极值2

极值21．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b )答案 C 解析 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0，∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x <b 时f (x )－g (x )>f (a )－g (a )，∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．2．设函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 的定义域为 .，令其分子为 ，在区间 上有两个零点，故，解得，故选B.3．已知函数（其中 为自然对数底数）在 处取得极小值，则 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】由，得 ．当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ． ∴ 在 上为减函数，在 上为增函数，则 在 =1取得极小值； 当 时，令 ，得 =1或 ，为使 在 =1取得极小值， 则有 ，∴ ．综上可得：4.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，52)B ．[2，52)C ．(2，103)D ．[2，103)【解析】若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．5．已知等差数列 的前 项和为，则 的极大值为（ ） A ．B ．3C ．D ．2【答案】A 【解析】由于等差数列前 项和公式中，常数项为 ，故， ，故函数在上递增，在上单调递减，故当 时取得极大值为.6．函数 的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由函数f （x ）＝x 3+2ax 2+3bx +c ，求导f ′（x ）＝3x 2+4ax +3b ， f （x ）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内， 由3x 2+4ax +3b ＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，即 ＜ ＞ ＞，令z ＝2a ﹣b ，∴转化为在约束条件为 ＜ ＞ ＞时，求z ＝2a ﹣b 的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），目标函数转化为z ＝2a ﹣b ，由图可知，z 在A （，0）处取得最大值，在（，0）处取得最小值，因为可行域不包含边界，∴z ＝2a ﹣b 的取值范围（，）．故选：B ．7．若函数 恰有三个极值点，则 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题可知，当 时，令，可化为，令，则，则函数 在上单调递增，在 上单调递减， 的图象如图所示，所以当 ，即时， 有两个不同的解；当 ，令 ，，解得 ，综上，.8．若曲线 与 存在公共切线，则实数 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． - ， D ． - 【答案】C 【解析】设曲线的切点坐标为 ，该切线方程为 ，切点为 ，该切线方程为，利用待定系数法得到，得到 ，构造函数计算导函数，得到 在 递增，在递减，故 最大值为 ，所以 ，故选C 。

9．若函数的图像与 轴有三个不同的交点，则实数 的取值范围是___．【答案】（- ，）【解析】 ，所以当 和 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，极大值，极小值 ，的图像与 轴有三个不同的交点，所以，得10．已知 ，函数 ，若 存在极小值点m ，且 ， ，则______．【答案】【解析】，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，的极小值点，．由，得，，解得．．故答案为．11．对于三次函数，有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程=0有实数解，则称点为函数的“拐点”。

若点是函数，的“拐点”也是函数图像上的点，则当时，函数的函数值为_____．【答案】2【解析】函数，，因为是函数，的“拐点”，且是函数图象上的点，所以，即解得，，所以，当时，函数的函数值为，故答案为2.12．已知函数.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求的取值范围.【解析】（1）依题意，故.因为，故.故所求切线方程为，即.（2）令，得.设，问题等价于函数与的图像在区间上有两个交点.，令，得.，以及的变化情况如下表：易知，.结合图像可知解得，故的取值范围为. 13．已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）当是的极值点时，求的值并求此时的单调区间；（Ⅱ）若，证明：时，.【解析】(Ⅰ)函数的定义域为，且，设，由题意，得，且此时，，则，故在单调递增，又，∴时，时，即在递减，递增.综上，当是的极值点时，a，且此时在递减，递增.(Ⅱ)当时，，设，，当时，对恒成立，故在单调递增，又，∴对恒成立，即，时，得证.14．已知函数，.（1）求的极值点；（2）若函数在区间内无零点，求的取值范围.【解析】（1），当时，，则在上单调递增，无极值点；当时，时，在上单调递减，在上单调递增.有极小值点，无极大值点.（2），，，则.当时，，则在上单调递增，，所以无零点，满足条件；当时，，则在上单调递减，，所以无零点，满足条件；当时，存在，使得，即时，，单调递减；时，，单调递增.又，，，故在上一定存在零点，不符合条件.15．设函数，已知曲线在点处的切线与直垂直.（1）求的值；（2）求函数的极值点.【解析】（1）由题意知，，，解得.（2）函数，定义域为，，则，令，，，则，①当时，，有，即，所以在区间，上单调递减，故函数在区间，上无极值点；②当时，，令，有，，，当，时，，即，得在，上递减，当，时，，即，得在，上递增，当，时，，即，得在，上递减，此时有一个极小值点为，有一个极大值点为.③当时，，令，有，，当，时，，即，得在，上递增，当，时，，即，得在，上递减，此时有唯一的极大值点为.综上可知，当时，函数有一个极小值点为，有一个极大值点为；当时，函数在区间，上无极值点；当时，函数有唯一的极大值点为，无极小值点.16．已知函数．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若，讨论函数的极值点的个数．【解析】（1）因为，所以，，所以，所以函数在点处的切线方程为：，即。

（2）可化为：，所以=，当时，时，，时，，此时存在一个极值点；当时，则，时，，时，，时，，此时存在两个极值点，,当时，，时，，时，，此时没有极值点。

当时，，时，，时，，时，，此时存在两个极值点及,综上所述：当或，存在两个极值点；当时，存在一个极值点；当时，没有极值点. 17．已知函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）当时，求证：时，；（Ⅱ）当时，计论函数的极值点个数.【解析】(Ⅰ)由，易知，设，则，当时，，又∴时，，时，，即在递减，递增；所以当时，得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当时，当且仅当在处取得极小值，无极大值，故此时极值点个数为1；当时，易知在递减，递增，所以，又设，其中，则对恒成立，所以单调递减，（当且仅当时取等号），所以当时，即在单调递增，故此时极值点个数为0；当时，，在递增，又，所以当时，当时，即总在处取得极小值；又当且时，，所以存在唯一使得，且当时，当时，则在处取得极大值；故此时极值点个数为2；综上，时，的极值点个数为0；时，的极值点个数为2；时的极值点个数为1.18．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．设函数．（1）若函数在，上无极值点，求的取值范围；（2）求证：对任意实数，在函数的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当时，若函数的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问；这样的平行切线共有几组？请说明理由．【解析】（1）由函数，得，由，得，或，因函数在上无极值点，所以或，解得或.（2）由（1）知，令，则，所以，即对任意实数，总有两个不同的实数根，所以不论为何值，函数在两点，处的切线平行设这两条切线方程为分别为和，若两切线重合，则,即，即，而=，化简得，此时，与矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数，函数的图象总存在两条切线相互平行（3）当时，，由（2）知时，两切线平行.设, ,不妨设，过点的切线方程为所以，两条平行线间的距离，化简得，令，则，即，即，显然为一解，有两个异于的正根，所以这样的有3解，而，所以有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组19．设函数f(x)＝x－1x－a ln x(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1＋1x2－ax＝x2－ax＋1x2.令g(x)＝x2－ax＋1，其判别式Δ＝a2－4.①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根为x1＝a－a2－42，x2＝a＋a2－42.当0＜x＜x1时，f′(x)＞0，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x＞x2时，f′(x)＞0.故f(x)分别在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，(x1，x2)上单调递减．(2)由(1)知，a＞2.因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋x1－x2x1x2－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝f x1－f x2x1－x2＝1＋1x1x2－a·ln x1－ln x2x1－x2.又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a·ln x1－ln x2x1－x2.若存在a，使得k＝2－a，则ln x1－ln x2x1－x2＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.由x1x2＝1得x2－1x2－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)再由(1)知，函数h(t)＝t－1t－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2＞1，所以x2－1x2－2ln x2＞1－11－2 ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.。