机器人动力学 拉格朗日方程
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02-课件：5-5 机器人动力学建模(拉格朗日方程方法)
+ D111
D122
D222 _ D211 _
02
一 + D112
快
_
D212
「
就 D121
2+
肅 [^2 _
[
_ D221
(10.10)
拉格朗日动力学方程
S 一般形式和矩阵形式如下:
・.
・・
・/>
= ・/>+・・ +・・ T2 = + + + + + + + + + D211T1°1
••
••
•c
二— — y2
1 d1 cos A]
d2 cos
— 颗 毎毎 (=O>1 +12)
H d； (A + A ) + 2 cos^
1+
)
— — (& ) m2gd1 cos&
m2gd2 cos
+ A2
动能与位能
*
这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能
分别为
K = K 1 + K 211 2 ・
]ห้องสมุดไป่ตู้
..
。 — =2（ mi + mQd：
I
拉格朗日动力学方程
有效惯量：关节i的加速度在关节i上产生
的惯 性力
毎 D21
D12
D22
+ D211
D122 D222
.2 I
+ D212 D221
就
.2
+ D2
肅
(10.10)
拉格朗日动力学方程
耦合惯量:关节i,j的加速度在关节j,i上产生的 惯性力
分析力学基础-拉格朗日方程
支持。
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
机械手的动力学方程机械手的动力学...
T1
= [D11
-
D
2 1
2
D22
]J&&1
(6.36)
现在，取定 d1 = d2 = 1 ，m1 = 2，而对于三个不同的 m2 值，分别求出各个 系数： m2 = 1，表示机械手无负载情况；m2 = 4 ，表示有负载；m2 = 100 ，表 示位于外太空( 无重力环境 )的机械手的负载。在外太空，没有重力负载，允许
等效惯量 D11 = [(m1 + m2)d12 + m2d22 + 2m2d1d2cos(θ2 )] D22 = m2d22
耦合惯量 D12 = m2d22 + m2d1d2cos(θ2 )
向心加速度系数 D111 = 0 D122 = - m2d1d2sin(θ2 ) D211 = m2d1d2sin(θ2 ) D222 = 0
拉格朗日算子 L 定义为系统的动能 K 与势能 P 的差
L=K–P
(6.1)
系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示， 并不一定要使用笛卡尔坐标。
动力学方程通常表述为
Fi
=
d dt
¶L ¶q&i
-
¶L ¶qi
(6.2)
其中，qi是表示动能和势能的坐标值，q&i 是速度，而Fi是对应的力或 力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这 些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。
(6.23) (6.24)
(6.25)
(6.26) (6.27) (6.28) (6.29)
哥氏加速度系数
D112 = D121 = - m2d1d2sin(θ2)
(6.30)
机器人学-第6章_机器人动力学
L mgl sin
代入到拉格朗日方程得系统的动力学方程
ml 2&& mgl sin
计算结果与采用牛顿欧拉方法计算的结果相同。
Ic1 Ic2
例6-5 如图6-7所示两连杆平面机械臂。连杆 长都分别为L1和L2，连杆质量分别为m1和m2，质
Y
心到杆端点距离分别为Lc1和Lc2，两杆绕质心转动
惯量分别为Ic1和Ic2，两个关节上作用驱动力矩1和
惯性张量中Ixx，Iyy和Izz称为惯性矩，交叉项Ixy，Ixz和Iyz称为惯性积。
惯性张量中元素的数值与坐标系的选择有关，一般存在某个坐标系，使得交 叉项全为0。称其坐标轴为惯性主轴，该坐标系称为惯性主轴坐标系。
对于质量均匀分布的规则物体，惯性主轴就是物体的对称轴。
例6-2 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体，密
选择为描述单摆位置的广义坐标先用广义坐标表示集中质量的位置然后再对时间求导得到速度sincoscoscossin取坐标原点为势能零点则系统的势能为cosmgymgl机器人动力学系统的拉格朗日函数为mlmglmlml机器人动力学例65如图67所示两连杆平面机械臂
第6章 机器人动力学
机器人的运动是通过在关节轴上施加驱动力来实现的。机器人运动与驱动 力的关系称为机器人动力学，是本章要讨论的主要问题。
&1
其中
M11 IC1 IC2 m1L2C1 m2 L12 L2C2 2L1LC2c2
&2
M11 M 21
M M
12 22
&&12
M 21 M12 IC2 m2 (L2C2 L1LC2c2 ) M 22 IC2 mL2C2
取固定在基座处的坐标原点为势能零点，系统的总势能为，
机器人运动学与动力学分析及控制研究
机器人运动学与动力学分析及控制研究近年来，机器人技术一直在飞速的发展，机器人的使用越来越广泛，特别是在工业领域。
随着机器人的发展，机器人运动学与动力学分析及控制研究变得越来越重要。
本文将介绍机器人运动学、动力学分析与控制研究的现状以及未来发展趋势。
一、机器人运动学分析机器人运动学分析主要研究机器人的运动学特性，包括机器人的姿态、速度以及加速度等方面。
