)
经典例题
题型二 条件求值
例 2(1)已知 tan α＝2，则 tan 2α＝________；
(2)已知 0<α<π2，cosπ6＋α＝13，则 sin3π＋2α＝________.
解：(1)∵tan α＝2， ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α ＝12－×222＝－43.
(2)∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<23π.
＝cos2( ＋α)＝2cos2( ＋α)－1＝2×( )2－1＝－ .
经典例题
题型二 条件求值
跟踪训练2 (2)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝45，则 sin2α＋1π2的值为________．
(2)∵α 为锐角，∴α＋π6∈π6，23π. 又∵cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35，
公式
简记
正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
S2α
余弦 cos2α＝ cos2α－sin2α
C2α
正切 tan2α＝
2tan α 1－tan2α
T2α
解读：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于 2 的情况都 成立，如 4α 是 2α 的二倍，α 是α2的二倍等.
自主学习
二．正弦的二倍角公式的变形 1.sin αcos α＝12sin 2α； 2.1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
－ 解析：因为 tanα＝－ ，所以 tan2α＝
＝
＝－ .
经典例题
题型一 给角求值
例 1 求下列各式的值：
(1)sin2 π－cos2 π；
(2)sin1π2cos1π2；
(3)
；
(4)cos20°·cos40°·cos80°.
微专题28 利用二倍角公式升、降幂的绝招(解析版)
微专题28利用二倍角公式升、降幂的绝招【方法技巧与总结】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos ααα=⋅2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-2、升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=3、降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=【题型归纳目录】题型一：利用二倍角公式求值题型二：利用二倍角化简、求值题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值题型四：二倍角的综合运用【典型例题】题型一：利用二倍角公式求值例1．求下列各式的值：（1）sin15cos15︒︒；（2）22cos sin 88ππ-；（3）2tan 22.5122.5tan ︒-︒；（4）22cos 22.51︒-．【解析】解：（1）11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=；（2）22cos sin cos 8842πππ-==；（3）2tan 22.511tan 45122.522tan ︒=︒=-︒；（4）222cos 22.51cos 452︒-=︒=．例2．求下列各式的值：（1）2sin 75cos 75︒︒；（2）22sin cos 1212ππ-；（3）22cos 18π-；（4）212sin 6730'-︒；（5）22tan 22.5122.5tan ︒-︒；（6）sin15sin 75︒︒；（7）22cos 1501︒-；（8）252tan125112tan ππ-．【解析】解：（1）12sin 75cos 75sin150sin 302︒︒=︒=︒=；（2）2222sin cos (cos sin )cos 121212126πππππ-=--=-=-；（3）22cos 1cos 84ππ-==（4）212sin 6730cos135cos 452'-︒=︒=-︒=-；（5）22tan 22.5tan 451122.5tan ︒=︒=-︒；（6）111sin15sin 752sin15cos15sin 30224︒︒=⨯︒︒=︒=；（7）212cos 1501cos300cos 602︒-=︒=︒=；（8）252tan512tan tan 5663112tan ππππ==-=-．例3．求下列各式的值：（1）5555(sincos )(sin cos )12121212ππππ+-（3）111tan 1tan αα--+（4）212cos cos 2θθ+-【解析】解：（1）5555(sin cos cos )12121212ππππ+-2255sin cos 1212ππ=-5cos 6π=-cos 6π=2=；（2）44cos sin 22αα-2222(cos sin )(cos sin )2222αααα=+-22cos sin 22αα=-cos α=；（3）111tan 1tan αα--+(1tan )(1tan )(1tan )(1tan )αααα+--=-+22tan 1tan αα=-tan 2α=；（4）212cos cos 2θθ+-2212cos (2cos 1)θθ=+--2=．变式1．求下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒；（2）22cos 22.5sin 22.5︒-︒；（3）212sin 15-︒；（4）22cos 301︒-；（6）22tan 75175tan ︒-︒．