拉格朗日方程复习与例题
理论力学拉格朗日方程
d mivi dt
( ri ) q j
所以
(mi
dvi ) ri dt q j
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)
代入上式有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
ri q j
) mivi
d dt
( ri q j
)]
第七章 拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n [(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q
q j
j
]
k
[
j 1
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q
j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
Q* ]q
代入前面所得动力学普遍方程的转化式
k
[Q j
Q* ]q
j
j
0
有
j 1
k
[Q j Q*j ]q j
j 1
k
[Q j
j 1
d dt
T ( q j
)
T q j
]q j
0
对于完整系统，广义虚位移δqj 都是独立的，并具有任意性，所以为使上
式成立，则有
Qj
d dt
T ( q j
)
拉格朗日乘数法求极值例题
拉格朗日乘数法求极值例题拉格朗日乘数法是求解多元函数极值问题的一种常用方法，它被广泛应用于经济学、物理学等领域。
本文将通过一个例题来详细介绍拉格朗日乘数法的应用。
例题：求函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在约束条件$g(x,y)=x+y-1=0$ 下的最小值。
解析：首先，我们需要确定拉格朗日乘数法的基本思路。
其核心是将约束条件与目标函数合并成一个函数，再通过求导的方式求得该函数的极值点。
具体步骤如下：1.建立拉格朗日函数设 $L(x,y,lambda)=f(x,y)+lambda g(x,y)$，其中$lambda$ 为拉格朗日乘数。
2.求解拉格朗日函数的偏导数$$begin{cases}frac{partial L}{partial x}=2x+lambda =0frac{partial L}{partial y}=2y+lambda =0frac{partial L}{partial lambda}=x+y-1=0end{cases}$$3.解方程组由上面的方程组可以解得 $x=frac{1}{2}$，$y=frac{1}{2}$，$lambda=-1$。
4.判断极值通过二阶导数判断可得，此时为函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 的最小值。
因此，该例题的最小值为$f(frac{1}{2},frac{1}{2})=frac{1}{2}$。
通过这个例题，我们可以看到拉格朗日乘数法的应用非常灵活，不仅可以求解二元函数的最值问题，还可以处理多元函数的极值问题。
而且，在实际问题中，拉格朗日乘数法常常被用于约束条件较为复杂的情况下，例如非线性约束条件或多个约束条件等。
总之，拉格朗日乘数法是一种非常实用的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
拉格朗日中值定理练习题
拉格朗日中值定理练习题拉格朗日中值定理是微积分中的一项重要定理，它通过中值定理的形式，给出了函数在某个区间内的平均变化率与其导数在该区间内某点的取值之间的关系。
本文将结合几个练习题来深入理解拉格朗日中值定理及其应用。
练习题一已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且在开区间 (a,b) 内可导。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
因此，根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
练习题二已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且f’(x) ≠ 0，即导函数在开区间 (a,b) 内不为零。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，并且导函数不为零。
因此，根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
练习题三已知函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
证明：在开区间 (a,b) 内至少存在两个点 c1 和 c2，使得f’(c1) = f’(c2)。
解：根据题目中的条件，我们知道函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导。
根据拉格朗日中值定理，我们可以找到一个点c ∈ (a,b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
我们再次应用拉格朗日中值定理在同一区间 (a,b) 上，可以找到另一个点d ∈ (a,b)，使得f’(d) = (f(b) - f(a))/(b - a) 成立。