机器人运动学分析的目的是确定机器人的运动学参数，同时确定机器人工作空间的大小。
机器人运动学分析的方法主要有以下几种：1、直接求解法。
直接求解法是指通过物理意义来推导机器人的运动学方程。
这种方法计算效率较低，但是精度较高。
2、迭代法。
迭代法是通过迭代计算机器人的运动学方程，精度较高，但是计算效率较低。
3、牛顿-拉夫森法。
牛顿-拉夫森法是一种求解非线性方程组的方法，可以用于求解机器人运动学方程。
此方法计算速度比较快，但是相对精度较低。
机器人运动学分析的结果可以用于机器人的路径规划，动力学分析以及控制研究。
二、机器人动力学分析机器人动力学分析主要研究机器人的动力学特性，包括机器人的质量、惯性矩以及外力等方面。
机器人动力学分析的目的是确定机器人的动力学参数，同时确定机器人的力/力矩控制器和位置/速度控制器。
机器人动力学分析的方法主要有以下几种：1、拉格朗日方程法。
拉格朗日方程法是一种描述机器人运动的数学方法，可以用于求解机器人的动力学方程。
此方法计算效率较低，但是精度较高。
2、牛顿-欧拉法。
牛顿-欧拉法是机器人动力学分析中的一种方法，一般用于计算运动学链中的运动学角速度和角加速度，并根据牛顿和欧拉定理将牛顿和欧拉方程转换为轨迹方程。
此方法计算速度较快，但是精度相对较低。
机器人动力学分析的结果可以用于机器人的力/矩控制器的设计，位置/速度控制器的设计以及控制研究。
三、机器人控制研究机器人控制研究主要研究机器人的控制算法，包括力控制算法、位置/速度控制算法、逆动力学算法等方面。
机器人操作的数学导论——机器人动力学1
2、开链机器人动力学
2.1 开链机器人的拉格朗日函数 计算n个关节的开链机器人的动能，可将其中每一连杆动能求和， 定义一固连于第i杆质心的坐标系Li，则可得Li位形:
第i杆质心的物体速度为：
式中
ξ Ad1ˆ j j j
(e
e
ˆ i i
gsl i (0))
j
j i
为相对于第i连杆坐标系的第j个瞬时关节运动螺旋。
机器人的动力学及控制
1.拉格朗日方程
2.开链机器人动力学方程
1、拉格朗日方程
1.1 刚体的惯性 设V R3表示刚体的体积，ρ(r), r∈V是刚体的密度。如果物 体是均匀的，那么ρ(r)= ρ为常量。 刚体的质量可以表示为：
m (r )dV
V
刚体的质心是密度的加权平均：
r 1 (r )rdV mV
如图所示刚体，在质心建立 物体坐标系，g=(p,R)∈SE(3)为 物体相对于惯性坐标系的运动轨 迹，r∈R3为刚体上一点相对于 物体坐标系的坐标，现求刚体的 动能。
1、拉格朗日方程
1.1刚体的惯性 点在惯性坐标系的速度为：
物体的动能可用如下求得：
展开计算可得：
=
其中w为在物体坐标系中表示的刚体角速度，矩阵З ∈R3x3为物体坐标 系中的物体惯性张量
T=(1/2)VT
V=(1/2)(AdgV)T (Adg)-1
(AdgV)
=(AdgT)-1
选取三个坐标轴，使刚体的广义惯性矩阵为对角阵，则这三个轴 为刚体的惯性主轴。
1、拉格朗日方程
1.2 拉格朗日方程 定义拉格朗日函数示为：
式中T和V分别表示系统的动能和势能。 对于广义坐标为q∈Rm、拉格朗日函数为L的机械系统，其运动方 程为： 作用于第i个广 义坐标的外力 上式即为拉格朗日方程，将其写成矢量形式为：
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
《机器人技术基础》第四章 机器人动力学
人
4.2 机械手动力学方程
动
力
学
4.1.1 拉格朗日方法
机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的 运动学系统，存在严重的非线性，需要非常复杂 的方法来处理。
动力学处理方法： Lagrange , Newton-Euler, Gauss,Kane, Screw, Roberson-Wittenburg
2 )
d
dt
L
1
(m1 m2 )l12
m2l22
2m2l1l2
cos
2
1
(
m2
l
2 2
m2l1l2 cos 2 )2
2m2l1l2 si n212 m2l1l2 si n22L1Fra bibliotek(m1
m2 )gl1
s i n1
m2 gl2
s i n (1
2)
4.1.2 拉格朗日方程
⑤求出机器人动力学方程：
)
然后求微分，则其速度就为：
x2 y 2
l1 l1
co s11 sin 11
l2 l2
cos(1 2 )(1 2 ) sin(1 2 )(1 2 )
θ1
关节2
m1
（x1, y1)
l2
θ2 m2
（x2, y2 )
由此可得连杆的速度平方值为：
v22 x22 y22 l1212 l22(12 212 22 ) 2l1l2 cos2(12 12 )
m2 gl2 sin(1 2 )
T2 (m2l22 m2l1l2 cos2 )1 m2l222 m2l1l2 sin 21
m2 gl2 sin(1 2 )
4.1.2 拉格朗日方程
将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：
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l1212 l22 (12 212 22 ) 2l1l2 cos(12 12 )
所以，M2动能为：
T2
1 2
m2[l1212
l22 (12
212
22 )
2l1l2
cos2 (12
12 )]
势能为：
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