【解析】解：（1）12sin15cos15sin 302︒︒=︒=；（2）22cos 22.5sin 22.5︒-︒；cos 452=︒=；（3）212sin 15cos302-︒=︒=；（4）212cos 301cos602︒-=︒=；（5）2sin cos sin 8842πππ==；（6）22tan 75tan150tan 301753tan ︒=︒=-︒=--︒．变式2．求下列各式的值：（1）3sinsin88ππ；（2）22cos 15cos 75︒-︒；（3）252cos 112π-；（4）2tan 30130tan ︒-︒．【解析】解：（1）31sinsin sin cos sin 8888244πππππ===．（2）2222cos 15cos 75cos 15sin 15cos30︒-︒=︒-︒=︒=．（3）2552cos 1cos cos 12662πππ-==-=-．（4）22tan 3012tan 301tan 6013021tan 3022tan ︒︒=⋅=︒=-︒-︒．题型二：利用二倍角化简、求值例4．已知1sin()33παα+=，则sin(2)6πα-的值是()A ．13B ．13-C ．79D ．79-【解析】解：已知11sin()cos sin()33223ππαααααα+-==+-=-，则222sin(2)cos[(2cos(2)cos(212sin ()626333ππππππααααα-=--=-=-=--171299=-⨯=，故选：C ．例5．已知1sin()cos 63παα-=+，则cos(2(3πα+=)A ．79-B ．CD ．79【解析】解：1sin()cos 63παα-=+，整理得11cos 223αα+=-，即1sin()63πα+=-，故27cos(2)12sin ()369ππαα+=-+=．故选：D ．例6．已知3cos(13)4α︒+=-，则sin(642)α-︒+的值为()A ．18-B ．18C ．316-D ．1532【解析】解：3cos(13)4α︒+=-，则sin(642)α-︒+21cos[90(642)]cos(262)2cos (13)18ααα=-︒+-︒+=-︒+=-︒++=-，故选：A ．变式3．已知3sin()45x π-=，则cos(2)2x π-的值为()A ．1925B ．1625C ．1425D ．725【解析】解：因为3sin()45x π-=，所以2237cos(2)cos[2()]12()12(244525x x sin x πππ-=-=--=-⨯=．故选：D ．变式4．若[4πθ∈，]2π，1cos 28θ=-则sin (θ=)A ．35B ．34C ．4D ．45【解析】解：21cos 212sin 8θθ=-=-，29sin 16θ∴=，[4πθ∈，2π，3sin 4θ∴==，故选：B ．变式5．已知tan 2α=，则cos(2)4πα+的值为10-．【解析】解：tan 2α=，则222222cos sin 2sin cos cos(2)2sin 2()4222cos sin cos sin πααααααααααα-+=-=-++2221tan 2tan 1447()()21tan 1tan 2141410αααα--=-=-=-++++，故答案为：7210-．变式6．已知tan 2α=，则22sin 22cos 2sin 4ααα-=112．【解析】解：tan 2α=，22tan 4sin 215tan ααα∴==+，2213cos215tan tan ααα-==-+，24sin 42sin 2cos 225ααα==-，∴222243()2()sin 22cos 215524sin 41225ααα-⨯--==-．故答案为：112．变式7．已知θ为锐角，3cos(15)5θ+︒=，则cos(215)θ-︒=．【解析】解：θ为锐角，3cos(15)52θ+︒=<，15(45,60)θ∴+︒∈︒︒，230120θ∴+︒<︒．由二倍角公式可得27cos(230)2cos (15)125θθ+︒=+︒-=-，24sin(230)25θ∴+︒==．cos(215)cos(23045)cos(230)cos 45sin(230)s in 45θθθθ∴-︒=+︒-︒=+︒︒++︒︒7242525=-，故答案为：50．变式8．（1）已知角α的终边经过点(4,3)P -，求2sin cos tan ααα++（2）已知a 为第二象限的角，3sin 5a =，求tan 2α【解析】解：（1）α的终边经过点(4,3)P -，则3sin 5α=-，cos 45α=，3tan 4α=-，2sin ∴23cos tan 20ααα++=-（2）a 为第二象限的角，3sin 5a =，cos ∴45α=-，3tan 4α∴=-，24tan 27α∴=-题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值例7．等于()A ．2sin 44cos 4-B ．2sin 44cos 4--C ．2sin 4-D ．4cos 42sin 4-【解析】解：544ππ<<，sin 4cos 40∴<<，2|sin 4cos 4|2cos 42sin 4∴==-=-，2cos 4=-，2sin 4∴=-．故选：C ．例8．若42ππθ<<，则化简的结果为()A ．2sin θB ．2sin θ-C ．2cos θD ．2cos θ-【解析】解：若42ππθ<<，则sin cos 0θθ>>，∴|sin cos ||sin cos |θθθθ==+--(sin cos )(sin cos )2cos θθθθθ=+--=，故选：C ．例9．已知53[,42ππθ∈-可化简为()A ．