写出使下列泛函取极值的欧拉-拉格朗日方程
拉格朗日方法和欧拉方法转换公式
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CH4泛函的条件极值问题
x1
的欧拉方程组
x1 x0
H x , y , z , y ', z ', x dx
d H H 0 y dx y ' H d H 0 z dx z '
2
y
x
0 x y' C1 2 2 1 y' z' x1 z' x dx C 2 2 2 x0 1 y' z' 2 z 1 x
11
泛函的条件极值问题
let ds 1 y '2 z '2 dx dy C1 ds x1 dz x dx C 2 ( x ) x 0 ds 1 x2 1 x2 dx dz x ds x x
2 1 C1 s C2
12
泛函的条件极值问题
例2 求在约束条件 下，泛函
dx u x dt
1 t1 2 2 J x t u dt t 0 2
的极值曲线。边界条件为x(0)=x0，x(t1)任意 解 作辅助函数 t
I
1
0 t1
1 2 2 2 x u t u x x dt H t , x , u, x , u dt
Gz 0
z x, y
G x, y, ( x, y) 0
从约束条件可确定一函数 使 由于所求曲线 位于曲面上
拉格朗日中值定理求极值的方法
拉格朗日中值定理求极值的方法引言拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它提供了一种求解函数在某个区间上的极值问题的方法。
通过拉格朗日中值定理，我们可以将求极值的问题转化为求导数为零的问题，从而简化计算过程。
本文将详细介绍拉格朗日中值定理及其应用。
拉格朗日中值定理概述拉格朗日中值定理是法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日在18世纪提出的。
它是微积分学中一个重要的基本定理，用于描述函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
具体来说，设函数f (x )在闭区间[a,b ]上连续，并且在开区间(a,b )内可导。
那么存在c ∈(a,b )使得f′(c )=f (b )−f (a )b−a 。
换句话说，存在一个点c 位于开区间(a,b )内，在这个点处函数f (x )的导数等于函数在闭区间[a,b ]上的平均变化率。
求解极值问题利用拉格朗日中值定理，我们可以将求解函数在某个区间上的极值问题转化为求导数为零的问题。
具体步骤如下：1. 确定函数f (x )在闭区间[a,b ]上连续，并且在开区间(a,b )内可导。
2. 计算函数f (x )在闭区间[a,b ]上的平均变化率f (b )−f (a )b−a 。
3. 求导数f′(x )，并令其等于平均变化率f (b )−f (a )b−a ，得到方程f′(x )=f (b )−f (a )b−a 。
4. 解方程f′(x )=f (b )−f (a )b−a ，得到方程的根c 。
5. 根据拉格朗日中值定理，点c 即为函数f (x )在闭区间[a,b ]上的极值点。
需要注意的是，在应用拉格朗日中值定理进行求解时，我们需要满足以下条件： •函数f (x )在闭区间[a,b ]上连续，并且在开区间(a,b )内可导。
• 闭区间[a,b ]不包含任何奇点（即函数不可导的点）。
拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理广泛应用于求解各种极值问题，下面将介绍几个常见的应用。
任意拉格朗日欧拉算法 -回复
任意拉格朗日欧拉算法-回复拉格朗日欧拉算法（Lagrange-Euler algorithm）是一种经典的数学方法，常用于解决变分计算和极值问题。
它以18世纪的两位数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）和伦纳德·欧拉（Leonhard Euler）的名字命名。
本文将逐步介绍拉格朗日欧拉算法的概念、应用及其算法步骤。
拉格朗日欧拉算法最早应用于力学领域，用于确定质点在给定时间下的最优轨迹。
它基于变分理论，研究函数的变化及其可能的极值。
为了理解拉格朗日欧拉算法，首先需要了解变分计算的基本概念。
在数学中，变分计算涉及找到能使某一泛函取得极值的函数。
我们首先考虑一个简单的例子。
假设我们要求一个函数使得其在给定区间上的积分反映了最大值。
我们可以定义这个问题的泛函为：\[ J(y) = \int_{a}^{b}F(x,y,y')dx \]其中，y(x)是我们要找的函数，y'是y(x)的导数。
F(x,y,y')是一个与y和y'有关的函数。
首先，我们需要定义一个测试函数v(x) ，使得在求解问题时将差异项加入到泛函中。
因此我们可以写出如下的变分问题：\[ J(y + \epsilon v) = \int_{a}^{b} F(x,y + \epsilon v, (y + \epsilon v)')dx \]其中，\epsilon 是一个无穷小的增量。