4、计算拉格朗日函数
L Ekt E p
1n 2 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti q j
Hi
TiT qk
q j qk
1 2
n i 1
Ia i
qi2
n
mi gTTi ri
i 1
L Ek Ep
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
代入：
1 [(m1 m2 )l12 m2l22 2m2l1l2 cos2 ]1 [m2l22 m2l1l2 cos2 ]2 2m2l1l2 sin2 1 2 m2l1l2 sin2 22 （m1 m2）gl1 cos1 m2gl2 cos(1 2 )
p
n max(i
,
j,k
)
Trace
2Tp q jqk
Hp
TpT qi
Di
n
mp gT
pi
Tp qi
rp
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
L
2
m2 gl1l2sin2
1 (1
2 ) m2 gl2
cos(1 2 )
L
2
m2l22 (1
2 ) m2l1l2 cos2 1
d dt
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牛顿—欧拉方程实例
整理得：
1 [(m1 m2 )l12 m2l22 2m2l1l2 cos2 ]1 [m2l22 m2l1l2 cos2 ]2 2m2l1l2 sin2 1 2 m2l1l2 sin2 22 m2 gl2 cos(1 2 ) （m1 m2）gl1 cos1
牛顿—欧拉方程实例
惯性力
2杆件：
惯性力矩
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牛顿—欧拉方程实例
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牛顿—欧拉方程实例
向后递推： 2杆件：
1杆件：
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牛顿—欧拉方程实例
取力矩的Z分量，得到关节力矩：
速度分量为： x2 l1sin11 l2sin(1 2 )(1 2 )
y2 l1cos11 l2cos(1 2 )(1 2 )
则质量M2的速度平方为：
x22 y22 （l1sin11 l2sin(1 2 )(1 2 )）2 （l1cos11 l2cos(1 2 )(1 2 )）2
i j 1
i
Trace
k 1
2Ti q j qk
Hi
TiT q p
q j qk
n
mi gT
i p
Ti q p
所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
作用在关节上的广义力为：
Qi
n j i
L
2
m2l221
m2l222
m2l1l2 cos2
1
m2l1l2sin2
1 2
用于的广关义节坐上标的为驱动1和力距2 对1和应的2 广。义外力为作
d dt
L
1
-
L
1
1
d dt
L
2
- L
2
2
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力或广义力矩
L—系统的动能 Ek 和位能 Ep之差，称为拉格朗日
函数，即： L Ek Ep
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
例3：对例2所示两杆平面机器人用拉格朗日方 法建立动力学方程。
解：
1、动能和势能
连杆1的动能为：
T1
1 2
m1(l1
令：
1 2
离心力
科氏力
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机器人机构动力学方程 有： M () V ( ,) G() Q
其中： 为广义坐标向量，Q 为广义力向量。 称 M ()为惯量阵，V ( ,) 是离心力、科 氏力等相关部分，G() 为重力部分。
因为 V ( ,) 中仅有速度和位形，上 述方程也称状态空间方程。 特点：
多变量、时变、非线性、强耦合。
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
拉格朗日方程是基于能量项（动能 T、势能V）对系统变量及时间的微分 而建立的。
对于简单系统拉格朗日方程法相较 于牛顿—欧拉方程法更显复杂，然而随 着系统复杂程度的增加，拉格朗日方程 法建立系统运动微分方程变得相对简单。
H
i
Ti qk
T
q
j
qk
1n 2 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti q j
Hi
TiT qk
q j qk
3、求系统位能
n
n
EP Ep i mi gTTi ri
i 1
i 1
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
1)2
设Y0=0为零势面，则连杆1的
势能为：
V1 m1gl1 sin1
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
质量m2的位置表示为： x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
y2 l1 sin1 l2 sin(1 2 )
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 求出速度的平方：