拉格朗日插值公式例题
拉格朗日插值公式例题拉格朗日插值公式，这可真是个让人又爱又恨的家伙！咱先来说说啥是拉格朗日插值公式。
简单讲，就是通过给定的一些点，来找到一个能穿过这些点的多项式函数。
比如说，给定了（1，2）、（2，5）、（3，8）这几个点，咱们就想找到一个函数，能把这几个点都串起来，这时候拉格朗日插值公式就派上用场啦。
给您举个具体的例子哈。
假设咱们有三个点，（1，3）、（2，7）、（4，19）。
那咱就可以用拉格朗日插值公式来搞一搞。
先算第一个基函数，就是（x - 2）（x - 4） / （1 - 2）（1 - 4），算出来是（x - 2）（x - 4） / -3 。
然后第二个基函数，（x - 1）（x - 4） / （2 - 1）（2 - 4），就是（x - 1）（x - 4） / -2 。
最后第三个基函数，（x - 1）（x - 2） / （4 - 1）（4 - 2），也就是（x - 1）（x - 2） / 6 。
接下来，把这三个基函数分别乘以对应的纵坐标值 3 、 7 、 19 ，再相加，就能得到咱们要的插值多项式啦。
这公式看着复杂，其实多做几道题也就熟悉了。
我记得之前有个学生，一开始看到这公式就头疼，觉得这简直是“天书”。
我就跟他说，别慌，咱们一步步来。
每次做一道题，我都陪着他，一步一步拆解，告诉他每个步骤的道理。
慢慢地，他不再害怕了，还能自己独立完成题目。
后来有一次考试，正好考到了拉格朗日插值公式的相关题目，他做得可溜了，成绩出来后，他那高兴劲儿啊，我看着也特别欣慰。
咱们再深入点儿说，拉格朗日插值公式在实际生活中也有不少用处呢。
比如说，您要根据一些已知的数据去预测未来的趋势，或者去拟合一些实验数据，这公式就能帮上大忙。
不过呢，用这公式的时候也得小心。
有时候数据可能不太准确，或者点数太少，用这个公式得到的结果可能就不太靠谱。
这就好比盖房子，地基没打稳，房子能结实吗？所以啊，用的时候得多琢磨琢磨，看看数据合不合适，条件满不满足。
第十五章拉格朗日方程习题解答
习 题15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。
已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。
如不计胶带质量，试求A 物的加速度。
图15-7a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r ar m MMDC323I I 21)(21=== 动力学普遍方程0δ)(δ)(δ)(I 2I 1I I =-++---s F W s F W rs MMM B A D C0)()(1)2121(221133=-++---a m g m a m g m rra m ra m Mrm m m gr m m M a )()(32112++-+=15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当θ = 0时，为原长。
若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求ω与θ的关系。
图15-8θωsin 211I l m F = )c o s 1(θ-=kl F 动力学普遍方程0δ)(δ22211I =+-r F g m r F θθcos δsin δ21r r = θt a n δδ12r r = 故0tan δ)]cos 1([δsin 212121=-+-θθθωr kl g m r l mθθωcos 2)cos 1(122l m kl g m -+=15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。
如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。
图15-9DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE Ora m ra r m M222I 41)2(21==动力学普遍方程0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---ϕC M r F r F F02δ4132δ23δ)(121211=⨯⨯-⨯--rr ra m r a m r a m F DE DE DE08921=--DE DE a m a m F212198889m m F m m F a DE +=+=15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。
2020年高考回归复习—力学选择之拉格朗日点问题-包含答案
高考回归复习—力学选择之拉格朗日点问题1．两个靠的很近的天体绕着它们连线上的一点（质心）做圆周运动，构成稳定的双星系统。
双星系统运动时，其轨道平面上存在着一些特殊的点，在这些点处，质量极小的物体（如人造卫星）可以相对两星体保持静止，这样的点被称为“拉格朗日点”。
现将“地—月系统”看做双星系统，如图所示，O 1位地球球心、O 2位月球球心，它们绕着O 1O 2连线上的O 点以角速度ω做圆周运动。
P 点到O 1、O 2距离相等且等于O 1O 2间距离，该点处小物体受地球引力E F 和月球引力M F 的合力F ，方向恰好指向O ，提供向心力，可使小物体也绕着O 点以角速度ω做圆周运动。
因此P 点是一个拉格朗日点。
