二倍角与半角的正弦、余弦和正切
半角公式及万能公式
这样“三角”与“代数”沟通起来，因此称为“万能公 这样“三角” 代数”沟通起来，因此称为“ 式”。 弦化切的两种方法： 齐次式”弦化切及万能公式. 弦化切的两种方法：“齐次式”弦化切及万能公式
1 π sin = 2 练习： = 练习： 2 π 4 2 4 1 + tan
tan 8 8
π
1 π =1 = tan π 2 4 2 1 tan 2
1 ∴ cos sin = 2 2 5 cos α + sin α = 3 2 2 5
∴ tan
α
α
α
α
3 α α = (cos sin ) 2 2 5 1 α cos 2 = 5 α 2 sin = 2 5 α 1 cos α 5 2 = 1 + = . α 4 2 sin
1 cosα 1 + cos α 2 + = 化简： tan + cot = 化简： = 2 csc α sin α sin α sin α 2 2 π sin( α ) π α cos α 2 = = tan( ) 4 2 1 + sin α 1 + cos( π α ) 2
α
α
α
二、例 1：已知 求 sin
tan 8 8
1 tan ( α ) π 4 = cos( 2α ) 2 2 π 1 + tan ( α ) 4
2
π
π
= sin 2α
1 + sin α + cos α 1 = , 求 cos α值. 例1：已知 1 + sin α cos α 2
1 + sin α + cos α (1 + cos α ) + sin α = 解： 1 + sin α cos α (1 cos α ) + sin α = 2 cos 2 sin
三角函数的半角与二倍角公式
三角函数的半角与二倍角公式三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在求解三角函数值时，我们常常会遇到半角和二倍角的情况。
为了简化计算，在三角学中引入了半角与二倍角公式，能够帮助我们快速求解。
一、正弦函数的半角与二倍角公式1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以用来计算一个角的一半的正弦值。
假设原角为α，则其一半的角为α/2。
正弦函数的半角公式如下：sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]其中，α/2为角的半角，cosα为原角的余弦值。
公式中的±表示结果的正负与角度所在象限相关。
2. 正弦函数的二倍角公式正弦函数的二倍角公式可以用来计算一个角的两倍的正弦值。
假设原角为α，则其两倍的角为2α。
正弦函数的二倍角公式如下：sin2α = 2sinαcosα其中，2α为角的两倍，sinα和cosα分别为原角的正弦值和余弦值。
二、余弦函数的半角与二倍角公式1. 余弦函数的半角公式角为α，则其一半的角为α/2。
余弦函数的半角公式如下：cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]其中，α/2为角的半角，cosα为原角的余弦值。
公式中的±表示结果的正负与角度所在象限相关。
2. 余弦函数的二倍角公式余弦函数的二倍角公式可以用来计算一个角的两倍的余弦值。
假设原角为α，则其两倍的角为2α。
余弦函数的二倍角公式如下：cos2α = cos²α - sin²α其中，2α为角的两倍，cos²α和sin²α分别为原角的余弦值的平方和正弦值的平方。
三、正切函数的半角与二倍角公式1. 正切函数的半角公式正切函数的半角公式可以用来计算一个角的一半的正切值。
假设原角为α，则其一半的角为α/2。
正切函数的半角公式如下：tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)]其中，α/2为角的半角，cosα为原角的余弦值。
半角的正弦余弦正切公式
半角的正弦、余弦和正切学习目标：1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程；2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式.学习重点： 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式． 学习难点：半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取． 知识链接：1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α= ；cos2α= = = ；tan 2α= .一、预习案：问题1：若7cos 25α=，且α为锐角，则sin 2α= ， cos2α= ，tan2α= .1︒在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2α=2︒在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2α= 3︒以上结果相除得2tan 2α=半角公式：sin2α= （1）cos2α= （2）tan2α= = = （3）问题2：半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题？问题3：你能根据上面的公式解答下列问题吗？1、求值：（1）sin15 （2）cos15 （3）tan 8π二、学习案：例1：已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2的值．跟踪训练：已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2，求sin φ，cos φ的值．例2：化简：1. (1＋sin α＋cos α)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°＜α＜360°)2.cot tan1tan tan .222αααα⎛⎫⎛⎫-+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭跟踪训练： 化简：1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααα+---+--+-例3：求证：2sin 4x ＋34sin 22x ＋5cos 4x －12(cos4x ＋cos2x )＝2(1＋cos 2x )．练习：证明2(1)1sin 2cos ()42παα+=- 2(2)1sin 2sin ()42παα-=-三、巩固案：1．cos2π8－12的值为( ) A ．1 B.12 C.22D.242．下列各式与tan α相等的是( )A.B. sin 1cos αα+C. sin 1cos 2αα-D. 1cos 2sin 2αα-3．已知180°＜α＜270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan 2α的值为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－34．