接下来，我们需要将这个泛函进行展开。
应用泰勒展开，我们有：\[ J(y + \epsilon v) = J(y) + \epsilon \frac{dJ}{d\epsilon} v +O(\epsilon^2) \]展开泛函后，我们可以将其作为一个函数来处理。
下一步是计算\frac{dJ}{d\epsilon}。
考虑到在\epsilon=0的点处，J(y + \epsilon v)是一个极值，那么\frac{dJ}{d\epsilon}必然为零。
拉格朗日方程的三种推导方法
拉格朗日方程的三种推导方法 1 引言拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。
2 达朗贝尔原理推导达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。
达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。
即：δW = F i +I i ∙δr i =0i(1)其中I i 为惯性力，I i=−m i a i 。
F i 为粒子所受外力，δr i 为符合系统约束的虚位移。
设粒子 P i 的位置 r i 为广义坐标q 1,q 2,⋯,q n 与时间 t 的函数：r i =r i (q 1,q 2,⋯,q n ,t )则虚位移可以表示为：δr i = ðr iðq jj δq j(2)粒子的速度v i=v i (q 1,q 2,⋯,q n ,q 1,q 2,⋯,q n ,t ) 可表示为：取速度对于广义速度的偏微分：(3)首先转化方程 (1) 的加速度项。
将方程 (2) 代入：应用乘积法则：注意到的参数为，而速度的参数为，所以，。
因此，以下关系式成立：(4) 将方程(3) 与(4) 代入，加速度项成为代入动能表达式：，则加速度项与动能的关系为(5) 然后转换方程(1)的外力项。
代入方程(2) 得：(6) 其中是广义力：将方程(5) 与(6) 代入方程(1) 可得：(7) 假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。
由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程(7) 成立：(8) 这系统的广义力与广义位势之间的关系式为代入得：定义拉格朗日量为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：3哈密顿原理推导哈密顿原理可数学表述为：21ttLdtδ=⎰在等时变分情况下，有()dq q dt δδ∙=2211()0t t t t Ldt L dt δδ==⎰⎰ (1)由拉格朗日量定义得，在等时变分情况下有LLL q qq qδδδ∙∙∂∂=+∂∂ (2)其中第一项可化为：()()()LL d d L d Lq q q q dt dt dt q q q q δδδδ∙∙∙∙∙∂∂∂∂==∙-∂∂∂∂(3)将(3)代入(2)得()()d L d L LL q q qdt dt qq q δδδδ∙∙∂∂∂=∙-+∂∂∂ (4)将(4)代入(1)得2121()(())0t t t t L d L L q q q dt dt qqq δδδ∙∙∂∂∂∙+-+=∂∂∂⎰(5)在12,t t 处0q δ=，所以(5)变为21(())0t t d L Lq q dt dt qq δδ∙∂∂-=∂∂⎰(6)即21[(())]0t t d L Lq dt dt qq δ∙∂∂-+=∂∂⎰(7)q 是独立变量，所以拉格朗日方程：4欧拉-拉格朗日方程推导欧拉-拉格朗日方程可以表述为：设有函数和：其中是自变量。
拉格朗日条件极值的方程组怎么解
拉格朗日条件极值的方程组怎么解拉格朗日条件极值的方程组怎么解在微积分中，我们经常会遇到求极值的问题。
当我们要求一个函数在一定条件下取得最大值或最小值时，就需要用到拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法是一种利用拉格朗日乘数来处理带有约束条件的极值问题的方法，它的核心是通过引入拉格朗日乘数，将带有约束条件的问题转化为无约束条件的问题。
在实际应用中，求解拉格朗日条件极值的方程组是一个非常重要的问题，下面我将对这个问题进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章来帮助你更好地理解这个问题。
一、概念解析1. 拉格朗日乘数法我们先来了解一下拉格朗日乘数法的基本概念。
拉格朗日乘数法是用来求解带有约束条件的最优化问题的一种常用方法。
通常情况下，约束条件可以写成g(x, y, z) = k的形式，其中k为常数。
而最优化问题的目标就是极小化或者极大化一个多元函数f(x, y, z)。