现沿O 1O 2连线方向为x 轴，过O 1与O 1O 2垂直方向为y 轴建立直角坐标系。
A 、B 、C 分别为P 关于x 轴、y 轴和原点O 1的对称点，D 为x 轴负半轴上一点，到O 1的距离小于P 点到O 1的距离。
根据以上信息可以判断（ ）A ．A 点一定是拉格朗日点B ．B 点一定是拉格朗日点C ．C 点可能是拉格朗日点D ．D 点可能是拉格朗日点2．地月拉格朗日L 2点是卫星相对于地球和月球基本保持静止的一个空间点，即地月拉格朗日L 2点与月球地球总在同一直线上，并且处在月球背面，如图所示．则与月球相比始终处在地月拉格朗日L 2点的卫星在地球和月球共同引力作用下绕地球运行时，下列说法正确的是（ ）A ．运行的周期比月球大月球大B ．向心加速度比月球大C ．线速度比月球小D ．所受合外力比月球大3．今年，我国将发射“嫦娥四号”，实现人类首次月球背面软着陆．为了实现地球与月球背面的通信，将先期发射一枚拉格朗日L2点中继卫星．拉格朗日L2点是指卫星受太阳、地球两大天体引力作用，能保持相对静止的点，是五个拉格朗日点之一，位于日地连线上、地球外侧约1.5×106 km处．已知拉格朗日L2点与太阳的距离约为1.5×108 km，太阳质量约为2.0×1030 kg，地球质量约为6.0×1024 kg．在拉格朗日L2点运行的中继卫星，受到太阳引力F1和地球引力F2大小之比为（）A．100∶3B．10000∶3C．3∶100D．3∶100004．2018年5月21日，中国在西昌卫星发射中心用长征四号丙运载火箭，成功将嫦娥四号任务“鹊桥”号中继星发射升空．6月14日，“鹊桥”号中继星进入地月拉格朗日L2点的Halo使命轨道，以解决月球背面的通讯问题．如图所示，地月拉格朗日L2点在地球与月球的连线上．若卫星在地月拉格朗日L2点上，受地球、月球两大天体的引力作用，能保持相对静止．已知地球质量和地月距离，若要计算地月拉格朗日L2点与地球间的距离，只需要知道的物理量是（）A．月球的质量B．“鹊桥”号中继星的质量C．月球绕地球运行的周期D．引力常量5．一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中有一些特殊的点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。
§14.1、达朗伯-拉格朗日方程解析
4.1) 单独解除轮3转动自由度:
w m1a1 r2 J 2 2 m ( r r ) r m g r 3 2 2 3 3 2 3 2 w 0 2m1r2 2 m2 r2 2 2m3 (r2 2 r3 3 ) 2m3 g 0
9
动力学普遍方程不仅适用于两自由度动力学 系统,对n自由度(n≥1)的动力学系统都成立;这 种方法求解动力学问题时作题格式/步骤等都 相同:首先确定系统参数,并分析各构件的加速 度,再由加速度分布图导出惯性力分布图(并补 画主动力),再应用虚功原理列方程;如果系统 有K个自由度,而每个自由度单独解除后对应 虚功都等于零,因此可列出K个虚功等于零独 立方程,联立可求解K个未知量;
第十四章：拉格朗日方程 虚位移原理+达朗伯原理→拉格朗日方程 (伯努利) (动力学解题公式) 拉格朗日方程 第二类拉格朗日方程
第一类拉格朗日方程
§14.1、达朗伯-拉格朗日方程 先把动力学问题转化为静力学问题(达朗伯原理),再 借助于动力学来处理这个“静力学问题”(虚位移 原理):虽然增加了惯性力,但过滤掉了系统中所有的 理想约束力;按这种思路所列的动力学方程称为第 一类拉格朗日方程,也叫动力学普遍方程; 1
3) 受力分析(含惯性力,但除掉理想约束力),图b; 4) 逐一单独解除每个自由度;并令各自由度上的 5 虚功都等于零;
w m3 gr3 m3 (r2 2 r3 3 )r3 J 3 3 w 0 2g 2(r2 2 r3 3 ) r3 3 0
10
习题1 用拉格朗日方程法求解图示单自由度系统 中细杆AB的线加速度;已知条件:轮1/轮2都作纯 滚动,质量都为m,半径都为r,对各自质心轴的转动 惯量分别为 1 2 ,细杆AB的质量为0.5m;
理论力学(第三版)第5章第3节拉格朗日方程
上式中的两个括号正是力学系统的动能T, 所以
i n1m ir q r id d t q T q T
s1Qddtq TqT0
(5.26)
所以
d d t q T q T Q 1, 2 ,s, (5.27
前一个是质点绕极点运动的惯性离心力. 广义力Q , Q
可利用虚功来求. 先令=0, 虚功W=F r=F ,得到
Q = F . 这是力的径向分量.
同理 先令 =0, 利用虚功得到Q= F .这是相对极点的
力矩.
例其2平移如方果某 向一 沿广 着义 单坐位标矢量q ,n反(映如力图学). 即系统的整体平移,
2 (m1 m2)g m1lcos
例题2
质量为m1的三棱柱ABC通过滚 轮搁置在光滑的水平面上. 质量为 m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱 的斜面AB无滑动地滚下.
y
A
C1
OC
D C2
B
求：(1) 三棱柱后退的加 速度a1; (2)圆轮质心C2相对于三 棱柱加速度ar.
x
解：(1) 分析运动
三棱柱作平移，加速度为 a1. 圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的 相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2.