2sin θB ．2sin θ-C ．2cos θ-D ．2cos θ【解析】解：因为53[,]42ππθ∈，sin cos θθ∴<，且sin cos 0θθ+<．|cos sin ||cos sin |2cos θθθθθ--+=，故选：D ．变式9．sin10sin 30sin 50sin 70︒︒︒︒的值为()A ．12B ．14C ．18D ．116【解析】解：原式12sin10cos10cos 20cos 40sin 80122cos1016cos1016︒︒︒︒︒===︒︒故选：D ．变式10．若270360a ︒<<︒=cos2a -．【解析】解：270360a ︒<<︒，∴1351802a︒<<︒，===|cos |cos 22a a ====-．故答案为：cos 2a -．变式11()A ．2sin 5-︒B ．2sin 5︒C ．2cos5-︒D ．2cos5︒=50=︒︒2cos(4550)=︒+︒2sin 5=-︒．故选：A ．变式12．若2παπ-<<-得()A ．24απ+B 24απ+C ．sin()24απ-D sin()24απ-【解析】解：2παπ-<<-，22αππ∴-<<-，∴sincos 22αα=-+3sin()24απ=+3(24αππ=-+sin()24απ=-．故选：C ．变式13()A ．12B ．2C D ．2【解析】解：原式sin 4040sin 80cos10sin10sin102cos102︒︒︒===⨯=︒-︒+︒︒．故选：B ．变式14．sin 6cos 24sin 78cos 48︒⋅︒⋅︒⋅︒的值为()A ．116B ．116-C ．132D ．18【解析】解：sin 6cos 24sin 78cos 48︒⋅︒⋅︒⋅︒sin 6sin(9012)cos 24cos 48=︒⋅︒-︒⋅︒⋅︒sin 6cos12cos 24cos 48=︒︒︒︒442cos6sin 6cos12cos24cos482cos6︒︒︒︒︒=︒342sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒=︒242sin 24cos 24cos 482cos6︒︒︒=︒442sin 48cos 48sin 96sin(906)cos 612cos 62cos 616cos 616cos 616︒︒︒︒+︒︒=====︒︒︒︒．故选：A ．变式15．=1．cos20sin 201cos20sin 20︒-︒==︒-︒．故答案为：1．题型四：二倍角的综合运用例10．设(0,)απ∈，1sin cos 3αα+=，则22cos sin αα-的值是()A ．9B ．3-C ．9-D ．9或9-【解析】解：1sin cos 3αα+=，112sin cos 9αα∴+=，82sin cos 9αα∴=-，(0,)απ∈，sin 0α∴>，cos 0α<，cos sin3αα∴-=-，221cos sin (cos sin )(cos sin )3αααααα∴-=-+=-=-故选：C ．例11．若1sin cos 3αα+=，0απ<<，则sin 2cos 2(αα+=)A ．89+B ．89-±C ．89-D ．89--【解析】解：因为1sin cos 3αα+=①，所以112sin cos 9αα+=，即82sin cos sin 29ααα==-，所以21712sin cos (sin cos )9αααα-=-=，因为sin cos 0αα<且0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<，故sin cos 3αα-=②，①⨯②可得，22cos 2cos sin ααα-==-，所以88sin 2cos 2999αα--+=--=．故选：D ．例12．函数2()sin cos f x x x x =+在区间[,42ππ上的最大值是()A ．1B ．12C ．32D ．1【解析】解：由1cos 21()2sin(2)2226x f x x x π-=+=+-，5242366x x πππππ⇒-，∴13()122max f x =+=．故选：C ．变式16．已知函数2()(2cos 1)sin 2xf x x =-，则函数()f x 的最小正周期和最大值分别为()A ．π和1B ．π和12C ．2π和1D ．2π和12【解析】解：函数21()(2cos 1)sin cos sin sin 222x f x x x x x =-==，故它的最小正周期为22ππ=；它的最大值为12，故选：B ．变式17．当x θ=时，函数2()2sin 4cos 2xf x x =+-取得最大值，则cos θ=5-．【解析】解：2()2sin 4cos sin 2cos )2xf x x x x x ϕ=+-=-=-，且sin 5ϕ=，cos 5ϕ=，又当x θ=时函数取得最大值，则22k πθϕπ-=+，可得22k πθπϕ=++，则cos cos(2)sin 2k πθπϕϕ=++=-=-，故正确答案为：5-．变式18．已知函数()cos cos )(0)f x x x x ωωωω=->的两条对称轴之间的最小距离为2π．（1）求函数()f x 的最大值；（2）若3()10f α=，(0,3πα∈，求cos 2α的值．【解析】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得2()cos cos f x x x x ωωω=-1cos 212sin(2)2262x x x ωπωω+=-=--，函数()f x 图象两条对称轴之间的最小距离为2π，∴周期2222T ππω==⨯，解得1ω=，1()sin(262f x x π∴=--，()f x ∴的最大值为11122-=；（2）因为314()sin(2)sin(2106265f ππααα==--⇒-=，(0,)3πα∈，2(66ππα∴-∈-，2π；3cos(265πα∴-=．