利用拉格朗日乘数法，我们可以通过构造拉格朗日函数L(x, y, z, λ)来转化求极值的问题。
其中，λ为拉格朗日乘数，通过对L(x, y, z, λ)对x, y, z, λ分别求偏导，然后解方程组来求得极值点。
这就是拉格朗日乘数法的基本思想。
2. 拉格朗日条件在应用拉格朗日乘数法求解极值问题时，我们需要考虑拉格朗日条件。
拉格朗日条件是指，对于最优化问题的解，约束条件和目标函数的梯度（或导数）应当在最优解点成比例。
这个条件在数学上可以用方程组来表示，通常称为拉格朗日条件方程组。
解这个方程组就是求解拉格朗日条件极值的方程组，是非常重要的一步。
二、具体示例为了更好地理解拉格朗日条件极值的方程组怎么解，我们来看一个具体的示例。
假设我们要求函数f(x, y) = x^2 + y^2在条件g(x, y) = x + y - 1 = 0下的极小值。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法来解决。
我们构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ为拉格朗日乘数。
欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程(The Euler-Lagrange equation) 在理想情形下，一函数的最大值及最小值会出现在其导数为０的地方。
同样地，求解变分问题时也可以先求解相关的欧拉-拉格朗日方程。
以下以寻找连接平面上两点(x1,y1) and (x2,y2)最短曲线的例子，说明求解的过程。
曲线的长度为其中f(x1) = y1, f(x2) = y2.函数f至少需为一阶可微的函数。
若f0是一个局部最小值，而f1是一个在端点x1及x2取值为零并且至少有一阶导数的函数，则可得到以下的式子其中ε为任意接近 0 的数字。
因此A[f0+ εf1] 对ε的导数( A 的一阶导数 ) 在ε=0 时必为0。
对任何的函数f1，下式均成立：此条件可视为在可微分函数的空间中，A[f0] 在各方向的导数均为0。
若假设f0二阶可微(或至少弱微分存在)，则利用分部积分法可得其中f1为在两端点皆为 0 的任意二阶可微函数。
这是变分法基本引理的一个特例:其中f1为在两端点皆为 0 的任意可微函数。
若存在使H(x) > 0，则在周围有一区间的 H 也是正值。
可以选择f1在此区间外为 0，在此区间内为非负值，因此I > 0，和前提不合。
若存在使H(x) < 0，也可证得类似的结果。
因此可得到以下的结论：由结论可推得下式：因此两点间最短曲线为一直线。
在一般情形下，则需考虑以下的计算式其中f需有二阶连续的导函数。
在这种情形下，拉格朗日量L在极值f0处满足欧拉-拉格朗日方程不过在此处，欧拉-拉格朗日方程只是有极值的必要条件，并不是充分条件。
分析力学答案
K FV
m 448浒 421122 - Ík 4- 4 行mg crank
代入⻮ 器 器 - 0中 可得
mki zmisinzeuttkicq 4.1 mg2Sin4 0 mEsin244 0 4 0 运动微分方程 miii miisiuqcose mg2siuqtkRi9-线 0
C2
0 时零解渐近稳定
1.8 试利用李雅普诺夫直接方法讨论系数在取不同值时判断
系统的零解稳定性
X X2
X十 a 3 加
解 选择正定李雅诺夫函数 比吅 二 水 水
计算 治 方程解曲线的全导数 V 荪义 器加二 zxixztzxzEXitlaih I
E 2 G 37 X22
则当 以 3时 V为负定 零解渐近稳定 a 3 时 V为零 零解稳定 a 3时 V为正定 零解不稳定
讨论是否存在初积分
i
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T 士 加 以 04 Ìmi 旰士 Ìmhyo
二 Gmt Ém EG
取系统平衡位置为零势能 则运动时系统势能为
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则 fm2以g外3tmlzmxitomtmiiiomy
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3 8 质量为 m的均质摇杆0A 铰接 质量为 以的匀质圆盘A 在13 处联结刚度系数为人的弹簧 当系统平衡时 以处于水平位置 弹
簧处于铝垂位置如图所示 已知 非1.013 a 若圆盘沿固定圆弧形
欧拉–拉格朗日方程
欧拉–拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程(Euler -Lagrange equation) 为变分法中的一条重要方程。
它提供了求泛函的平稳值的一个方法，其最初的想法是初等微积分理论中的“可导的极值点一定是稳定点（临界点）”。
当能量泛函包含微分时，用变分方法推导其证明过程，简单地说，假设当前的函数（即真实解）已知，那么这个解必然使能量泛函取全局最小值。