已知tan2α＝3，则cos α为( )A.45 B ．－45 C.415 D ．－355．已知cos α＝45，且32π<α<2π，则tan 2α等于( )A ．－13 B.13 C ．－13或13D ．－3四、课后作业：1．求下列函数的精确值.（1）sin 22.5= （2）cos67.5=（3）13cos 12π= （4）5cot 8π= 2．已知3sin 5θ=，且322ππθ<<，则cos 2θ= （ ）C. D. 3．已知等腰三角形顶角的余弦值为725，则底角的余弦值为 .4．设(),2αππ∈等于 .5．已知1cos 22α=-，并且4590α<<，求sin α,cos α,tan α的值.6．求下列函数的周期： (1)2cos 2x y = (2)22sin y x =7．求22cos cos sin y x x x x =--的值域、单调性、周期性并判断其奇偶性.8.求函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值．9.已知02πα<<，5tancot222αα+=，求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.10.已知3sin ,sin 20,5θθ=<求tan 2θ的值.参考答案知识链接：2.解：2237cos 12sin 122525αα⎛⎫=-=-⋅=⎪⎝⎭一、预习案：问题1：35 45 34半角公式：sin2α= （1）cos2α= （2）tan2α==sin 1cos αα+=1cos sin αα- （3）问题2：特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半. 2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切。
5.5(4)二倍角与半角的正弦、余弦和正切
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
33 5 4、 sin( ) ， cos ， 0 65 13 2 ，求 sin 的值 2
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第五章 三角比
练习一
ex1 、 已知 tan 2，求 sin( 2
3
ex 2、 若为第三象限角且 sin
43 3 sin( 2 ) 10 24 3
)．
ex 3、 已知 tan(
4
，求 tan ． 25 2 4
tan 3 4 cot 2 3 x
) 2，求 cot 2． 2
x ex 4、 已知 sin x : cos 4 : 5，求 tan ． 2 4 x 5 21 tan 4 2 4 3 ex 5、 若 sin , cos , 求是第几象限角？ 2 5 2 5 是第三象限的角
练习二
2 4 1 1、求值： cos cos cos ． 7 7 7 8 3 6 2、已知 sin A cos A ， A ，求 tan A． 2 13 4 2 3 A 2 5 3、在 ABC 中，已知 cos A ，求 sin ． 5 2 5 3 4、已知 sin ，且 Ⅱ，判断 2所在象限． 5 2 Ⅳ 1 5、若 ，且 sin 2 ，求 cos sin ． 4 2 4 3 2
5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切(2)教案
5.5两倍角与半角的正弦、余弦和正切（2）教案教学目的：1、掌握半角的正弦、余弦、正切公式，能根据2α所在象限正确选择公式中的正、负号； 2、会根据具体情况灵活运用公式。
用半角的正切公式时，往往选用αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan ；教学重点：半角公式的应用教学过程： （一）、引入 一、（设置情境）气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。
这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，那么“半角与倍角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？本节课我们就通过二倍角公式来研究半角的正弦、余弦和正切。
二、（双基回顾）αααcos sin 22sin =； ααα22sin cos 2cos -=； ααα2tan 1tan 22tan -=（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出2tan,2cos,2sinααα的表达式？探索研究证明：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=二、概念或定理或公式教学（推导）在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的1、在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得：2sin 21cos 2α-=α∴2cos 12sin 2α-=α2、在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得：12cos 2cos 2-α=α∴2cos 12cos 2α+=α3、以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2开方得：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半。
三角函数的二倍角与半角公式
三角函数的二倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，涉及到角度与三角比的关系。
在求解三角函数值时，常常用到二倍角与半角的公式。
本文将介绍三角函数的二倍角与半角公式，以及它们的应用。
1. 二倍角公式在三角函数中，二倍角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的二倍角的三角函数值的公式。
我们用角θ 表示已知角，角2θ 表示其二倍角。
接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式。
1.1 正弦的二倍角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其二倍角2θ 的正弦值可以表示为：sin 2θ = 2sin θ cos θ这个公式表明，求解正弦的二倍角可以通过利用已知角的正弦、余弦和两者之积来计算。
1.2 余弦的二倍角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其二倍角2θ 的余弦值可以表示为：cos 2θ = cos² θ - sin² θ这个公式可以改写为：cos 2θ = 2cos² θ - 1 = 1 - 2sin² θ根据这个公式，我们可以通过已知角的余弦、正弦和两者之积来求解余弦的二倍角值。