类型. 事实上, 研究第i个质点的运动时, 若选用跟随这个
质点一同平动的参考系统, 这个质点显然是(相对)静止的,
它应当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫做达
朗贝尔原理. n F im iri ri 0
(5.23)
i1
——达朗贝尔-拉格朗日方程
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(i 1,2, , n)
mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
(F F
i i
Ni
系统的总虚功为
(F F
i i
Ni
mi ai ) δ ri 0
(i 1,2, , n)
利用理想约束条件
F
得到
i
i
Ni
δ ri 0
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcosBiblioteka (i 1,2, , n)
动力学普遍方程的直角坐标形式
[( F
i
xi
mi i ) δxi ( Fyi mi i ) δyi ( Fzi mi i ) δzi ] 0 x y z i 1,2, , n
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。
rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
2
B
rC
rB FIB
l m1g
m2g
y1
2m1lsin lcos 2m1 glsin 2m2 glsin 0
ri r mi i q i 1 k
n n ri d d r i i ( i ) mi (r ) mi r dt qk dt qk i 1 i 1 n
ri N ri ri qk t k 1 qk
dqk qk 广义速度 dt
2 aC g sin 3
0
mgsin x - FIR x M IC
x
R
例 题 2
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求： － 的关系。
O1 l l FIA m1g l
C
由动力学普遍方程，得
F δ r m a δ r 0
i 1 i i i 1 i i i N k 1 k k
n
n
F δ r Q q
i 1 i i
n
Qk——广义力
N n ri ri r r mi ai δ r i mi i q qk ( mi i q )qk i 1 k 1 k 1 i 1 i 1 k k
y
A x OC
FI 2 r
MI2
D
C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
J2 1 m2 R 2 2
B
x
m1g
ar R 2
( FI1 FI 2e )x FI 2 r cos x 0
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重 要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此， 不需要解除约束，也不需要将系统拆开。
n
T q k
Qk mi ri
i 1
n
ri 0 (k 1,2,, N ) qk
r mi i
i 1
n
ri d T qk dt qk
T q k
d T dt qk
n
n
N
ri ri qk k 1 qk
N
ri r Fi δ r i mi ai δ r i (Qk mi i q )qk 0 i 1 i 1 k 1 i 1 k
n n N n
Qk mi ri
i 1
n
ri 0 (k 1,2,, N ) qk
§5.3.2 拉格朗日(Lagrange)方程
主 动 力
F ( F1 , F2 , , Fn )
由n个质点所 组成的质点系
虚 位 移
广义坐标 第i个质 点的位矢
r (r1 , r2 ,, rn )
q (q1 , q2 , , q N )
ri ri (q1 , q2 , , qN , t )
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
解：5、求解联立方程
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
( m1 m2 ) a1 ar m2 cos
m2 gsin2 a1 2 3(m1 m2 )－2m2 cos 2 gsin (m1 m2 ) ar 2 3(m1 m2 )－2m2 cos
ri 1 n 1 n T 2 mri q 2 q (mi ri ri ) 2 q (mi vi ) q k k k k i 1 i 1 i 1
n
ri T mri q q i 1 k k
n
ri d T r mi i q dt q i 1 k k
例 题1
已知： m ，R, f ， 。
x
C
aC
φ
MIC
FIR
求：圆盘纯滚时质心的加速度。
解：1、分析运动，施加惯性力
FIR maC
M IC J C
1 2 其中： J C mR , 2 aC R
mg
2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 x。 3、应用动力学普遍方程
ri ri 和 仅为时间和广义坐标的 函数， t q j
与广义速度 j无关 q
ri ri 第一个拉格朗日关系式 (消点) qk qk
N ri ri i r qk t k 1 qk
对任意一个广义坐标 qj 求偏导数
N ri 2 ri 2 ri qk q j q j t k 1 q j qk
T q Qk k
(k 1,2,, N )
此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主 动力
J2 1 m2 R 2 2
B
x
m1g
ar R 2
m2 gsin Rδ FI 2ecos Rδ FI 2r Rδ－J 2 2 δ 0
1 3 sin (a1cos a r ) 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
※ ※ ※ 引 言
动力学普遍方程 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域
牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 寻求新的表达形式
第一组
δ x 0，δ 0
第二组
δ x 0，δ 0
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x 0，δ 0
y
A
FI 2 r
MI2
D C2
FI 2 e
FI1 m1a1
FI2e m2 a1
C1 OC
FI1
m2 g
FI2r m2 ar
M I2 J 2 α 2
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
§5.3.1 动力学普遍方程
考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FNi mi ai 0
主动力
(i 1,2, , n)
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δ ri
系统的总虚功为