v2 v v
Trace v vT
Trace
i j 1
Ti q j
q
j
i
r
k 1
Ti qk
qk
T
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Trace
i j 1
k
j 1
Trace
Tj qk
Hj
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Iai
qi
n
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j
Trace
m1
2T j qk qm
Hj
T
T j
qi
qk qm
n
mj gT
j i
Tj qi
ri
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
牛顿—欧拉方程实例
末端执行器上无作用力，所以： 基座静止，因此：
0 0, 0 0 考虑到引力，我们使用：
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牛顿—欧拉方程实例
应用递推公式有： 向前：1杆件：
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
步骤总结：
1、机械臂上一点速度 设杆件i上一点ri，它在基坐标系中的位
置为：
r Ti ri
其中，Ti是{i}坐标系相对基础坐标系的齐次变 换矩阵。
那么，该点的速度为：
vi
dr dt
i j 1
Ti q j
q j
ri
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2 （m2l221 m2l1l2 cos2）1 m2l222 m2l1l2 sin2 12 m2 gl2 cos(1 2 )
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牛顿—欧拉方程实例
通常，机器人的动力学方程常写为抽象的形式，
i k 1
Ti q j
r rT
Ti qk
T
q
j
qk
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
• 2、求系统动能
Ek
n
Eki
i 1
1 2
n
i
Trace
i Ti
i 1
j1 k 1 q j
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
系统拉格朗日方程为：
Qi
d dt
L
qi
L qi
i 1, 2,...n
式中： n ——系统的广义坐标数
qi ——第i个广义坐标 qi ——第i个广义速度
Qi ——作用在第i个广义坐标上的广义
(m1
m2 )gl1
cos1
所以，M2动能为：
T2
1 2
m2[l1212
l22 (12
212
22 )
2l1l2
cos2 (12
12 )]
势能为：
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
4、计算拉格朗日函数
L Ekt E p
1n 2 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti q j
Hi
TiT qk
q j qk
1 2
n i 1
Ia i
qi2
n
mi gTTi ri
i 1
L Ek Ep
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
代入：
1 [(m1 m2 )l12 m2l22 2m2l1l2 cos2 ]1 [m2l22 m2l1l2 cos2 ]2 2m2l1l2 sin2 1 2 m2l1l2 sin2 22 （m1 m2）gl1 cos1 m2gl2 cos(1 2 )
p
n max(i
,
j,k
)
Trace
2Tp q jqk
Hp
TpT qi
Di
n
mp gT
pi
Tp qi
rp
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
L
2
m2 gl1l2sin2
1 (1
2 ) m2 gl2
cos(1 2 )
L
2
m2l22 (1
2 ) m2l1l2 cos2 1
d dt
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牛顿—欧拉方程实例
整理得：
1 [(m1 m2 )l12 m2l22 2m2l1l2 cos2 ]1 [m2l22 m2l1l2 cos2 ]2 2m2l1l2 sin2 1 2 m2l1l2 sin2 22 m2 gl2 cos(1 2 ) （m1 m2）gl1 cos1
牛顿—欧拉方程实例
惯性力
2杆件：
惯性力矩
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牛顿—欧拉方程实例
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牛顿—欧拉方程实例
向后递推： 2杆件：
1杆件：
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牛顿—欧拉方程实例
取力矩的Z分量，得到关节力矩：
速度分量为： x2 l1sin11 l2sin(1 2 )(1 2 )
y2 l1cos11 l2cos(1 2 )(1 2 )
则质量M2的速度平方为：
