拉格朗日方程的三种推导方法

拉格朗日方程的三种推导方法 1 引言
拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。

2 达朗贝尔原理推导
达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。

达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。

即：
δW =∑(F i +I i )∙δr i =0i
(1)
其中I i 为惯性力，I i
=−m i a i 。

F i 为粒子所受外力，δr i 为符合系统约束的虚位移。

设粒子 P i 的位置 r i 为广义坐标q 1,q 2,⋯,q n 与时间 t 的函数：
r i =r i (q 1,q 2,⋯,q n ,t)
则虚位移可以表示为：
δr i =∑ðr i ðq j
j
δq j
(2)
粒子的速度v i
=v i (q 1,q 2,⋯,q n ,q 1,q 2,⋯,q n ,t) 可表示为：
取速度对于广义速度的偏微分：
(3)
首先转化方程 (1) 的加速度项。

将方程 (2) 代入：
应用乘积法则：
注意到的参数为，而速度的参数
为，所以，。

因此，以下关系式成立：
(4) 将方程(3) 与(4) 代入，加速度项成为
代入动能表达式：，
则加速度项与动能的关系为
(5) 然后转换方程(1)的外力项。

代入方程(2) 得：
(6) 其中是广义力：
将方程
(5) 与
(6) 代入方程(1) 可得：
(7) 假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。

由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程(7) 成立：
(8) 这系统的广义力与广义位势之间的关系式为
代入得：
定义拉格朗日量为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：
3哈密顿原理推导
哈密顿原理可数学表述为：
2
1
t
t
Ldt
δ=
⎰
在等时变分情况下，有
()
d
q q dt δδ•
=
2
2
11
()0
t t t t Ldt L dt δδ==⎰⎰ (1)
由拉格朗日量定义得，在等时变分情况下有
L L
L q q q
q
δδδ•
•
∂∂=
+
∂∂
(2)
其中第一项可化为：
()()()L
L d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ•
•
•••∂∂∂∂==•-∂∂∂∂
(3)
将(3)代入(2)得
()()d L d L L
L q q q
dt dt q
q q δδδδ••∂∂∂=•-+∂∂∂ (4)
将(4)代入(1)得
2
12
1
()
(())0t t t t L d L L q q q dt dt q
q
q δδδ•
•∂∂∂•+-+=∂∂∂⎰
(5)
在12,t t 处0q δ=，所以(5)变为
2
1
(())0t t d L L
q q dt dt q
q δδ•∂∂-=∂∂⎰
(6)
即
2
1
[(())]0t t d L L
q dt dt q
q δ•∂∂-+=∂∂⎰
(7)
q 是独立变量，所以
拉格朗日方程：
4欧拉-拉格朗日方程推导
欧拉-拉格朗日方程可以表述为：
设有函数和：
其中是自变量。

若存在使泛函取得局部平稳值，则在区间内对于所有i，皆有：
若设独立变量为时间，函数为广义坐标，泛函替换为拉格朗日量，则可得到拉格朗日方程。