泛函我们很清楚函数的概念，它大致是，将一个自变量扔到一个黑盒里，经过黑盒的暗箱操作，最终得到了一个因变量：泛函数是将一个函数作为自变量，经过黑盒，最终得到一个实数的因变量：可以说，泛函就是函数的函数，是更广泛意义上的函数。
欧拉-拉格朗日方程最速降线有一种泛函称为简单泛函，它的长相是这样：其中L是一个确定的函数，之所以叫简单泛函，是因为只传递了三个参数，复杂一点的话还可以继续传递f的高阶导数。
现在的问题是，如果A处于极值点，它对应的f(x)是什么？这实际上是求一个具体函数，使得泛函能够取得极值。
一个典型的例子是最速降线问题：从所有连接不在同一铅垂线上的定点A、B的曲线中找出一条曲线，使得初始速度为0的质点，受重力作用，由A 沿着曲线滑下时以最短的时间到达B：这里我们将曲线看作路径f关于时间t的函数：ΔSi是在极短时间Δti内沿着曲线移动的微小弧长，此时的瞬时速度是ΔVi，距离=速度×时间：重力加速的推论，在t时间处的速度v2 = 2gh：质点从A点到B点的总时间：根据弧长公式，可以将dS化简，进一步写成把结论和简单泛函做个对比，可以看到二者形式相吻合：最右侧的式子并没有严格映射到L(x,f(x),f’(x))，因为在函数中并没有直接使用到参数t，这无所谓了，可以理解成虽然传递了参数t，但实际上t并没有起任何作用，就像y (x) = 1一样，无论传递任何x，最终结果都是1，但它仍然是一个y关于x的函数。
现在回到最初的问题，AB间有无数条曲线，每条曲线都可以求得时间T[f]，在众多的曲线中，有一条唯一的曲线能够使得T[f]取得最小值，这个f(x)应该长成什么样？EL方程的推导这里暂且耍一下流氓，抛开具体的速降问题，只看A[f]，并且假设f0(x)就是符合条件的最优函数。
欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程【概述】欧拉−拉格朗日方程（Euler−Lagrange Equation）又称为Lagrange变分法，是一个重要的数学方程。
是由著名数学家Euler和Lagrange共同发现的。
它提供了一种简便有效的方法来求解多元复杂的函数的极大或极小值。
欧拉-拉格朗日方程实际上是也被称作动力系统的微分方程的一种表示形式【原理】欧拉-拉格朗日方程是一条带微分的方程，它是由拉格朗日变分法推出的，其形式如下：$$\frac{\delta\Psi}{\delta y_i}=0$$其中，$y_i$是需要求导的函数的变量；$\Psi$是不可微的函数，它是拉格朗日函数，也叫做动作函数。
具体地说，拉格朗日变分法要求最后计算出的函数值极大时其微分值应该为零，这样就可以使函数值朝着极大值方向变动，而拉格朗日函数记录了变分值之间的微分值大小以及函数变动的方向，因而可以推出欧拉-拉格朗日方程来求解函数本身的极大值或者极小值。
【优点】(1) 欧拉-拉格朗日方程可以不断调整变量，改变函数值，以达到求对对函数的极大值的极小值的目的。
(2) 求解欧拉-拉格朗日方程时涉及到微积分，可以简化解题步骤，省去需要繁琐的推导步骤，从而节省时间。
(3) 此方法可以有效地解决多元变量和复杂函数问题，有效提高解算精度。
【应用】(1) 力学中，欧拉-拉格朗日方程用来求解极小总动量及极小流体效率等。
(2) 工程中，用欧拉-拉格朗日方程来求解某种参数取得某种最佳效果的优化方程。
(3) 电子工程中，欧拉-拉格朗日方程可以用来求解电子电路中、集成电路中最优参数计算问题。
(4) 生物学中，欧拉-拉格朗日方程在对一定植物对环境适应度进行优化时可以得到很好的应用。
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第八讲 变分法
1. 写出使下列泛函取极值的欧拉－拉格朗日方程，并求解：
（1
）1
0x x dx ∫； （2
）10x x dx ∫
规定极值曲线均通过平面上的已知点()00,x y 和()11,x y 。
2. 求锥面222x y z +=上的“短程线”（准确说是测地线）
3. 光在折射率为的介质中传播率为n ds c dt n
ν==， 是真空中的速率，于是光由c A 点()00,x y 传播到点B ()11,x y 的时间便是 ()()()()
11110000,,,,1 x y x y x y x y ds
T n c ν
==∫∫ds 而光由A 到 的实际路径应当使T 取极值。
试求光在下列介质中传播时的实际轨迹： B （1）；（2）(1n k x =+)2k n x =3
+； （3
）n = 其中均为已知常数，
k 22r x y 2=+。
4. 试写出本征值问题 20
0u u u u n λαβΣ∇+=∂⎡⎤+=⎢⎥∂⎣
⎦ 所对应的泛函极值问题，设0β≠。
5. 用瑞利－里兹方法求出
()()
0,
10,
10y y y y λ′′+=−== 的最低的两个本征值的近似解，取试探函数为
(
)()221211y c x c x x =−+−。