x22 y22 （l1sin11 l2sin(1 2 )(1 2 )）2 （l1cos11 l2cos(1 2 )(1 2 )）2
i j 1
i
Trace
k 1
2Ti q j qk
Hi
TiT q p
q j qk
n
mi gT
i p
Ti q p
所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
作用在关节上的广义力为：
Qi
n j i
L
2
m2l221
m2l222
m2l1l2 cos2
1
m2l1l2sin2
1 2
用于的广关义节坐上标的为驱动1和力距2 对1和应的2 广。义外力为作
d dt
L
1
-
L
1
1
d dt
L
2
- L
2
2
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力或广义力矩
L—系统的动能 Ek 和位能 Ep之差，称为拉格朗日
函数，即： L Ek Ep
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
例3：对例2所示两杆平面机器人用拉格朗日方 法建立动力学方程。
解：
1、动能和势能
连杆1的动能为：
T1
1 2
m1(l1
令：
1 2
离心力
科氏力
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机器人机构动力学方程 有： M () V ( ,) G() Q
其中： 为广义坐标向量，Q 为广义力向量。 称 M ()为惯量阵，V ( ,) 是离心力、科 氏力等相关部分，G() 为重力部分。
因为 V ( ,) 中仅有速度和位形，上 述方程也称状态空间方程。 特点：
多变量、时变、非线性、强耦合。
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
拉格朗日方程是基于能量项（动能 T、势能V）对系统变量及时间的微分 而建立的。
对于简单系统拉格朗日方程法相较 于牛顿—欧拉方程法更显复杂，然而随 着系统复杂程度的增加，拉格朗日方程 法建立系统运动微分方程变得相对简单。
H
i
Ti qk
T
q
j
qk
1n 2 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti q j
Hi
TiT qk
q j qk
3、求系统位能
n
n
EP Ep i mi gTTi ri
i 1
i 1
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1)2
设Y0=0为零势面，则连杆1的
势能为：
V1 m1gl1 sin1
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
质量m2的位置表示为： x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
y2 l1 sin1 l2 sin(1 2 )
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 求出速度的平方：
v2 v v
Trace v vT
Trace
i j 1
Ti q j
q
j
i
r
k 1
Ti qk
qk
T
rT
Trace
i j 1
k
j 1
Trace
Tj qk
Hj
T j T qi
qk
Iai
qi
n
j i
k
j 1
j
Trace
m1
2T j qk qm
Hj
T
T j
qi
qk qm
n
mj gT
j i
Tj qi
ri
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牛顿—欧拉方程实例
末端执行器上无作用力，所以： 基座静止，因此：
0 0, 0 0 考虑到引力，我们使用：
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牛顿—欧拉方程实例
应用递推公式有： 向前：1杆件：
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
步骤总结：
1、机械臂上一点速度 设杆件i上一点ri，它在基坐标系中的位
置为：
r Ti ri
其中，Ti是{i}坐标系相对基础坐标系的齐次变 换矩阵。
那么，该点的速度为：
vi
dr dt
i j 1
Ti q j
q j
ri
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2 （m2l221 m2l1l2 cos2）1 m2l222 m2l1l2 sin2 12 m2 gl2 cos(1 2 )
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牛顿—欧拉方程实例
通常，机器人的动力学方程常写为抽象的形式，
i k 1
Ti q j
r rT
Ti qk
T
q
j
qk
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
• 2、求系统动能
Ek
n
Eki
i 1
1 2
n
i
Trace
i Ti
i 1
j1 k 1 q j
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
系统拉格朗日方程为：
Qi
d dt
L
qi
L qi
i 1, 2,...n
式中： n ——系统的广义坐标数
qi ——第i个广义坐标 qi ——第i个广义速度
Qi ——作用在第i个广义坐标上的广义
(m1
m2 )gl1
cos1