cos 2cos[(2)66ππαα∴=-+cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=---341552=⨯410=．变式19．已知tan α，tan β是一元二次方程的2420x x --=两根，且0βαπ<<<，求tan2αβ+的值．【解析】解：由已知得tan tan 4αβ+=，tan tan 2αβ=-，tan tan 44tan()1tan tan 123αβαβαβ++===-+，22tan42tan()312tan αβαβαβ++==+-，23tan22tan 22αβαβ++∴=-，即22tan 3tan 2022αβαβ+++-=，则1tan22αβ+=或2-，0βαπ<<<，tan tan 40αβ+=>，tan tan 20αβ=-<，tan α∴与tan β异号，则tan 0α>，tan 0β<，且|tan ||tan |βα>，02πβ∴<<，2παπ<<，则322ππαβ<+<，3424παβπ+<<，则tan22αβ+=-．【过关测试】1．已知3cos 25θ=，则44sin cos θθ+的值为()A ．925B ．1625C ．1725D ．4150【解析】解：3cos 25θ=，4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ∴+=+-2211121(12)22sin cos θθ=-=--213171[1()]2525=--=．故选：C ．2．已知3cos 25α=，则44sin cos αα-的值为()A ．35-B ．15-C ．15D ．35【解析】解：3cos 25α=，223cos 2cos sin 5ααα∴=-=，442222223sin cos (cos sin )(cos sin )(cos sin )5αααααααα∴-=-+-=--=-，故选：A ．3．已知1tan 4tan θθ+=，则44sin cos (θθ+=)A ．38B ．12C ．34D ．78【解析】解：由221sin cos sin cos 1tan 4tan cos sin sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++=+===，得1sin cos 4θθ=，4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ∴+=+-1712168=-⨯=．故选：D ．4．若[,]42ππθ∈，sin 28θ=，则sin (θ)A ．23B ．4C ．4D ．34【解析】解：因为[,]42ππθ∈，所以2[,]2πθπ∈，所以cos 20θ<，所以，1cos 28θ==-．又21cos 212sin 8θθ=-=-，所以29sin 16θ=．再由[,]42ππθ∈，得sin 0θ>，所以3sin 4θ=．故选：D ．5．已知角α满足1sin()43πα+=，则sin cos αα+=23，sin 2α=．【解析】解：角α满足1sin()43πα+=，则21(sin cos )23αα+=，则2sin cos 3αα+=．所以22(sin cos )9αα+=，整理得27sin 2199α=-=-．故答案为：739-6．函数111cos 24cos 22y x x =-+的值域为[2，10]．【解析】解：2111cos 24cos (cos 2)122y x x x =-+=-+，设cos x t =，所以函数2()(2)1f t t =-+该函数在(,2)-∞上单调递减，当cos 1x =-时函数取得最大值为10，当cos 1x =时，函数取得最小值为2．故函数的值域为[2，10]．故答案为：[2，10]．7．（1）已知角α的终边经过点(4,3)P -，求2sin cos tan ααα++（2）已知a 为第二象限的角，3sin 5a =，求tan 2α【解析】解：（1）α的终边经过点(4,3)P -，则3sin 5α=-，cos 45α=，3tan 4α=-，2sin ∴23cos tan 20ααα++=-（2）a 为第二象限的角，3sin 5a =，cos ∴45α=-，3tan 4α∴=-，24tan 27α∴=-8．（1）已知445sin cos 9θθ+=．求sin 2θ的值；（2）已知3cos 25θ=，求44sin cos θθ+的值．【解析】解：已知445sin cos 9θθ+=．所以222225(sin cos )2sin cos 9θθθθ+-=，整理得2511(2sin cos )92θθ-=，所以214(sin 2)29θ=，故：sin 23θ=±．（2）已知3cos 25θ=，所以4sin 25θ=±，44sin cos θθ+的2222211617(sin cos )2sin cos 122525θθθθ=+-=-⨯=．9．（1）已知3cos 5θ=-，32ππθ<<，求2(sin cos 22θθ-的值；（2）已知1sincos 225αα-=，求sin α的值；（3）已知445sin cos 9θθ+=，求sin 2θ的值；（4）已知3cos 25θ=，求44sin cos θθ+的值．