1.3 正切的二倍角公式已知角θ 的正切值为tan θ，其二倍角2θ 的正切值可以表示为：tan 2θ = (2tan θ)/(1 - tan² θ)这个公式表明，正切的二倍角可以通过已知角的正切值来计算。
2. 半角公式半角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的一半角的三角函数值的公式。
接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的半角公式。
2.1 正弦的半角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其半角θ/2 的正弦值可以表示为：sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)在这个公式中，正负号取决于角的象限。
2.2 余弦的半角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其半角θ/2 的余弦值可以表示为：cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2)同样地，正负号取决于角的象限。
二倍角与半角的正弦、余弦和正切
+ sin( )] sin( )] + cos( )] ) cos( )]
， 代入得： 2 2 1 1 sin cos [sin( ) sin( )] (sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ sin sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2
cos
2
2 tan 2 cos 2
sin
sin
sin
2 tan 1 tan
2 , cos
2
2 , tan 2
2 tan 1 tan
2
2
2
2
sin 证：1） 2 sin 2 cos2 1 tan 2 2 2 2 cos2 sin 2 1 tan 2 cos 2 2 2 2） cos 1 sin 2 cos2 1 tan 2 2 2 2 2 sin cos 2 tan sin 2 2 2 3） tan cos cos2 sin 2 1 tan 2 2 2 2
tan tan 2 tan tan 2 (T2 ) 1 tan tan 1 tan 2
2
因为 sin cos 1 ，所以公式 (C 2 ) 可以变形为
三角函数的倍角与半角公式
三角函数的倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何图形的分析和计算中起着重要的作用。
在三角函数的研究中，倍角与半角公式是非常重要的一部分。
本文将详细介绍三角函数的倍角与半角公式的相关内容，并给出其推导过程。
一、正弦函数的倍角与半角公式1. 倍角公式正弦函数的倍角公式表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ2. 半角公式正弦函数的半角公式表达为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]这些公式可以用于求解任意角度的正弦值以及角度间的关系。
二、余弦函数的倍角与半角公式1. 倍角公式余弦函数的倍角公式表达为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ2. 半角公式余弦函数的半角公式表达为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]同样，这些公式可以用于求解任意角度的余弦值以及角度间的关系。
三、正切函数的倍角与半角公式1. 倍角公式正切函数的倍角公式表达为：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)2. 半角公式正切函数的半角公式表达为：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]这些公式可以用于求解任意角度的正切值以及角度间的关系。
四、推导过程四象限中的角有正负之分，因此需要根据角落在哪个象限来确定符号。
在这里，为了简洁起见，我们省略符号的讨论。
1. 正弦函数的倍角公式推导过程：根据正弦函数的定义sinθ = y/r，其中y为角θ对应的直角三角形的对边，r为斜边。
设θ的一个倍角为2θ，则对应的直角三角形的对边为2y，斜边为r。
根据正弦函数的定义sin(2θ) = 2y/r = 2sinθcosθ2. 正弦函数的半角公式推导过程：根据勾股定理，直角三角形的斜边r可以用对边y和邻边x表示，即r = √(x² + y²)。
二倍角和半角公式
二倍角和半角公式二倍角公式和半角公式是初中数学中的重要知识点，它们在三角函数、平面几何和解析几何等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二倍角公式和半角公式的定义、推导和应用。
一、二倍角公式二倍角公式是指将一个角的角度加倍后所得到的角的正弦、余弦、正切值与原角的正弦、余弦、正切值之间的关系。
具体来说，设角A的正弦、余弦、正切值分别为sinA、cosA、tanA，则角2A的正弦、余弦、正切值分别为：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A - sin²Atan2A = 2tanA / (1 - tan²A)这些公式可以通过三角函数的定义和三角恒等式的推导得到。
例如，sin2A可以表示为sin(A+A)，然后利用三角函数的和差公式和倍角公式推导出来。
二倍角公式在解三角函数方程、证明三角恒等式和计算三角函数值等方面都有重要的应用。
例如，如果要求sin2x = 1/2的解，可以利用sin2x = 2sinxcosx和sin²x + cos²x = 1两个公式得到sinx = 1/2或sinx = -1/2，然后再根据sinx的周期性和对称性得到所有解。
二、半角公式半角公式是指将一个角的角度减半后所得到的角的正弦、余弦、正切值与原角的正弦、余弦、正切值之间的关系。
具体来说，设角A 的正弦、余弦、正切值分别为sinA、cosA、tanA，则角A/2的正弦、余弦、正切值分别为：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]这些公式可以通过二倍角公式和三角函数的定义推导得到。
例如，sin(A/2)可以表示为sin(A/2 + A/2)，然后利用三角函数的和差公式和二倍角公式推导出来。
半角的正弦余弦和正切
【学习目标】
1、学会利用二倍角公式，推导出半角的正弦、余弦和正切公式，知道各公式之间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程。
2、能记住半角公式及相关变形。
3、能用半角公式进行化简，求值。
【重点难点】
重点：半角的正弦、余弦和正切公式
难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取
2、已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3、已知 ，并且 ，求 , , 的值
4、已知等腰三角形顶角的余弦值为 ，则底角的余弦值为.
5、求下列函数的周期：
(1) (2)
规律总结
【自主学习】
1、半角公式的推导及理解
（1）二倍角的余弦公式
cos ===
（2）由上式可得
==
1° =
2° =
3以上结果相除得 =
2、半角公式
=
=
=
3、公式特点：
1左式中的角是右式中的角的一半。
2公式的“本质”是用角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切。
3根号前均有“ ”，它由角“ ”所在象限来确定的；
如果没有给定角的范围，“ ”应保留。
变式2：将条件中的“ ”去掉，结论如何？
例3：求证：
练习：求证：（1） （2） =
【总结】
1、知识方面：
2、规律方法：
【当堂检测】
1、已知 是第三象限角，且 ，则 等于（ ）
A 、 B、 C 、 D、
2、 的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
【课后巩固】
1、求下列函数的精确值。
（1） （2）
（3） （4）
4、注意：公式（3）成立的条件：
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【知识梳理】
1，二倍角公式：sin22sin cos；
22
cos2cos sin；
2
2tan
tan2
1tan
升幂公式：2
cos22cos12
cos212sin 降幂公式：2
1cos2
cos
2
2
1cos2
sin
2
2，半角公式：
1cos
sin
22
，
1cos
cos
22
，
1cos
tan
21cos 3，万能公式：
2
2tan
2
sin
1tan
2
，
2
2
1tan
2
cos
1tan
2
，
2
2tan
2
tan
1tan
2
4, 辅助角公式：
)
cos(
)
sin(
cos
sin2
2
2
2ϕ
ϕ-
+
=
+
+
=
+x
b
a
x
b
a
x
b
x
a
例如：sinα±cosα＝2sin⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
±
4
π
α＝2cos⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
±
4
π
α．
sinα±3cosα＝2sin⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
±
3
π
α＝2cos⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
±
3
π
α等．
5.积化和差公式：
和差化积公式：
8
8
2
2tan 22.5
1tan 22.5
22sin 75 555
cos sin
cos
sin
12
12
12
124
2
2
1
11tan
1
tan
（4）2
1
2cos cos2
,,13
2
1cos sin1cos sin
1cos sin1cos sin
2
2tan1tan
3
1tan
3tan
cos cos cos cos
的值等于
9999
7
22
，则1sin等于（
2cos
2 B. 2cos
2
C. 2sin
2
D. 2sin
2
2
sin2cos4的值等于（）
sin2 B. cos2 C. 3cos2 D. 3cos2 sin6cos24sin78cos48
B.
1
16
C.
1
32
D.
51
，则
4
4134，求
cos2
cos
4
若没有给出限定符号的条件，则三角比的值应取正、负值，其详细变化见下表：
2sin
2
cos
2
tan
2
第一、三象限- - 第一、三象限- -
tan
21cos sin ，表明tan
2
与tan
2
，用起来非常
要理解并掌握二倍角公式及其推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数式的化简、
3sin
2
cos
2
tan
2
2tan2230'
=
2，那么cot2
、已知已知
51
sin x，则sin2
4
x
cos21②cos212cos2
2
中恒成立
个 C、3个 D、4个
2，则
2
cos cos
55
的值等于（）
B、1
2
C
7
25
，则tan
2
的值为（
3
D
5
sin cos
22
tan
2
的值,,0
52tan
2
的值
3 5，是第二象限角，求cos,sin,tan
222
1
sin
4
cot tan
22
446
，求
3，求
cot tan
22
的值。