【解析】解：（1）由3cos 5θ=-，32ππθ<<，得4sin 5θ==-，所以22249(sincos )sin 2sin cos cos 1sin 122222255θθθθθθθ-=-+=-=+=；（2）由1sin cos 225αα-=，所以2221(sincos )sin 2sin cos cos 1sin 22222225ααααααα-=-+=-=，解得24sin 25α=；（3）由445sin cos 9θθ+=，得2224422251(sin cos )sin cos 2sin cos sin 2192θθθθθθθ+=++=+=，解得28sin 29θ=，则sin 23θ=±；（4）由3cos 25θ=，得：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-211sin 22θ=-211(1cos 2)2θ=--21131(225=-+⨯1725=．10．已知324ππα<<，110tan tan 3αα+=-．（1）求3tan()4απ+的值；（2）求225sin 8sin cos 11cos 822223sin()2ααααπα++--的值．【解析】解：由110tan tan 3αα+=-，得23tan 10tan 30αα++=，解得：tan 3α=-或1tan 3α=-．324ππα<<，1tan 3α∴=-，（1）131tan tan 334tan()23141tan tan 1()(1)43απαπαπ--++===----⨯-；（2）225sin 8sin cos 11cos 822223sin()2ααααπα++--41cos 1cos 354sin 1184sin 3cos 4tan 353223cos 3cos 339αααααααα-+-+⋅++⋅-++=====-----．11．已知4tan 2,223θπθπ=<<（1）求tan θ的值；（2）求22cos sin 12sin()cos θθπθθ---+的值．【解析】解：（1）22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，∴122tan tan θθ=-=或，2πθπ<<，∴2πθπ<<，tan 2θ∴=-．（2）22cos sin 1cos sin 1tan 23sin()cos sin cos tan 1θθθθθπθθθθθ----===--+++．12．已知sin3cos 022x x -=（1）求tan x 的值；（2）求cos 2cos()sin 4xx xπ+的值．【解析】解：（1）由sin 3cos 022x x -=，可得tan 32x =，∴22tan632tan 1941tan 2xx x ===---．（2）原式22cos sin 111sin tan 3x x x x +===+=-．13．不用计算器，求值：tan10tan 20tan 30tan 40tan 50tan 60tan 70tan 80︒︒︒︒︒︒︒︒．【解析】解：tan cot(90)αα=︒-．∴原式cot 80cot 70cot 60cot 50tan 50tan 60tan 70tan 80=︒︒︒︒︒︒︒︒1=．故答案为：1．。
三角函数公式
一）两角和差公式（写的都要记）sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)二）用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 （上面这个余弦的很重要）sin2A=2sinA*cosA三）半角的只需记住这个：tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)四）用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2(cosA)^2=(1+cos2A)/2五）用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式1-cosA=sin^(A/2)*21-sinA=cos^(A/2)*2+一）两角和差公式（写的都要记）sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)二）用以上公式可推出下列二倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 （上面这个余弦的很重要）sin2A=2sinA*cosA三）半角的只需记住这个：tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)四）用二倍角中的余弦可推出降幂公式(sinA)^2=(1-cos2A)/2(cosA)^2=(1+cos2A)/2五）用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式1-cosA=sin^(A/2)*21-sinA=cos^(A/2)*2公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
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§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
++=
-． （二）公式推导： ()sin2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 22222cos2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．
()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα
+=+==--．
升降幂公式
2
)cos (sin 2sin 1ααα±=±
α
α2
cos
2
2
cos
1=
+
α
α2
sin
2
2
cos
1=
-
22
cos
1
cos2α
α
+
=
2
2
cos 1
sin2
α
α
-
=
}
}
升幂降角公式
降幂升角公式。